27.2 反比例函数的图象和性质 一课一练2026-2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 初中数学九年级上册27.2反比例函数同步练，以"基础巩固-几何综合-跨函数探究"分层设计，覆盖从概念理解到综合应用的完整路径，培养抽象能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|反比例函数图象、象限分布、增减性|单选题1-4直接考查概念，填空题11-13强化解析式求解| |中档|几何图形与反比例函数结合|第5题圆与函数相切求距离，第15题面积法求解析式，体现几何直观| |提升|跨函数综合与探究|第19题二次函数与反比例函数综合，第20题函数性质探究，发展创新意识|

27.2 反比例函数的图象和性质 一课一练2026-2027学年 人教版九年级数学上册 一、单选题 1．反比例函数的图象大致是（    ） A．   B．   C．   D．   2．若反比例函数y的图象经过第二、四象限，则k的取值范围是（　　） A．k＞1 B．k＜1 C．k＞﹣1 D．k＜﹣1 3．下列函数：①；②；③；④，其中随的增大而增大的函数是（    ） A．①③ B．③④ C．②④ D．②③ 4．反比例函数的图象经过点，则该反比例函数的图象在（   ） A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、四象限 D．第三、四象限 5．如图，在平面直角坐标系中，点、在函数的图象上，分别以、为圆心，1为半径作圆，当与轴相切、与轴相切时，连结，，则的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．8 6．已知正比例函数与反比例函数，它们的图象的共同特征是（    ） A．这两个函数的图象都在第一象限与第三象限； B．当自变量的值逐渐增大时，的值则随着逐渐增大； C．当自变量的值逐渐增大时，的值则随着逐渐减小； D．点（，）与点（，）皆为这两个函数图象的公共点． 7．若反比例函数的图像经过，下列判断不正确的是（    ） A．图像在第二、四象限 B．图象经过点 C．函数值随着的增大而增大 D．图象关于原点中心对称 8．反比例函数的图象在每个象限内都是自左向右下降，则的范围为（    ） A． B． C． D． 9．如图，平行四边形的顶点在轴的负半轴上，顶点都在反比例函数的图象上，且边经过原点．则平行四边形的面积为（   ） A． B． C． D． 10．已知二次函数的图象如图所示，图象与x轴交于，顶点是，则一次函数的图象和反比例函数的图象在同一坐标系中大致为（　　）    A．   B．   C．    D．   二、填空题 11．反比例函数的图象位于第一、三象限，其中第一象限内的图象经过点，请在第三象限内的图象上找一个你喜欢的点，你选择的点坐标为______． 12．已知反比例函数的图象上有三点，，，则，，的大小关系为__________．（用“>”连接） 13．已知近视眼镜镜片的度数（度）与镜片焦距（米）成反比例．若度的近视眼镜镜片的焦距为米，那么与的函数表达式为______．（不要求写自变量的取值范围） 14．已知双曲线与直线有一交点为．则_________． 15．如图，点在反比例函数的图象上，轴，垂足为A，B为中点．若，则该反比例函数的表达式为____． 三、解答题 16．已知A（m+3，2）和B（3，）是同一个反比例函数图象上的两个点． (1)求出m的值； (2)写出反比例函数的表达式，并画出图象． 17．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象上与反比例函数的图象交于、两点，与轴交于点，已知点，点的横坐标为． (1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)若点是轴上一点，且，求点坐标． 18．某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压（千帕）是气球的体积（立方米）的反比例函数，其图象如图所示． (1)求该反比例函数的表达式；（不用写自变量的取值范围） (2)当气球内的气压为千帕时，求气球的体积． 19．已知二次函数（是常数，且） (1)证明：不论取何值时，该二次函数图象总与轴有两个交点； (2)若，是该二次函数图象上的两个不同点，当时，求二次函数表达式； (3)若二次函数图象与轴两个交点的横坐标分别为，（其中），是关于的函数．且，当时，求的取值范围． 20．探究函数的性质时，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，观察分析图象的特征，概括函数的性质的过程．