上海市莘庄中学2025-2026学年第二学期期中考试高一数学

上海市莘庄中学2025学年第二学期期中考试 高一数学 （2026．04．21） 考试时间120分钟，满分150分 一、填空题（1-6每小题4分，7-12每小题5分，总54分） 1. 复数的虚部是_____. 2. 若为空间夹角是60°的两个单位向量，则=____. 3. 若函数（其中常数）的最小正周期为3，则的值为__________． 4. 设向量的夹角为，且，则__________． 5. 已知复数，为虚数单位，若的模为，正实数的值为__________． 6. 如图，矩形中，为中点，与交于点，若将，作为平面向量的一个基，则向量可表示为______（用表示）. 7. 已知向量，，与的夹角为，则在方向上的投影向量是______． 8. 如图，货轮在海上以的速度沿着南偏东的方向航行，货轮在处观测到灯塔在其南偏东的方向上，航行半小时到达点，此时灯塔在其北偏东的方向上，则点与灯塔的距离为_____． 9. 已知向量、满足，且在方向上的数量投影为，则的最小值为__________． 10. 若函数的定义域仅存在，使成立，则称该函数为“互助函数”．已知函数在（）为“互助函数”，则满足条件的最大整数为__________． 11. 已知中，，存在实数，使得向量的模有最小值，若点是线段上任一点，则的取值范围为__________． 12. 勒洛三角形是一种典型的定宽曲线，以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧、三段圆弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形，在如图所示的勒洛三角形中，已知，为弧、弧、弧（含端点）上的任意一点，记，则的最小值为__________． 二、选择题（13-14每小题4分，15-16每小题6分，总18分） 13. 已知是平面上的非零向量，则“”是“”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 14. 为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点（ ） A. 向左平移个单位 B. 向左平移个单位 C. 向右平移个单位 D. 向右平移个单位 15. 已知函数，其部分图象如图所示，则函数的解析式为（ ） A. B. C. D. 16. 已知集合，给出如下两个命题： ①集合中的元素都是周期函数；②集合中的元素都是奇函数．则（ ） A. ①②都是真命题 B. ①②都是假命题 C. ①是真命题，②是假命题 D. ①是假命题，②是真命题 三、解答题 17. 已知向量，当为何值时， （1）向量与垂直？； （2）向量与平行？平行时它们是同向还是反向？ 18. 已知复数，其中为虚数单位， （1）若复数为实数，且为钝角，求此时的复数； （2）若，且复数为纯虚数，求角的取值集合． 19. 已知函数． （1）写出的对称轴方程及单调增区间； （2）将函数横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，得到函数，三角形中（角、、所对的边分别为、、），若，且三角形的面积为，求的值（结果精确到）． 20. 如图，在某小区内有一形状为正三角形的草地，该正三角形的边长为20米，在点处有一喷灌喷头，该喷头喷出的水的射程为10米，其喷射的水刚好能洒满以为圆心，以10米为半径的圆，在内部的扇形区域内，现要在该三角形内修一个直线型步行道，该步行道的两个端点分别在线段上，并且与扇形的弧相切于内的点，步道宽度忽略不计，设． （1）当时，求步行道的长度； （2）试用表示该步行道的长度； （3）试求出该步行道的长度的最小值，并指出此时的值． 21. 已知函数，其中，，，，． （1）将函数化简为的形式，并指出其最小正周期； （2）若存在满足，求实数的取值范围； （3）对任意的，是否存在唯一的，使成立，请说明理由． 上海市莘庄中学2025学年第二学期期中考试 高一数学 （2026．04．21） 考试时间120分钟，满分150分 一、填空题（1-6每小题4分，7-12每小题5分，总54分） 【1题答案】 【答案】 【2题答案】 【答案】1 【3题答案】 【答案】 【4题答案】 【答案】 【5题答案】 【答案】 【6题答案】 【答案】 【7题答案】 【答案】 【8题答案】 【答案】 【9题答案】 【答案】 【10题答案】 【答案】6 【11题答案】 【答案】 【12题答案】 【答案】 二、选择题（13-14每小题4分，15-16每小题6分，总18分） 【13题答案】 【答案】A 【14题答案】 【答案】B 【15题答案】 【答案】D 【16题答案】 【答案】C 三、解答题 【17题答案】 【答案】（1） （2） ，反向 【18题答案】 【答案】（1） （2） 【19题答案】 【答案】（1）对称轴方程为； 单调增区间为. （2）. 【20题答案】 【答案】（1） （2） （3）， 【21题答案】 【答案】（1），函数最小正周期为. （2）实数m的取值范围为. （3）对任意的，存在唯一的使成立，理由如下： 若，则， 故函数在上单调递增，且， 所以对任意的，， 又当时， 所以方程有解，又函数在上单调递增， 所以对任意的，存在唯一的使成立. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $