广东省佛山市2026-2027学年高三上学期数学开学考模拟卷

**基本信息** 高三开学数学模拟卷，涵盖函数、几何、概率等核心知识，通过古代数学名著、地方预算统计等情境设计，考查数学抽象、逻辑推理与数据分析素养，适配高三起点复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题/58分|复数几何意义、三角函数投影、椭圆离心率|第6题以古代数学名著借阅为情境，考查古典概型，渗透文化传承| |填空题|3题/15分|正态分布、等比数列求和、函数零点|第14题含参函数零点问题，考查分类讨论思想| |解答题|5题/77分|解三角形、统计图表分析、立体几何、抛物线与数列综合、函数零点证明|16题结合智能软件使用调查，通过频率分布直方图考查数据分析；18题抛物线与点列构造结合，体现知识综合应用|

广东省佛山市2026-2027学年高三数学上学期开学模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用复数的除法可求. 【详解】因为，故， 故选：B. 2．已知复数与在复平面内对应的点关于直线对称，则复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】写出复数对应点的坐标即可得到答案. 【详解】在复平面内对应的点为，其关于直线的对称点为， 所以，则，所以其在复平面内对应的点为，位于第一象限． 故选：A 3．已知的内角的对边分别为，在方向上的投影向量为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知条件，结合投影向量的定义可得，角为钝角，从而可判断A，C；作出图象，无法确定角的大小，从而判断B；在和中，利用勾股定理表示，即可得到的关系，从而判断D. 【详解】过作，交直线于点，则在方向上的投影向量. 结合已知得，所以方向相反，所以，故A错误； 在方向上的投影向量为，如图所示： 由，所以，无法确定角的大小，故B错误； 因为，角为钝角，所以，故C错误； 在中，， 在中，， 所以，所以，故D正确. 故选：D. 4．若，则（    ） A．－1 B．0 C．1 D．2 【答案】D 【分析】利用正切和角公式得到，展开要求式子，再代入求出答案. 【详解】因为，则， 则， 所以，则， 所以. 故选：D. 5．若的展开式中的常数项为31，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【分析】根据二项式定理，写出指定项的系数，结合题意，建立方程，可得答案. 【详解】依题意，，所以，即． 故选：C. 6．某学校的数学兴趣小组为了了解我国古代的数学成就，先后去图书馆借阅了5本古代数学名著：《周髀算经》､《九章算术》､《海岛算经》､《孙子算经》和《张丘建算经》，该小组每次随机借阅一本名著，且归还后再随机借阅下一本（已借阅的不会重复借阅）．则最先借阅的两本是《周髀算经》和《九章算术》，且最后一本借阅的是《孙子算经》的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由古典概率的计算公式求解即可. 【详解】所有可能的借阅顺序总数为：， 最先借阅的两本是《周髀算经》和《九章算术》，且最后一本借阅的是《孙子算经》， 所以前两本的顺序可以是《周髀算经》、《九章算术》或者《九章算术》、《周髀算经》，有种情况， 最后一本已经确定是《孙子算经》，中间本为《海岛算经》、《张丘建算经》，有种情况， 设最先借阅的两本是《周髀算经》和《九章算术》，且最后一本借阅的是《孙子算经》为事件， 则， 故选：D. 7．已知是椭圆的两个焦点，为上一点，且，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据椭圆的定义及条件，表示出，结合余弦定理可得答案. 【详解】因为，由椭圆的定义可得， 所以，， 因为,由余弦定理可得 所以， 整理可得，所以，即. 故选：A. 8．已知圆锥的顶点为，底面圆心为，，，分别为圆锥的母线，，，则三棱锥体积的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知条件求得母线长，以及长度，从而确定为底面圆直径；再求三角形面积的最大值，即可求得三棱锥体积的最大值. 【详解】因为，，故母线， 又，故，故为底面圆直径； 对三角形，设边上的高为，则其面积， 当且仅当为弧的中点时取得最大值； 故三棱锥体积. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．地方一般公共预算收入是地方经济的重要指标之一，如图是某地区2025年2月至10月地方一般公共预算收入累计的图表，其中条形图是地方一般公共预算收入的月累计值（月累计值指当年1月到当月的数据总和），折线图是与上年同月累计值相比的同比增长率．根据图表，下列说法正确的是（   ） A．该地区2025年每月的地方一般公共预算收入一直递增 B．2025年9月该地区的地方一般公共预算收入超过30亿元 C．2025年9月该地区的地方一般公共预算收入比2024年9月高 D．2024年前10个月，该地区地方一般公共预算收入平均数低于22亿 【答案】BCD 【分析】根据图表中信息，以及地方一般公共预算收入的月累计值和同比增长的概念，逐一判断各选项的正误，判断结果. 【详解】由图表可知，3月的地方一般公共预算收入为（亿元），4月的地方一般公共预算收入为（亿元），可知选项A错误； 9月该地区的地方一般公共预算收入为（亿元），所以选项B正确； 2025年9月该地区的地方一般公共预算收入累计同比增长，所以2024年9月该地区的地方一般公共预算收入累计为（亿元）， 2025年8月该地区的地方一般公共预算收入累计同比增长，所以2024年8月该地区的地方一般公共预算收入累计为（亿元）， 所以2024年9月该地区的地方一般公共预算收入为（亿元），所以C正确； 2025年10月该地区的地方一般公共预算收入累计同比增长，所以2024年10月该地区的地方一般公共预算收入累计为（亿元），所以2024年前10个月，该地区地方一般公共预算收入平均数为，所以D正确； 故选：BCD. 10．在棱长为2的正方体中，点为侧面内一点（包含边界），则（    ） A．三棱锥的体积为定值 B．的最小值为5 C．若，则的轨迹长度为 D．三棱锥外接球的体积存在最大值与最小值 【答案】ACD 【分析】根据等体积法求解体积判断A；取点关于平面的对称点后连接，利用三点共线求解即可判断B；找到过点且与垂直的平面与侧面的交线，再计算交线长度即可得C；根据三棱锥外接球的特征分析计算判断D. 【详解】A，依题意点到平面的距离为棱长2，则的面积为， 故三棱锥的体积为定值，故A正确； B，如图作点关于平面的对称点，连接，则， 故， 当且仅当、、三点共线时等号成立，故B错误； C，易得，因平面，平面，则， 又，平面，则平面，因平面，则， 同理，又平面，故平面， 因为，所以平面，又平面侧面， 所以的轨迹为线段，其长度为，故C正确； D，如图取的中点，因为为直角三角形， 所以为外接圆的圆心，设外接球的球心为，半径为R， 由外接球的性质，得平面， 连接， 则， 以为原点，，，所在直线为轴建立如图所示空间直角坐标系， 则，设，，且， 则，整理得， 因为点为侧面内一点（包含边界）， 当点和侧面的顶点重合时，有最小值， 即有最大值， 故三棱锥外接球的体积的最大值为， 设正方形中心为，则 当点和点重合时，有最大值， 即有最小值， 故三棱锥外接球的体积的最小值为，故D正确. 故选：ACD 11．已知数列的每一项都是整数．当为奇数时，有；当为偶数时，有．记为数列的前项和，若，，则（   ） A．数列为递增数列 B．的最小值为32 C．若，则的最小值为2649 D．若，则的最大值为86 【答案】ABC 【分析】当为奇数时，；当为偶数时，．由此为基础，可分析A；依次分析，判断B；利用累加法，可得的最小值，判断C；分析，判断D. 【详解】当为奇数时，有，即； 当为偶数时，有，即． 所以若，，则 当为奇数时，； 当为偶数时，． 所以数列为递增数列，所以正确. 由题可知，，，， 所以，，. 所以的最小值为.所以B正确. 由A项分析知，当为奇数时，； 当为偶数时，． 所以， ， ， ， …… ， . 累加得，， 所以.所以C正确. 若， 结合C分析得，当为奇数时， ， 所以 即. ，所以D不正确. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．随机变量服从正态分布，，则______. 【答案】/ 【详解】因为随机变量服从正态分布，所以， 所以. 13．记为等比数列的前项和，若，，成等差数列，则等比数列的公比为________． 【答案】 【分析】设出公比，根据题意得到，化简得到，从而求出公比. 【详解】设公比为，由题意得， 即， 所以，故，又， 解得. 14．设函数，有四个实数根，，，，且，则的取值范围是_____. 【答案】 【分析】根据分段函数解析式画出函数图象，应用数形结合及题设条件可得，进而将目标式转化为，构造，根据在上的单调性求解即可. 【详解】根据，可得图象如下： 因为有四个实数根，且， 由图知时，有四个实数根，且， 又， 则，即， 所以，所以，且， 由，在上单调递增，， 可知， 则的取值范围为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知的内角所对的边分别为，且. (1)求； (2)若为边上一点，，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用余弦定理求解即可； （2）法①：由题意可得，在中，由余弦定理可得，再由正弦定理可得，从而得，最后利用求解即可； 法②：在中，由余弦定理可得，由正弦定理可得从而得，利用求解即可； 法③：在中，由余弦定理可得，从而得，所以，再结合余弦定理求得，最后在直角中，由正弦的定义求解即可； 法④：利用面积公式可得，再由余弦定理可得，最后由正弦定理求解即可. 【详解】（1）因为，且， 则， 即， 得， 则， 因为，所以. （2）由（1）得，，因为，所以， 所以， 法①：如图在中，由余弦定理可得：   ， 即， 在中由正弦定理，即，所以， 因为，故， 在中，. 法②：同解法①， 在中由正弦定理，即， 所以， 又因为，即，所以. 法③：同上， 在直角中，，所以， 由（1）问知，所以， 即，得即， 所以，. 法④：由（1）知，则， 因为， 所以， 即，解得， 所以，即， 在中，由正弦定理，即， 解得. 16．（15分） 某数学兴趣小组为深入了解智能软件在社会上各年龄段人群使用情况，从某社区使用过该程序的人群中随机抽取了名居民进行调查，并依据年龄样本数据绘制了如下频率分布直方图． (1)根据频率分布直方图，估计年龄样本数据的平均数和中位数． (2)为了解各年龄段居民的使用情况，需抽取居民代表召开座谈会，按照分层随机抽样的方式从，年龄段中随机共抽取名居民．若从选定的这名居民中再随机抽取名，记人中在年龄段的人数为，求的分布列及数学期望． 【答案】(1)，； (2) ​ ​ ​ ​ 数学期望 【分析】（1）直接根据频率分布直方图计算平均数和中位数可得； （2）先确定两组所抽取的人数，进而可得随机变量的取值，且随机服从超几何分布，由超几何分布计算可得. 【详解】（1）因为频率分布直方图的组距为， 所以 ； 又因为前两组累计频率为， 前三组累计频率为， 因此中位数在第三组内，设中位数为， 则，解得. 因此估计年龄样本数据的平均数为，中位数为. （2）因为与的频率比为，分层抽样抽取人， 因此抽取人，抽取人. 所以的所有可能取值为， 且服从超几何分布，， ，， ，. 所以的分布列为： ​ ​ ​ ​ 数学期望：. 17．（15分） 在四棱锥中，底面为直角梯形，满足， ，，， 底面. 为棱的中点，为棱的中点. (1)证明：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)设为三棱锥的内切球球面上一动点，求三棱锥体积的最大值. 【答案】(1)是棱的中点，是棱的中点， 是的中位线，. 又平面平面， 平面. (2) (3) 【分析】（1）由中位线得平行于，结合线面平行判定定理即可证明； （2）建立空间直角坐标系，分别求出两平面的法向量，利用法向量夹角公式求二面角余弦； （3）先由等体积法求内切球半径及球心坐标，再求球心到平面的距离，利用球面上点到平面距离的最大值，结合体积公式求最大值. 【详解】（1）略. （2）底面底面， 又两两垂直， 以为原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则. . 设平面的一个法向量为， 则，令，得， . 设平面的一个法向量为， 则，令，得， 故平面的一个法向量为. 设平面与平面的夹角为，则， 故平面与平面夹角的余弦值为. （3）设三棱锥的内切球球心为，半径为，三棱锥的表面积为， 已知，由（2）知两两垂直， 则， 由等体积法可知，则， 则球心，则. 所以点到平面的距离， 而，则， 因此三棱锥体积的最大值为. 18．（17分） 已知抛物线 ： （ ）的焦点为，点 在抛物线 上，，且的最小值为3． (1)求抛物线 的方程． (2)依次构造点列，，， （）．设 ，，．如图，过点作斜率为的直线与曲线分别交于点，，直线与曲线交于另一点，直线与曲线交于另一点，直线与轴交于点． ①求数列和的通项公式； ②记的面积为，当 时，求证：． 【答案】(1) (2)①，； ②由①可得，， 代入得，化简得， 所以是首项为1，公比为2的等比数列，． 因为，其中， 则， 故， ，得证. 【分析】（1）求出准线方程，根据抛物线的性质可知，由，那么的最小值为 ，从而得到 ，得到抛物线方程； （2）①设出直线方程，联立 ，求出两根之和，两根之积，联立化简得，，所以是以1为首项，4为公比的等比数列，是以2为首项，4为公比的等比数列，故，； ②在①基础上，得到，所以是首项为1，公比为2的等比数列，，求出，从而放缩得到，利用等比数列的求和公式即可证明. 【详解】（1）抛物线的准线为，， 根据抛物线的定义，可得的最小值为点到准线的距离 ， 解得 ，故抛物线 的方程为 ． （2）①过且斜率为的直线方程为， 代入 得 ， 由韦达定理： 设直线的方程为，代入 得 ， 则，可得， 同理，由，可得， 则直线的斜率， 直线的方程为：， 将代入化简得（*）， 将代入，结合可得 ， 再代入（*）式，化简得， 由于 ， ，满足， 则，， 所以是以1为首项，4为公比的等比数列，是以2为首项，4为公比的等比数列， 则，． ②略 19．（17分） 已知函数. (1)证明：在上恰有两个零点； (2)已知点，的坐标为，. （i）证明：当时，的图象位于线段下方； （ii）设的两个零点为，，证明：. 【答案】(1)因为函数的定义域为，且， 令，可得， 又因为，则，解得， 当时，；当时，； 可知函数在内单调递减，在内单调递增， 因为，， 则， ， 且，， 可知函数在，内均存在唯一零点，所以在上恰有两个零点. (2)（i）由题意可知直线的方程为，即， 令，， 则，可知在内单调递增， 因为， 令，，则， 可知在内单调递减，则，可得，， 且，可得，即； 又因为， 注意到在内单调递增，则， 即，可得； 可知在内存在唯一零点， 当时，；当时，； 可知在内单调递减，在内单调递增，且， 则在内恒成立，即，， 所以当时，的图象位于线段下方； （ii）不妨设，由（1）可知：，， 则， 设，， 则，当且仅当时，等号成立， 可知在定义域内单调递增，且， 当时，，可得； 当时，，可得； 综上所述：当，时，. 可得，即， 令，，则， 可知在内单调递增，则， 则，，可得， 则， 可得，则， 所以. 【分析】（1）求导，利用导数分析函数的单调性，结合零点存在性定理分析判断即可； （2）（i）可得直线的方程为，构建，，利用导数分析的单调性，结合单调性分析证明即可；（ii）不妨设，由（1）可知：，构建函数证明即可证明结论. 【详解】（1）略 （2）（i）略 （ii）略 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 广东省佛山市2026-2027学年高三数学上学期开学模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若，则（    ） A． B． C． D． 2．已知复数与在复平面内对应的点关于直线对称，则复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．已知的内角的对边分别为，在方向上的投影向量为，则（    ） A． B． C． D． 4．若，则（    ） A．－1 B．0 C．1 D．2 5．若的展开式中的常数项为31，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 6．某学校的数学兴趣小组为了了解我国古代的数学成就，先后去图书馆借阅了5本古代数学名著：《周髀算经》､《九章算术》､《海岛算经》､《孙子算经》和《张丘建算经》，该小组每次随机借阅一本名著，且归还后再随机借阅下一本（已借阅的不会重复借阅）．则最先借阅的两本是《周髀算经》和《九章算术》，且最后一本借阅的是《孙子算经》的概率为（    ） A． B． C． D． 7．已知是椭圆的两个焦点，为上一点，且，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 8．已知圆锥的顶点为，底面圆心为，，，分别为圆锥的母线，，，则三棱锥体积的最大值为（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．地方一般公共预算收入是地方经济的重要指标之一，如图是某地区2025年2月至10月地方一般公共预算收入累计的图表，其中条形图是地方一般公共预算收入的月累计值（月累计值指当年1月到当月的数据总和），折线图是与上年同月累计值相比的同比增长率．根据图表，下列说法正确的是（   ） A．该地区2025年每月的地方一般公共预算收入一直递增 B．2025年9月该地区的地方一般公共预算收入超过30亿元 C．2025年9月该地区的地方一般公共预算收入比2024年9月高 D．2024年前10个月，该地区地方一般公共预算收入平均数低于22亿 10．在棱长为2的正方体中，点为侧面内一点（包含边界），则（    ） A．三棱锥的体积为定值 B．的最小值为5 C．若，则的轨迹长度为 D．三棱锥外接球的体积存在最大值与最小值 11．已知数列的每一项都是整数．当为奇数时，有；当为偶数时，有．记为数列的前项和，若，，则（   ） A．数列为递增数列 B．的最小值为32 C．若，则的最小值为2649 D．若，则的最大值为86 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．随机变量服从正态分布，，则______. 13．记为等比数列的前项和，若，，成等差数列，则等比数列的公比为________． 14．设函数，有四个实数根，，，，且，则的取值范围是_____. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知的内角所对的边分别为，且. (1)求； (2)若为边上一点，，求. 16．（15分） 某数学兴趣小组为深入了解智能软件在社会上各年龄段人群使用情况，从某社区使用过该程序的人群中随机抽取了名居民进行调查，并依据年龄样本数据绘制了如下频率分布直方图． (1)根据频率分布直方图，估计年龄样本数据的平均数和中位数． (2)为了解各年龄段居民的使用情况，需抽取居民代表召开座谈会，按照分层随机抽样的方式从，年龄段中随机共抽取名居民．若从选定的这名居民中再随机抽取名，记人中在年龄段的人数为，求的分布列及数学期望． 17．（15分） 在四棱锥中，底面为直角梯形，满足， ，，， 底面. 为棱的中点，为棱的中点. (1)证明：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)设为三棱锥的内切球球面上一动点，求三棱锥体积的最大值. 18．（17分） 已知抛物线 ： （ ）的焦点为，点 在抛物线 上，，且的最小值为3． (1)求抛物线 的方程． (2)依次构造点列，，， （）．设 ，，．如图，过点作斜率为的直线与曲线分别交于点，，直线与曲线交于另一点，直线与曲线交于另一点，直线与轴交于点． ①求数列和的通项公式； ②记的面积为，当 时，求证：． 19．（17分） 已知函数. (1)证明：在上恰有两个零点； (2)已知点，的坐标为，. （i）证明：当时，的图象位于线段下方； （ii）设的两个零点为，，证明：. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $