第四单元 第7课时 外方内圆和外圆内方中正方形与圆的面积关系（教学设计）-2026-2027学年六年级上册数学人教版

第四单元 第7课时 外方内圆和外圆内方中正方形与圆的面积关系 教学设计

 

课程基本信息:
学科·版本	数学·人教版	授课班级		授课教师
年    级		学    期		单    元	四
课    题	第7课时 外方内圆和外圆内方中正方形与圆的面积关系

一、教材内容分析

1.知识内涵

（1）本课时内容是圆面积计算的拓展应用，在学生掌握圆面积公式后，探究“外方内圆”“外圆内方”中正方形与圆的面积关系，为组合图形面积计算及后续几何问题解决奠定基础。

（2）内容通过“阅读理解”明确图形定义，“分析解答”用表格呈现不同半径下的面积数据及比例关系，“回顾反思”通过叠放图揭示大小正方形面积倍数关系，“结论”总结固定比例；“做一做”以实际问题（已知正方形面积求圆和涂色面积）巩固规律应用。

（3）编排特点：从具体实例（半径1、2、3）归纳抽象规律（固定比例），逻辑线索为“图形关系理解→面积计算与对比→规律总结→应用规律解决问题”，注重从特殊到一般的认知过程。

2.素养内涵

本课时承载几何直观、推理意识、模型意识、应用意识等核心素养，具体表现如下：

（1）几何直观：通过插图直观展示“外方内圆”（直径=边长）、“外圆内方”（对角线=直径）的图形关系，帮助学生理解面积计算的依据。

（2）推理意识：通过表格中多组数据的计算与对比，归纳出圆面积与正方形面积的固定比例（外方内圆为，外圆内方为），体现归纳推理；将外圆内方的正方形拆分为两个三角形计算面积，体现演绎推理。

（3）模型意识：建立“外方内圆正方形面积=4r²”“外圆内方正方形面积=2r²”的数学模型，利用模型解决“已知正方形面积求圆面积”的问题。

（4）应用意识：通过“做一做”解决涂色面积计算问题，将抽象规律应用于实际情境，体现数学的实用性。

二、教学目标

经历探究外方内圆、外圆内方关系的过程，掌握面积比例（、），能解决相关面积问题。

通过分析图形关系与计算比较，提升空间观念和逻辑推理能力。

体会几何图形的联系与规律，培养用数学眼光观察思考的素养。

三、教学重难点

1.教学重点 掌握外方内圆（圆面积是正方形面积的）和外圆内方（圆面积是正方形面积的）的面积关系，会根据正方形面积求圆面积。

2.教学难点 理解外圆内方中正方形面积的计算方法，以及从正方形面积推导圆面积的思维过程。

四、课堂导入 直观演示多媒体导入法：

教师活动：播放中国古代铜钱的特写动态视频，最后定格在铜钱的轮廓简化图上，提问：“同学们，观察这个轮廓，你能找出我们已经学过的平面图形吗？”

 学生活动：仔细观察后踊跃举手，回答说轮廓里有正方形和圆形两种图形。

教师过渡：两种熟悉的图形组合在一起，藏着很有意思的面积规律，今天我们就一起来探究它。

【设计意图：用传统物件直观呈现图形组合，激活学生对圆、正方形面积的已有认知，引发好奇心，指向本节课的探究目标。】

五、探究新知

学习任务一 探究外方内圆中正方形与圆的面积关系

活动1：观察图形，明确边长与直径的联系

教师活动：出示“外方内圆”插图（正方形内最大的圆），提问

核心问题：“同学们观察这个图形，正方形的边长和圆的直径之间有什么关系？”

学生活动：仔细观察图形，结合插图中的虚线提示，举手回答：“正方形的边长等于圆的直径，也就是2r（r是圆的半径）。”

教师活动：点头确认，板书“正方形边长=圆的直径=2r”。

活动2：计算面积，归纳比值规律

教师活动：出示教材中外方内圆的面积表格（半径1、2、3），布置任务：“请大家根据半径，分别计算圆的面积和正方形的面积，再算出圆面积是正方形面积的几分之几。”学生活动：独立计算（圆面积用πr²，正方形面积用²），小组内交流结果，发现无论半径是多少，比值均为。教师活动：请小组代表汇报数据，引导学生总结：“外方内圆中，圆面积始终是正方形面积的。”

【设计意图：通过观察图形建立直观联系，再通过计算和数据分析归纳规律，让学生经历“观察—计算—归纳”的知识形成过程，培养几何直观和归纳推理能力，突破外方内圆面积关系的重难点，指向核心素养中的推理意识和空间观念。】

学习任务二 探究外圆内方中正方形与圆的面积关系

活动1：分解图形，推导正方形面积公式

教师活动：出示“外圆内方”插图（圆内最大的正方形），提问核心问题：“圆内最大的正方形，它的面积怎么计算？能不能转化为我们熟悉的图形？”

学生活动：尝试画图分解，在教师提示“连接正方形对角线”后，发现正方形可分成两个三角形，三角形的底是圆的直径2r，高是半径r。教师活动：引导计算：“每个三角形面积是，两个三角形面积之和就是正方形面积，即。”

活动2：计算面积，发现比值规律

教师活动：出示外圆内方的面积表格，让学生计算圆面积（πr²）和正方形面积（2r²），并求比值。学生活动：计算后发现，无论半径是多少，比值均为。教师活动：总结：“外圆内方中，圆面积是正方形面积的。”

【设计意图：通过转化思想将正方形面积转化为三角形面积计算，渗透“化未知为已知”的数学方法，培养学生的空间观念和问题解决能力，指向核心素养中的空间观念和运算能力。】

六、课堂练习

1.外方内圆中，圆的半径是3cm，正方形的面积是多少？圆面积是正方形面积的几分之几？

2.外圆内方中，圆的半径是2cm，正方形的面积是多少？圆面积是正方形面积的几分之几？

3.已知“外方内圆”的正方形面积是36cm²，求圆的面积（π取3.14）。

4.已知“外圆内方”的圆半径是4cm，求正方形的面积和圆面积比正方形面积多多少（π取3.14）？