2.4一元二次方程的应用第1课时（教学课件）数学新教材北师大版九年级上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程解决几何（行程）问题，以梯子滑动情境导入，先回顾方程一般形式、解法及根与系数关系，再通过情境引入、新知探究、典例分析构建知识支架，衔接前后知识点。 其亮点在于以问题驱动教学，引导学生用数学眼光观察几何情境发现等量关系，通过“审设列解验答”步骤培养数学思维中的推理能力，结合矩形面积、动点问题等实例建立模型体现模型意识，帮助学生提升建模能力，为教师提供系统教学资源。

第二章 一元二次方程 2.4 一元二次方程的应用 第1课时 学 习 目 标 1.掌握建立数学模型解决几何（行程）问题;(重点） 2.正确分析问题中的数量关系并建立一元二次方程模型解决实际问题.（难点） 知识回顾 2.一元二次方程的解法有 、 、 、 . 公式法 1.一元二次方程的一般形式为 (a,b,c为常数, a≠0). ax2 + bx + c = 0 3.如果一元二次方程ax2+bx+c=0有两个实数根，那么 ， . 满足上述关系的前提条件是 . b2-4ac≥0 因式分解法 直接开平方法 配方法 问题：还记得本章开始时梯子滑动问题吗？ 在这个问题中(如图单位：m)，梯子顶端下滑1m时，梯子底端滑动的距离大于1m，那么梯子顶端下滑几米时，梯子底端滑动相等的距离呢？ 情境引入 ① 梯子底端滑动的距离 = 梯子顶端滑动的距离； ② 直角三角形的勾股定理：两条直角边的平方和等于斜边的平方. 你能找到哪些等量关系？ (1)你能列一元二次方程解决上面的问题吗？ 新知探究 探究：应用一元二次方程解决几何问题 解：设梯子顶端下滑 x m时，梯子底端滑动的 距离和它相等， 根据题意，得 ( 8 – x )2 + ( 6 + x )2 = 102， 整理，得 2x2-4x=0 解得 x1 = 0(不合题意，舍去)，x2 = 2. ∴梯子顶端下滑 2 m时，梯子底端滑动的距离和它相等. 因式分解法解方程. x m x m 新知探究 解：设梯子顶端下滑 x m 时，梯子底端滑动的距离和它相等， 根据题意，得 ( 12 – x )2 + ( 5 + x )2 = 132， 整理，得 2x2-14x=0 解得 x1 = 0(不合题意，舍去)，x2 = 7. ∴梯子顶端下滑 7 m时，梯子底端滑动的距离和它相等. 12m 13m (2)如果梯子的长度是 13m，梯子顶端到地面的垂直距离为12m，那么梯子顶端下滑的距离与梯子底端滑动的距离可能相等吗？ x m x m 新知探究 列一元二次方程解应用题的一般步骤： 知识归纳 (1)“审”，审清题意，找出等量关系； (2)“设”，设出未知数，用所设的未知数表示其他量； (3)“列”，列一元二次方程； (4)“解”，解一元二次方程； (5)“验”，检验所求的解是否符合题意，确定未知数的值； (6)“答”，作答. 新知探究 例:如图,某海军基地位于A处,在其正南方向200n mile 处有一目标B,在B的正东方向200n mile处有一重要目标C.小岛D位于AC的中点,岛上有一补给码头;小岛F位于BC的中点.一艘军舰沿A出发,经B到C匀速巡航,一艘补给船同时从D出发,沿南偏西方向匀速直线航行,欲将一批物品送达军舰. 已知军舰的速度是补给船的2倍,军舰在由B到C的途中与补给船相遇于E处,那么相遇时补给船航行了多少海里(结果精确到0.1n mile)？ 东 北 A B C D F E 解：连结DF.∵AD=CD , BF=CF, ∴DF是△ABC的中位线. ∴DF∥AB，且DF=AB. ∵AB⊥BC, AB = BC =200 n mile, ∴DF⊥BC, DF =100 n mile，BF=100 n mile. 新知探究 东 北 A B C D F E 设相遇时补给船航行了x n mile,那么 DE = x n mile , AB+ BE = 2x n mile, EF = AB + BF - (AB + BE) = (300 - 2x)n mile. 在Rt△DEF中，根据勾股定理可得方程 x2 = 1002 + (300 - 2x)2. 整理，得 3x2 - 1200x + 100 000 = 0 , 解得(不合题意，舍去) ∴相遇时补给船大约航行了118.4 n mile. 新知探究 应用一元二次方程解决几何图形问题的方法： 知识归纳 有关平面几何图形问题，常常由图形面积、线段的长度、勾股定理等列一元二次方程求解. 新知探究 1.如图，东西方向上有A，C两地相距10千米，甲以16千米/时的速度从A地出发向正东方向前进，乙以12千米/时的速度从C地出发向正南方向前进，那么最快经过（　A　）小时，甲、乙两人相距6千米. A. B. C. 1.5 D. A 如图，一块长5米宽4米的地毯，为了美观设计了两横、两纵的配色条纹（图中阴影部分），已知配色条纹的宽度相同，所占面积是整个地毯面积的．求配色条纹的宽度． 例1 典例分析 解：设条纹的宽度为x米． 依题意，得 2x×5+2x×4-4x2=×5×4， 解得：x1=（不符合，舍去），x2=． 答：配色条纹宽度为米． 典例分析 如图所示,在ABC中，∠ABC=90°，AB=8cm，BC=6cm。动点P，Q分别从点A，B同时开始移动，点P的速度为1cm/s，点Q的速度为2cm/s,点Q移动到点C后停止，点P也随之停止运动。多长时间后，△PBQ 的面积为 15 cm?? 例2 解:设运动时间为ts，则AP=tcm，BQ=2tcm, ∴BP=AB-AP=(8-t)cm。 根据题意得BQ·BP= 15 cm2，即2t(8-t)= 15， 整理得 t2-8t+15 =0,解得t1=3,t2=5。 当t=3时，2t=2×3=6,符合题意; 当t=5时，2t=2×5=10>6,不符合题意,舍去。 答:3s后，△PBQ的面积为15cm2。 1.公园有一块正方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花，原空地一边减少了1m，另一边减少了2m，剩余空地的面积为18m2，求原正方形空地的边长．设原正方形的空地的边长为xm，则可列方程为（　　） A．（x+1）（x+2）=18 B．x2-3x+16=0 C．（x-1）（x-2）=18 D．x2+3x+16=0 巩固练习 2.从正方形铁片上截去2cm宽的一个长方形，剩余矩形的面积为80cm2，则原来正方形的面积为（　　） A．100cm2 B．121cm2 C．144cm2 D．169cm2 C A 巩固练习 3.如图，，，，一只蝉从点沿的方向以 的速度爬行，蝉开始爬行的同时，一只螳螂由点沿方向以 的速度爬行，当螳螂和蝉爬行后，它们分别到达，的位置，此时 的面积恰好为 ，由题意可列方程( ) A.2x·x=24 B.(10−2x)(8−x)=24 C.(10−x)(8−2x)=24 D.(10−2x)(8−x)=48 D 5.如图，某小区有一块长为30m，宽为24m的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为480m2，两块绿地之间及周边有宽度相等的人行通道，则人行通道的宽度为              m． 巩固练习 4.用一条长40cm的绳子围成一个面积为64cm2的矩形．设矩形的一边长为xcm，则可列方程为                       ． x（20-x）=64 2 6.右图是一个长为30m,宽为20m的矩形花园，现要在花园中修建等宽的小道，剩余的地方种植花草。如果要使种植花草的面积为468 m2，那么小道进出口的宽度应为 m。 2 7.在直角墙角AOB(OA⊥OB,且OA、OB长度不限)中，要砌20m长的墙，与直角墙角AOB围成地面为矩形的储仓，且地面矩形AOBC的面积为96m2． （1）求这地面矩形的长； （2）有规格为0.80×0.80和1.00×1.00（单位：m）的地板砖单价分别为55元/块和80元/块，若只选其中一种地板砖都恰好能铺满储仓的矩形地面（不计缝隙），用哪一种规格的地板砖费用较少？ 巩固练习 解:(1)设这地面矩形的长是xm， 则依题意得：x（20-x）=96， 解得x1=12，x2=8（舍去）， 答：这地面矩形的长是12米； (2)规格为0.80×0.80所需的费用:96÷(0.80×0.80)×55=8250(元)． 规格为1.00×1.00所需的费用:96÷(1.00×1.00)×80=7680(元)． 因为8250＞7680， 所以采用规格为1.00×1.00所需的费用较少． 8.如图，在矩形ABCD中，AB=6cm, BC=12cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC向点C以2cm/s的速度移动，如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后五边形APQCD的面积为64cm2？ A B C D Q P 巩固练习 解:设所需时间为 t s,根据题意,得 2t (6 - t) ÷2 = 6×12 - 64. 整理得 t2 - 6t + 8 = 0. 解方程,得 t1 = 2 , t2 = 4 . 答:在第2秒和第4秒是五边形面积是 64cm2. 巩固练习 9.张先生家有一面长4m、宽3m的白墙,装修时设计师在墙上设计了一幅长方形的创意壁画作为电视背景墙(如图 ),壁画的面积占了白墙面积的 75%,并在墙的上部空间和左侧空间留出了宽度之比为5:4的条形区域用来安装横向和纵向的置物架。壁画的长和宽分别是多少? 解:设横向置物架的宽度为5xm,则纵向置物架的宽度为 4xm，则壁画的长是(4-4x)m，宽为(3-5x)m. 由题意得(4-4x)(3-5x)=4×3×75%， 整理得 20x2-32x+3 =0, 解得x1=0.1，x2=1.5(不符合题意,舍去)， 所以 4-4x= 4-4×0.1=3.6，3-5x=3-5×0.1=2.5. 答:壁画的长是 3.6m，宽是 2.5m。 课堂小结 一元二次方程的应用-第1课时 列一元二次方程解应用题的步骤 审→设→列→解→验→答 几何问题 行程问题 应用类型 面积问题 动点问题 作业布置 1.必做题：习题2.4第1~3题。 2.探究性作业：习题2.4第4题。 感谢聆听!