第四单元 第7课时 外方内圆和外圆内方中正方形与圆的面积关系（教学设计）-2026-2027学年六年级上册数学人教版

该小学数学教学设计聚焦外方内圆和外圆内方中正方形与圆的面积关系，通过中国古代铜钱动态视频导入，直观呈现图形组合，激活圆和正方形面积的已有认知，搭建从具体到抽象的学习支架。 以核心素养为导向，通过几何直观（插图展示图形关系）、推理意识（表格数据归纳比例规律）设计教学，采用从特殊到一般的探究方法（半径1、2、3实例归纳比例），帮助学生提升空间观念和逻辑推理能力，为教师提供清晰教学流程和实用练习设计。

第四单元 第7课时 外方内圆和外圆内方中正方形与圆的面积关系 教学设计 课程基本信息: 学科·版本 数学·人教版 授课班级 授课教师 年 级 学 期 单 元 四 课 题 第7课时 外方内圆和外圆内方中正方形与圆的面积关系 一、教材内容分析 1.知识内涵 （1）本课时内容是圆面积计算的拓展应用，在学生掌握圆面积公式后，探究“外方内圆”“外圆内方”中正方形与圆的面积关系，为组合图形面积计算及后续几何问题解决奠定基础。 （2）内容通过“阅读理解”明确图形定义，“分析解答”用表格呈现不同半径下的面积数据及比例关系，“回顾反思”通过叠放图揭示大小正方形面积倍数关系，“结论”总结固定比例；“做一做”以实际问题（已知正方形面积求圆和涂色面积）巩固规律应用。 （3）编排特点：从具体实例（半径1、2、3）归纳抽象规律（固定比例），逻辑线索为“图形关系理解→面积计算与对比→规律总结→应用规律解决问题”，注重从特殊到一般的认知过程。 2.素养内涵 本课时承载几何直观、推理意识、模型意识、应用意识等核心素养，具体表现如下： （1）几何直观：通过插图直观展示“外方内圆”（直径=边长）、“外圆内方”（对角线=直径）的图形关系，帮助学生理解面积计算的依据。 （2）推理意识：通过表格中多组数据的计算与对比，归纳出圆面积与正方形面积的固定比例（外方内圆为，外圆内方为），体现归纳推理；将外圆内方的正方形拆分为两个三角形计算面积，体现演绎推理。 （3）模型意识：建立“外方内圆正方形面积=4r²”“外圆内方正方形面积=2r²”的数学模型，利用模型解决“已知正方形面积求圆面积”的问题。 （4）应用意识：通过“做一做”解决涂色面积计算问题，将抽象规律应用于实际情境，体现数学的实用性。 二、教学目标 经历探究外方内圆、外圆内方关系的过程，掌握面积比例（、），能解决相关面积问题。 通过分析图形关系与计算比较，提升空间观念和逻辑推理能力。 体会几何图形的联系与规律，培养用数学眼光观察思考的素养。 三、教学重难点 1.教学重点 掌握外方内圆（圆面积是正方形面积的）和外圆内方（圆面积是正方形面积的）的面积关系，会根据正方形面积求圆面积。 2.教学难点 理解外圆内方中正方形面积的计算方法，以及从正方形面积推导圆面积的思维过程。 四、课堂导入 直观演示多媒体导入法： 教师活动：播放中国古代铜钱的特写动态视频，最后定格在铜钱的轮廓简化图上，提问：“同学们，观察这个轮廓，你能找出我们已经学过的平面图形吗？” 学生活动：仔细观察后踊跃举手，回答说轮廓里有正方形和圆形两种图形。 教师过渡：两种熟悉的图形组合在一起，藏着很有意思的面积规律，今天我们就一起来探究它。 【设计意图：用传统物件直观呈现图形组合，激活学生对圆、正方形面积的已有认知，引发好奇心，指向本节课的探究目标。】 五、探究新知 学习任务一 探究外方内圆中正方形与圆的面积关系 活动1：观察图形，明确边长与直径的联系 教师活动：出示“外方内圆”插图（正方形内最大的圆），提问 核心问题：“同学们观察这个图形，正方形的边长和圆的直径之间有什么关系？” 学生活动：仔细观察图形，结合插图中的虚线提示，举手回答：“正方形的边长等于圆的直径，也就是2r（r是圆的半径）。” 教师活动：点头确认，板书“正方形边长=圆的直径=2r”。 活动2：计算面积，归纳比值规律 教师活动：出示教材中外方内圆的面积表格（半径1、2、3），布置任务：“请大家根据半径，分别计算圆的面积和正方形的面积，再算出圆面积是正方形面积的几分之几。”学生活动：独立计算（圆面积用πr²，正方形面积用²），小组内交流结果，发现无论半径是多少，比值均为。教师活动：请小组代表汇报数据，引导学生总结：“外方内圆中，圆面积始终是正方形面积的。” 【设计意图：通过观察图形建立直观联系，再通过计算和数据分析归纳规律，让学生经历“观察—计算—归纳”的知识形成过程，培养几何直观和归纳推理能力，突破外方内圆面积关系的重难点，指向核心素养中的推理意识和空间观念。】 学习任务二 探究外圆内方中正方形与圆的面积关系 活动1：分解图形，推导正方形面积公式 教师活动：出示“外圆内方”插图（圆内最大的正方形），提问核心问题：“圆内最大的正方形，它的面积怎么计算？能不能转化为我们熟悉的图形？” 学生活动：尝试画图分解，在教师提示“连接正方形对角线”后，发现正方形可分成两个三角形，三角形的底是圆的直径2r，高是半径r。教师活动：引导计算：“每个三角形面积是，两个三角形面积之和就是正方形面积，即。” 活动2：计算面积，发现比值规律 教师活动：出示外圆内方的面积表格，让学生计算圆面积（πr²）和正方形面积（2r²），并求比值。学生活动：计算后发现，无论半径是多少，比值均为。教师活动：总结：“外圆内方中，圆面积是正方形面积的。” 【设计意图：通过转化思想将正方形面积转化为三角形面积计算，渗透“化未知为已知”的数学方法，培养学生的空间观念和问题解决能力，指向核心素养中的空间观念和运算能力。】 六、课堂练习 1.外方内圆中，圆的半径是3cm，正方形的面积是多少？圆面积是正方形面积的几分之几？ 2.外圆内方中，圆的半径是2cm，正方形的面积是多少？圆面积是正方形面积的几分之几？ 3.已知“外方内圆”的正方形面积是36cm²，求圆的面积（π取3.14）。 4.已知“外圆内方”的圆半径是4cm，求正方形的面积和圆面积比正方形面积多多少（π取3.14）？ 5.外方内圆和外圆内方叠放时，大正方形（外方内圆的正方形）面积是小正方形（外圆内方的正方形）面积的几倍？ 如图为“外方内圆”（正方形内最大的圆，涂色部分为正方形减圆），正方形面积20cm²，求圆面积和涂色部分面积（π取3.14）。 七、课堂小结 今天我们认识了外方内圆和外圆内方两种组合图形。在外方内圆中，正方形里最大的圆的直径等于正方形边长，通过计算对比发现圆面积是正方形面积的；在外圆内方中，圆里最大的正方形的对角线等于圆直径，我们把正方形拆成两个三角形算出面积，发现圆面积是正方形面积的。我们还学会了利用正方形面积和半径平方的关系，解决已知正方形面积求圆面积的问题。这些结论都是通过观察图形关系、计算归纳得到的，大家要记得灵活运用这些知识哦！ 八、课后作业设计 基础性作业 1.已知圆的半径 ：（1）计算“外方内圆”中正方形和圆的面积；（2）计算“外圆内方”中正方形和圆的面积；（3）分别写出两种情况下圆面积是正方形面积的几分之几。 2.“外方内圆”图案中，正方形面积为 ，求圆的面积（）和涂色部分（正方形减圆）的面积。 3.“外圆内方”图案中，圆的直径是 ，求正方形的面积和圆与正方形的面积差（）。 拓展性作业 1.将“外方内圆”与“外圆内方”叠放（如教材回顾反思图），已知大正方形（外方内圆的正方形）面积为 ：（1）求中间圆的面积（）；（2）求小正方形（外圆内方的正方形）的面积。 2.生活应用：圆形餐垫直径为 ，要做一个“外方内圆”的布套（正方形布料包裹圆形餐垫），至少需要多少平方厘米的正方形布料？如果在布料四周缝上花边，花边长度是多少？ 参考答案 基础性作业 1.（1）外方内圆：正方形面积 ，圆面积 ；（2）外圆内方：正方形面积 ，圆面积 ；（3）外方内圆：，外圆内方：。设计意图：直接应用公式计算面积，巩固两种图形组合的核心比例关系，强化对基础概念的理解。 2.正方形面积 ，圆面积 ，涂色面积 。设计意图：模仿“做一做”题型，训练“已知正方形面积求 ”的关键转化能力，熟练计算阴影面积。 3.半径 ，正方形面积 ，圆面积 ，面积差 。设计意图：巩固外圆内方的正方形面积公式，提升面积差的计算能力。 拓展性作业 1.（1）大正方形面积 ，圆面积 ；（2）小正方形面积 。设计意图：综合运用叠放图形的关系（大正方形面积是小正方形的2倍），培养知识迁移和综合应用能力。 2.正方形边长 = 圆直径 ，布料面积 ；花边长度（正方形周长）。设计意图：联系生活实际，将“外方内圆”的边长关系转化为实际问题，提升应用意识和解决问题的能力。 九、板书设计 外方内圆 - 定义：正方形内最大的圆（直径=正方形边长=2r） - 面积：正方形面积=4r²；圆面积=πr² - 比例：圆面积是正方形面积的 外圆内方 - 定义：圆内最大的正方形（对角线=圆直径=2r） - 面积：正方形面积=2r²；圆面积=πr² - 比例：圆面积是正方形面积的 关键结论 - 外方内圆的正方形面积是外圆内方的正方形面积的2倍（4r²=2×2r²） 做一做应用 - 已知外方内圆的正方形面积： → r²=正方形面积÷4 → 圆面积=π× → 涂色面积=正方形面积 - 圆面积 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $