1.1.1 空间向量及其线性运算 同步练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 高中数学新授课同步练，聚焦空间向量及其线性运算，通过基础巩固与能力提升分层设计，构建从概念辨析到综合应用的知识巩固路径，培养空间观念与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|空间向量概念（单位向量、零向量等）、线性运算（加减、数乘）及简单几何应用|选择、填空、解答题结合，如单选题辨析向量基本性质，解答题在正方体中化简向量，夯实抽象能力与几何直观| |能力提升|重心、中点等复杂几何情境下的向量综合运算|以解答题为主，如三棱锥重心向量化简，发展推理意识与空间观念，实现从单一到综合的进阶|

1.1.1空间向量及其线性运算同步练 【基础巩固】 一、单选题 1.下列说法中正确的是() A.两个有共同起点且相等的向量，其终点可能不同 B.若非零向量AB和CD是共线向量，则A、B、C、D四点共线 C.在空间中，任意两个单位向量都相等 D.零向量与任意向量平行 2.若正方体ABCD-AiBC:D中，化简下列各式的结果为AC的是（) A.AA+A B+BD B.AB+B C+DD C.AB+BB+BD D.AB+CC 3.在正方体ABCD-A,B,C,D,中，与向量AD相反的向量是（） A.CB B.BC C.BA D.AB 4.已知空间四边形ABCD中，AB=ā，CB=b,AD=c,则CD等于() A.a+b-c B.-a-b+c C.-a+b+c D.-a+b-c 二、多选题 5.下列命题中为真命题的是() A.向量AB与BA的长度相等 B.将空间中所有单位向量的起点移到同一点，则它们的终点构成一个圆 C.空间向量就是空间中的一条有向线段 D.方向相同且模相等的两个向量是相等向量 6.如图，己知四面体ABCD,点E,F分别是BC,CD的中点，下列等式正确的是() 试卷第1页，共3页 A.AB+BC+CD=AD B.AB+BC-CD=DA c.AB+引BC+D=A正 D.AB-AE+EF=FB 三、填空题 7.在空间四边形PABC中，PB-AB-CA= 8.空间四边形ABCD中，若AB=a,AC=b,BD=c,则CD= 四、解答题 9.如图所示，在正方体ABCD-A1BC1D1中，化简向量表 0 达式： ()AB+CD+BC+DA D 2AA+B C+DD (3AA+B,C+D:D+CB 10.如图，在长方体ABCD-A1BC1D1中，AB=3,AD=2,AA1=1,以长方体的八 个顶点中的两点为起点和终点的向量中 D (1)单位向量共有多少个？ B A (2)试写出与AB相等的所有向量. D B 试卷第2页，共3页 3)试写出AA的相反向量. 【能力提升】 11.在三棱锥A-BCD中，若△BCD是正三角形，E为其重心，则 丽+号C-号死-D化简的结果为 12.如图，在空间四边形ABCD中，已知G为△BCD的重心，E,F,H分别为边CD,AD 和BC的中点，化简下列各式： A AG+号BE-3AC: AB+AC-AD e时AB+号AC+号AD B G H 试卷第3页，共3页 【参考答案】 1,【详解】A项：因为两个向量起点相同且是相等的向量，所以终点必相同，A错误： B项：若非零向量AB和CD是共线向量，则AB和CD平行或者重合， 故A、B、C、D四点不一定在同一条直线上，B错误： C项：单位向量的模相等，但方向不一定相同，C错误； D项：零向量与任意向量平行，D正确， 故选：D. 2.【详解】如图， A D C A B AA+A1B1+B,D=AD,所以A错误： AB+B C +DD=AB+B C+BB=AC' 所以B正确： AB+BB+B,D,=AD,:所以C错误： AB,+CC1=AB+BB≠AC,所以D错误： 故选：B. 3.【详解】 D C A B ! D B 如图所示，可知CB是AD,的相反向量 答案第1页，共2页 故选：A 4.【详解】由向量的运算法则，可得CD=CB+BA+AD=CB-AB+AD=-a+b+c. 故选：C 5.【详解】对于选项A:向量AB与BA是相反向量，长度相等，故A为真命题 对于选项B:将空间中所有单位向量的起点移到同一点，则它们的终点构成一个球，故B 为假命题. 对于选项C:空间向量可以用空间中的一条有向线段表示，但是不是有向线段，故C为假 命题 对于选项D:方向相同且模相等的两个向量是相等向量，符合相等向量的定义，故D为真 命题 故选：AD 6.【详解】因为AB+BC+CD=AC+CD=AD,故A正确： 因为AB+BC-CD=AC-CD=DC+AC≠DA,故B错误； 因为AB+BC+D=AB+丽=A正，故C正确： 因为AB-A正+E驴=EB+E晾≠FB,故D错误 故选：AC 7.【详解】由题意得，PB-AB-CA=PB+BA+AC=PA+AC=PC 故答案为：PC 8.【详解】CD=BD-BC=BD-AC-AB=AB-AC+BD=a-b+c 故答案为：a-b+c 9.【详解】(1) AB+CD+BC+DA-AB+BC+CD+DA-AC+CD+DA-AD-AD-0 (2)由图知，B1C1=A1D 所以AA,+B,C,+DD=AA1+A,D1+DD=AD+DD=AD (3)由图知，CB=DA 所以由(2)可得AA,+B,C,+DD+CB=AD+DA=AD-AD=0 10.【详解】(1)由题意，单位向量有AA,A1A,BB1,B1B,CC1,CC,DD,DD 答案第2页，共2页 共8个： (2)由题意，与B相等有A1B,DC,D,C (3)由题意，AA的相反向量有AA,BB,CC,D,D 11,【详解】延长DE交边BC于点F,则DE=2EF, 则有丽+号=应，死+0=而+D亦=A证， 故AB+1BC-3Di-AD=0. 故答案为：0 12.【详解】(1)解：因为G为△BCD的重心，E,F为边CD,AD的中点， 所以AG+号B肥-AC=AB+BG+号BE-3AC=AB+号BE+号BE-AC 3 Q -AB+BE-T AC -AE-T AG-AE-FE-AE+EF-AF, 所以AG+号BE-AC=AF 3 (2)解：因为E,F,H分别为边CD,AD和BC的中点， 所以号AB+AC-AD-2AH-ADAH-方AD=AH-A=FH 3)专An*写Ac+写AD-3A0*c+o=iB-ac-Aa-An-ABl =AB+号BC+BD=AB+号×2BE=AB+号B=AB+6C=AG 答案第3页，共2页