上海市光明中学2024-2025学年高三第二学期期中考试数学试卷

光明中学2024学年期中考试监测 数学试卷 (完成试卷时间：120分钟总分：150分) 一、填空题.(12题，54分) 1.若集合A=,4],B=[2,5],则AUB= 2.抛物线C:y=4x的焦点到准线的距离为 3.若a=(3cos8,sin0),i=(cose,3sin0),其中6∈R,则a.i= 4.已知复数：满足：+22=3-i,则二的模为 5.设公比为2的等比数列{a,}的前n项和为Sn,若S24-S02=6,则44二 6.若长方体ABCD-AB,CD的体积是120，E为棱CC的中点，则三棱锥E-BCD的体 积是 7.已知等比数列的前n项和为S +a,则a的值为 8.在下列关于实数a、b的四个不等式中，恒成立的是 (请填入全部正确的序 号) ①a+b≥2√ab;② (a+b ≥ab;③la-b|sa-b；④a2+b2≥2b-1. 、2 9.正四棱锥P-ABCD底面边长为2，高为3，则点A到不经过点A的侧面的距离为 10,双曲线r:x- 6 =1的左右焦点分别为E、F,过坐标原点的直线与「相交于A、B 两点，若FB=2F,则FA·F,B= 11.对于任意的x、∈R,且x>0,不等式e4-x+lnx3-x>a恒成立，则实数a的取值 范围为 12.己知空间中有2个相异的点，现每增加一个点使得其与原有的点连接成尽可能多的等边 三角形.例如，空间中3个点最多可连接成1个等边三角形，空间中4个点最多可连接成4个 等边三角形当增加到8个点时，空间中这8个点最多可连接成 个等边三角形 二、选择题.(4题，18分) 13.某学校为了解学生参加体育运动的情况，用分层抽样的方法作抽样调查，拟从初中部和 高中部两层共抽取40名学生，已知该校初中部和高中部分别有500和300名学生，则 不同的抽样结果的种数为() A.C3o+Co B.Can·Co C.C0+0 D.CC 14.下列说法不正确的是(). (A)一组数据10,11,11,12,13,14,16,18,20,22的第60百分位数为14 B)若随机变量X服从正态分布N(3,σ)，且P(X≤4)=0.7，则P(3<X<4)=0.2 (C)若线性相关系数越接近1，则两个变量的线性相关程度越高 ①)对具有线性相关关系的变量x、y,且回归方程为y=0.3x-,若样本点的中心 为(1m,2.8),则实数的值是-4 15.设a>1,则双曲线 2(a+1)2 =1的离心率e的取值范围是( A.(W2,2); B.(2,V5): C.(2,5): D.(2,V5). 16已知f6)=mx,集合D=[牙孕，I={x川2f)+f0)=0,x.yeD, 2={(x,y)川2f(x)+fy)≥0，x,y∈D} 关于下列两个命题的判断，说法正确的是( ) 命题①：集合厂表示的平面图形是中心对称图形： 命题②：集合2表示的平面图形的面积不大于5 12 (A)①真命题：②假命题 (B)①假命题：②真命题 (C)①真命题；②真命题 (D)①假命题：②假命题 三、解答题.(5题，78分) 17.(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分. 设a∈R,函数f9=2-i 2"+a (1)求a的值，使得y=f(x)为奇函数： (2)若f(2)=a,求满足f(x)>a的实数x的取值范围. 18.（本题满分14分)本题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分. 如图，在四棱锥PABC中，底面ABCD为矩形，点E是棱PD上的一点，PB∥平面AEC. (1)求证：点E是棱PD的中点： (2)若PA⊥平面ABCD,AP=2,AD=2W3,PC与平面ABCD所成角的正切值 为；求面角D-4B-C的大小 A D B 19.(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分. 有标号依次为1,2，.，n(n≥2，n∈N)的n个盒子，标号为1号的盒子里有3个 红球和3个白球，其余盒子里都是1个红球和1个白球.现从1号盒子里取出2个球放入2 号盒子，再从2号盒子里取出2个球放入3号盒子，.，依次进行到从-1号盒子里取出2 个球放入n号盒子为止. (1)当=2时，求2号盒子里有2个红球的概率： (2)设n号盒子中红球个数为随机变量Xm,求X3的分布及[x],并猜想E[x]的 值（无需证明此猜想）， 20.(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题 满分8分. 江南某公园内正在建造一座跨水拱桥.如平面图所示，现已经在地平面以上造好了一个 外沿 直径为20米的半圆形拱桥洞，地平面与拱桥洞外沿交于点A与点B.现在准备以地平面 上的点 C与点D为起点建造上、下桥坡道，要求：①BD=AC:②在拱桥洞左侧建造平面 图为直线 的坡道，坡度为1：2√2（坡度为坡面的垂直高度和水平方向的距离的比）；③在拱桥洞右 侧建造平 面图为圆弧的坡道；④在过桥的路面上骑车不颠簸 (I)请你设计一条过桥道路，画出大致的平面图，并用数学符号语言刻画与表达出来： (2)并按你的方案计算过桥道路的总长度；（精确到0.1米） (3)若整个过桥坡道的路面宽为10米，且铺设坡道全部使用混凝土.请设计出所铺设 路面的相关几何体，提出一个实际问题，写出解决该问题的方案，并说明理由（如果需要， 可通过假设的运算结果列式说明，不必计算). D 20米 21.(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分7分，第3小题 满分7分. 已知定义在(0，+o)上的函数y=f(x)的表达式为f(x)=sinx-xcosx,其所有的 零点按从小到大的顺序组成数列{x,}(n≥l,n∈N)· (1)求函数y=f(x)在区间(0，π)上的值域： (2)求证：函数y=f(x)在区间(m,(n+1)元)(n≥l,neN)上有且仅有一个零 点： 3)求证：π<x1飞<m+1)刀 2 参考答案： 1.[1,5]2.23.34.√5；5.4：6.10：7.-1： 8.②③④：9. 3W10 7.-1; 8.②@④：9.3 5:10.4:1.(-0,2):12.20 13-16:BADA 17.(本思满分14分)本趣共有2个小题，第1小趣满分6分，第2小思满分8分 解：(1)由f(x)为奇函数，可知f八-)=-f, 即-0+20--(2+a可，解得a=1, 22-)对一切非零实数x饲成立， 当a=1时.心，2 故a=1时，y=fx)为奇函数 (2)由f但=a.可得4+e=a,解得a=2, 3 所a号2-012<4 一0<x<2,所以满足f(x)>a的实数x的取值范围是(0,2)」 18.(本题满分14分)本题共有2小题，第小思满分6分，第小题满分8分. 解：(I)连接BD,它与AC交于点F,连接EF, :四边形ABCD为矩形，∴.F为BD的中点， :PB∥平面ABC,平面PBD经过PB且与平面 AEC交于EF,∴.PB∥EF, 又点F是BD的中点，：点E是棱PD的中点」 (2):PA⊥平面ABCD,PA⊥AC,PA⊥AD,PA⊥CD且∠PCA就是PC与平面 ABCD所成的角，故tamn∠PCA=PA- 2 1 3 解得AB=2√6 AC2)+AB 四边形ABCD为矩形，，AD⊥CD,又PA⊥CD,PA与AD 是平面PAD内的两相交直线，CD⊥平面PAD,在平面PAD 内作DG⊥AE,垂足为G,连GF,则CG⊥AE,.∠CGD是 二面角D-AE-C的平面角 在直角三角形PAD中，PA=2,AD=2√5，点E是PD的中点， 19.(1)由题可知2号盒子里有2个红球的概率为P=CxC=3 C%5 …5分 ②由题可知x可取123.PX,=1)=S+cS,S-{ …7分 x=-得+答是 …9分 P(X3=2)=1-P(X3=1)-P(X3=3)= 3 11分 123 所以3号盒子里的红球的个数X?的分布列为 131 …12分 55 B[X]=1x2+2x2+3x 3 1 =2. …13分 5 5 猜想[X,n]=2. …14分 20.解1：如图，以线段AB的中点O为坐标原点建立平面直角坐标系.1 分 20米 .2分 则，圆O的方程为x2+y2=100: 由tanC= OE=10得CE=20v2,C0=30. 2√2 1 过点C作圆O的切线DE,切点为E,直线CE的斜率为 其方程为 226+30. y= 所以直线OE的斜率为-2W2,其方程为y=-2W2x,将其代入x2+y2=100,得 点E的坐标为 1020W2 3’3 经过点D作圆M与圆O切于点F(圆O与y轴的交点)，设圆M的半径为r, 则，OD2+OM2=DM2,即30+(r-10)2=r2,解得r=50. 所以，圆M的方程为x2+(y+40)2=50, 故 用函数表示过桥道路为： 25r+30,-30≤x<-10 J= 100-,9s ≤x<0, 3 3分 V2500-x2-40,0≤x≤30 1020W2 (2)解1：由点E的坐标为 33 得∠E0P=7-arctan2W2, 所 以 圆 弧 EF 的 长 为 10 ≈3.398， 2 -arctan2√2 .2分 3 由点D的坐标为(30,0)，点M的坐标为(0，-40)，得∠DMF=arctan 所 以 圆 弧 FD 的 长 为 3 50 arctan2≈32.175， 4 .2分 故 过 桥 道 路 的 总 长 度 为 2w+1dfg-aam22） 3 +50 arctan≈63.9m. .2分 解 (1) 如 图 建 系 G ..1 分 D 20米 ....2 分 作圆N与x轴相切于点D,并和圆O切于点G,设圆M的半径为r, 则，OD2+DN2=ON2,即302+r2=(+10)2,解得r=40. 所以，圆N的方程为(x-30)2+(y-40)2=40, 将直线OG的方程代入x2+y2=100得，点G的坐标为(6,8) 2W26+30,-30sx<-10 政，用函数表示过桥通路为10-x。学 ≤x<6, .3 40-V1600-(x-30),6≤x≤30 分 (2)因为OE 1020W2 33 0G=(6,8), OE.OG 则c0s(OE,OG -3+82, OOG 15 即，OE,0G=ac0s-3+8V2 15 所 以 圆 弧 EG 的 长 为 -3+8V2 10arccos ≈9.833 15 …2分 又由点G的坐标为(6,8)，得∠OND= 2-arctan4, 4 3 所 以 圆 弧 GD 的 长 为 40 4 -arctan ≈25.740. (2 3 .2分 故 9 过 桥 道 路 的 总 长度 为 20v2+10arccos -3+8V 2+40-arctan ≈63.91m. .2分 15 2 3 (3)设计让桥的侧面所在平面垂直于地平面，则桥拱左侧铺设的是以曲边形ACE为底面， 高为10米的柱体：桥拱右侧铺设的是以曲边形BDF(BDG)为底面，高为10米的柱 体： .2分 提问：铺设坡道共需要混凝土多少立方 米？ .…2分 方案1：S曲边形AC8=SAco8-S扇形AOB S曲边形BDF=S扇形DMn-SADOM-S扇形BOR 所以，铺设过桥路需要混凝 土 10(SSCOD-S扇形A0c+S扇形DMg-SADOM-S扇形BOF)m3..2分 方案2：S自边形4Cg=Sao8-S月形40E S曲边形BDG=SAODN-S扇形DwG-S尉形BoG 所以 ，铺设过桥路需要混凝土 10(SSCOD-S扇形AOc+SODN-S扇形Dwc-S扇形BOr)m3.2分 21.[解](1)由f'(x)=c0sx-(cosx-xsinx)=xsinx,.2分 当x∈(0，π)时，'(x)>0,即函数y=f(x)在区间(0，π)上是严格增函数， 且f(0)=0,f(π)=π， 所以f(x)在区间(0，π)上的值域为(0，π)： ..4分 (2)当x∈(m,(n+1)π)时， ①当n是偶数时，'(x)>0, 函数y=f(x)在区间(m,(n+1)π)上是严格增函数：6分 ②当n是奇数时，f'(x)<0, 函数y=f(x)在区间(m,(n+1)π)上是严格减函数： ....8分 且f(m)=(-1)nm,故f(n元小f（(n+1)元)=-n(n+1)元2<0， 所以由零点存在定理可知， 函数y=f(x)在区间(nm,(n+1)π)上有且仅有一个零点.l0分 (3)由(2)可知函数f(x)在(m,(n+1)元)上有且仅有一个零点x, 且满足f(x)=sinx-x,cosx=0,即tanx,=x,(几何意义：x是y=tanx与y=x 交点的横坐标) .12分 -m<0, 所以由零点存在性定理可知， 函数y=f(x)在nm,nm+ 上有且仅有一个零点x, 2 tan(x1-(x+元)刃=t(x-无)厂1+tan1 tax.+戈 tanx-tanx X+1一1 .14分 ①因为x+1-x,>0,得tan(x#1-(x,+π)月>0 所以x+1-(x+元)>0，即π<x+1-x: (或者tanx+1-tan(xn+元)=tanx+l-tanx=x+1-x,>0 →tanx+1>tan(x,+元)→+1-x,>π） .16分 3 3 3 ②因为tam(化+π月2云 由可划当x02}时.有m 故1-（化+元）Kam(x1-(,+z)<2,所以x1-x<元+2： n (n+1)π 由①②可知π<xH1-X,< .18分