27.2 反比例函数的图象和性质 同步练习 2026-2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 本同步练习通过基础巩固、性质应用、综合探究三层设计，覆盖反比例函数定义、图象性质及综合应用，梯度合理，适配新授课知识巩固与核心素养培养。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|反比例函数定义、k值求解、象限判断|单选1-2、填空6-7直接考查概念，夯实抽象能力| |提升层|性质应用（增减性、比较大小）、交点问题|单选3-5、填空8-9结合图象分析，培养推理意识| |综合层|方程、几何、新定义综合应用|解答16-17（“好点”探究）融合多知识点，发展应用意识|

27.2《反比例函数的图象和性质》同步练习 一、单选题 1．下列函数中是反比例函数的是（     ） A． B． C． D． 2．反比例函数的图像经过点，则的值为（     ） A． B． C． D． 3．已知反比例函数，下列结论正确的是（     ） A．图象分别位于第一、三象限 B．随的增大而增大 C．图象经过点 D．当时， 4．若点A(x1，2)、B(x2，-1)、C(x3，4)都在反比例函数 的图象上，则x1、x2、x3的大小关系是（     ） A． B． C． D． 5．反比例函数， 点 在该函数图象上，则 的大小关系是（     ） A． B． C． D． 二、填空题 6．若函数是反比例函数，则k的值为__________． 7．如果反比例函数（a是常数）的图象在第一、三象限，那么a的取值范围是______． 8．点在一次函数上，也在反比例函数上，则的值为________． 9．已知反比例函数的图象上有三点，，，则，，的大小关系为__________．（用“>”连接） 10．已知反比例函数，对于正数m，当自变量x满足时，函数y的最小值为a，则当时，函数y的最小值为_______，最大值为_______．（用含a的式子表示） 三、解答题 11．已知与成反比例，且其函数图象经过点． (1)求关于的表达式； (2)当时，求的值． 12.已知反比例函数的图象经过点． (1)求该函数解析式； (2)判断点是否在该函数图象上． 13.已知点，点均在反比例函数上，且． (1)若时，求的值； (2)若时，求的值； (3)随着的变化，的值是否变化？若不变，请求出这个值；若变化，说明理由． 14．反比例函数过，点与点关于直线对称，抛物线经过A、B两点． (1)求反比例函数的表达式； (2)若抛物线的对称轴为，求抛物线的表达式； (3)若抛物线在的部分与反比例函数无公共点，求a的取值范围（）． 15．已知反比例函数（m为常数，且）． (1)若在其图象的每一个分支上，y随x增大而增大，求m的取值范围； (2)若点均在该反比例函数的图象上； ①求m、n的值； ②当时，求y的取值范围． 16.在平面直角坐标系中，如果一个点的纵坐标是横坐标的3倍，那么这个点被称为“好点”．例如就是“好点”． (1)下列结论： ①直线上有无数个“好点”； ②二次函数的顶点是“好点”； ③双曲线上只有一个“好点”． 以上结论中，你认为正确的是______（填写正确结论的序号）． (2)二次函数的图象上存在唯一一个好点， ①求这个二次函数解析式； ②当时，，求t的取值范围． 17.综合与实践： 《函数》复习课后，为加深对函数的认识，张老师引导同学们对函数的图象与性质进行探究．过程如下，请完成探究过程： (1)初步感知 函数的自变量取值范围是_____． (2)作出图象 ①列表： x … 0 1 2 3 4 … … 2 3 4 6 0 … 填空：表中_____，_____． ②描点，连线： 在平面直角坐标系中，描出以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象； (3)研究性质 小刚观察图象，发现这个图象为双曲线，进一步研究中，小刚将函数转化为，他判断该函数图象就是反比例函数通过某种平移转化而来，反比例函数的图象是中心对称图形，对称中心为，则函数的图象的对称中心为_____；反比例函数的图象是轴对称图形，对称轴为直线和，则函数的图象的对称轴为直线_____． (4)拓展应用 若一次函数的图象与函数的图象交于A、B两点，连接、，则的面积为_____． 参考答案 一、单选题 1．D 解：选项A：是正比例函数，不符合反比例函数定义，A错误.； ∵选项B：的分母是关于的一次二项式，不符合定义形式，B错误； 选项C：是二次函数，不符合反比例函数定义，C错误.； 选项D：可变形为，其中，符合反比例函数的定义，D正确． 2．D 解：将点代入，得，解得． 3．D 解：对于反比例函数，可得， A. ∵， ∴ 图象位于第二、四象限，不位于第一、三象限，A错误， B. 当时，只有在每个象限内随的增大而增大，选项未限定象限，B错误， C. 当时，， ∴ 图象不经过点，C错误， D. 当时，∵， ∴ . 又∵，可得，两边同乘得， ∴ ，D正确． 4．B 解：∵ 点，，都在反比例函数的图象上， ∴ 分别将三点纵坐标代入解析式： 代入点得，解得， 代入点得，解得， 代入点得，解得， ∵ ， ∴ ． 5．B 解：∵反比例函数为 ，且 ， ∴函数图象位于第二、第四象限，在每个象限内，随的增大而增大． ∵点 ，的横坐标都小于， ∴ 都在第二象限， 又∵ ， ∴， ∵点 的横坐标， ∴在第四象限， ∴， 综上可得：． 二、填空题 6．0 解：函数是反比例函数， ∴且， 解得． 7． 解：反比例函数的图象在第一、三象限， 因此比例系数， 解得， 故答案为：． 8．20 解：点在一次函数上， ∴将代入得，整理得， 点在反比例函数上， ∴将代入得，整理得， ∴. 9． 解：反比例函数中，， 又， ， ， 函数图象的两个分支分别位于第二、四象限，且在每一象限内，随的增大而增大． ，，三点在函数图象上， ，在第二象限，点在第四象限， ， 即． 10． 解：∵反比例函数， ∴图象在第一、三象限，在每个象限内，随的增大而减小， ∵对于一个正数，当时，函数的最小值为， 则时，， ∴， ∴， 当时， 当时，函数的最小值为：， 当时，函数的最大值为：． 故答案为：；． 三、解答题 11．（1）解：∵与成反比例 ∴设 ∵函数图象经过点 ∴ 解得 ∴关于的表达式为； （2）解：当时，则， 解得． 12.（1）解：把代入得：， 解得：， 所以，反比例函数解析式为； （2）解：当时，， 所以，点在该函数图象上． 13.（1）解：当，则， ∵点在反比例函数上， ∴， ∴； （2）解：当时，反比例函数为， ∵点，点均在反比例函数上， ∴，， ∴m、n为关于x的一元二次方程的两个解， 方程整理得，其中，方程有2个不相等的实数根， ∴； （3）解：不变， ∵点，点均在反比例函数上， ∴，， ∴m、n为关于x的一元二次方程的两个解， 方程整理得，其中， ∵， ∴，方程有2个不相等的实数根， ∴． 14.（1）解：∵反比例函数过， ∴， ∴； （2）∵点与点关于直线对称， ∴． ∵抛物线过点和，抛物线的对称轴为， ∴ ∴ ∴ （3）解：∵抛物线过点 ∴ 解得： ∴ 反比例函数的解析式： 令时，，即 令时，，即 当过点时，， 当过点时，， ∴抛物线在的部分与反比例函数无公共点，此时的范围：且． 15．（1）解：由题意可得， 解得； （2）解：①把，代入中， 得到， 解得， ， ， ； ②∵， ∴解析式为： 当时，, 作出大致函数图象如图： 由图象可得，当，． 16.（1）解：①直线上任意点都满足纵坐标是横坐标的3倍，有无数个“好点”，说法正确； ②二次函数， 顶点为，，是“好点”，说法正确； ③设双曲线“好点”为，代入得，解得， 得到两个好点和，不是只有一个，原说法错误； 所以正确的是①②； （2）解：①设“好点”为，代入， 得， 整理得：， ∵图象上存在唯一一个好点， ∴该一元二次方程有两个相等实数根，判别式， ∴， 解得， ∴二次函数解析式为； ②， 开口向下，当时，最大值为， 当时，， 解得或， ∵当时，， 结合函数图象得， 解得． 17.（1）解：， ， ， 函数的自变量取值范围是； （2）解：①当时，， 当时，， 解得：，即； ②图象如答图； （3）解：小刚观察图象，发现这个图象为双曲线，进一步研究中，小刚将函数转化为，他判断该函数图象就是反比例函数通过某种平移转化而来，反比例函数的图象是中心对称图形，对称中心为，则函数的图象的对称中心为；反比例函数的图象是轴对称图形，对称轴为直线和，则函数的图象的对称轴为直线和． （4）解：如图，令一次函数的图象与轴交于点， 联立， 解得：，， ，， 令，则，解得：， ， ． 学科网（北京）股份有限公司 $