2.3 一元二次方程的根与系数的关系（课件）--2026-2027学年北师大版数学九年级上册

授课教师： . 班 级： 九年级（ ）班 . 时 间： . 北师大版（2024）数学九年级上册教学课件 第二章 一元二次方程 2.3 一元二次方程的根与系数的关系 2026年8月2日 2.3 一元二次方程的根与系数的关系 同步练习题 2.3 一元二次方程的根与系数的关系 综合同步练习 （排版、分值、题型和前面所有章节习题完全统一） 章节核心知识点梳理 1. 韦达定理（根与系数的关系） 对于一元二次方程 $$ax^2+bx+c=0(a eq0)$$，当 $$\Delta\ge0$$ 时，设方程两根为$$x_1、x_2$$，则： $$x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}，\quad x_1x_2=\dfrac{c}{a}$$。 2. 特殊形式结论 方程 $$x^2+px+q=0$$，若两根为 $$x_1、x_2$$，则： $$x_1+x_2=-p，\quad x_1x_2=q$$。 3. 常见代数式变形（必考）$$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2$$$$\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}=\dfrac{x_1+x_2}{x_1x_2}$$$$(x_1-x_2)^2=(x_1+x_2)^2-4x_1x_2$$ 4. 使用前提 必须满足两个条件：①方程为一元二次方程 $$a eq0$$；②方程有实数根 $$\Delta\ge0$$。 5. 定理应用场景 不解方程，求两根和、两根积、对称代数式的值；已知一根求另一根；已知两根构造一元二次方程。 一、选择题（每题4分，共24分） 1. 已知方程 $$x^2-5x+6=0$$ 的两根为 $$x_1、x_2$$，则$$x_1+x_2=$$（） A. 5 B. -5 C. 6 D. -6 2. 一元二次方程 $$2x^2+3x-1=0$$ 的两根之积为（） A. $$-\dfrac{3}{2}$$ B. $$\dfrac{1}{2}$$ C. $$-\dfrac{1}{2}$$ D. 3 3. 已知方程 $$x^2-4x+2=0$$，则 $$x_1^2+x_2^2=$$（） A. 12 B. 14 C. 8 D. 6 4. 若方程 $$x^2+mx+6=0$$ 的一个根为2，则另一根为（） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 5. 已知两根和为3，两根积为2，则对应的一元二次方程是（） A.$$x^2+3x+2=0$$ B. $$x^2-3x+2=0$$ C. $$x^2+3x-2=0$$ D. $$\Delta<0$$$$a eq0$$$$\Delta\ge0$$$$ax^2+bx+c=0(a eq0)$$$$x^2+2x-5=0$$$$3x^2-6x+1=0$$$$\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}=$$$$x^2-(k+2)x+2k=0$$$$k=$$$$(x_1-x_2)^2=$$$$(x_1+x_2)^2-$$$$x^2-6x+4=0$$$$x_1、x_2$$$$x_1+x_2$$$$x_1x_2$$$$x_1^2+x_2^2$$$$2x^2-4x-1=0$$$$x_1、x_2$$$$\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}$$$$(x_1-x_2)^2$$$$x^2+mx-8=0$$$$x$$$$x^2-2(m-1)x+m^2=0$$$$x_1、x_2$$$$x_1+x_2=4$$$$x_1x_2$$$$x_1、x_2$$$$x_1^2-4x_1+2=0，x_2^2-4x_2+2=0$$$$x_1 eq x_2$$$$\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}$$$$-\dfrac{b}{a}、\dfrac{c}{a}$$$$-2、-5$$$$6$$$$1$$$$4x_1x_2$$$$x_1+x_2=6，x_1x_2=4$$$$x_1+x_2=6$$$$x_1x_2=4$$$$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=6^2-2\times4=36-8=28$$$$2x^2-4x-1=0$$$$x_1+x_2=2，x_1x_2=-\dfrac{1}{2}$$$$\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}=\dfrac{x_1+x_2}{x_1x_2}=\dfrac{2}{-\dfrac{1}{2}}=-4$$$$(x_1-x_2)^2=(x_1+x_2)^2-4x_1x_2=4-4\times\left(-\dfrac{1}{2}\right)=4+2=6$$$$x$$$$4x=-8$$$$x=-2$$$$4+(-2)=-m$$$$2=-m$$$$m=-2$$$$m=-2$$$$-2$$$$x_1+x_2=2(m-1)$$$$x_1+x_2=4$$$$2(m-1)=4$$$$m=3$$$$x_1x_2=m^2=9$$$$m=3，x_1x_2=9$$$$x_1、x_2$$$$x^2-4x+2=0$$$$x_1+x_2=4，x_1x_2=2$$$$\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}=\dfrac{x_1+x_2}{x_1x_2}=\dfrac{4}{2}=2$$$$-\dfrac{b}{a}$$$$必须保证有实数根$$$$\Delta<0$$$$\Delta\ge0$$$$a eq0$$ 1. 探索一元二次方程的根与系数的关系.（难点） 2. 利用一元二次方程的根与系数的关系解决问题.（重点） 学习目标 1. 一元二次方程的求根公式是什么？ 想一想：方程的根与系数 a，b，c 之间还有其他关系吗？ 2. 如何用判别式来判断一元二次方程根的情况？ 对于一元二次方程 ax2 + bx +c = 0 (a ≠ 0)，其判别式 Δ = b2 - 4ac. 当 Δ＞0 时，方程有两个不相等的实数根； 当 Δ = 0 时，方程有两个相等的实数根； 当 Δ＜0 时，方程无实数根. 知识点1 一元二次方程的根与系数的关系 问题1 2x²-3x+1=0的两个根为x1=x2=1，那么2x²-3x+1与2(x-)(x-1)相等吗? 相等。 如方程2x²-7x+6=0的两根为x1=2，x2=， 此时2(x-x1)(x-x1)=2(x-2)(x-) =(x-2)(2x-3) =2x²-3x-4x+6 =2x²-7x+6。 换几个一元二次方程再试一试。 问题2 你认为ax²+bx+c=a(x-x1)(x-x2)是否一定成立? 一定成立。 知识点1 一元二次方程的根与系数的关系 如果x1，x2是一元二次方程ax²+bx+c=0的两个实数根，那么ax²+bx+c=a(x-x1)(x-x2)。 知识点1 一元二次方程的根与系数的关系 思考 根据上面的结论，你能发现一元二次方程ax²+bx+c=0的系数与它的两个根x1，x2之间有怎样的关系吗? 当x1，x2是一元二次方程ax²+bx+c=0的两个根时，根据上面的结论有 ax²+bx+c=a(x-x1)(x-x2)。 所以 ax²+bx+c=ax²-a(x1+x2)x+ax1x2。 所以 于是 知识点1 一元二次方程的根与系数的关系 知识点1 利用根与系数的关系求两根之和与两根之积 1.一元二次方程的两个根为，，则 的值是 ( ) B A.3 B. C. D. 返回 举一反三 8 2.[湖北中考] 一元二次方程的两个实数根为, ，下 列结论正确的是( ) D A. B. C. D. 返回 举一反三 9 一元二次方程的根与系数的关系： 如果一元二次方程ax²+bx+c=0有两个实数根x， ，那么 ， 。 注意 应用根与系数的关系时要满足： (1)方程必须是一元二次方程(即a≠0)，且一定要化为一般形式； (2)方程必须有实数根，即b²-4ac≥0。 知识点1 一元二次方程的根与系数的关系 3. 一元二次方程的两个根分别是， ，其中 ， ，写出一个满足此条件的方程： _________________________________。 （答案不唯一） 返回 举一反三 11 利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积： (1)x²+7x+6=0； (2)2x²-3x-2=0。 解：(1)这里a=1，b=7，c=6。 Δ=b²-4ac=7²-4×1×6=49-24=25>0， 所以方程有两个实数根。 设方程的两个实数根是x1，x2，那么 -7，6。 例1 知识点1 一元二次方程的根与系数的关系 利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积： (1)x²+7x+6=0； (2)2x²-3x-2=0。 解：(2)这里a=2，b=-3，c=-2。 Δ=b²-4ac=(-3)²-4×2×(-2)=9+16=25>0， 所以方程有两个实数根。 设方程的两个实数根是x1，x2，那么 ，。 例1 知识点1 一元二次方程的根与系数的关系 4.[教材P49“随堂练习”第1题变式] 利用根与系数的关系，求下列方程的 两根之和与两根之积。 （1） ； 解：这里,, , 因为 , 所以方程有两个不相等的实数根。 设方程的两个实数根为, , 则, 。 举一反三 14 （2） ； 解：原方程可化为,这里,, ,因为 ,所以方程有两个不相 等的实数根。设方程的两个实数根为，，则 ， 。 举一反三 15 （3） 。 解：原方程可化为,这里,, ,因为 ,所以方程有两个不相等的 实数根。 设方程的两个实数根为,，则, 。 返回 举一反三 16 x1，x2是方程3x2 +4x-3=0的两个根。利用根与系数的关系，求下列各式的值： (1) (x1 +1)(x2 +1)； (2) 解：根据根与系数的关系得：x1 +x2 = = x1 x2= = -1。 (1) (x1 +1)(x2 +1) = x1 x2 +x1 +x2 +1=(-1)+()+1= (2) = 例2 知识点1 一元二次方程的根与系数的关系 根与系数关系的常见的变形： ①； ②； = 求与方程的根有关的代数式的值时，一般先将所求的代数式化成含两根之和，两根之积的形式，再整体代入。 知识点1 一元二次方程的根与系数的关系 知识点2 利用根与系数的关系求代数式的值 5.若,是一元二次方程的两个实数根，则 ____。 返回 举一反三 19 6.一元二次方程的两个实数根为， ，利用根与系数 的关系，求下列式子的值： 解：因为一元二次方程的两个实数根为， ， 所以， 。 （1） ； [答案] 。 （2） ； [答案] 。 举一反三 20 （3） 。 [答案] 。 返回 举一反三 21 知识点3 利用根与系数的关系求方程的根或字母的值 7.[苏州中考] 已知,是关于的一元二次方程 的两 个实数根，其中，则 ____。 返回 举一反三 22 8.已知关于的一元二次方程的一个根为，则 的值 为____，另一个根为___。 2 返回 举一反三 23 9.[陕西师大附中期末] 若方程的两根之积为 ，则 的值是( ) B A. B.1 C. D. 返回 举一反三 24 10. 若关于的一元二次方程 的两个 实数根互为相反数，则 的值为( ) B A.2 B.0 C.1 D.2或0 返回 举一反三 25 11. 若一元二次方程 的两个实数根分别 是,,则一次函数 的图象一定不经过( ) D A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 返回 举一反三 26 12.小影与小冬一起写作业，在解同一道一元二次方程（二次项系数为1） 时，小影在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根是6和1； 小冬在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是 和 ，则原来的方程是( ) B A. B. C. D. 返回 举一反三 27 ax²+bx+c=0的两个实数根为x1， x2 一元二次方程的根与系数的关系 ， 推导 ax²+bx+c=a(x-x1)(x-x2) 课堂小结 谢谢观看 THANKS $