以下是我们探究函数性质的部分过程．请按要求完成下列各小题． (1)下表是该函数y与自变量x的几组对应值，请依次写出m，a，b的值； x …… －5 －4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4 5 … y … －2.6 a 1 3 不存在 1 b 5.5 … (2)根据表格中的数据在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象，并根据图象写出该函数的一条性质； (3)已知函数的图象，如图所示，请结合所画的函数图象，直接写出不等式的解集（误差不超过0.1）． 试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D D B C D C A C A 1．【答案】C 【知识点】判断（画）反比例函数图象 【分析】本题主要考查反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键．根据题意可直接进行求解． 【详解】解：∵反比例函数中， ∴图象分布在第二、四象限，即：    故选：C． 2．【答案】D 【知识点】已知双曲线分布的象限，求参数范围 【分析】根据反比例函数的性质列出关于k的不等式，求出k的取值范围即可． 【详解】解：∵反比例函数y=的图象的两个分支分别位于第二、四象限， ∴k+1＜0，解得k＜-1． 故选：D． 【点睛】本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数的图象与系数的关系是解答此题的关键． 3．【答案】D 【知识点】判断一次函数的增减性、y=ax²+bx+c的图象与性质、判断反比例函数的增减性 【分析】本题考查一次函数，反比例函数，二次函数的图象和性质．根据一次函数，反比例函数，二次函数的图象和性质判断选择即可．对于一次函数，当时，y的值随x的增大而增大．当时，y的值随x的增大而减小；对于反比例函数，当时，y的值随x的增大而减小．当时，y的值随x的增大而增大；对于二次函数，当时，图象开口向上，在对称轴左侧，y的值随x的增大而减小．在对称轴右侧，y的值随x的增大而增大．当时，图象开口向下，在对称轴左侧，y的值随x的增大而增大．在对称轴右侧，y的值随x的增大而减小． 【详解】①，其中，故y的值随x的增大而减小，不符合题意； ②，其中，故y的值随x的增大而增大，符合题意； ③，其中，故当时，y的值随x的增大而增大，符合题意； ④，其中，即其图象开口向上，对称轴为y轴，故当时，y的值随x的增大而减小，不符合题意． 综上可知y的值随x的增大而增大的函数为②③． 故选：D． 4．【答案】B 【知识点】判断反比例函数图象所在象限 【分析】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，将点代入求出的值，再判断函数图象所在象限．所有在反比例函数上的点的横纵坐标的积应等于比例系数． 【详解】解：将点代入得，， 可知函数图象位于一、三象限． 故选：B． 5．【答案】C 【知识点】已知两点坐标求两点距离、反比例函数与几何综合 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质的应用．依据题意，可得，，再由，从而，进而得解． 【详解】解：由题意，得，． ， 由两点距离公式可得：． ． 或5． 又， ． 故选：C． 6．【答案】D 【知识点】判断一次函数的增减性、判断反比例函数的增减性、一次函数与反比例函数的其他综合应用 【分析】根据函数图象经过的象限，增减性即函数的性质分别判断． 【详解】解：A、正比例函数的图象在第一、三象限且过原点，反比例函数的两个分支在第一、第三象限但不过原点，故该项错误； B、正比例函数，当自变量的值逐渐增大时，的值则随着逐渐增大；反比例函数，当自变量的值逐渐增大时，的值则随着逐渐减小，故该项错误； C、正比例函数，当自变量的值逐渐增大时，的值则随着逐渐增大；反比例函数，当自变量的值逐渐增大时，的值则随着逐渐减小，故该项错误； D、正比例函数，当x=1时y=2；当x=-1时y=-2，故点（，）与点（，）在此函数图象上；反比例函数，当x=1时y=2；当x=-1时y=-2，故点（，）与点（，）在此函数图象上；故点（，）与点（，）皆为这两个函数图象的公共点． 故选：D． 【点睛】此题考查了正比例函数与反比例函数的性质，熟记两者的性质是解题的关键． 7．【答案】C 【知识点】判断反比例函数图象所在象限、判断反比例函数的增减性、求反比例函数解析式 【分析】本题主要考查了求反比例函数的解析式、反比例函数的图像与性质，把点代入反比例函数求出，得到函数解析式，再逐一判断选项是否正确． 【详解】解：反比例函数的图像经过点， 可得：， 解得：， 反比例函数的解析式为， A选项：， 反比例函数的图像在第二、四象限， 故A选项正确； B选项：当时，， 反比例函数的图像经过点， 故B选项正确； C选项：反比例函数中，， 函数图像经过第二、四象限，且在每个象限内数值随着的增大而增大， 故C选项不正确； D选项：反比例函数图像关于原点中心对称，故D选项正确． 故选：C． 8．【答案】A 【知识点】已知反比例函数的增减性求参数 【分析】本题考查了反比例函数的性质：反比例函数（为常数，）的图象为双曲线，当>，图象分布在一、三象限，在每一象限内，随的增大而减小；当，图象分布在二、四象限，在每一象限内，随的增大而增大，熟练掌握反比例函数的性质解题关键．根据反比例函数的性质得到，然后解不等式即可． 【详解】反比例函数的图象在每个象限内都是自左向右下降， ， ， 故选：A． 9．【答案】C 【知识点】利用平行四边形的性质求解、已知比例系数求特殊图形的面积 【分析】设点的坐标为，根据反比例函数的中心对称性可得点的坐标，再设点的坐标为，利用平行四边形的性质，表示出点的坐标，代入反比例函数解析式得到与的关系，最后根据三角形面积公式和平行四边形面积与三角形面积的关系求解． 【详解】解：设点的坐标为， ∵ 四边形是平行四边形，且边经过原点， ∴点与点关于原点对称， ∴，且为的中点， ∴ ， ∴ ， 设， ∵ 四边形是平行四边形，且设点， ， 整理得：， ∴点， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， 整理得：，即， ∴，即． ∵在轴负半轴， ∴，符合题意． ∴． ∴． 故选：C． 10．【答案】A 【知识点】反比例函数、二次函数图象综合判断、一次函数、二次函数图象综合判断 【分析】本题考查了二次函数的图像，一次函数和反比例函数的图像，熟练掌握知识点是解题的关键． 先由二次函数的图像来确定，的符号，再由顶点坐标的位置确定的符号即可 【详解】解：图象与x轴交于，顶点是， ∴对称轴为直线， ∴图像与x轴另一交点为， ∴设， 化简得：， ∴， 有图像可知，，与x轴有两个交点， ∴， ∴， 而， ∴图像经过第一、二、四象限， ∵顶点在第三象限，∴，∴ 而， ∴反比例函数解析式为， ∴图像过第一、三象限， 综上，可知A选项符合题意． 故选：A． 11．【答案】（-1，-3）（答案不唯一） 【知识点】判断反比例函数图象所在象限 【分析】根据“第一象限内的图象经过点A（1，3）”先求出函数解析式，给x一个值负数，求出y值即可得到坐标． 【详解】解：∵反比例函数图象经过点A（1，3）， ∴， 解得k=3， ∴函数解析式为y=， 当x=-1时，y==-3， ∴故答案为（-1，-3）（答案不唯一）． 【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，理解反比例函数图像的基本性质是解题关键． 12．【答案】 【知识点】比较反比例函数值或自变量的大小 【分析】先判断反比例函数比例系数的符号，再根据反比例函数的性质，判断三个点所在的象限，结合每一象限内函数的增减性比较函数值的大小． 【详解】解：反比例函数中，， 又， ， ， 函数图象的两个分支分别位于第二、四象限，且在每一象限内，随的增大而增大． ，，三点在函数图象上， ，在第二象限，点在第四象限， ， 即． 13．【答案】 【知识点】求反比例函数解析式 【分析】根据题意可设， 再代入已知对应值求出比例系数，即可得到所求函数表达式． 【详解】解：根据题意可设， 将，代入得， 解得， ， 故答案为：． 14．【答案】/ 【知识点】异分母分式加减法、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】由双曲线与直线的交点为可知分别满足两个解析式，即、，代入到原式可得答案． 【详解】解：双曲线与直线的交点坐标为， ，， ∴， 则， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查反比例函数与一次函数的交点问题，根据交点坐标知、满足两解析式，从而得到、的值是解题的关键． 15．【答案】 【知识点】根据图形面积求比例系数（解析式） 【分析】本题主要考查了反比例函数的几何意义，解题的关键是正确的运用面积求的值． 由点为的中点，可以求得的面积，根据反比例函数的几何意义即可求解． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上，图象在第二象限， ∴，，， ∵轴， ∴， ∴， 为中点， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴ ∴， ， 故该反比例函数的表达式为． 故答案为：． 16．【答案】(1)-6 (2)y＝﹣，图见解析 【知识点】求反比例函数解析式、判断（画）反比例函数图象 【分析】（1）由反比例函数图象上点的特征可得到2（m+3）＝m，可求得m的值； （2）由A、B两点的坐标，利用待定系数法可求得反比例函数的解析式，列表、连线可画出图象． 【详解】（1）解：∵A（m+3，2）和B（3，）是同一个反比例函数图象上的两个点， ∴2（m+3）=m， 解得m=﹣6； ∴m的值为-6； （2）解：由（1）知：m=﹣6， ∴B（3，-2）， 设反比例函数的表达式为：， 把B（3，-2）代入得：k=﹣6， ∴反比例函数的表达式为：， 列表： x -6 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 6 y 1 1.5 2 3 6 -6 -3 -2 -1.5 -1 描点，连线，反比例函数的图象如图所示． 【点睛】本题考查了用待定系数法求函数解析式，函数图形的作图，关键在于掌握各项基本知识． 17．【答案】(1)，； (2)或． 【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点，解题的关键是利用坐标解出函数的解析式． （1）把点代入，解得，即可求得反比例函数的解析式以及B的坐标，然后根据待定系数法即可求得一次函数的解析式． （2）根据求得，进而即可求得D的坐标． 【详解】（1）解：将点代入，得， 反比例函数的解析式为， 点的横坐标为， 将代入，得， ． 将，代入， 得，解得， 一次函数的解析式为； （2）由可知， ， ， 或． 18．【答案】(1) (2)立方米 【知识点】实际问题与反比例函数、求反比例函数解析式 【分析】本题考查反比例函数的应用，解题的关键是掌握反比例函数的图象和性质，根据点在反比例函数图象上，求出反比例系数，再根据反比例函数的性质，进行解答，即可． （1）设，根据点在反比例函数图象上，代入，求出，即可； （2）根据题意，当，代入反比例函数解析式，求出，即可． 【详解】（1）解：设， 由函数图象可得，点在反比例函数图象上， ∴， ∴， ∴反比例函数的表达式为． （2）解：由（1）得，反比例函数的表达式为：， 当时， ∴， 答：当气球内的气压为千帕时，气球的体积为立方米． 19．【答案】(1) 证明：在二次函数中， ∵， ∴不论取何值时，该二次函数图象总与轴有两个交点； (2) (3)或 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、抛物线与x轴的交点问题、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】本题主要考查二次函数与轴的交点的判定，二次函数图象的性质，反比例函数与一次函数的交点求不等式的解集，理解二次函数与轴交点的判定方法“，有两个不同的交点”，二次函数图象的对称性，反比例函数与一次函数图象的性质，掌握二次函数图象的性质，反比例函数与一次函数交点求不等式的解集的方法是解题的关键． （1）根据二次函数与轴交点的判定方法进行判定即可； （2）当时，点是二次函数上关于对称轴对称的两个点，由此可得对称轴直线，解出的值，代入即可求解； （3）分别用含的式子表示出，再代入，得到是关于的函数是反比例函数，根据题意作图，数形结合分析即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵，是该二次函数图象上的两个不同点， ∴当时，点是二次函数上关于对称轴对称的两个点， ∴二次函数对称轴为， ∴， 解得，， ∴二次函数解析式为：； （3）解：令，则， ∵， ∴， ∵， 解得，，， ∵， ∴， 如图所示， 当时，， 解得，， ∴当时，或． 20．【答案】(1)，，； (2)见解析 (3)或 【知识点】判断（画）反比例函数图象、一次函数与反比例函数的其他综合应用 【分析】（1）代入一对x、y的值即可求得m的值，然后代入x=-3求a值，代入x=3求b值即可； （2）利用描点作图法作出图像并写出一条性质即可； （3）根据图像求出即可． 【详解】（1）把x=2，y=1代入得， ∴ ∴ 当时， 当时， ∴，，； （2）描点，连线，得 性质：函数图象处左向右逐渐上升，对应的函数值随x的增大而增大； （3）根据图象可得，不等式的解集为或． 【点睛】本题主要考查一次函数和反比例函数图象性质，熟练掌握描点作图和一次函数及反比例函数图象性质是解题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $