上海市光明中学2024-2025学年高三第二学期期中考试数学试卷

光明中学2024学年期中考试监测 数学试卷 （完成试卷时间：120分钟 总分：150分） 一、填空题．（12题，54分） 1. 若集合，，则_________. 2. 抛物线的焦点到准线的距离是_________________. 3. 若，，其中，则_________. 4. 已知复数满足，则的模为___________． 5. 设公比为2的等比数列的前项和为，若，则___________． 6. 如图，长方体的体积是120，E为的中点，则三棱锥E-BCD的体积是_____. 7. 已知等比数列的前项和为，则的值为________． 8. 在下列关于实数的四个不等式中，恒成立的是_______．（请填入全部正确的序号） ①；②；③；④． 9. 正四棱锥底面边长为2，高为3，则点到不经过点的侧面的距离为_______． 10. 双曲线的左右焦点分别为，过坐标原点的直线与相交于两点，若，则_________. 11. 对于任意的，且，不等式恒成立，则实数的取值范围为_________. 12. 已知空间中有2个相异的点，现每增加一个点使得其与原有的点连接成尽可能多的等边三角形.例如，空间中3个点最多可连接成1个等边三角形，空间中4个点最多可连接成4个等边三角形.当增加到8个点时，空间中这8个点最多可连接成________个等边三角形. 二、选择题．（4题，18分） 13. 某学校为了解学生参加体育运动的情况，用分层抽样的方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取40名学生，已知该校初中部和高中部分别有500和300名学生，则不同的抽样结果的种数为（ ） A. B. C. D. 14. 下列说法不正确的是（ ）． A. 一组数据10，11，11，12，13，14，16，18，20，22的第60百分位数为14 B. 若随机变量服从正态分布，且，则 C. 若线性相关系数越接近1，则两个变量的线性相关程度越高 D. 对具有线性相关关系的变量、，且回归方程为，若样本点的中心为，则实数的值是 15. 设，则双曲线的离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 16. 已知，集合，，. 关于下列两个命题的判断，说法正确的是（ ） 命题①：集合表示的平面图形是中心对称图形； 命题②：集合表示的平面图形的面积不大于. A. ①真命题；②假命题 B. ①假命题；②真命题 C. ①真命题；②真命题 D. ①假命题；②假命题 三、解答题．（5题，78分） 17. 设，函数. （1）求的值，使得为奇函数； （2）若，求满足的实数的取值范围. 18. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，点E是棱PD上的一点，平面. （1）求证：点E是棱PD的中点； （2）若平面，，，与平面ABCD所成角的正切值为，求二面角的大小. 19. 有标号依次为1，2，…，(，)的个盒子，标号为1号的盒子里有3个红球和3个白球，其余盒子里都是1个红球和1个白球．现从1号盒子里取出2个球放入2号盒子，再从2号盒子里取出2个球放入3号盒子，…，依次进行到从号盒子里取出2个球放入号盒子为止． （1）当时，求2号盒子里有2个红球的概率； （2）设号盒子中红球个数为随机变量，求的分布及，并猜想的值（无需证明此猜想）． 20. 江南某公园内正在建造一座跨水拱桥．如平面图所示，现已经在地平面以上造好了一个外沿直径为20米的半圆形拱桥洞，地平面与拱桥洞外沿交于点与点． 现在准备以地平面上的点与点为起点建造上、下桥坡道，要求：①；②在拱桥洞左侧建造平面图为直线的坡道，坡度为 （坡度为坡面的垂直高度和水平方向的距离的比）；③在拱桥洞右侧建造平面图为圆弧的坡道；④在过桥的路面上骑车不颠簸． （1）请你设计一条过桥道路，画出大致的平面图，并用数学符号语言刻画与表达出来； （2）并按你的方案计算过桥道路的总长度；（精确到0.1米） （3）若整个过桥坡道的路面宽为10米，且铺设坡道全部使用混凝土．请设计出所铺设路面的相关几何体，提出一个实际问题，写出解决该问题的方案，并说明理由 （如果需要，可通过假设的运算结果列式说明，不必计算）． 21. 已知定义在上的函数的表达式为，其所有的零点按从小到大的顺序组成数列（）. （1）求函数在区间上的值域； （2）求证：函数在区间（）上有且仅有一个零点； （3）求证：. 光明中学2024学年期中考试监测 数学试卷 （完成试卷时间：120分钟 总分：150分） 一、填空题．（12题，54分） 【1题答案】 【答案】 【2题答案】 【答案】2 【3题答案】 【答案】3 【4题答案】 【答案】 【5题答案】 【答案】 【6题答案】 【答案】10. 【7题答案】 【答案】 【8题答案】 【答案】②③④ 【9题答案】 【答案】## 【10题答案】 【答案】4 【11题答案】 【答案】 【12题答案】 【答案】20. 二、选择题．（4题，18分） 【13题答案】 【答案】B 【14题答案】 【答案】A 【15题答案】 【答案】B 【16题答案】 【答案】A 三、解答题．（5题，78分） 【17题答案】 【答案】（1） （2） 【18题答案】 【答案】（1） 连接BD，它与AC交于点，连接EF， 四边形ABCD为矩形， 为BD的中点， 平面AEC，平面PBD经过PB且与平面AEC交于， ， 又点是BD的中点， 点是棱的中点. （2） 【19题答案】 【答案】（1） （2）的分布列为： ；猜想. 【20题答案】 【答案】（1） 解法1：用函数表示过桥道路为 . 解法2：用函数表示过桥道路为. （2）解法1：， 解法2：63.9． （3） 设计让桥的侧面所在平面垂直于地平面，则桥拱左侧铺设的是以曲边形为底面， 高为10米的柱体；桥拱右侧铺设的是以曲边形（）为底面，高为10米的柱体， 提问：铺设坡道共需要混凝土多少立方米？ 方案1：， 所以，铺设过桥路需要混凝土10（）． 方案2：， 所以，铺设过桥路需要混凝土10（）． 【21题答案】 【答案】（1） （2） 当时， ①当是偶数时，， 函数在区间上是严格增函数； ②当是奇数时，， 函数在区间上是严格减函数； 且，故， 所以由零点存在定理可知， 函数在区间上有且仅有一个零点. （3） 由（2）可知函数在上有且仅有一个零点， 且满足，即（几何意义：是与交点的横坐标） 又因为，故， 所以由零点存在性定理可知， 函数在上有且仅有一个零点， 于是， ①因为，得 所以，即； （或者 ） ② 因为 由（1）可知，当时，有 故，所以； 由①②可知. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $