精品解析：上海市卢湾高级中学2025-2026学年第二学期高三期中考试数学试卷

卢湾高级中学2025学年高三期中数学试卷 （时间120分钟，满分150分） 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果. 1. 已知复数（为虚数单位），则____________． 2. 不等式的解集为___________． 3. 抛物线上一点到点的距离最小值为____________． 4. 已知集合，则__________. 5. 已知随机变量，且，则__________. 6. 3个男孩和3个女孩站成一排做游戏，3个女孩不相邻的站法种数为__________. 7. 已知集合，且，则实数的值为______. 8. 在数列中，，且，则__________. 9. 某公司为了了解某商品的月销售量单位：万件与月销售单价单位：元件之间的关系，随机统计了个月的销售量与销售单价，并制作了如下对照表： 月销售单价元件 月销售量万件 由表中数据可得回归方程中，试预测当月销售单价为元件时，月销售量为______万件. 10. 学生到工厂劳动实践，利用打印技术制作模型，如图所示.该模型为长方体中挖去一个四棱锥，其中为长方体的中心，，，，分别为所在棱的中点，，，打印所用原料密度为.不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为____________. 11. 点是棱长为1的正方体棱上一点，则满足的点的个数为______. 12. 函数的图像记为曲线F，如图所示.A，B，C 是曲线与坐标轴相交的三个点，直线BC与曲线的图像交于点，若直线的斜率为，直线的斜率为，，则直线的斜率为____________.(用，表示) 二、填空题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接涂写结果. 13. 欧拉公式把自然对数的底数，虚数单位，三角函数和联系在一起，被誉为“数学的天桥”.若复数满足，则（ ） A. B. C. D. 14. 已知随机变量X服从正态分布，若，则（ ） A. B. C. D. 15. 已知直线、、与平面、，下列命题正确的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 16. 数列中，是其前项的和，若对任意正整数，总存在正整数，使得，则称数列为“某数列”现有如下两个命题：①等比数列为“某数列”；②对任意的等差数列，总存在两个“某数列”和，使得.则下列选项中正确的是（ ） A. ①为真命题，②为真命题 B. ①为真命题，②为假命题 C. ①为假命题，②为真命题 D. ①为假命题，②为假命题 三、解答题（本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分）需要写出相应的过程. 17. 已知是公差为2的等差数列，其前5项和为是公比为实数的等比数列，. （1）求和的通项公式； （2）设，计算. 18. 某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表（单位：天）： 锻炼人次 空气质量等级　　　 1（优） 3 18 25 2（良） 6 14 3（轻度污染） 5 5 6 4（中度污染） 6 3 0 （1）求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； （2）若某天的空气质量等级为或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或4，则称这天“空气质量不好”.根据所给数据，完成下面的列联表，请根据表中的数据判断：一天中到该公园锻炼的人次是否与该市当天的空气质量有关？（规定显著性水平） 人次≤400 人次>400 总计 空气质量好 空气质量不好 总计 附：，. 19. 某企业监控汽车零件的生产过程，现从汽车零件中随机抽取100件作为样本，测得质量差（零件质量与标准质量之差的绝对值）的样本数据如下表： 质量差（单位：） 54 57 60 63 66 件数（单位：件） 5 21 46 25 3 （1）求样本质量差的平均数；假设零件的质量差，其中，用作为的近似值，求的值； （2）已知该企业共有两条生产汽车零件的生产线，其中全部零件的来自第1条生产线.若两条生产线的废品率分别为0.016和0.012，且这两条生产线是否产出废品是相互独立的.现从该企业生产的汽车零件中随机抽取一件. （i）求抽取的零件为废品的概率； （ii）若抽取出的零件为废品，求该废品来自第1条生产线的概率. 参考数据：若随机变量，则. 20. 已知双曲线的左、右顶点分别为、，设点在第一象限且在双曲线上，为坐标原点. （1）求双曲线的两条渐近线夹角的余弦值； （2）若，求的取值范围； （3）椭圆的长轴长为，且短轴的端点恰好是、两点，直线与椭圆的另一个交点为记、的面积分别为、求的最小值，并写出取最小值时点的坐标. 21. 函数的表达式为. （1）若，直线与曲线相切于点，求直线的方程； （2）函数的最小正周期是，令，将函数的零点由小到大依次记为，证明：数列是严格减数列； （3）已知定义在上的连续奇函数满足，对任意，当时，都有且.记，.当时，是否存在，使得成立？若存在，求出符合题意的；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 卢湾高级中学2025学年高三期中数学试卷 （时间120分钟，满分150分） 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果. 1. 已知复数（为虚数单位），则____________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据复数的四则运算法则计算即可. 【详解】. 故答案为：. 2. 不等式的解集为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据绝对值的意义即可求解. 【详解】由， 得， 解得， 即不等式的解集为， 故答案为： 3. 抛物线上一点到点的距离最小值为____________． 【答案】1 【解析】 【分析】在抛物线上任取一点，计算它到定点的距离，求其最小值即得. 【详解】设抛物线上一点，则点到点的距离为， 因,则，故当时，抛物线上任一点到点的距离最小值为1. 故答案为：1. 4. 已知集合，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】先求出集合，再根据交集的定义即可得解. 【详解】， ， 所以. 故答案为：. 5. 已知随机变量，且，则__________. 【答案】12 【解析】 【分析】利用二项分布方差和期望的公式求解即可. 【详解】随机变量， ， ， 则. 故答案为：12 6. 3个男孩和3个女孩站成一排做游戏，3个女孩不相邻的站法种数为__________. 【答案】144 【解析】 【分析】利用插空法求解即可. 【详解】先将3个男孩站成一排，有种方法， 将3个女孩插入3个男孩形成的4个空位中，有种方法， 故一共有：种. 故答案为：144 7. 已知集合，且，则实数的值为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用元素与集合的关系，结合集合元素的性质求解即得. 【详解】由集合，且，得或，解得或， 当时，，符合题意， 当时，且，与集合元素的互异性矛盾， 所以实数的值为0. 故答案为： 8. 在数列中，，且，则__________. 【答案】4 【解析】 【分析】利用递推公式累加即可求解. 【详解】由题意可得， 所以，，……，， 累加得， 所以， 故答案为：4 9. 某公司为了了解某商品的月销售量单位：万件与月销售单价单位：元件之间的关系，随机统计了个月的销售量与销售单价，并制作了如下对照表： 月销售单价元件 月销售量万件 由表中数据可得回归方程中，试预测当月销售单价为元件时，月销售量为______万件. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定数表求出样本中心点，再代入回归直线求出参数即可求得结果. 【详解】依题意，，， 所以样本中心点坐标为，代入回归方程得，， 解得， 所以回归方程为， 当时，， 即当月销售单价为元件时，月销售量约为万件. 故答案为： 10. 学生到工厂劳动实践，利用打印技术制作模型，如图所示.该模型为长方体中挖去一个四棱锥，其中为长方体的中心，，，，分别为所在棱的中点，，，打印所用原料密度为.不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为____________. 【答案】 【解析】 【分析】根据几何体形状分别求出长方体体积和四棱锥的体积，相减得出模型体积即可求得所需原料的质量. 【详解】易知四棱锥的底面积， 高为， 所以四棱锥的体积为， 长方体为， 因此该模型的体积为， 所以该模型所需原料的质量为. 故答案为： 11. 点是棱长为1的正方体棱上一点，则满足的点的个数为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据正方体的性质，结合勾股定理求解判断即可. 【详解】若点在上时，设，， 则，解得. 同理结合正方体的对称性，若点在，，，，上时，存在点满足条件. 若点在上时，设，， 则， 整理得，， ，无实数解. 同理结合正方体的对称性，若点在，，，，上时，不存在满足条件的点. 综上满足的点的个数为6. 12. 函数的图像记为曲线F，如图所示.A，B，C 是曲线与坐标轴相交的三个点，直线BC与曲线的图像交于点，若直线的斜率为，直线的斜率为，，则直线的斜率为____________.(用，表示) 【答案】 【解析】 【分析】根据正弦函数的图象与性质写出的坐标，求出，然后确定它们的关系． 【详解】由题意，，则，， ，由得，则， ，，， 所以，又，所以， 故答案为：． 二、填空题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接涂写结果. 13. 欧拉公式把自然对数的底数，虚数单位，三角函数和联系在一起，被誉为“数学的天桥”.若复数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用欧拉公式，复数的除法运算求出复数，再求出复数的模. 【详解】由欧拉公式得，因此化为， 则，即， 所以. 故选：A 14. 已知随机变量X服从正态分布，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，利用正态分布曲线的对称性，结合，即可求解. 【详解】由随机变量X服从正态分布， 因为，可得， 所以. 故选：A. 15. 已知直线、、与平面、，下列命题正确的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】D 【解析】 【分析】利用线线，线面，面面的位置关系，以及垂直，平行的判断和性质判断选项即可. 【详解】对于A，若，，，则与可能平行，也可能异面，故A错误； 对于B，若，，则与可能平行，也可能相交，故B错误； 对于C，若，，则与可能平行，也可能相交或异面，故C错误； 对于D，若，则由线面平行的性质定理可知，必有，使得， 又，则，因为，所以，故D正确. 故选：D. 16. 数列中，是其前项的和，若对任意正整数，总存在正整数，使得，则称数列为“某数列”现有如下两个命题：①等比数列为“某数列”；②对任意的等差数列，总存在两个“某数列”和，使得.则下列选项中正确的是（ ） A. ①为真命题，②为真命题 B. ①为真命题，②为假命题 C. ①为假命题，②为真命题 D. ①为假命题，②为假命题 【答案】C 【解析】 【分析】利用等比数列前n项和公式计算，再建立方程并判断①；求出等差数列的通项，再拆分成两个等差数列，结合等差数列前n项和建立方程判断②. 【详解】对于①，由等比数列，得， 若对任意正整数，总存在正整数，使得，则，即，显然不成立，①为假命题； 对于②，设等差数列的公差为，则. 令，，则， 下面证是“某数列”. 设的前项和为，则， 于是对任意的正整数，总存在正整数，使得，所以是“某数列”. 同理，可证也是“某数列”. 所以对任意的等差数列，总存在两个“某数列”和，使得成立，故②为真命题. 故选：C 【点睛】关键点睛：涉及数列新定义问题，关键是正确理解给出的定义，由给定的数列结合新定义探求数列的相关性质，并进行合理的计算、分析、推理等方法综合解决. 三、解答题（本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分）需要写出相应的过程. 17. 已知是公差为2的等差数列，其前5项和为是公比为实数的等比数列，. （1）求和的通项公式； （2）设，计算. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据等差数列前n项和公式求出；根据等比数列通项公式求出q；从而可得和的通项公式； （2）求出，根据其为等比数列，利用等比数列前n项和公式即可求解． 【小问1详解】 ∵，且，∴， ∴． 设等比数列的公比为 ∵，且，∴，∴， ∴． 【小问2详解】 由题可知，， 为等比数列求和，首项为，公比为4， ∴． 18. 某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表（单位：天）： 锻炼人次 空气质量等级　　　 1（优） 3 18 25 2（良） 6 14 3（轻度污染） 5 5 6 4（中度污染） 6 3 0 （1）求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； （2）若某天的空气质量等级为或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或4，则称这天“空气质量不好”.根据所给数据，完成下面的列联表，请根据表中的数据判断：一天中到该公园锻炼的人次是否与该市当天的空气质量有关？（规定显著性水平） 人次≤400 人次>400 总计 空气质量好 空气质量不好 总计 附：，. 【答案】（1）350 （2）列联表为： 人次≤400 人次>400 总计 空气质量好 36 39 75 空气质量不好 19 6 25 总计 55 45 100 ，一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关【解析】 【分析】（1）根据加权平均数公式计算即得； （2）根据表格信息完成列联表，计算出的值，将其与小概率对应的比较即得结论. 【小问1详解】 由题知，一天中到该公园锻炼的平均人次约为：，即一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值为. 【小问2详解】 根据所给数据，计算出，则完成列联表为： 人次≤400 人次>400 总计 空气质量好 36 39 75 空气质量不好 19 6 25 总计 55 45 100 假设一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量无关. ， 由可得，原假设不成立， 即一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关. 19. 某企业监控汽车零件的生产过程，现从汽车零件中随机抽取100件作为样本，测得质量差（零件质量与标准质量之差的绝对值）的样本数据如下表： 质量差（单位：） 54 57 60 63 66 件数（单位：件） 5 21 46 25 3 （1）求样本质量差的平均数；假设零件的质量差，其中，用作为的近似值，求的值； （2）已知该企业共有两条生产汽车零件的生产线，其中全部零件的来自第1条生产线.若两条生产线的废品率分别为0.016和0.012，且这两条生产线是否产出废品是相互独立的.现从该企业生产的汽车零件中随机抽取一件. （i）求抽取的零件为废品的概率； （ii）若抽取出的零件为废品，求该废品来自第1条生产线的概率. 参考数据：若随机变量，则. 【答案】（1）， （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）先求出，再利用正态曲线的对称性求解； （2）（i）利用全概率公式求解；（ii）利用条件概率公式求解． 【小问1详解】 由题意可知， 则， 所以 ； 【小问2详解】 （i）设事件表示“随机抽取一件该企业生产的该零件为废品”， 事件表示“随机抽取一件零件为第1条生产线生产”， 事件表示“随机抽取一件零件为第2条生产线生产”， 则，，，， 所以； （ii）因为， 所以， 所以． 20. 已知双曲线的左、右顶点分别为、，设点在第一象限且在双曲线上，为坐标原点. （1）求双曲线的两条渐近线夹角的余弦值； （2）若，求的取值范围； （3）椭圆的长轴长为，且短轴的端点恰好是、两点，直线与椭圆的另一个交点为记、的面积分别为、求的最小值，并写出取最小值时点的坐标. 【答案】（1）； （2）； （3），. 【解析】 【分析】（1）利用双曲线的渐近线方程及其方向向量，再利用向量的夹角公式计算得解. （2）设出点的坐标，利用数量积及向量模的坐标表示，结合双曲线有范围求解即得. （3）求出椭圆方程，设出直线方程，与椭圆、双曲线方程联立分别求出点的坐标，再建立的关系式，利用基本不等式求解即得. 【小问1详解】 双曲线的两条渐近线方程为，则它们的方向向量， 设两条直线夹角为，则， 所以双曲线的两条渐近线夹角的余弦值为. 【小问2详解】 设，，显然、，，， 则，即，又点在双曲线上，有，即， 从而，解得，而点是双曲线在第一象限的点，则， ， 所以. 【小问3详解】 在椭圆中，，焦点在轴上，标准方程为， 设，，直线的斜率为，， 则直线的方程为， 由，得，该方程的两根分别为和， 由，得，同理，于是， 记，， 则 ，当且仅当即时取等号， 所以的最小值为，此时点的坐标为. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法： ①几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决； ②代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围． 21. 函数的表达式为. （1）若，直线与曲线相切于点，求直线的方程； （2）函数的最小正周期是，令，将函数的零点由小到大依次记为，证明：数列是严格减数列； （3）已知定义在上的连续奇函数满足，对任意，当时，都有且.记，.当时，是否存在，使得成立？若存在，求出符合题意的；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）； （2）证明如下： 由，得，则，令，得， ①当时，，此时函数没有零点； ②当时，由，知在上严格单调递增，在严格单调递减， 又在上严格单调递增，在严格单调递减， 因此时，在时有最小值，在时有最大值， 因为， 所以在上没有交点，即在上没有零点； 于是函数的零点满足， 因为在严格减，所以， 又因为，所以数列是严格减数列. （3）不存在，理由如下： 因为， 所以是以为周期的周期函数， 因为任意，当时，都有且， 所以当时，在上有唯一的最大值， 由，得，，， 假设存在，使得成立， 即成立， 故当时，取得最大值； 当时，取得最大值， 由，可知 ①时，， 又因为是奇函数，所以当时，在上有唯一的最小值， 故当时，取得最小值； 当时，取得最小值， 由，可知 ②时，， 若成立， 则由①②得：，即， 因为，，，，此时等式左边为奇数，等式右边为偶数，所以等式不成立， 因此当时，不存在，使得成立. 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，利用导数的几何意义求出切线方程. （2）由函数零点的意义可得，按分段，结合导数讨论函数值的情况即可得证. （3）求出函数的周期及在上的最大值，结合的奇偶性确定的最值情况，推理导出矛盾得解. 【小问1详解】 当时，，求导得，则， 所以直线的方程是. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】结论点睛：函数y=f(x)是区间D上的可导函数，则曲线y=f(x)在点处的切线方程为：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $