第十三章 三角形 单元检测提高卷 2026-2027学年人教版八年级数学上册

**基本信息** 人教版八年级上册数学第十三章三角形提高卷，120分钟100分，涵盖选择、填空、解答题，聚焦三角形稳定性、三边关系、内角和等核心知识，结合现实情境与综合探究，适配单元复习提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|15/30|三角形稳定性（黄河三峡大桥情境）、三边关系、内角和计算|基础巩固，情境真实，如第2题体现数学眼光| |填空题|4/8|等腰三角形周长、外角平分线、高的交点、面积与垂线段和|能力提升，如第19题结合面积法培养推理意识| |解答题|8/62|内角和证明（多种辅助线）、折叠与平行、“规形图”探究、动态点与角平分线|创新应用，如26题模型构建、27题动态探究，发展模型意识与创新意识|

人教版八年级上册数学单元检测卷 第十三章 三角形（提高卷） 时间：120分钟 满分：100分 姓名：__________ 班级：__________ 得分：__________ 一、选择题（本大题共15小题，每小题2分，共30分） 1．下列长度的三条线段能组成三角形的是（　　） A．8，8，8 B．5，6，12 C．4，4，8 D．3，4，8 2．如图，黄河三峡大桥位于河南省境内，是世界上首座地锚式回转缆悬索桥，于2025年12月30日通车运营．该工程中多个关键部位采用了三角形结构，这样设计是利用了（　　） A．三角形具有稳定性 B．两点确定一条直线 C．两点之间，线段最短 D．垂线段最短 第2题图 第3题图 3．如图，一个三角形纸板破损了一个角，如果把它补成完整的三角形纸板，需要补的角的度数是（　　） A．50° B．60° C．65° D．70° 4．具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是（　　） A．∠A+∠B＝∠C B．∠A+∠B＝90° C．∠A：∠B：∠C＝1：2：3 D．∠A＝∠B＝∠C 5．如图，为估计沙堆两侧点A，B间的距离，某同学在沙堆一侧选取一点C，测得AC＝5m，BC＝7m，那么A，B两点之间的距离可能是（　　） A．14m B．12m C．10m D．2m 第5题图 第6题图 6．如图，在△ABC中，BC边上的高是（　　） A．线段CE B．线段AB C．线段BF D．线段AD 7．如图，CM是△ABC的中线，BC＝8cm，若△BCM的周长比△ACM的周长大2cm，则AC的长为（　　） A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm 第7题图 第8题图 8．如图，将一副三角尺叠在一起，则∠α的度数是（　　） A．30° B．45° C．55° D．75° 9．如图，在△ABC中，∠B＝60°，∠1，∠2为△ABC的两个外角，则当∠1减少1°时，∠2的变化是（　　） A．减少1° B．增大1° C．保持不变 D．增大2° 第9题图 第10题图 10．如图，在△ABC中，∠A＝50°，将△ABC沿虚线剪去∠A，则∠1+∠2的度数为（　　） A．180° B．230° C．240° D．270° 11．已知△ABC的三边长分别是a，b，c，化简|a﹣b﹣c|+|a﹣b+c|的结果为（　　） A．2a﹣2b B．2b﹣2a C．2c D．﹣2c 12．下列说法中，正确的有（　　） ①三角形的中线、角平分线、高都是线段； ②三角形的三条角平分线、三条中线、三条高都在三角形内部； ③直角三角形只有一条高； ④三角形的三条角平分线、三条中线、三条高（或所在的直线）分别交于一点． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 13．若等腰三角形的周长是26cm，一边长为11cm，则腰长是（　　）cm． A．11 B．7.5或11 C．7.5 D．4 14．在△ABC中，AD为边BC上的高，∠CAD＝20°，则∠ACB的度数为（　　） A．70° B．110° C．70°或20° D．70°或110° 15．如图，在△ABC中，AD是高，AE是∠BAC的平分线．若∠B＝α，∠C＝β，则∠DAE＝（　　） A． B． C． D． 第15题图 第17题图 二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，共8分） 16．已知m，n是等腰三角形ABC的两边，且|m﹣2|+（n﹣9）2＝0，则等腰三角形的周长为　 　． 17．如图，在△ABC中，∠B＝35°，AD平分△ABC的外角∠CAE交BC的延长线于点D，若∠DAE＝60°，则∠ACD的度数为　 　 °． 18．在△ABC中，已知∠ABC＝64°，∠ACB＝56°，BE是AC上的高，CF是AB上的高，H是BE和CF的交点，则∠BHC的度数是　 　． 第18题图 第19题图 19．如图，在△ABC中，AB＝AC＝8，该三角形的面积为20，O是边BC上任意一点，OE⊥AB于点E，OF⊥AC于点F，则OE+OF等于　 　 ． 三、解答题（本大题共8小题，共62分） 20．（本题6分）已知三角形的三边长分别为2cm，acm和7cm． （1）求a的取值范围． （2）若这个三角形为等腰三角形，求该三角形的周长． 21．（本题6分）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，BF⊥AC于点F，若∠C＝70°，∠ABF＝30°，求∠ADC的度数． 22．（本题7分）课堂上，为了证明“三角形的内角和是180°”，四名同学给出了如图所示四种作辅助线的方法． 回答下列问题： （1）能证明“三角形内角和是180°”的方法是　 　 （请填写序号）； （2）在（1）的方法中，请任选其中一种方法进行证明． 23．(本题7分)如图，在△ABC中，AE为BC边上的高，点D为BC边上的一点，连接AD． （1）当AD为∠BAC的角平分线时，若∠C＝54°，∠B＝24°，求∠DAE的度数． （2）当AD为BC边上的中线时，若AB＝13，△ADC的周长比△ABD的周长少5，求AC的长度． 24．（本题8分）如图，在△ABC中，∠B＝20°，点D为边BC上一点，将△ADC沿直线AD折叠后，点C落到点E处，∠ADC＝100°． （1）求证：AB∥DE． （2）若AE恰好平分∠BAD，求∠E的度数． 25．（本题8分）已知△ABC的三个内角∠A、∠B、∠C的对边分别为a，b，c． （1）化简：|a+b﹣c|﹣|a+b+c|+2|a﹣b﹣c|； （2）若∠A、∠B、∠C满足∠A﹣∠B＝36°，∠B﹣∠C＝36°，试判断△ABC是锐角三角形、直角三角形还是钝角三角形，并说明理由． 26．（本题8分）材料阅读：如图1所示的图形，使我们常见的学习用品——圆规，我们不妨把这样的图形叫做“规形图”． （1）观察“规形图”，试探究∠BDC与∠A、∠B、∠C之间的数量关系，并说明理由； （2）请你直接利用以上结论，解决以下问题： ①如图2，把一块三角板DEF放置在△ABC上，使三角板的两条直角边DE、DF恰好经过点B、C．若∠A＝40°，则∠ABD+∠ACD＝　 　 °； ②如图3，BD平分∠ABP，CD平分∠ACP．若∠A＝40°，∠BPC＝130°，求∠BDC． 图1 图2 图3 27．（本题12分）如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线相交于点E． （1）如图1，若∠A＝70°，求∠E的度数； （2）如图2，在（1）的条件下，延长AB至点F，∠DBF的平分线与∠ACD平分线的反向延长线相交于点G，求∠G的度数； （3）如图3，若点P为BA的延长线上一动点（不与点A重合），连接PC，∠APC和∠ACP的平分线相交于点Q．试探究：在点P运动的过程中，∠Q与∠E是否存在固定的数量关系？若存在，写出关系并证明；若不存在，请说明理由． 图1 图2 图3 答案与解析 一、选择题（本大题共15小题，每小题2分，共30分） 1．解：A、显然能组成等边三角形，故A符合题意； B、5+6＜12，不能组成三角形，故B不符合题意； C、4+4＝8，不能组成三角形，故C不符合题意； D、3+4＜8，不能组成三角形，故D不符合题意． 故选：A． 2．解：三角形具有稳定性，四边形等其他多边形不具备稳定性，桥梁搭建三角形结构设计是利用了三角形的稳定性． 故选：A． 3．解：由题知， 因为180°﹣50°﹣70°＝60°， 所以需要补的角的度数是60°． 故选：B． 4．解：在△ABC中，∠A+∠B+∠C＝180°（三角形内角和定理）， A．∠A+∠B＝∠C，根据三角形内角和定理得2∠C＝180°，解得∠C＝90°，是直角三角形，所以本选项正确，不符合题意； B．∵∠A+∠B＝90°， ∴∠C＝180°﹣（∠A+∠B）＝90°，是直角三角形，所以本选项正确，不符合题意； C．∵∠A：∠B：∠C＝1：2：3，设∠A＝x，∠B＝2x，∠C＝3x，则x+2x+3x＝180°，解得x＝30°，∠C＝3×30°＝90°，是直角三角形，所以本选项正确，不符合题意； D．∠A＝∠B＝∠C，即3∠C＝180°，则∠A＝∠B＝∠C＝60°，故不是直角三角形． 故选：D． 5．解：如图，连接AB， ∵AC＝5m，BC＝7m，BC﹣AC＜AB＜BC+AC， ∴7﹣5＜AB＜7+5，即2＜AB＜12， ∴A，B两点之间的距离可能是10m． 故选：C． 6．解：如图所示，根据三角形的高的定义可知BC边上的高为AD． 故选：D． 7．解：∵CM是△ABC的中线，BC＝8cm， ∴AM＝BM， ∴△BCM的周长＝BC+BM+CM，△ACM的周长＝AC+AM+CM， ∵△BCM的周长比△ACM的周长大2cm， ∴BC+BM+CM﹣（AC+AM+CM）＝2，即BC﹣AC＝2， ∴8﹣AC＝2， 解得AC＝6（cm）． 故选：D． 8．解：∵∠ABD+∠CDB＝90°+90°＝180°， ∴AB∥CD， ∴∠AEC＝∠C＝45°， ∴∠α＝∠A+∠AEC＝45°+30°＝75°． 故选：D． 9．解：由三角形外角可知，∠1＝∠B+∠BAC＝∠B+180°﹣∠2， ∵∠B＝60°， ∴∠1＝240°﹣∠2， ∴当∠1减少1°时，∠2的变化是增大1°， 故选：B． 10．解：∵在△ABC中，∠A+∠B+∠C＝180°，且∠A＝50°， ∴∠B+∠C＝180°﹣∠A＝130°， ∵∠1+∠2+∠B+∠C＝360°， ∴∠1+∠2＝360°﹣（∠B+∠C）＝230°， 故选：B． 11．解：根据三角形的三边关系得：a﹣b﹣c＜0，c+a﹣b＞0， ∴原式＝﹣（a﹣b﹣c）+（a﹣b+c）＝﹣a+b+c+a﹣b+c＝2c． 故选：C． 12．解：①：三角形的中线、角平分线、高都是两个端点确定的线段，分别三角形的中线是连接顶点与对边中点的线段；三角形的角平分线是指角平分线在三角形内部的部分，是线段；三角形的高是顶点到对边所在直线的垂线段．它们都是线段，因此①正确； ②：钝角三角形的两条高在三角形外部，直角三角形的两条高与直角边重合，并非所有高都在三角形内部，因此②错误； ③：直角三角形共有三条高，两条直角边本身就是两条高，斜边上还有第三条高，因此③错误； ④：三角形的三条角平分线、三条中线都分别交于三角形内部一点，而任意三角形的三条高（或所在直线）也都交于一点，因此④正确． 综上，正确的说法共2个， 故选：B． 13．解：①当11cm为腰长时，则腰长为11cm，底边＝26﹣11﹣11＝4cm，因为11+4＞11，所以能构成三角形； ②当11cm为底边时，则腰长＝（26﹣11）÷2＝7.5cm，因为7.5+7.5＞11，所以能构成三角形． 故选：B． 14．解：在△ABC中，AD为边BC上的高，∠CAD＝20°，分两种情况讨论： 情况1：垂足D在线段BC上， ∵AD是BC边上的高， ∴∠ADC＝90°， 在Rt△ADC中，∠CAD＝20°， ∴∠ACB＝90°﹣∠CAD＝90°﹣20°＝70°， 情况2：垂足D在线段BC的延长线上，此时点C在B、D之间， ∵AD是BC边上的高， ∴∠ADC＝90°． 在Rt△ADC中，∠CAD＝20°， ∴∠ACD＝90°﹣∠CAD＝70°， ∵∠ACB+∠ACD＝180°， ∴∠ACB＝180°﹣70°＝110°． 故选：D． 15．解：在△ABC中， ∵∠B＝α，∠C＝β， ∴∠BAC＝180°﹣∠C﹣∠B＝180°﹣α﹣β， ∵AE是∠BAC的平分线， ∴， ∵AD是△ABC的高， ∴AD⊥BC， ∴∠ADB＝90°， ∴∠BAD＝90°﹣∠B＝90°﹣α， ∴， 故选：A． 二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，共8分） 16．解：由题意可得：|m﹣2|＝0，（n﹣9）2＝0， 解得m＝2，n＝9， 分两种情况讨论等腰三角形的边长： 情况1：若腰长为2，底边长为9，则三边长为2，2，9，2+2＜9，不满足三角形两边之和大于第三边，此情况不成立，舍去． 情况2：若腰长为9，底边长为2，则三边长为9，9，2，9+2＞9，满足三角形三边关系． ∴周长为9+9+2＝20． 故答案为：20． 17．解：∵AD平分△ABC的外角∠CAE交BC的延长线于点D，∠DAE＝60°， ∴∠DAC＝∠DAE＝60°， ∵∠B＝35°，∠DAE＝∠B+∠D， ∴∠D＝∠DAE﹣∠B＝25°， ∴∠ACD＝180°﹣∠DAC﹣∠D＝180°﹣25°﹣60°＝95°， 故答案为：95． 18．解：∵BE是AC上的高，CF是AB上的高， ∴∠BFC＝90°，∠BEC＝90°， ∵∠ABC＝64°，∠ACB＝56°， ∴∠BCF＝90°﹣∠ABC＝26°，∠EBC＝90°﹣56°＝34°， ∴∠BHC＝180°﹣∠EBC﹣∠FCB＝180°﹣34°﹣26°＝120°； 故答案为：120°． 19．解：如图所示：连接AO， ∵S△AOB＝AB•OE，S△AOC＝AC•OF，AB＝AC＝8，S△ABC＝20＝S△AOB+S△AOC， ∴AB•OE+AC•OF＝20， ×8OE+×8OF＝20， 4OE+4OF＝20， 4（OE+OF）＝20， OE+OF＝5， 故答案为：5． 三、解答题（本大题共8小题，共62分） 20．（本题6分） 解：（1）∵三角形的三边长分别为2cm，acm和7cm， ∴根据三角形的三边关系得，7﹣2＜a＜7+2， 解得5＜a＜9； （2）∵5＜a＜9， ∴当a＝7时，该三角形为等腰三角形， ∴2+7+7＝16，即该三角形的周长为16， 答：该三角形的周长为16cm． 21．（本题6分） 解：∵BF⊥AC， ∴∠BFC＝90°． ∵∠C＝70°， ∴∠CBF＝∠BFC﹣∠C＝90°﹣70°＝20°． ∵∠ABF＝30°， ∴∠ABC＝∠ABF+∠CBF＝30°+20°＝50°， ∵∠BAC+∠ABC+∠C＝180°， ∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠C＝180°﹣50°﹣70°＝60°． ∵AD平分∠BAC， ∴， ∴∠ADC＝180°﹣∠CAD﹣∠C＝180°﹣30°﹣70°＝80°． 22．（本题7分） 解：解：（1）利用图①②③都能转化∠A+∠B+∠ACB＝180°转化为∠ACE+∠BCF+∠ACB＝180°，从而得出结论；利用图②进行证明时，把∠A+∠B+∠ACB转化为∠FCE+∠BCE+∠ACB＝180°，从而得出结论，因此，在利用图①，②，③在证明三角形内角和的过程中应用的数学思想是转化思想．故答案为：①②③； （2）图① 证明：∵EF∥AB， ∴∠ACE＝∠A，∠BCF＝∠B， ∵根据平角的定义得：∠ACE+∠ACB+∠BCF＝180°， ∴∠ACB+∠A+∠B＝180°， ∴三角形的内角和是180°； 图② 证明如下： ∵CE∥AB，DF∥AF， ∴∠B＝∠ECB，∠A＝∠FCE， 根据平角的定义得：∠ECB+∠ACB+∠FCE，＝180°， ∴∠A+∠B+∠ACB＝180°； 三角形的内角和是180°； 图③ 证明如下： ∵DE∥BC，DF∥AC， ∴四边形EDFC是平行四边形，∠C＝∠EDF， ∴∠ADE＝∠C，∠ADE＝∠B，∠BDF＝∠A， ∴∠ADE+∠BDF＝∠EDF＝180°，即∠A+∠B+∠ACB＝180°， 三角形的内角和是180°； 23．（本题7分） 解：（1）∵∠C＝54°，∠B＝24°， ∴∠BAC＝180°﹣∠C﹣∠B＝180°﹣54°﹣24°＝102°． 又∵． ∴∠EAC＝90°﹣∠C＝90°﹣54°＝36°， ∴∠DAE＝∠DAC﹣∠EAC＝51°﹣36°＝15°． （2）∵AD为边BC上的中线， ∴BD＝CD． 又∵AB＝13， ∴（AD+BD+AB）﹣（AD+DC+AC）＝5， ∴AB﹣AC＝5， ∴AC＝AB﹣5＝13﹣5＝8． 24．（本题8分） 证明（1）∵∠ADC+∠ADB＝180°，∠ADC＝100°， ∴∠ADB＝180°﹣100°＝80°， 由折叠可知：∠ADC＝∠ADE＝100°， ∵∠ADE＝∠ADB+∠BDE＝100°， ∴∠BDE＝100°﹣80°＝20°， ∵∠B＝20°， ∴∠B＝∠BDE， ∴AB∥DE； 解：（2）∵∠ADC＝∠B+∠BAD＝100°，∠B＝20°， ∴∠BAD＝100°﹣20°＝80°， ∵AE恰好平分∠BAD， ∴， ∵AB∥DE， ∴∠E＝∠BAE＝40°． 25．（本题8分） 解：（1）∵△ABC的三个内角∠A、∠B、∠C的对边分别为a，b，c， ∴a+b+c＞0，a+b＞c，a＜b+c， ∴a+b﹣c＞0，a﹣b﹣c＜0， ∴|a+b﹣c|﹣|a+b+c|+2|a﹣b﹣c| ＝a+b﹣c﹣（a+b+c）+2（﹣a+b+c） ＝﹣2a+2b； （2）△ABC是钝角三角形， ∵∠A﹣∠B＝36°， ∴∠A＝∠B+36°， ∵∠A+∠B+∠C＝180°， ∴∠B+36°+∠B+∠C＝2∠B+∠C+36°＝180°， ∴2∠B+∠C＝144°， ∵∠B﹣∠C＝36°， ∴两式子相加得3∠B＝180°， 解得∠B＝60°， ∵∠A＝∠B+36°， ∴∠A＝60°+36°＝96°＞90°， 即△ABC是钝角三角形． 26．（本题8分） 解：（1）∠BDC＝∠A+∠B+∠C，理由： 如图，作射线AD， ∵∠BDM＝∠BAD+∠B，∠CDM＝∠CAD+∠C， ∴∠BDM+∠CDM＝∠BAD+∠B+∠CAD+∠C， 即∠BDC＝∠BAC+∠B+∠C； （2）①如图②，由（1）得，∠BDC＝∠A+∠ABD+∠ACD， ∵∠BDC＝90°，∠A＝40°， ∴∠ABD+∠ACD＝90°﹣40°＝50°， 故答案为：50； ②如图③，由（1）得，∠BPC＝∠ABP+∠ACP+∠A， ∵∠A＝40°，∠BPC＝130°， ∴∠ABP+∠ACP＝130°﹣40°＝90°， ∵BD平分∠ABP，CD平分∠ACP． ∴∠ABD∠ABP，∠ACD∠ACP， ∴∠ABD+∠ACD（∠ABP+∠ACP）90°＝45°， 由（1）可得，∠BDC＝∠ACD+∠ABD+∠A＝45°+40°＝85°． 27．（本题12分） 解：（1）∵BE平分∠ABC，CE平分∠ACD， ∴，， ∴， ∵∠A＝∠ACD﹣∠ABC＝70°， ∴． （2）∵BE平分∠ABC，BG平分∠DBF， ∴，， ∴， ∵由（1）知∠E＝35°， ∴∠G＝90°﹣∠E＝55°． （3）∠Q+∠E＝180°，理由如下： ∵PQ平分∠APC，CQ平分∠ACP， ∴，， ∴， ∵∠BAC＝∠APC+∠ACP， ∴， 由（1）可得：， ∴∠Q＝180°﹣∠E， ∴∠Q+∠E＝180°． 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $