精品解析：上海市光明中学2024-2025学年高三第二学期期中考试数学试卷

光明中学2024学年期中考试监测 数学试卷 （完成试卷时间：120分钟 总分：150分） 一、填空题．（12题，54分） 1. 若集合，，则_________. 【答案】 【解析】 【分析】由交集的定义求解即可. 【详解】因为集合，，则. 故答案为：. 2. 抛物线的焦点到准线的距离是_________________. 【答案】2 【解析】 【详解】焦点（1，0），准线方程，∴焦点到准线的距离是2. 3. 若，，其中，则_________. 【答案】3 【解析】 【分析】利用平面向量数量积的坐标表示公式，结合同角的三角函数关系式进行求解即可. 【详解】， 故答案为： 4. 已知复数满足，则的模为___________． 【答案】 【解析】 【分析】设，则，由题意建立方程解出a，b，结合复数的几何意义即可求解. 【详解】设，则， 由，得， 则，解得，所以， 所以. 故答案为： 5. 设公比为2的等比数列的前项和为，若，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据等比数列的通项公式及前n项和的概念计算即可得解. 【详解】因为， 所以，故. 故答案为：4 6. 如图，长方体的体积是120，E为的中点，则三棱锥E-BCD的体积是_____. 【答案】10. 【解析】 【分析】由题意结合几何体的特征和所给几何体的性质可得三棱锥的体积. 【详解】因为长方体的体积为120， 所以， 因为为的中点， 所以， 由长方体的性质知底面， 所以是三棱锥的底面上的高， 所以三棱锥的体积. 【点睛】本题蕴含“整体和局部”的对立统一规律.在几何体面积或体积的计算问题中，往往需要注意理清整体和局部的关系，灵活利用“割”与“补”的方法解题. 7. 已知等比数列的前项和为，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，分别求得，，，结合，列出方程，即可求解. 【详解】由等比数列的前项和为， 可得，，， 所以，解得，经检验符合题意. 故答案为：. 8. 在下列关于实数的四个不等式中，恒成立的是_______．（请填入全部正确的序号） ①；②；③；④． 【答案】②③④ 【解析】 【分析】取特值可判断①；作差法可判断②④；要证即证可判断③. 【详解】对于①，取，故①错误； 对于②，，故②正确； 对于③，当，要证，即证， 即，即证， 而恒成立， 当时，，所以，故③正确. 对于④，，所以，故④正确. 故答案为：②③④. 9. 正四棱锥底面边长为2，高为3，则点到不经过点的侧面的距离为_______． 【答案】## 【解析】 【分析】求出正四棱锥的体积，再利用等体积法可求得其距离为. 【详解】设底面正方形的中心为，的中点为，如下图所示： 易知，高，所以其斜高， 由对称性可知点到侧面与侧面的距离相等， 易知侧面和侧面与的面积， 正四棱锥的体积为， 设点到侧面的距离为， 由等体积法可得， 解得. 故答案为： 10. 双曲线的左右焦点分别为，过坐标原点的直线与相交于两点，若，则_________. 【答案】4 【解析】 【分析】由双曲线的对称性可得四边形为平行四边形，根据双曲线的定义和，得，，中，由余弦定理得，，代入求值即可. 【详解】双曲线，实半轴长为1，虚半轴长为，焦距， 由双曲线的对称性可得，有四边形为平行四边形， 令，则，由双曲线定义可知， 故有，即，即，， 中，由余弦定理， ， 即，得， . 故答案为：4. 11. 对于任意的，且，不等式恒成立，则实数的取值范围为_________. 【答案】 【解析】 【分析】通过构造函数，利用导数分别求和的最小值即可. 【详解】设函数，定义域为R，则， 当时，；当时，， 则在上单调递减，在上单调递增， 最小值为， 所以当时，有最小值1； 设函数，定义域为，则， 当时，；当时，， 则在上单调递减，在上单调递增， 最小值为， 所以当时，有最小值1， 不等式恒成立，则有， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 12. 已知空间中有2个相异的点，现每增加一个点使得其与原有的点连接成尽可能多的等边三角形.例如，空间中3个点最多可连接成1个等边三角形，空间中4个点最多可连接成4个等边三角形.当增加到8个点时，空间中这8个点最多可连接成________个等边三角形. 【答案】20. 【解析】 【分析】结合正四面体的结构特征，判断求解空间中这8个点最多可连接成等边三角形的个数. 【详解】空间中4个点最多可连接成4个等边三角形，构成正四面体， 正四面体的每一个面向外作一个正四面体，此时是增加一个点，增加正三角形3个， 新增加的4个点，又构成1个正四面体， 所以当增加到8个点时，空间中这8个点最多可连接成个等边三角形. 故答案为：20. 二、选择题．（4题，18分） 13. 某学校为了解学生参加体育运动的情况，用分层抽样的方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取40名学生，已知该校初中部和高中部分别有500和300名学生，则不同的抽样结果的种数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由分层抽样先求出初中部和高中部应抽取的学生，再由组合数公式和分步计数原理即可得出答案. 【详解】该校初中部和高中部分别有500和300名学生， 所以初中部应抽取名学生， 高中部应抽取名学生， 所以不同的抽样结果的种数为. 故选：B. 14. 下列说法不正确的是（ ）． A. 一组数据10，11，11，12，13，14，16，18，20，22的第60百分位数为14 B. 若随机变量服从正态分布，且，则 C. 若线性相关系数越接近1，则两个变量的线性相关程度越高 D. 对具有线性相关关系的变量、，且回归方程为，若样本点的中心为，则实数的值是 【答案】A 【解析】 【分析】利用百分位数的定义即可判断选项A，利用正态分布的性质即可判断选项B，根据线性相关系数的性质即可判断选项C，利用线性回归方程中的基本量即可判断选项D. 【详解】对A：因为，所以第百分位数为,A错误； 对B：若随机变量服从正态分布，且， 则， 则，B正确； 对C：若线性相关系数越接近，则两个变量的线性相关性越强，C正确； 对于D，样本点的中心为，所以，， 因为满足线性回归方程，所以，所以，D正确. 故选：A 15. 设，则双曲线的离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由题意得，双曲线的离心率， 因为是减函数，所以当时，，所以，所以，故选B. 考点：双曲线的几何性质. 【方法点晴】本题主要考查了双曲线的几何性质及其应用，其中解答中涉及到双曲线的标准方程及简单的几何性质的应用，函数的单调性及函数的最值等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算、转化与化归思想的应用，本题的解得中把双曲线的离心率转化为的函数，利用函数的单调性是解答的关键，试题有一定的难度，属于中档题. 16. 已知，集合，，. 关于下列两个命题的判断，说法正确的是（ ） 命题①：集合表示的平面图形是中心对称图形； 命题②：集合表示的平面图形的面积不大于. A. ①真命题；②假命题 B. ①假命题；②真命题 C. ①真命题；②真命题 D. ①假命题；②假命题 【答案】A 【解析】 【分析】根据是奇函数，可以分析出当时，所以集合表示的平面图形是中心对称图形；结合集合代表的曲线及不等式的范围可以确定集合表示的平面图形，从而求得面积，与进行比较. 【详解】对于，集合关于原点中心对称，且函数是奇函数， 若则则， 即若则，即集合表示的平面图形是关于原点中心对称图形，故①是真命题； 对于， 由即知， 设，则与一一对应且随的增大而增大，， 又由知， 结合知在范围内，与一一对应且随的增大而减小， 所以在范围内，与一一对应且是关于的减函数， 由①可知图象关于原点中心对称，所以可得到在的图象，如图 代入点可得，所以的区域是右半部分， 面积为正方形面积的一半，即集合表示的平面图形的面积，故②是假命题. 故选：A. 【点睛】方法点睛：确定不等式表示的区域范围 第一步：得到等式对应的曲线； 第二步：任选一个不在曲线上的点，若原点不在曲线上，一般选择原点，检验它的坐标是否符合不等式； 第三步：如果符合，则该点所在的一侧区域即为不等式所表示的区域；若不符合，则另一侧区域为不等式所表示的区域. 三、解答题．（5题，78分） 17. 设，函数. （1）求的值，使得为奇函数； （2）若，求满足的实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由奇函数的性质可得，代入解方程即可得出答案； （2）由，可得，则，由指数函数的单调性解不等式即可得出答案. 【小问1详解】 由为奇函数，可知， 即，解得， 当时，对一切非零实数恒成立， 故时，为奇函数. 【小问2详解】 由，可得，解得， 所以 解得：，所以满足的实数的取值范围是. 18. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，点E是棱PD上的一点，平面. （1）求证：点E是棱PD的中点； （2）若平面，，，与平面ABCD所成角的正切值为，求二面角的大小. 【答案】（1） 连接BD，它与AC交于点，连接EF， 四边形ABCD为矩形， 为BD的中点， 平面AEC，平面PBD经过PB且与平面AEC交于， ， 又点是BD的中点， 点是棱的中点. （2） 【解析】 【分析】（1）作出辅助线，由线面平行得到线线平行，结合点是BD的中点，得到证明； （2）方法一：作出辅助线，得到就是PC与平面ABCD所成角，从而根据正切值得到，证明出线面垂直，得到是二面角的平面角，求出各边长，从而得到； 方法二：作出辅助线，得到就是PC与平面ABCD所成角，建立空间直角坐标系，得到平面的法向量，利用法向量夹角余弦值得到二面角的大小. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 方法一：∵PA⊥平面，平面， 且就是PC与平面ABCD所成的角， 故，解得. 四边形ABCD为矩形， ，又，PA与AD是平面PAD内的两相交直线， 平面PAD. 在平面PAD内作，垂足为，连接GF，则， 是二面角的平面角. 在直角三角形PAD中，，点是PD的中点， ，且， 平面平面， ，故，所以， 故二面角的大小为. 方法二：∵PA⊥平面，平面， 且就是PC与平面ABCD所成的角， 又四边形ABCD为矩形，， 分别以AB，AD，AP为x，y，z轴，建立空间直角坐标系， 设是平面AEC的一个法向量，二面角的大小为， 由，可得， 则， 故， 解得且，所以， 又是平面AED的一个法向量，且为锐角， 故，可得. 所以二面角的大小为. 19. 有标号依次为1，2，…，(，)的个盒子，标号为1号的盒子里有3个红球和3个白球，其余盒子里都是1个红球和1个白球．现从1号盒子里取出2个球放入2号盒子，再从2号盒子里取出2个球放入3号盒子，…，依次进行到从号盒子里取出2个球放入号盒子为止． （1）当时，求2号盒子里有2个红球的概率； （2）设号盒子中红球个数为随机变量，求的分布及，并猜想的值（无需证明此猜想）． 【答案】（1） （2）的分布列为： ；猜想.【解析】 【分析】（1）结合排列组合与概率公式计算即可得； （2）得出的所有取值及其概率，求得其概率分布，即可得其期望，列出号盒子与号盒子中的红球个数的关系，即可得， 【小问1详解】 由题可知2号盒子里有2个红球的概率为； 【小问2详解】 由题可知可取， ， ， ， 所以3号盒子里的红球的个数的分布列为： ； 猜想，理由如下： 当时，设号盒子里有3个红球的概率为，有2个红球的概率为， 则号盒子里有1个红球的概率为， 则， ， ， 则 ， 由每个盒子中原本的红球与白球个数相等， 故号盒子中红球个数为与白球个数为的概率相等， 即，即有， 故， 当时， 有，，， ， 故可得. 20. 江南某公园内正在建造一座跨水拱桥．如平面图所示，现已经在地平面以上造好了一个外沿直径为20米的半圆形拱桥洞，地平面与拱桥洞外沿交于点与点． 现在准备以地平面上的点与点为起点建造上、下桥坡道，要求：①；②在拱桥洞左侧建造平面图为直线的坡道，坡度为 （坡度为坡面的垂直高度和水平方向的距离的比）；③在拱桥洞右侧建造平面图为圆弧的坡道；④在过桥的路面上骑车不颠簸． （1）请你设计一条过桥道路，画出大致的平面图，并用数学符号语言刻画与表达出来； （2）并按你的方案计算过桥道路的总长度；（精确到0.1米） （3）若整个过桥坡道的路面宽为10米，且铺设坡道全部使用混凝土．请设计出所铺设路面的相关几何体，提出一个实际问题，写出解决该问题的方案，并说明理由 （如果需要，可通过假设的运算结果列式说明，不必计算）． 【答案】（1） 解法1：用函数表示过桥道路为 . 解法2：用函数表示过桥道路为. （2）解法1：， 解法2：63.9． （3） 设计让桥的侧面所在平面垂直于地平面，则桥拱左侧铺设的是以曲边形为底面， 高为10米的柱体；桥拱右侧铺设的是以曲边形（）为底面，高为10米的柱体， 提问：铺设坡道共需要混凝土多少立方米？ 方案1：， 所以，铺设过桥路需要混凝土10（）． 方案2：， 所以，铺设过桥路需要混凝土10（）． 【解析】 【分析】（1）解法1；以线段的中点为坐标原点建立平面直角坐标系，求得圆的方程，得到，联立方程组，求得，设圆的半径为，求得圆的方程为，进而得到函数的解析式；解法2：以线段的中点为坐标原点建立平面直角坐标系，设圆的半径为，求得圆的方程为，得到，，进而得到函数的解析式； （2）解法1：求得圆弧的长为，得到圆弧的长为，进而求得过桥道路的总长度；解法2：根据题意，求得，得到圆弧的长，求得圆弧的长为，进而得到过桥道路的总长度； （3）设计让桥的侧面所在平面垂直于地平面，提出问题，结合面积公式，分别求得铺设过桥路需要混凝土的值. 【小问1详解】 解法1、如图所示，以线段的中点为坐标原点建立平面直角坐标系， 则，圆的方程为， 由，得，， 过点作圆的切线，切点为，直线的斜率为，其方程为， 所以直线的斜率为，其方程为，将其代入， 得点的坐标为， 经过点作圆与圆切于点（圆与y轴的交点），设圆的半径为， 则，即，解得， 所以，圆的方程为， 故用函数表示过桥道路为 . 解法2、如图所示，以线段的中点为坐标原点建立平面直角坐标系， 作圆与x轴相切于点，并和圆切于点， 设圆的半径为，则，即，解得， 所以圆的方程为， 将直线的方程代入得，点的坐标为， 所以用函数表示过桥道路为. 【小问2详解】 解法1：由点的坐标为，得， 所以圆弧的长为3.398， 由点的坐标为，点的坐标为，得， 所以圆弧的长为32.175， 所以过桥道路的总长度为， 解法2：因为，， 则，即， 所以圆弧的长为， 又由点的坐标为，得， 所以圆弧的长为， 所以过桥道路的总长度为63.9． 【小问3详解】 略 21. 已知定义在上的函数的表达式为，其所有的零点按从小到大的顺序组成数列（）. （1）求函数在区间上的值域； （2）求证：函数在区间（）上有且仅有一个零点； （3）求证：. 【答案】（1） （2） 当时， ①当是偶数时，， 函数在区间上是严格增函数； ②当是奇数时，， 函数在区间上是严格减函数； 且，故， 所以由零点存在定理可知， 函数在区间上有且仅有一个零点. （3） 由（2）可知函数在上有且仅有一个零点， 且满足，即（几何意义：是与交点的横坐标） 又因为，故， 所以由零点存在性定理可知， 函数在上有且仅有一个零点， 于是， ①因为，得 所以，即； （或者 ） ② 因为 由（1）可知，当时，有 故，所以； 由①②可知. 【解析】 【分析】（1）求得的导数，判断的单调性，可得所求值域； （2）讨论为奇数，或偶数时，的单调性，结合函数零点存在定理，可得证明； （3）由（2）可知函数在（）上且仅有一个零点，再由零点存在定理、以及正切函数的性质和不等式的性质，可得证明. 【小问1详解】 由， 当时，，即函数在区间上是严格增函数， 且，， 所以在区间上的值域为. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】关键点点睛：本题第三问，借助在（）上且仅有一个零点，利用正切函数的性质和不等式的性质求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 光明中学2024学年期中考试监测 数学试卷 （完成试卷时间：120分钟 总分：150分） 一、填空题．（12题，54分） 1. 若集合，，则_________. 2. 抛物线的焦点到准线的距离是_________________. 3. 若，，其中，则_________. 4. 已知复数满足，则的模为___________． 5. 设公比为2的等比数列的前项和为，若，则___________． 6. 如图，长方体的体积是120，E为的中点，则三棱锥E-BCD的体积是_____. 7. 已知等比数列的前项和为，则的值为________． 8. 在下列关于实数的四个不等式中，恒成立的是_______．（请填入全部正确的序号） ①；②；③；④． 9. 正四棱锥底面边长为2，高为3，则点到不经过点的侧面的距离为_______． 10. 双曲线的左右焦点分别为，过坐标原点的直线与相交于两点，若，则_________. 11. 对于任意的，且，不等式恒成立，则实数的取值范围为_________. 12. 已知空间中有2个相异的点，现每增加一个点使得其与原有的点连接成尽可能多的等边三角形.例如，空间中3个点最多可连接成1个等边三角形，空间中4个点最多可连接成4个等边三角形.当增加到8个点时，空间中这8个点最多可连接成________个等边三角形. 二、选择题．（4题，18分） 13. 某学校为了解学生参加体育运动的情况，用分层抽样的方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取40名学生，已知该校初中部和高中部分别有500和300名学生，则不同的抽样结果的种数为（ ） A. B. C. D. 14. 下列说法不正确的是（ ）． A. 一组数据10，11，11，12，13，14，16，18，20，22的第60百分位数为14 B. 若随机变量服从正态分布，且，则 C. 若线性相关系数越接近1，则两个变量的线性相关程度越高 D. 对具有线性相关关系的变量、，且回归方程为，若样本点的中心为，则实数的值是 15. 设，则双曲线的离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 16. 已知，集合，，. 关于下列两个命题的判断，说法正确的是（ ） 命题①：集合表示的平面图形是中心对称图形； 命题②：集合表示的平面图形的面积不大于. A. ①真命题；②假命题 B. ①假命题；②真命题 C. ①真命题；②真命题 D. ①假命题；②假命题 三、解答题．（5题，78分） 17. 设，函数. （1）求的值，使得为奇函数； （2）若，求满足的实数的取值范围. 18. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，点E是棱PD上的一点，平面. （1）求证：点E是棱PD的中点； （2）若平面，，，与平面ABCD所成角的正切值为，求二面角的大小. 19. 有标号依次为1，2，…，(，)的个盒子，标号为1号的盒子里有3个红球和3个白球，其余盒子里都是1个红球和1个白球．现从1号盒子里取出2个球放入2号盒子，再从2号盒子里取出2个球放入3号盒子，…，依次进行到从号盒子里取出2个球放入号盒子为止． （1）当时，求2号盒子里有2个红球的概率； （2）设号盒子中红球个数为随机变量，求的分布及，并猜想的值（无需证明此猜想）． 20. 江南某公园内正在建造一座跨水拱桥．如平面图所示，现已经在地平面以上造好了一个外沿直径为20米的半圆形拱桥洞，地平面与拱桥洞外沿交于点与点． 现在准备以地平面上的点与点为起点建造上、下桥坡道，要求：①；②在拱桥洞左侧建造平面图为直线的坡道，坡度为 （坡度为坡面的垂直高度和水平方向的距离的比）；③在拱桥洞右侧建造平面图为圆弧的坡道；④在过桥的路面上骑车不颠簸． （1）请你设计一条过桥道路，画出大致的平面图，并用数学符号语言刻画与表达出来； （2）并按你的方案计算过桥道路的总长度；（精确到0.1米） （3）若整个过桥坡道的路面宽为10米，且铺设坡道全部使用混凝土．请设计出所铺设路面的相关几何体，提出一个实际问题，写出解决该问题的方案，并说明理由 （如果需要，可通过假设的运算结果列式说明，不必计算）． 21. 已知定义在上的函数的表达式为，其所有的零点按从小到大的顺序组成数列（）. （1）求函数在区间上的值域； （2）求证：函数在区间（）上有且仅有一个零点； （3）求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $