第一章 勾股定理 单元综合培优检测试题 2026-2027学年北师大版数学八年级上册

**基本信息** 本卷为初中数学勾股定理单元复习检测卷，通过选择、填空、解答题（10/5/8题，30/15/75分）覆盖定理概念、证明及实际应用，融合古算文化与现代生活情境，适配单元知识巩固与核心素养提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|勾股数、定理证明（赵爽弦图）、最短路径|结合圆柱、台阶几何模型，考查空间观念| |填空题|5/15|直角三角形边长计算、正方形面积关系|设置梯子滑动问题，培养几何直观| |解答题|8/75|古算题（葭生池中）、实际应用（运输车门洞）、定理证明（等面积法）|综合实践题运用“双求法”，发展推理能力与创新意识|

第一章勾股定理单元综合培优检测试题 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列各组数中，是勾股数的是(    ) A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 2.利用四个全等的直角三角形可以拼成如图所示的图形，利用这个图形可以得到(    ) A. B. C. D. 3.如图，分别以直角三角形的三边为直径作半圆，且，，则  (    ) A. B. C. D. 4.如图，图中所有的三角形都是直角三角形，四边形都是正方形，正方形，，，的边长分别是，则最大正方形的面积是(    ) A. B. C. D. 5.在中，，，的对边分别记为，，，下列条件中，不能判定是直角三角形的是(    ) A. B. C. D. 6.如图，一个三级台阶每一级的长、宽、高分别为，，，点和点是这个台阶上两个相对的顶点，点的蚂蚁想到点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点的最短路程为(    ) A. B. C. D. 7.的三边长分别为，，。下列条件：，，。其中能判断是直角三角形的有(    ) A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 8.游泳员小明横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点偏离欲到达点米如图，岸边，他在水中实际游了米，则这条河宽为(    ) A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 9.图为圆柱形笔筒，图为其模型，已知模型底面半径为，高为壁厚不计，在笔不漏出笔筒的前提下，能放入的铅笔最长为(    ) A. B. C. D. 10.某数学兴趣小组开展了笔记本电脑的张角大小的实践探究活动．如图，当张角为时，顶部边缘处离桌面的高度为，此时底部边缘处与处间的距离为小组成员调整张角的大小继续探究，最后发现当张角为时点是点的对应点，顶部边缘处到桌面的距离为，则底部边缘处与之间的距离为  (    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11.已知一个直角三角形的两边长分别为和，则第三边长的平方是          ． 12.如图，在直线上有三个正方形，，，若正方形，的面积分别为和，则正方形的面积为          ． 13.如图，在中，是斜边上的高，，，则          ． 14.如图所示，梯子靠在墙上，梯子的顶端到墙根的距离为，梯子的底端到墙根的距离为，一不小心梯子顶端下滑了到，底端滑动到，那么的长是           15.如图，某自动感应门的正上方处装着一个感应器，离地高度，当人体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开一个身高的学生正对门，缓慢走到离门的地方时，感应门自动打开，则           三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16.本小题分 年，加菲尔德用如图所示的图形验证了勾股定理． 请用含，，的代数式通过两种不同的方法表示直角梯形的面积不需要化简 方法          ． 方法          ． 利用“等面积法”，推导，，之间满足的数量关系，完成勾股定理的验证． 17.本小题分 今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何？选自九章算术 题目大意：如图，有一个水池，水面是一个边长为丈“尺”“丈”是我国传统长度单位，丈尺的正方形，在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面尺．如果把这根芦苇垂直拉向岸边，那么它的顶端恰好到达岸边的水面．这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？ 18.本小题分 如图是公园游玩区的“大摆锤”项目，图是其抽象示意图，当摆锤静止时，摆锤离地面的垂直高度，摆锤的摆动幅度最大到前方的处即，此时摆锤离地面的垂直高度，那么整个摆锤的长为多少 19.本小题分 如图，在四边形草坪中，若，，，求这块草坪的面积． 20.本小题分 如图，中，，． 求高的长 的面积为          ． 21.本小题分 素材某应急物资储藏室的门洞截面是由如图所示的图形构成的，图形下面是长方形，上面是半圆，为圆心，， 素材一辆装满货物的运输车，其外形高，宽。 任务画长方形，使，且在上，在半圆上 任务求出点到的距离 任务这辆运输车能通过储藏室的门吗说明理由。 22.本小题分 吊车在行驶过程中会产生较大的噪声．如图，有一台吊车沿公路由点向点行驶，已知点处为一所学校，点与直线上两点，的距离分别为和，，吊车周围以内为受噪声影响区域． 求的度数． 学校会受噪声影响吗？为什么？ 若吊车的行驶速度为每分钟，则噪声影响该学校持续的时间为多少分钟？ 23.本小题分 综合与实践 【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力如图，这是著名的“赵爽弦图”，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理思路是：大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式，化简得出结论这里是用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． 【方法运用】千百年来，人们对勾股定理的证明热情不减，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者向常春在年构造发现了一个新的证法：把两个全等的直角三角形和直角三角形按如图放置，，交于点，其三边长分别为，，，，显然． 请用，，分别表示出图中四边形、梯形和的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，证明勾股定理 【方法迁移】 请利用“双求法”解答问题：如图，小方格都是边长为的正方形，则中边上的高是           如图，在中，是边上的高，，，，设，求的值． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $参考答案 1.C 2.B 3.D 4.B 5.C 6.C 8.A 9.C 10.A 11.100或28 12.16 13.2.4 14.8 15.1.5 16.【小题1】 a+bia+b例 b+ab 1 2 【小题2】 由题意，符a+ba+b)=b+c2+2ab∴a+b 2 ∴.a2+b2=c21 17.解：设水池的深度OA为X尺，则芦苇的长度OB为x+1)尺 由于芦苇位于水池中央，所以AC为5尺 在Rt△OAC中，由勾股定理，可得AC2+OA2=OC, 即52+X2=(x+12,解得x=12 12+1=13 因此，水池的深度是12尺，芦苇的长度是13尺. 18.解：设AC=xm,则AD=AC=xm, 因为BE=CF=3m,DE=1m, 所以BD=BE-DE=3-1=2(m). 所以AB=AD-BD=(x-2)m, 在Rt△ABC中，由勾股定理，可得AB+BC=AC2, 第1页，共1页 2+9p7=9+q0z+P:3+ +9D 0‘L 即(x-2P+42=X” 解得x=5,即整个摆锤的长AC为5m. 19.解：连接AC. 在Rt△ABC中，由勾股定理，得AC2=AB+BC=20+152=625=252 .∴.AC=25m1 在Rt△ADC中，由勾股定理，得AD+CD=AC, .AD=AC2-CD2=242 .∴.AD=24m ∴SgAB·BC+号AD-CD=号×20×15+号×24×7=234m. 1 :这块草 ABCD的面积为234m2: 20.【小题1】 解：.AD⊥BC, ∴.∠ADC=∠ADB=90 在Rt△ABD和Rt△ACD中， AB=AC, AD=AD, .Rt△ABD=Rt△ACD(HL' ∴.BD=DC=6 第2页，共1页 .AD2=AB2-BD2=102-62=82: .AD=8 【小题2】 48 21.【小题1】 解：如图所示； B M 【小题2】 过点O作OE⊥FG于点E,连接OF,OG。 由题意知FG=MN=1.6,OG=OF=1, .OE⊥GF, ∴F=rG-FG=08. .OE2+EF2=0F2, ∴.0E2+0.82=12, ∴.0E=0.6, 故点O到FG的距离为0.6m; 【小题3】 这辆货车能通过储藏室的门。 理由：FM=AB+OE=1.8+0.6=2.4>2.3 .这辆货车能通过储藏室的门。 22.【小题1】 解：依题意，得AC=120m,BC=160m, AB=200m, 第3页，共1页 .AC2+BC2=A B2. :△ABC是直角三角形，∠ACB=90 【小题2】 学校C会受噪声影响.理由如下： 如图，过点C作CD⊥AB于点D, AC-RG-CD-ABR. .CD=AC.BC=120X160=961m AB 200 .吊车周围120m以内为受噪声影响区域，且96<120， :.学校c会受噪声影响. 【小题3】 如图，在AB上取一点E,使CE=120m,连接CE, .∴.CE=AC=120m. :.当吊车在线段AE上时产生的噪声会影响学校. CD⊥AB, .'ED=AD' 在Rt△CDA中，AD=AC2-CD=120-962=72, 第4页，共1页 ∴.AD=72m. ∴.AE=2AD=144m .∴.144÷60=2.4min 答：吊车产生的噪声影响该学校持续的时间为2.4min. 23.【小题1】 :Sm&5amt5am方AD-BF+AD-CF-方AD1F+CF-=AD·BC-2. Swb+a)-b,S6m号BEDE=a-b)小a,5m&0s 形本8么EBD, .ba)b+(a-bja.ab+-@b..ob; 2 2 【小题2】 1.4 【小题3】 在Rt△ABD中，由勾股定理，得AD2=AB2-BD=42-X2=16-x2.,·BD+CD=BC=6, ∴.CD=BC-BD=6-X.在Rt△ACD中，由勾股定理，得 AD2=AC2-CD2=52-(6-x=-1+12x-,16-=-11+12x-,解符x=是 第5页，共1页