精品解析：上海市莘庄中学2025-2026学年第二学期期中考试高一数学

上海市莘庄中学2025学年第二学期期中考试 高一数学 （2026．04．21） 考试时间120分钟，满分150分 一、填空题（1-6每小题4分，7-12每小题5分，总54分） 1. 复数的虚部是_____. 2. 若为空间夹角是60°的两个单位向量，则=____. 3. 若函数（其中常数）的最小正周期为3，则的值为__________． 4. 设向量的夹角为，且，则__________． 5. 已知复数，为虚数单位，若的模为，正实数的值为__________． 6. 如图，矩形中，为中点，与交于点，若将，作为平面向量的一个基，则向量可表示为______（用表示）. 7. 已知向量，，与的夹角为，则在方向上的投影向量是______． 8. 如图，货轮在海上以的速度沿着南偏东的方向航行，货轮在处观测到灯塔在其南偏东的方向上，航行半小时到达点，此时灯塔在其北偏东的方向上，则点与灯塔的距离为_____． 9. 已知向量、满足，且在方向上的数量投影为，则的最小值为__________． 10. 若函数的定义域仅存在，使成立，则称该函数为“互助函数”．已知函数在（）为“互助函数”，则满足条件的最大整数为__________． 11. 已知中，，存在实数，使得向量的模有最小值，若点是线段上任一点，则的取值范围为__________． 12. 勒洛三角形是一种典型的定宽曲线，以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧、三段圆弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形，在如图所示的勒洛三角形中，已知，为弧、弧、弧（含端点）上的任意一点，记，则的最小值为__________． 二、选择题（13-14每小题4分，15-16每小题6分，总18分） 13. 已知是平面上的非零向量，则“”是“”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 14. 为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点（ ） A. 向左平移个单位 B. 向左平移个单位 C. 向右平移个单位 D. 向右平移个单位 15. 已知函数，其部分图象如图所示，则函数的解析式为（ ） A. B. C. D. 16. 已知集合，给出如下两个命题： ①集合中的元素都是周期函数；②集合中的元素都是奇函数．则（ ） A. ①②都是真命题 B. ①②都是假命题 C. ①是真命题，②是假命题 D. ①是假命题，②是真命题 三、解答题 17. 已知向量，当为何值时， （1）向量与垂直？； （2）向量与平行？平行时它们是同向还是反向？ 18. 已知复数，其中为虚数单位， （1）若复数为实数，且为钝角，求此时的复数； （2）若，且复数为纯虚数，求角的取值集合． 19. 已知函数． （1）写出的对称轴方程及单调增区间； （2）将函数横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，得到函数，三角形中（角、、所对的边分别为、、），若，且三角形的面积为，求的值（结果精确到）． 20. 如图，在某小区内有一形状为正三角形的草地，该正三角形的边长为20米，在点处有一喷灌喷头，该喷头喷出的水的射程为10米，其喷射的水刚好能洒满以为圆心，以10米为半径的圆，在内部的扇形区域内，现要在该三角形内修一个直线型步行道，该步行道的两个端点分别在线段上，并且与扇形的弧相切于内的点，步道宽度忽略不计，设． （1）当时，求步行道的长度； （2）试用表示该步行道的长度； （3）试求出该步行道的长度的最小值，并指出此时的值． 21. 已知函数，其中，，，，． （1）将函数化简为的形式，并指出其最小正周期； （2）若存在满足，求实数的取值范围； （3）对任意的，是否存在唯一的，使成立，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上海市莘庄中学2025学年第二学期期中考试 高一数学 （2026．04．21） 考试时间120分钟，满分150分 一、填空题（1-6每小题4分，7-12每小题5分，总54分） 1. 复数的虚部是_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据复数虚部的定义即可得解. 【详解】复数的虚部是. 故答案为：. 2. 若为空间夹角是60°的两个单位向量，则=____. 【答案】1 【解析】 【分析】根据平面向量数量积的运算律及定义得解. 【详解】由题意， , 所以， 故答案为：1 3. 若函数（其中常数）的最小正周期为3，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据正切型函数的最小正周期公式求解即可. 【详解】由题意可知：，解得：. 4. 设向量的夹角为，且，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据向量线性运算等式求出的坐标，再利用向量夹角余弦公式计算，结合夹角的取值范围得到结果. 【详解】已知，移项得，代入， 可得：，因此， 根据数量积的坐标运算规则，得： ； 根据向量夹角公式：， 因此：. 5. 已知复数，为虚数单位，若的模为，正实数的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】先利用复数的四则运算化简，再利用共轭复数的模等于原复数的模，根据复数的模的计算公式，建立关于的方程求解正实数即可. 【详解】已知复数， 由于，根据共轭复数的性质可知， 所以，化简得，解得， 因为为正实数，故. 6. 如图，矩形中，为中点，与交于点，若将，作为平面向量的一个基，则向量可表示为______（用表示）. 【答案】 【解析】 【分析】先利用平行线的性质求出，进而利用向量的线性运算求解即可. 【详解】由已知， 则， 所以， 所以. 故答案为：. 7. 已知向量，，与的夹角为，则在方向上的投影向量是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用投影向量的意义求解即可. 【详解】向量，，与的夹角为，则， 所以在方向上的投影是. 故答案为： 8. 如图，货轮在海上以的速度沿着南偏东的方向航行，货轮在处观测到灯塔在其南偏东的方向上，航行半小时到达点，此时灯塔在其北偏东的方向上，则点与灯塔的距离为_____． 【答案】 【解析】 【分析】在中，可得，，，结合正弦定理，即可求解 【详解】如图所示，由题意得，在中，可得， ，， 所以 由正弦定理得． 因此，点与灯塔的距离为是. 故答案为：. 9. 已知向量、满足，且在方向上的数量投影为，则的最小值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据投影得到， ，确定，计算得到答案. 【详解】在方向上的数量投影为，故， 又因为，其中， 所以 ，（ ）， ，故的最小值为8. 10. 若函数的定义域仅存在，使成立，则称该函数为“互助函数”．已知函数在（）为“互助函数”，则满足条件的最大整数为__________． 【答案】6 【解析】 【分析】利用“互助函数”的定义及正弦函数的性质列式求出的范围即可. 【详解】函数的最大值为1， 由仅存在，使得，得函数在上恰有两个最大值点， 当时，，因此，解得， 而，所以最大整数为6. 11. 已知中，，存在实数，使得向量的模有最小值，若点是线段上任一点，则的取值范围为__________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据条件确定角的大小，判断的形状，再利用基底表示向量，利用数量积的运算律求数量积的最小值. 【详解】依题意，， ， 令， 在中，因为，所以，则，则， 则当且仅当时，有最小值， 因此，解得，故， 由余弦定理得， 则，为直角三角形，，， 设，，， 于是 ，当且仅当时取等号， 当时，，所以的取值范围是. 12. 勒洛三角形是一种典型的定宽曲线，以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧、三段圆弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形，在如图所示的勒洛三角形中，已知，为弧、弧、弧（含端点）上的任意一点，记，则的最小值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】不妨设点在弧上，再设，利用余弦定理表示出，最后利用三角恒等变换和辅助角公式即可求出的最小值． 【详解】不妨设点在弧上，则，设， 在中，由余弦定理得， 在中，由余弦定理得， 故 ， 当时等号成立，故的最小值为， 而在弧、弧时的情形完全类似，因此的最小值为． 二、选择题（13-14每小题4分，15-16每小题6分，总18分） 13. 已知是平面上的非零向量，则“”是“”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用平面向量的数量积公式结合相等向量的概念、充分条件与必要条件的定义分析即可. 【详解】先判定充分性，对于时， 易知， 满足充分性； 再判定必要性，假设是平面中两两夹角的单位向量， 易知满足成立，但不满足，即必要性不成立，所以A正确. 14. 为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点（ ） A. 向左平移个单位 B. 向左平移个单位 C. 向右平移个单位 D. 向右平移个单位 【答案】B 【解析】 【分析】由图象平移变换，把化为后可得． 【详解】∵，因此把函数的图象上所有的点向左平移个单位即得． 故选：B． 15. 已知函数，其部分图象如图所示，则函数的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用函数周期性，图象经过点以及单调性分析求解即可. 【详解】由图象可知，函数的周期，所以符合题意， 又函数经过点，且在该点附近单调递增， 所以由得：，解得：， 又，所以当时，， 所以函数的解析式为. 16. 已知集合，给出如下两个命题： ①集合中的元素都是周期函数；②集合中的元素都是奇函数．则（ ） A. ①②都是真命题 B. ①②都是假命题 C. ①是真命题，②是假命题 D. ①是假命题，②是真命题 【答案】C 【解析】 【分析】利用函数的周期性与奇偶性定义结合反例判定命题即可. 【详解】由可得， 两式相加得， 则有，即， 所以的一个正周期为6，①是真命题； 假设， 满足条件，但此时不是奇函数，所以②是假命题，即C正确. 三、解答题 17. 已知向量，当为何值时， （1）向量与垂直？； （2）向量与平行？平行时它们是同向还是反向？ 【答案】（1） （2） ，反向 【解析】 【分析】（1）先计算目标向量的坐标，再根据向量垂直的数量积为列方程求解； （2）先计算目标向量的坐标，再根据向量平行的坐标运算规则列方程求解，通过比例系数的正负即可判断方向. 【小问1详解】 由已知，，所以，， 若与垂直，则两向量的数量积为，即，代入坐标得，  展开整理，即，解得. 【小问2详解】 由（1）可知，，， 若与平行，则两向量坐标交叉乘积相等，即， 展开整理，即，解得， 此时，比例系数为负，故两向量反向. 18. 已知复数，其中为虚数单位， （1）若复数为实数，且为钝角，求此时的复数； （2）若，且复数为纯虚数，求角的取值集合． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）令虚部为0，再根据题目要求的取值范围求出的值再代入z中即可； （2）令虚部不为0且实部为0，再根据题目要求的取值范围求出即可. 【小问1详解】 由题目可得，即，又因为钝角， 解得，则. 【小问2详解】 由题可得， 即，解得， 又因，解得，， 又因，所以，，因为， 当时，（舍去），当时，， 当时，，当时，， 综上所述. 19. 已知函数． （1）写出的对称轴方程及单调增区间； （2）将函数横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，得到函数，三角形中（角、、所对的边分别为、、），若，且三角形的面积为，求的值（结果精确到）． 【答案】（1）对称轴方程为； 单调增区间为. （2）. 【解析】 【分析】（1）先将给定的通过辅助角公式化简为标准正弦型函数，再结合正弦函数的对称轴、单调区间性质整体代换求解对应结果； （2）先根据横坐标缩放的图像变换规则得到的解析式，代入结合三角形内角范围求出角，再利用三角形面积公式算出边，最后通过余弦定理计算出边的近似值. 【小问1详解】 由题， 由，得， 即的对称轴方程为； 由，得， 即的单调递增区间是. 【小问2详解】 将横坐标缩小为原来的​、纵坐标不变，得到， 由得，即， 因为是三角形内角，，所以，所以，解得， 由三角形面积，且​，，， 可得 ，即，解得， 由余弦定理， 因此. 20. 如图，在某小区内有一形状为正三角形的草地，该正三角形的边长为20米，在点处有一喷灌喷头，该喷头喷出的水的射程为10米，其喷射的水刚好能洒满以为圆心，以10米为半径的圆，在内部的扇形区域内，现要在该三角形内修一个直线型步行道，该步行道的两个端点分别在线段上，并且与扇形的弧相切于内的点，步道宽度忽略不计，设． （1）当时，求步行道的长度； （2）试用表示该步行道的长度； （3）试求出该步行道的长度的最小值，并指出此时的值． 【答案】（1） （2） （3）， 【解析】 【分析】（1）根据题意可得，进而得到，代入分别计算再相加即可求得的长度； （2）根据（1）的分析可直接得到； （3）根据，令，利用基本不等式即可求得最小值． 【小问1详解】 因为与扇形弧相切于点，所以， 因此在中，， 在中，， 所以． 【小问2详解】 由（1）得，， 所以，其中． 【小问3详解】 因为，所以， 而， 令，则， 则， 当且仅当，即时，的最小值为， 故当时，步行道的长度有最小值． 21. 已知函数，其中，，，，． （1）将函数化简为的形式，并指出其最小正周期； （2）若存在满足，求实数的取值范围； （3）对任意的，是否存在唯一的，使成立，请说明理由． 【答案】（1），函数最小正周期为. （2）实数m的取值范围为. （3）对任意的，存在唯一的使成立，理由如下： 若，则， 故函数在上单调递增，且， 所以对任意的，， 又当时， 所以方程有解，又函数在上单调递增， 所以对任意的，存在唯一的使成立. 【解析】 【分析】（1）由数量积坐标运算、倍角公式以及辅助角公式即可计算化简函数解析式，再由最小正周期公式即可求解最小正周期； （2）先求出时的取值范围，再由二次函数性质求出的最大值即可得解； （3）由函数在区间上的单调性以及取值范围相等即可得解. 【小问1详解】 由题可得 ， 故函数最小正周期为. 【小问2详解】 由（1）， 则当时，故， 令，则存在满足即存在满足， 则， 令，则函数在上单调递增， 所以， 所以，即实数m的取值范围为. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $