第二十五章 一元二次方程（考点梳理对点练）-【千里马·单元测试卷】2026-2027学年九年级全一册数学(人教版·新教材)

参考 九年级上册 第二十五章一元二次方程 考点1一元二次方程的概念及其解法 1.C2.A3.C 4.3x2-4x+2=03-4x25.x1=2,x2=-56.7 7.解：(1)x1=5,x2=-1. 47南3- (2),=3+7 4 (3)x1=1,x2=5.(4)y1=1,y2=-1. 8.解：(1)3-1 (2)x3=6x2+16x,x3-6x2-16x=0, .x(x2-6x-16)=0,x=0或x2-6x-16=0. 方程x2-6x-16=0, 移项，得x2-6x=16, 配方，得x2-6x+9=16+9, 即(x-3)2=25,x-3=±5，.x=8或-2. 综上，x1=0,2=8,=-2. (3)将方程√2x-6x+3=x-1的两边同时平方，得2x3-6x +3=(x-1)2, ∴.2x3-x2-4x+2=0,x2(2x-1)-2(2x-1)=0, .(x2-2)(2x-1)=0,.x2-2=0或2x-1=0, 1=万，m=-2,函=2 1 “V2x-6x+3=x-1≥0=-万和名=7均不合题意， .方程√2x3-6x+3=x-1的解为x=2. 考点2一元二次方程的根的判别式及根与系数的关系 1.D2.B3.D4.A5416a>47.48-2 9.(1)证明：4=(-4)2+4m2=16+4m2>0, .该方程有两个不相等的实数根 (2)解：由根与系数的关系，得名1+2=4，x1名2=-m2, 则1+1=+名。4 有名名=m-1,解得m=±2. 10.解：(1)当m=2时，原方程为x2-8x+12=0, ∴.a=1,b=-8,c=12. 设关于x的一元二次方程2-8x+12=0的两个根分别为x1,x2, x1+x2=- =8，=g=12 e】 关于x的一元二次方程x2-8x+12=0的两个根分别是矩 形ABCD的两邻边长， ∴.矩形ABCD的对角线的长为 √/好+场=√/（名1+2）2-2xx2=82-2×12=2V√10. (2):关于x的一元二次方程x2-4mx+8m-4=0的两个根 分别是菱形ABCD的两邻边长， ∴.关于x的一元二次方程x2-4mx+8m-4=0有两个相等的 实数根，∴.4=(-4m)2-4×1×(8m-4)=0, 解得m1=m2=1,.原方程为x2-4x+4=0,即(x-2)2=0, 解得x1=2=2,∴菱形ABCD的周长为2×4=8. 考点3实际问题与一元二次方程 1.D2.B3.D 4.解：(1)(100+x)(10+x)(2)10x(500-10x) (3)(10+x)(500-10x)=8000(4)10或30 (5)10(6)10110 参考答案什 答案 5.解：设每轮传播中平均一台电脑传播x台电脑中了病毒， 根据题意，得1+x+x(1+x)=25, 解得1=4,2=-6（不合题意，舍去） 答：每轮传播中平均一台电脑传播4台电脑中了病毒。 6.解：设十位数字为x,则个位数字为(9-x). 由题意，得x(9-x)=9×2,解得x1=3,x2=6, 则9-x=6或3. 答：这个两位数是36或63 7.解：设进馆人次的日平均增长率为x, 根据题意，得100(1+x)2=121, 解得x1=0.1=10%,x2=-2.1(不合题意，舍去). 答：进馆人次的日平均增长率为10%. 8.解：(1)(90-3x)(60-3x)[或(9x2-450x+5400)] (2)由(1)得9x2-450x+5400=4536, 解得x1=2,2=48(不合题意，舍去). 答：通道的宽度为2米. 9.解：(1)设y与x的函数解析式为y=kx+b(k≠0)， 将(60,300)，(63,288)分别代入y=x+b,得 {86四解得6 1b=540. ∴y与x的函数解析式为y=-4x+540. (2)根据题意，得(x-55)(-4x+540)=6300, 整理，得x2-190x+9000=0, 解得x1=90,x2=100. ,物价部门规定该商品的销售单价不能超过95元，∴.x=90. 答：商品的销售单价应为90元 (3)该商品平均每月的销售利润不可能是6500元. 理由如下： 根据题意，得(x-55)(-4x+540)=6500. 整理，得x2-190x+9050=0. :4=(-190)2-4×1×9050=-100<0, ∴.原方程没有实数根， ∴.该商品平均每月的销售利润不可能是6500元。 第二十六章二次函数 考点4二次函数的概念、图象和性质 1.C2.D3.D4.B5.C6A7.C8-号30 9.下直线x=-1(-1,2)<-1>-1 10.解：(1)(0，-1)(1，-2) (2)从左到右：-101232-1-2-12 描点、画出抛物线如答图. 0 10题答图 (3)-2≤y<7第二十五章一元二次方程 第二十五章 一元二次方程 考点1一元二次方程的概念及其解法 ⊙建议用时：25分钟答案P33 考点梳理 (2)2x2-3x-1=0(公式法)； 1.一元二次方程的概念T1,T4 2.一元二次方程的解T3 3.利用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解 法解方程T2,T5,T6,7,T8 (3)x2-6x+5=0(配方法)； 1.下列方程中，是一元二次方程的是 A.x2+2xy=1 B.x2+x+1 C.x2=4 D.ax2+bx+c=O 2.用配方法解一元二次方程x2+2x=1,可将方 (4)(y-1)2-2y(y-1)=0(因式分解法). 程配方为 ( A.(x+1)2=2 B.(x+1)2=0 C.(x-1)2=2 D.(x-1)2=0 3.若关于x的一元二次方程ax2+bx+5=0的一 8.阅读材料：各类方程的解法不尽相同，但是它 个根是x=-1,则1-a+b的值是() 们有一个共同的基本数学思想—转化，把未 A.4 B.-4 C.6 D.-6 知转化为已知，用“转化”的数学思想，我们还 4.把方程3x2=4x-2整理成一元二次方程的一 可以解一些新的方程.例如，一元三次方程 般形式为 其中二次项系数 x3-2x2-3x=0通过因式分解可以把它转化 是 一，一次项是 ,常数项是 为x(x2-2x-3)=0,解方程x=0和x2-2x- 3=0,可得方程x3-2x2-3x=0的解. 5.新考法规定：在实数范围内定义一种运算 (1)方程x3-2x2-3x=0的解是x1=0,x2= “⊙”，其规则为a⊙b=a(a+b),方程(x-2) ,x3日 (2)求方程x3=6x2+16x的解； ◎7=0的根为 6.以方程x2-4x+3=0的两根分别为腰和底的 (3)求方程√2x3-6x+3=x-1的解 等腰三角形的周长为 7.解下列方程： (1)4(x-2)2-36=0(直接开平方法)； 解千里马测试卷·九年级数学（全一册） 考点2一元二次方程的根的判别式及根与系数的关系 ⊙建议用时：25分钟答案P33 考点梳理父 7.已知实数a,b是一元二次方程x2-5x-2=0 1.根的判别式T1,T2,T6 的两根，则代数式ab+a+b+1= 2.根与系数的关系T3,T4,T5,T7,T8 8.若方程x2-2x-4=0的两个实数根为x1,x2, 3.根的判别式和根与系数的关系综合T9:T10 则1+工的值是 1.若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个 1光2 实数根，则b2-4ac满足的条件是 9.已知关于x的一元二次方程x2-4x-m2=0, A.b2-4ac>0 B.b2-4ac<0 (1)求证：该方程有两个不相等的实数根； C.b2-4ac=0 D.b2-4ac≥0 (2)若该方程的两个实数根1，满足上+马 2.已知关于x的一元二次方程x2+3x-2=0,下 =-1,求m的值 列说法正确的是 A.方程有两个相等的实数根 B.方程有两个不相等的实数根 C.没有实数根 D.无法确定 3.已知关于x的方程x2+x-2=0的一个根为x= -2,则它的另一个根及k的值分别是（) 10.关于x的一元二次方程x2-4mx+8m-4=0 A.-1和-1 B.-1和1 的两个根分别是平行四边形ABCD的两邻 C.1和-1 D.1和1 边长 4.如图，矩形ABCD的周长为12，面积为5，且AB (1)当m=2,且四边形ABCD为矩形时，求矩 和BC的长恰好是方程x2+mx+n=0的两 形ABCD的对角线的长； 根，则m和n的值分别为 (2)若四边形ABCD为菱形，求菱形ABCD的 D 周长 4题图 A.-6,5 B.12,-5 c.6,5 D.-12,5 5.设一元二次方程x2-4x+1=0的两个根为 x1,x2,则x1+x2= ,x1x2 6.已知关于x的一元二次方程ax2+x+1=0没 有实数根，则α的取值范围是 2 第二十五章一元二次方程补 考点3实际问题与一元二次方程 ⊙建议用时：40分钟答案P33 考点梳理 的售价每上涨1元，则销售量就减少10件.如 1.数字问题T62.几何图形问题T3,T8 果商场销售这批衬衫要获得8000元的利润， 3.传播问题T54.变化率问题T1,T7 又使顾客获得较多的优惠，那么这种衬衫每件 5.循环问题T26.销售问题T4,T9 应涨价多少元？设每件应涨价x元，此时： 1.某钢铁厂四月份的产量是50万吨，第二季度 (1)售价为 元，则利润为 元； 的产量是182万吨，若该厂五、六月份平均每 (2)销售量减少 件，则销售量为 月的产量的增长率均为x,则下面所列方程正 件； 确的是 (3)根据“要获得8000元的利润”，列方程得 A.50(1+x)2=182 B.50+50(1+x)2=182 (4)解列出的方程，得x= C.50(1+x)+50(1+x)2=182 (5)根据“使顾客获得较多的优惠”推出x的 D.50+50(1+x)+50(1+x)2=182 值为 ； 2.在一次同学聚会上，参加的每个人都与其他人 (6)因此，这种衬衫每件应涨价 元，即 握手一次，共握手190次，设参加这次同学聚 每件的售价为 元 会的有x人，可得方程 () 5.调查发现有一台电脑中了病毒，经过两轮传播 A.x(x-1)=190 B.x(x-1)=380 后共有25台电脑中了病毒.每轮传播中平均 C.x(x-1)=95 D.(x-1)2=380 一台电脑传播多少台电脑中了病毒？ 3.如图，在一幅矩形风景画的四周镶一条相同宽 度的边框，制成一幅长为80cm,宽为50cm的 挂图，设边框的宽为xcm,如果风景画的面积 是2800cm2,下列方程符合题意的是（) 50 cm 6.一个两位数，十位数字与个位数字之和为9， x cm 且这两个数字之积等于它们两个数字之和的 80 cm 3题图 2倍，求这个两位数 A.(50+x)(80+x)=2800 B.(50+2x)(80+2x)=2800 C.(50-x)(80-x)=2800 D.(50-2x)(80-2x)=2800 4.某商场销售一批衬衫，每件的进价为90元，如 果按每件100元出售，可销售500件；若每件 3 解干里马测试卷·九年级数学（全一册） 7.[传统文化]书籍是人类宝贵的精神财富，读：9.某超市经销一种商品，每件成本为55元.经市 书则是传承优秀文化的通道.某县为响应全民 场调研发现，该商品平均每月的销售量y(件) 阅读活动，利用春节假期面向社会开放县图书 与销售单价x(元)满足一次函数关系，其部分 馆.据统计，第一天进馆100人次，进馆人次逐 对应值如下表所示： 天增加，第三天进馆121人次.若进馆人次的 销售单价x/元 60 63 70 72 86 日平均增长率相同，求进馆人次的日平均增 月销售量y/件300 288 260 252 196 长率 (1)求y与x的函数解析式； (2)物价部门规定该商品的销售单价不能超过 95元，超市要想使这种商品的销售利润平 均每月达到6300元，商品的销售单价应 为多少元？ (3)该商品平均每月的销售利润可能是6500 元吗？请说明理由， 8.如图，某市近郊有一块长为90m,宽为60m的 矩形土地，地方政府准备在此建一个综合性休 闲广场，其中阴影部分为通道，通道的宽度均 相等，中间的四个矩形（四个矩形的一边长均 为am)区域将铺设塑胶地面作为运动场地， (1)设通道的宽度为xm,则塑胶运动场地总 面积y= m2; (2)若塑胶运动场地总面积为4536m2,请问 通道的宽度为多少？ -a+ 60m 90m 8题图