1.1.1 空间向量及其线性运算 同步练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 聚焦空间向量线性运算，分层设计从概念理解到综合应用，适配新授课知识巩固，通过梯度训练发展抽象能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|空间向量概念（单位向量、相反向量）、简单线性运算|单选1-7，直接考查定义辨析与中点向量表示，强化几何直观| |提升层|共线/共面判定、向量分解|多选8-10结合命题判断，填空11-13训练参数计算，培养推理意识| |综合层|基底表示、综合应用|解答14-15需系统分解向量及求最值，体现运算能力与模型观念|

1.1.1 空间向量及其线性运算限时训练 1．（25-26高二上·天津·阶段检测）下列关于空间向量的命题中，正确的是（   ） A．空间中所有的单位向量都相等 B．长度相等且方向相反的两个向量是相反向量 C．若满足，且同向，则 D．两个向量相等，则它们的起点与终点相同 【答案】B 【分析】根据题意，利用向量的定义、相等向量和相反向量的定义，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于A，向量是既有大小又有方向的量，所有单位向量的模相等，方向不一定相同， 所以空间中所有的单位向量不一定相等，所以A错误； 对于B，由相反向量的定义知，长度相等且方向相反的两个向量是相反向量，所以B正确； 对于C，由向量的定义知，向量不能比较大小，所以C错误； 对于D，根据相等向量的定义知，长度相等且方向相同的两个向量是相等向量，但相等向量的起点和终点不一定相同，所以D错误. 故选：B. 2．（25-26高二下·江苏徐州·阶段检测）在四面体中，为棱的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据空间向量的线性运算即可求解. 【详解】在四面体中，为棱的中点， 则， 则. 3．（25-26高二上·陕西西安·阶段检测）在长方体中，E，F分别是AB，的中点，则与向量相反的向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据长方体的性质及中位线的性质，分析即可得答案. 【详解】因为E，F分别是AB，的中点， 所以且，，， 所以与向量相反的向量为. 故选：C 4．（25-26高二上·新疆喀什·期中）设，是空间两个不共线的非零向量，已知，，，且、、三点共线，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】把问题转化为两向量平行，求参数的问题求解. 【详解】因为. 因为、、三点共线，所以. 所以. 故选：D 5．（25-26高二下·江苏淮安·阶段检测）已知是三个不共面的向量，则下列向量组中共面的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对于ABCD中的各组向量均先假设其共面，从而依据共面定理得向量的线性组合和等量关系，进而根据向量相等其相应向量系数相等得到方程组，再根据方程组有解还是无解即可判断向量是否共面. 【详解】对于A，设，，共面，则必有不全为0的实数，， 使得，又，，不共面， 所以，无解，所以，，不共面，故A不符合； 对于B，设，，共面，则必有不全为0的实数，， 使得，又，，不共面， 所以，无解，所以，，不共面，故B不符合； 对于C，假设，，共面，则必有不全为0的实数，， 使得，又，，不共面， 则，故，所以，，共面，故C符合题意； 对于D，设，，共面，则必有不全为0的实数，， 使得，又，，不共面， 所以，无解，所以，，不共面，故D不符合. 故选：C. 6．（25-26高二下·河南新乡·期中）如图，在三棱锥中，为的中点，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据空间向量的加减法及数乘运算计算求解. 【详解】因为为的中点，所以， 因为， 所以． 7．（25-26高二上·安徽·期末）已知动点Q在所在平面内运动，若对于空间中任意一点P，都有，则实数m的值为（    ） A．0 B． C． D．2 【答案】B 【分析】利用空间中四点共面的推论可求的值. 【详解】由条件可知，四点共面， 又因为， 所以，解得， 故选：B. 8．（25-26高二·全国·暑假作业）（多选）在以下命题中，不正确的命题是（   ） A．已知A，B，C，D是空间任意四点，则 B．是共线的充要条件 C．若与共线，则表示与的有向线段所在直线平行 D．对空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若（其中），则P，A，B，C四点共面 【答案】BCD 【分析】根据空间向量线性运算、模、平行、共面等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】，故A正确； 若，同向共线，则，故B不正确； 若与共线，则表示与的有向线段所在直线重合或平行，故C不正确； D选项中，只有时，才有P，A，B，C四点共面，故D不正确． 9．（25-26高二上·重庆·期中）（多选）如图，在棱长为2的正四面体ABCD中，E，F，G分别是AB，AD，DC的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】利用向量的线性运算与数量积定义逐项分析即可. 【详解】对于,由题意得，错误； 对于,，正确； 对于,，正确； 对于,，错误. 故选： 10．（25-26高二上·河北邢台·阶段检测）（多选）已知三点不共线，为平面外一点，下列条件中能确定四点共面的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】空间向量基本定理及推论判断即可. 【详解】因为，结合平面向量的基本定理可知四点共面，所以A选项正确； 由空间向量基本定理可知，若四点共面，则需满足存在实数，使得，且，显然B选项不正确，C选项正确； 化简，可得， 满足四点不共面，D选项不正确． 故选：AC 11．（25-26高二下·甘肃兰州·期中）已知A,B,C三点不共线，对空间任意一点O，都满足.若A,B,C,D四点共面，则m＝______. 【答案】2 【分析】根据空间向量共面定理的推论求解. 【详解】因为A,B,C,D四点共面，所以3＋2－3m＋m＝1，解得m＝2. 12．（25-26高二·全国·暑假作业）设是不共线的向量，已知，若A，B，D三点共线，则实数k为______． 【答案】 【详解】因为，又A，B，D三点共线， 由向量共线的充要条件得，所以． 13．（25-26高二上·云南迪庆·期末）如图，在平行六面体中，，，，点为线段的中点，则______（用含有的式子表示）．    【答案】 【分析】先求出向量的表达式，再利用中点性质得到，最后通过向量减法求出. 【详解】，因为是的中点， 所以，但，而， 所以. 故答案为： 14．（25-26高二上·天津河西·期中）如图，在平行六面体中，是的中点，是的中点，是的中点，点在上，且，设，用基底表示以下向量：    (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）（2）（3）（4）利用空间向量的线性运算求解即可. 【详解】（1）如图，连接，    则， （2）连接，则 ． （3）， （4） . 15．（25-26高二上·湖北武汉·期中）已知向量，，是空间中不共面的三个向量，若，，. (1)若三点共线，求的值； (2)若四点共面，求的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据向量共线可得答案； （2）由四点共面设，得出，再由配方求最值可得答案. 【详解】（1）因为B，C，D三点共线，则， 又， ， 所以 即， 解得，所以； （2）因为A，B，C，D四点共面，所以， 即 ， 于是有， 解得，即， 所以， 当，时，取到最大值. 2 / 8 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.1.1 空间向量及其线性运算限时训练 1．（25-26高二上·天津·阶段检测）下列关于空间向量的命题中，正确的是（   ） A．空间中所有的单位向量都相等 B．长度相等且方向相反的两个向量是相反向量 C．若满足，且同向，则 D．两个向量相等，则它们的起点与终点相同 2．（25-26高二下·江苏徐州·阶段检测）在四面体中，为棱的中点，则（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·陕西西安·阶段检测）在长方体中，E，F分别是AB，的中点，则与向量相反的向量为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·新疆喀什·期中）设，是空间两个不共线的非零向量，已知，，，且、、三点共线，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高二下·江苏淮安·阶段检测）已知是三个不共面的向量，则下列向量组中共面的是（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高二下·河南新乡·期中）如图，在三棱锥中，为的中点，，则（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高二上·安徽·期末）已知动点Q在所在平面内运动，若对于空间中任意一点P，都有，则实数m的值为（    ） A．0 B． C． D．2 8．（25-26高二·全国·暑假作业）（多选）在以下命题中，不正确的命题是（   ） A．已知A，B，C，D是空间任意四点，则 B．是共线的充要条件 C．若与共线，则表示与的有向线段所在直线平行 D．对空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若（其中），则P，A，B，C四点共面 9．（25-26高二上·重庆·期中）（多选）如图，在棱长为2的正四面体ABCD中，E，F，G分别是AB，AD，DC的中点，则（    ） A． B． C． D． 10．（25-26高二上·河北邢台·阶段检测）（多选）已知三点不共线，为平面外一点，下列条件中能确定四点共面的是（    ） A． B． C． D． 11．（25-26高二下·甘肃兰州·期中）已知A,B,C三点不共线，对空间任意一点O，都满足.若A,B,C,D四点共面，则m＝______. 12．（25-26高二·全国·暑假作业）设是不共线的向量，已知，若A，B，D三点共线，则实数k为______． 13．（25-26高二上·云南迪庆·期末）如图，在平行六面体中，，，，点为线段的中点，则______（用含有的式子表示）．    14．（25-26高二上·天津河西·期中）如图，在平行六面体中，是的中点，是的中点，是的中点，点在上，且，设，用基底表示以下向量：    (1)； (2)； (3)； (4)． 15．（25-26高二上·湖北武汉·期中）已知向量，，是空间中不共面的三个向量，若，，. (1)若三点共线，求的值； (2)若四点共面，求的最大值. 2 / 8 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $