上海市南汇中学2025-2026学年高一下学期期中考试数学试卷

上海南汇中学2025学年第二学期期中考试 高一数学 满分：100分 完成时间：90分钟 一、填空题：（本大题满分36分，每小题3分） 1．已知为虚数单位，则__________． 2．函数的最小正周期为__________． 3．已知点、，若点满足，则点的坐标为__________． 4．已知两点、，则向量的单位向量的坐标为__________． 5．设，且为奇函数，则__________． 6．已知，是两个非零向量，且，则与的夹角为__________． 7．若直线是函数的一条对称轴，则__________． 8．函数在区间上的值域是__________． 9．已知非零向量，，满足，．若为在上的投影向量，则向量，夹角的大小为__________． 10．如图，在矩形中，，，点为的中点，点在边上，若，则的值是__________． 11．已知函数．若存在，，使得，则的最大值为__________． 12．已知函数，、、为三个不同的平面向量，且．若，则的取值范围是__________． 二、选择题（本大题满分12分，每小题3分） 13．设、，则“、中至少有一个虚数”是“为虚数”的（ ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 14．下列四个函数中，以为最小正周期且在区间上单调递减的是（ ） A． B． C． D． 15．已知，，则下列结论中正确的是（ ） A．函数的最小正周期为 B．函数的最大值为 C．将的图像向左平移单位后得的图像 D．将的图像向左平移单位后得的图像 16．如图所示，为线段外一点，若，，，，，中任意相邻两点间的距离相等，，，则用，表示，其结果为（ ） A． B． C． D． 三、解答题（本大题共5题，满分52分） 17．（本题满分8分，第1小题3分，第2小题5分） 已知为实数，向量，． （1）若，求的值； （2）若，求的值． 18．（本题满分8分，第1小题3分，第2小题5分） 已知是复数，若是实数，是纯虚数，其中为虚数单位． （1）求复数； （2）设复数，在复平面内所对应的向量分别是，，若向量与的夹角为钝角，求实数的取值范围． 19．（本题满分10分，第1小题4分，第2小题6分） 某旅游区有一个人工湖，如图所示，它的边界是由圆的半个圆弧（为此圆弧的中点）和直径构成，已知圆的半径为1千米．为增加旅游收入，现在该人工湖上规划建造两个观景区：其中荷花池观景区的形状为矩形；喷泉观景区的形状为．要求端点、均在直径上，端点、均在圆弧上．设． （1）试用分别表示矩形和的面积； 若在矩形两侧线段、的位置架起两座观景桥，已知建造荷花池的总费用为10万元，建造观景桥的费用为每千米8万元（包含桥的宽度费用），建造喷泉观景区费用为每平方千米16万元．问：当为多少时，建造该观景区总费用最低，并求出其最低费用值． 20．（本题满分12分，第1小题3分，第2小题4分，第3小题5分） 如图，在中，为线段上一点（包含端点），且． （1）若，求、的值； （2）若，，，且与的夹角为，求的值； （3）若，，，且与的夹角为，求的取值范围． 21．（本题满分14分，第1小题3分，第2小题5分，第3小题6分） 设向量，函数，则称函数为向量的友好函数，称向量为函数的友好向量． （1）设，且函数的友好向量为，求的单调增区间； （2）设，函数的友好向量为，且的最小正周期为，若在上恰有5个零点，求实数的取值范围； （3）如果函数的定义域为，若对于任意，，，，，分别为某个三角形的边长，则称为“三角形函数”．现已知，且函数的友好向量为，记，当定义域为时，为“三角形函数”，求实数的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $