广东广州市广东实验中学2027届高三上学期开学考预测卷数学试题

**基本信息** 广东2027届高三开学考数学预测卷，以圆锥曲线截线（第11题）、商场抽奖（第17题）等情境设计，融合几何直观、数据意识与推理能力，适配开学阶段知识检测与素养提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题58分|复数、数列、立体几何等|第7题函数零点和考查抽象能力，第9题三角函数图象分析推理意识| |填空题|3题15分|导数几何意义、概率|第14题“局部等比数列”结合创新定义，体现应用意识| |解答题|5题77分|解三角形、立体几何折叠、函数导数等|第16题折叠问题考查空间观念，第19题椭圆探究性问题发展创新意识|

广东广州市2027届高三开学考预测卷数学参考答案 1 【详解】，， ， 故选：C 2．B 【详解】解：由题得， 则的虚部为1. 3．A 【详解】由，可得点为边上靠近点的三等分点， . 4．B 【详解】设等比数列的公比为且，由，得，解得， 由，得，即，而，因此， 经验证符合题意，所以. 故选：B 5．A 【详解】因为是定义在上的奇函数，所以； 因为，所以的周期且， 所以， 因为当时，，所以，所以， 所以， 故在区间内的零点为，其零点之和为， 故选：A. 6．A 【详解】不妨设点在第一象限， 由题意得，， 设，则， 故直线的方程为，令，则，故； 直线的方程为，令，则，故， 因为，则，得， 则的离心率为. 故选：A 7．C 【详解】如图，绘制函数与函数的图象， 可知与的图象恰有个公共点， 且它们的图象均关于直线对称，所以所有零点的和为. 故选：C 8．B 【详解】设三棱锥外接球的半径为，则，解得， ⊥，设的外心为，则是棱的中点， 设等边的外心为，过点作平面的垂线，过点作平面的垂线， 两垂线交于点，则即为三棱锥的外接球球心， 因为二面角的大小为，所以， 设，则，， 于是，， ， 连接，则， 在中，由勾股定理得， 即，解得，所以， 因为⊥，所以当时，点到平面的距离最大， 此时，且， 其最大距离为，其中， 所以三棱锥的体积最大值为. 9．ABD 【详解】对于A：由图象知，由，由函数图象的对称性可知的一个最低点为. 又的最小正周期为， 则， 所以，即，因为，所以， 所以，A正确； 对于B：，所以点为图象的一个对称中心，B正确； 对于C：当时，，则的值域为，C错误； 对于D：，所以， 则，D正确. 故选：ABD. 10．BCD 【详解】对于A，因为，所以，根据抛物线的定义知，所以，因此不是线段的中点，故A错误； 对于B，设，因为，轴， 所以，又，， 所以，即，故B正确； 对于C，由抛物线的光学性质知，光线经抛物线反射，反射光线与轴平行，所以， 因为，所以，又，所以，故C正确； 对于D，由B可知，而，所以，得，所以， 又，所以， 因为，，所以，因此是等边三角形，故D正确. 故选：BCD. 11．BCD 【详解】如下图建立空间直角坐标系，截面与圆锥侧面交线上的一点，与轴截面一边交于点，是底面的直径，则，圆锥的高为， 其中截面上构建以为原点，分别为轴的直角坐标系，且， 令且，是在底面上的投影，则，故， 圆锥被平行于底面的平面截得的截面是圆，假设是该圆与截线的一个交点， 该圆离底面高为时，截面圆的半径，而点的高度是，则 所以，且到圆锥轴的距离为， 综上，，整理得，即为在截面上的轨迹方程， A：当时，，即，所以，即两条直线，错； B：当时，，则（应用换元法可化为形式），对； C：当时，，则为椭圆的一部分， 当，则，不妨令， 当，则（负值舍），则， 该椭圆的一部分在半径为1的圆内，故其面积小于，对； D：当时，，则为半椭圆， 所以，则离心率为，对. 故选：BCD 12．57 【详解】令，则，令，则， 故. 又，故. 故，则. 故答案为：57 13．4 【详解】，． 又， 曲线在处的切线为， 即， 由圆可知圆心为，半径为3， 圆心到切线的距离为， ． 故答案为：. 14． 【详解】从集合中抽取个数构成一个数列，共有种情况， 若数列为“局部等比数列”，则数列中仅连续三项等比， 这三项共有四类： 第一类：2，4，8或8，4，2，此时共有6种情况， 分别是：2，4，8，32或16，2，4，8或32，2，4，8， 8，4，2，16或8，4，2，32或32，8，4，2； 第二类：4，8，16或16，8，4，此时共有4种情况， 分别是：4，8，16，2或32，4，8，16， 16，8，4，32或2，16，8，4； 第三类：8，16，32或32，16，8，此时共有6种情况， 分别是：8，16，32，2或8，16，32，4或2，8，16，32， 32，16，8，2或2，32，16，8或4，32，16，8； 第四类：2，8，32或32，8，2，此时共有8种情况， 分别是：2，8，32，4或2，8，32，16或4，2，8，32或16，2，8，32， 32，8，2，4或32，8，2，16或4，32，8，2或16，32，8，2； 所以若数列为“局部等比数列”，则共有种情况， 故数列为“局部等比数列”的概率为. 15．【详解】（1）由题意令，，，其中， 联立，解得，其中， 由余弦定理得. （2）由（1）知，，其中， 由余弦定理得， 因为，所以， 因为， 由正弦定理得， 则， 因为，所以 所以， 又因为，所以， 所以，即. 16．【详解】(1)如图，连接，在矩形中，，为线段的中点， ，， ，， 又平面平面，平面，平面平面， 平面； （2）存在，是线段上靠近点 的三等分点. 如图所示，连接、，设交于点， ，且， ． 取的三等分点，使，连接、、，则， 又平面，平面， 平面． 故存在满足条件的点，且是线段上靠近点的三等分点． 17．【详解】（1）设标有“惠”的小球有个，则“钜”的小球有个，为正整数，且， 从个球中一次性抽取个的总方法数：， 获折券（抽到“五”和“折”）的方法数：，概率为， 获折券（抽到“钜”和“惠”）的方法数：，概率为， 由题意，即：， 化简得，解方程，得或， 因此，标有“惠”的小球个数为或； （2）已抽到“五”球后，剩余个球，其中“折”球有个，要获得折券，需抽到“折”球，故概率为：； （3）由第一问可知，“惠”的个数有两个解：或； 当“惠”，“钜”时，单次抽奖获折券的概率为， 当“惠”，“钜”时，单次抽奖获折券的概率为， 两种情况下，单次抽奖获得折券的概率恰好都是， 三位观众独立获得折券的人数服从二项分布，故， 则，， ，， 分布列： 数学期望：. 18．【详解】 (1)函数定义域为 . 求导得. 令 ，得 . 当 时，，函数单调递增；当 时，，函数单调递减. 因此 在 处取得唯一极大值，无极小值，所以极值点唯一. 令 ，得 ，因 ，故 ，解得 . 且函数在 上递增且，在 上递减且 ，故零点唯一为 . 综上，存在唯一的极值点和唯一的零点. (2)极值点为 ，零点为. 直线 的方程为. 令. 求导得，所以 在 上单调递减. 又，故 在上先增后减，其最小值在区间端点取得. 而，因此在 内恒有 ， 即，所以 的图象总在直线 的上方. (3)由题意，方程 有两个不等实根， 结合（1）和函数图象可知 ，且. 由（2）可知，在 上有. 取 ，得，整理得①. 由于时，，故， 因为在 上单调递增，而 ，所以②. 由①②得，故不等式成立. 19．【详解】（1）由右顶点为，得． 又，所以，从而. 故椭圆的方程为. （2） 由，设. 则. 因为都在椭圆上，所以,. 两式相减，得. 将代入第一式，得.所以. 于是. 由及，得． 因为在轴上，且，所以四边形的面积. 故. 令，则，且. 由基本不等式，. 当且仅当，即 时取等号． 因此. 故四边形面积的最大值为. （3）设，直线的斜率为． 由题意，． 由. 得. 又因为在椭圆上，所以. 因此即. 直线的方程可设为. 与椭圆方程联立，得 由根与系数的关系，.且. 由，化简得. 因为，所以. 上述关于的一元二次方程的判别式为 所以. 又. 故,所以 ． 因此. 故存在定值，且. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广东广州市2027届高三开学考预测卷数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知，，则（   ） A． B． C． D． 2．已知复数，则的虚部为（   ） A． B． C． D． 3．在中，点满足，点为的中点，则（    ） A． B． C． D． 4．已知等比数列前项和为， 若，，则（    ） A．128 B．255 C．256 D．511 5．已知定义在上的奇函数满足，当时，，则在区间内的所有零点之和为（    ） A． B． C． D．0 6．已知双曲线的右焦点为，左､右顶点分别为为上一点，且轴，点在线段上，直线分别交轴于两点，为坐标原点，若，则的离心率为（    ） A．2 B．3 C． D． 7．函数所有零点的和为（    ） A． B． C． D． 8．在三棱锥中，底面是等边三角形，⊥，二面角的大小为.若三棱锥外接球的表面积为，则该三棱锥体积的最大值为（   ） A．6 B．12 C．12 D．24 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．函数的部分图象如图所示，则（    ）    A． B．点为图象的一个对称中心 C．时，的值域为 D．若，则 10．已知抛物线的焦点为，准线为，是上一点，且在第一象限，在上的射影为，线段与的交点为，在上的射影为，且，过点作的切线与轴交于点，则（   ） A．为线段的中点 B． C． D．是等边三角形 11．我们知道圆锥曲线的名称源于用平面截圆锥面所得的截线.已知圆锥的底面半径为1，轴截面为等边三角形，过底面的一条直径作一个与底面夹角为的平面，在圆锥侧面上形成的截线记为.则下列说法正确的是（    ） A．当时，为双曲线的一部分 B．当时，存在一种建系方式，使得符合方程 C．当时，与底面直径围成的图形面积小于 D．当时，的离心率大于 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．设，则____________. 13．曲线（为自然对数的底数）在处的切线与圆相交于点M，N，则______． 14．若数列不是等比数列，且使得，那么称数列为“局部等比数列”．若从集合中抽取个数构成一个数列，则数列为“局部等比数列”的概率为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本题13分）已知中，内角，，所对的边分别为，，，且. (1)求； (2)若，求的值. 16．（本题15分）矩形中，，为线段的中点，将沿折起，使得平面平面．在新构造的四棱锥中，解以下问题： (1)证明：面； (2)在上是否存在点使得平面？若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由． 17．（本题15分）某商场店庆抽奖规则：不透明容器内有6个颜色、大小均相同的小球，分别标有“五”“折”各1个，“钜”“惠”共4个．每位观众仅抽1次，一次性抽取2个球：若抽到“五”和“折”，获5折券；若抽到“钜”和“惠”，获7折券．已知获7折券的概率是获5折券概率的3倍． (1)求标有“惠”的小球个数； (2)若某观众已抽到1个“五”球，求其获得5折券的概率； (3)现有三位观众独立参加抽奖，求获得7折券的人数X的分布列与数学期望． 18．（本题17分）已知函数. (1)证明：存在唯一的极值点和唯一的零点； (2)设的极值点和零点所对应的点分别为，，求证：当时，的图象总在直线的上方； (3)若关于的方程（a为实数）有两个不相等的实数根，，且，求证：. 19．（本题17分）已知为坐标原点，椭圆：（）的右顶点为，离心率，动点，，过的动直线交椭圆于，两点. (1)求的方程； (2)若，求四边形面积的最大值； (3)设的面积为，若，且斜率不为，试讨论：是否存在定值，使，若存在，求出的值，若不存在，说明理由. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $