精品解析：上海市闵行中学2023-2024学年第二学期期中教学质量调研高三数学试卷

闵行中学2023学年第二学期期中教学质量调研 高三数学试卷 本试卷满分150分，考试时间120分钟 一、填空题（本大题共12小题，满分54分）第1小题至第6小题每个空格填对得4分，第7小题至第12小题每个空格填对得5分，考生应在答题纸的相应编号后填写答案，否则一律得零分． 1. 中国国旗上所有颜色组成的集合为________． 2. 已知是虚数单位，复数是纯虚数，则实数的值为________． 3. 函数的定义域为________． 4. 在的二项展开式中，项的系数为_________. 5. 已知实数a，b满足，则的最大值为______. 6. 已知等比数列的前n项和为，且，，则______． 7. 五个工程队承建某项工程的5个不同的子项目,每个工程队承建1项,其中甲工程队不能承建1号子项目,则不同的承建方案有_____种. 8. 函数在处的切线方程为_________. 9. 已知、是空间中两个互相垂直的单位向量，向量满足，且，当取任意实数时，的最小值为________ 10. 某工厂生产的产品以100个为一批．在进行抽样检查时，只从每批中抽取10个来检查，如果发现其中有次品，则认为这批产品是不合格的．假定每一批产品中的次品最多不超过2个，并且其中恰有（0，1，2）个次品的概率如下： 一批产品中有次品的个数 0 1 2 概率 0.3 0.5 0.2 则各批产品通过检查的概率为________．（精确到0.01） 11. 已知实数，记．若函数在区间上的最小值为，则的值为________． 12. 我们称如图的曲线为“爱心线”，其上的任意一点都满足方程，现将一边在x轴上，另外两个顶点在爱心线上的矩形称为心吧．若已知点“爱心线”上任意一点的最小距离为，则用表示心吧面积的最大值为_______． 二、选择题（本大题共4小题，满分18分）第13题、14题各4分，第15题、16题各5分．每题有且仅有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑． 13. 函数的最小正周期为（ ） A. B. C. D. 14. 已知，为奇函数，当时，，则集合可表示为（ ） A. B. C. D. 15. 某疾病预防中心随机调查了339名50岁以上的公民，研究吸烟习惯与慢性气管炎患病的关系，调查数据如下表： 不吸烟者 吸烟者 总计 不患慢性气管炎者 121 162 283 患慢性气管炎者 13 43 56 总计 134 205 339 假设：患慢性气管炎与吸烟没有关系，即它们相互独立.通过计算统计量，得，根据分布概率表:，，，.给出下列3个命题，其中正确的个数是（ ） ①“患慢性气管炎与吸烟没有关系”成立的可能性小于； ②有的把握认为患慢性气管炎与吸烟有关； ③分布概率表中的、等小概率值在统计上称为显著性水平，小概率事件一般认为不太可能发生. A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 16. 如果一个非空集合上定义了一个运算，满足如下性质，则称关于运算构成一个群. （1） 封闭性，即对于任意的，有； （2） 结合律，即对于任意的，有； （3） 对于任意的，方程与在中都有解． 例如，整数集关于整数的加法（）构成群，因为任意两个整数的和还是整数，且满足加法结合律，对于任意的，方程与都有整数解；而实数集关于实数的乘法（）不构成群，因为方程没有实数解. 以下关于“群”的真命题有（ ） ①自然数集关于自然数的加法（）构成群； ②有理数集关于有理数的乘法（）构成群； ③平面向量集关于向量的数量积（）构成群； ④复数集关于复数的加法（）构成群. A. 0个； B. 1个； C. 2个； D. 3个. 三、解答题（本大题共5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤． 17. 在中，角、、的对边分别为、、，已知，，． （1）求角的大小； （2）求的值． 18. 如图，已知为等腰梯形， ，，平面，. （1）求证：； （2）求二面角的大小. 19. ChatGPT是OpenAI研发的一款聊天机器人程序，是人工智能技术驱动的自然语言处理工具，它能够基于在预训练阶段所见的模式和统计规律来生成回答，但它的回答可能会受到训练数据信息的影响，不一定完全正确.某科技公司在使用ChatGPT对某一类问题进行测试时发现，如果输入的问题没有语法错误，它回答正确的概率为0.98；如果出现语法错误，它回答正确的概率为0.18. 假设每次输入的问题出现语法错误的概率为0.1，且每次输入问题，ChatGPT的回答是否正确相互独立.该公司科技人员小张想挑战一下ChatGPT，小张和ChatGPT各自从给定的10个问题中随机抽取9个作答，已知在这10个问题中，小张能正确作答其中的9个. （1）求小张能全部回答正确的概率； （2）求一个问题能被ChatGPT回答正确的概率； （3）在这轮挑战中，分别求出小张和ChatGPT答对题数的期望与方差. 20. 江南某公园内正在建造一座跨水拱桥．如平面图所示，现已经在地平面以上造好了一个外沿直径为20米的半圆形拱桥洞，地平面与拱桥洞外沿交于点与点． 现在准备以地平面上的点与点为起点建造上、下桥坡道，要求：①；②在拱桥洞左侧建造平面图为直线的坡道，坡度为 （坡度为坡面的垂直高度和水平方向的距离的比）；③在拱桥洞右侧建造平面图为圆弧的坡道；④在过桥的路面上骑车不颠簸． （1）请你设计一条过桥道路，画出大致的平面图，并用数学符号语言刻画与表达出来； （2）并按你的方案计算过桥道路的总长度；（精确到0.1米） （3）若整个过桥坡道的路面宽为10米，且铺设坡道全部使用混凝土．请设计出所铺设路面的相关几何体，提出一个实际问题，写出解决该问题的方案，并说明理由 （如果需要，可通过假设的运算结果列式说明，不必计算）． 21. 已知定义在上的函数的表达式为，其所有的零点按从小到大的顺序组成数列（）. （1）求函数在区间上的值域； （2）求证：函数在区间（）上有且仅有一个零点； （3）求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 闵行中学2023学年第二学期期中教学质量调研 高三数学试卷 本试卷满分150分，考试时间120分钟 一、填空题（本大题共12小题，满分54分）第1小题至第6小题每个空格填对得4分，第7小题至第12小题每个空格填对得5分，考生应在答题纸的相应编号后填写答案，否则一律得零分． 1. 中国国旗上所有颜色组成的集合为________． 【答案】{红,黄}； 【解析】 【分析】根据集合的定义即可求解. 【详解】中国国旗上所有颜色组成的集合为红,黄． 故答案为：红，黄． 2. 已知是虚数单位，复数是纯虚数，则实数的值为________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意，由复数的运算，结合纯虚数的定义即可得到结果. 【详解】因为， 所以复数是纯虚数，则满足，则， 故答案为：. 3. 函数的定义域为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，结合函数的解析式有意义，列出不等式，即可求解. 【详解】由函数有意义，则满足，即，解得， 所以函数的定义域为. 故答案为：. 4. 在的二项展开式中，项的系数为_________. 【答案】 【解析】 【分析】写出二项展开式的通项，由的指数为3求得值，则答案可求． 【详解】的二项展开式的通项为: ． 由，得． 的二项展开式中，项的系数是． 故答案为：． 5. 已知实数a，b满足，则的最大值为______. 【答案】## 【解析】 【分析】根据基本不等式可求的最大值. 【详解】因为，故， 当且仅当时等号成立，故的最大值为， 故答案为：. 6. 已知等比数列的前n项和为，且，，则______． 【答案】121 【解析】 【分析】求出公比和首项，利用等比数列求和公式求出答案. 【详解】设公比为，故，解得， 所以， 故. 故答案为：121 7. 五个工程队承建某项工程的5个不同的子项目,每个工程队承建1项,其中甲工程队不能承建1号子项目,则不同的承建方案有_____种. 【答案】 【解析】 【分析】完成承建任务可分五步，由分步乘法计数原理可得结果. 【详解】完成承建任务可分五步: 第一步,安排1号有4种; 第二步,安排2号有4种; 第三步,安排3号有3种; 第四步,安排4号有2种; 第五步,安排5号有1种. 由分步乘法计数原理知,共有4×4×3×2×1=96种. 故答案为96 【点睛】本题考查分步乘法计数原理，正确分步是解题的关键，属于基础题. 8. 函数在处的切线方程为_________. 【答案】 【解析】 【分析】切线的斜率是在处的导数，切线过，由直线的点斜式方程可以求出切线方程. 【详解】，，所以， 所以在处的切线方程为，即， 故答案为：. 9. 已知、是空间中两个互相垂直的单位向量，向量满足，且，当取任意实数时，的最小值为________ 【答案】 【解析】 【分析】由向量的模长和数量积的运算结合二次函数求出最值即可. 【详解】因为，，，， 所以 ， 所以当时，的最小值为， 故答案为：. 10. 某工厂生产的产品以100个为一批．在进行抽样检查时，只从每批中抽取10个来检查，如果发现其中有次品，则认为这批产品是不合格的．假定每一批产品中的次品最多不超过2个，并且其中恰有（0，1，2）个次品的概率如下： 一批产品中有次品的个数 0 1 2 概率 0.3 0.5 0.2 则各批产品通过检查的概率为________．（精确到0.01） 【答案】0.91 【解析】 【分析】根据条件概率公式求解，，，即可利用全概率公式求解． 【详解】设事件表示一批产品中有个次品，1，， 则，，， 设事件表示这批产品通过检查，即抽样检查的10个产品都是合格品， 则，，， 所以． 故答案为：0.91． 11. 已知实数，记．若函数在区间上的最小值为，则的值为________． 【答案】3 【解析】 【分析】先对函数求导，结合导数与单调性及最值关系即可求解． 【详解】当时，，， 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 故时，取得最小值， 解得，． 故答案为：3． 12. 我们称如图的曲线为“爱心线”，其上的任意一点都满足方程，现将一边在x轴上，另外两个顶点在爱心线上的矩形称为心吧．若已知点“爱心线”上任意一点的最小距离为，则用表示心吧面积的最大值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，得到，曲线上任意一点求得的最小值为，进而求得心吧面积的最大值. 【详解】解：由曲线方程， 由点“爱心线”上任意一点且点在轴的右侧， 所以点“爱心线”上任意一点的最小距离，一定出现在爱心线位于轴的右侧的点， 当时，可得， 设曲线上任意一点，且， 有， 因为的最小值为，所以的最小值为， 当时，心吧面积为的最小值为； 当时，心吧面积为的最大值为. 故答案为：. 二、选择题（本大题共4小题，满分18分）第13题、14题各4分，第15题、16题各5分．每题有且仅有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑． 13. 函数的最小正周期为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用辅助角公式将函数化成的形式，代入周期公式可得结论. 【详解】易知，其中， 由周期公式可得其最小正周期为. 故选：A 14. 已知，为奇函数，当时，，则集合可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用函数奇偶性可得不等式等价于，再求出函数解析式，利用对数函数单调性解不等式可得结果. 【详解】因为为奇函数，所以等价于，即； 当时，，即，解得； 当时，，可得，所以， 解不等式，可得， 综上可得集合可表示为. 故选：D 15. 某疾病预防中心随机调查了339名50岁以上的公民，研究吸烟习惯与慢性气管炎患病的关系，调查数据如下表： 不吸烟者 吸烟者 总计 不患慢性气管炎者 121 162 283 患慢性气管炎者 13 43 56 总计 134 205 339 假设：患慢性气管炎与吸烟没有关系，即它们相互独立.通过计算统计量，得，根据分布概率表:，，，.给出下列3个命题，其中正确的个数是（ ） ①“患慢性气管炎与吸烟没有关系”成立的可能性小于； ②有的把握认为患慢性气管炎与吸烟有关； ③分布概率表中的、等小概率值在统计上称为显著性水平，小概率事件一般认为不太可能发生. A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】D 【解析】 【分析】根据，与临界值表对照判断. 【详解】解：因为，且， 所以有的把握认为患慢性气管炎与吸烟有关， 即“患慢性气管炎与吸烟没有关系”成立的可能性小于， 故①②正确； 分布概率表中的、等小概率值在统计上称为显著性水平，小概率事件一般认为不太可能发生. 故③正确； 故选：D 16. 如果一个非空集合上定义了一个运算，满足如下性质，则称关于运算构成一个群. （1） 封闭性，即对于任意的，有； （2） 结合律，即对于任意的，有； （3） 对于任意的，方程与在中都有解． 例如，整数集关于整数的加法（）构成群，因为任意两个整数的和还是整数，且满足加法结合律，对于任意的，方程与都有整数解；而实数集关于实数的乘法（）不构成群，因为方程没有实数解. 以下关于“群”的真命题有（ ） ①自然数集关于自然数的加法（）构成群； ②有理数集关于有理数的乘法（）构成群； ③平面向量集关于向量的数量积（）构成群； ④复数集关于复数的加法（）构成群. A. 0个； B. 1个； C. 2个； D. 3个. 【答案】B 【解析】 【分析】根据群的定义需满足的三个条件逐一判断即可. 【详解】对于①，，在自然数集中无解，错误； 对于②，，在有理数集中无解，错误； 对于③，是一个数量，不属于平面向量集，错误； 对于④，因为任意两个复数的和还是复数，且满足加法结合律， 且对任意的，方程与有复数解，正确. 故选：B 【点睛】关键点点睛：本题考查新定义，解题关键是理解新定义，用新定义解题.解题方法是根据新定义的3个条件进行验证，注意实数或复数运算的运算律与新定义中运算的联系可以很快得出结论. 三、解答题（本大题共5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤． 17. 在中，角、、的对边分别为、、，已知，，． （1）求角的大小； （2）求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1） 根据已知条件，结合余弦定理即可求解. （2）解，利用正弦定理先求，再由即可求解；解，先利用正弦定理求出，再利用两角和的正弦公式即可求解；解，先利用余弦定理求出，再利用两角和的正弦公式即可求解. 【小问1详解】 由余弦定理，有，所以 【小问2详解】 解1：由正弦定理，有，即 所以 解2：由正弦定理，有，即 所以 故， 解3：由余弦定理，有，所以 故， 18. 如图，已知为等腰梯形， ，，平面，. （1）求证：； （2）求二面角的大小. 【答案】（1） 连接，在等腰梯形中，，，， 则，于是，即， 由平面，平面，得， 而平面，因此平面，又平面， 所以. （2）. 【解析】 【分析】（1）连接，利用等腰梯形的性质证得，再利用线面垂直的性质判定推理即得. （2）取的中点，作出二面角的平面角，在中求解即得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取的中点，连接，由，得， 在中，， 由平面，平面，得， 则，于是， 因此为二面角的平面角， 因为，平面， 则平面，又平面，则， 在中，，，则， 所以二面角的大小为. 19. ChatGPT是OpenAI研发的一款聊天机器人程序，是人工智能技术驱动的自然语言处理工具，它能够基于在预训练阶段所见的模式和统计规律来生成回答，但它的回答可能会受到训练数据信息的影响，不一定完全正确.某科技公司在使用ChatGPT对某一类问题进行测试时发现，如果输入的问题没有语法错误，它回答正确的概率为0.98；如果出现语法错误，它回答正确的概率为0.18. 假设每次输入的问题出现语法错误的概率为0.1，且每次输入问题，ChatGPT的回答是否正确相互独立.该公司科技人员小张想挑战一下ChatGPT，小张和ChatGPT各自从给定的10个问题中随机抽取9个作答，已知在这10个问题中，小张能正确作答其中的9个. （1）求小张能全部回答正确的概率； （2）求一个问题能被ChatGPT回答正确的概率； （3）在这轮挑战中，分别求出小张和ChatGPT答对题数的期望与方差. 【答案】（1）； （2）0.9； （3）小张答对题数的期望为8.1，方差为0.09，ChatGPT答对题数的期望为8.1，方差为0.81. 【解析】 【分析】（1）根据古典概型的概率公式，即可求得答案； （2）设事件表示“输入的问题没有语法错误”， 事件表示“一个问题能被ChatGPT正确回答”，确定相应概率，根据全概率公式，即可求得答案； （3）根据期望以及方差的计算公式，即可求得答案； 【小问1详解】 设小张答对的题数为，则. 【小问2详解】 设事件表示“输入的问题没有语法错误”， 事件表示“一个问题能被ChatGPT正确回答”， 由题意知，，， 则， ； 【小问3详解】 设小张答对的题数为，则的可能取值是， 且，， 设ChatGPT答对的题数为，则服从二项分布， 则，， ， . 20. 江南某公园内正在建造一座跨水拱桥．如平面图所示，现已经在地平面以上造好了一个外沿直径为20米的半圆形拱桥洞，地平面与拱桥洞外沿交于点与点． 现在准备以地平面上的点与点为起点建造上、下桥坡道，要求：①；②在拱桥洞左侧建造平面图为直线的坡道，坡度为 （坡度为坡面的垂直高度和水平方向的距离的比）；③在拱桥洞右侧建造平面图为圆弧的坡道；④在过桥的路面上骑车不颠簸． （1）请你设计一条过桥道路，画出大致的平面图，并用数学符号语言刻画与表达出来； （2）并按你的方案计算过桥道路的总长度；（精确到0.1米） （3）若整个过桥坡道的路面宽为10米，且铺设坡道全部使用混凝土．请设计出所铺设路面的相关几何体，提出一个实际问题，写出解决该问题的方案，并说明理由 （如果需要，可通过假设的运算结果列式说明，不必计算）． 【答案】（1） 解法1：用函数表示过桥道路为 . 解法2：用函数表示过桥道路为. （2）解法1：， 解法2：63.9． （3） 设计让桥的侧面所在平面垂直于地平面，则桥拱左侧铺设的是以曲边形为底面， 高为10米的柱体；桥拱右侧铺设的是以曲边形（）为底面，高为10米的柱体， 提问：铺设坡道共需要混凝土多少立方米？ 方案1：， 所以，铺设过桥路需要混凝土10（）． 方案2：， 所以，铺设过桥路需要混凝土10（）． 【解析】 【分析】（1）解法1；以线段的中点为坐标原点建立平面直角坐标系，求得圆的方程，得到，联立方程组，求得，设圆的半径为，求得圆的方程为，进而得到函数的解析式；解法2：以线段的中点为坐标原点建立平面直角坐标系，设圆的半径为，求得圆的方程为，得到，，进而得到函数的解析式； （2）解法1：求得圆弧的长为，得到圆弧的长为，进而求得过桥道路的总长度；解法2：根据题意，求得，得到圆弧的长，求得圆弧的长为，进而得到过桥道路的总长度； （3）设计让桥的侧面所在平面垂直于地平面，提出问题，结合面积公式，分别求得铺设过桥路需要混凝土的值. 【小问1详解】 解法1、如图所示，以线段的中点为坐标原点建立平面直角坐标系， 则，圆的方程为， 由，得，， 过点作圆的切线，切点为，直线的斜率为，其方程为， 所以直线的斜率为，其方程为，将其代入， 得点的坐标为， 经过点作圆与圆切于点（圆与y轴的交点），设圆的半径为， 则，即，解得， 所以，圆的方程为， 故用函数表示过桥道路为 . 解法2、如图所示，以线段的中点为坐标原点建立平面直角坐标系， 作圆与x轴相切于点，并和圆切于点， 设圆的半径为，则，即，解得， 所以圆的方程为， 将直线的方程代入得，点的坐标为， 所以用函数表示过桥道路为. 【小问2详解】 解法1：由点的坐标为，得， 所以圆弧的长为3.398， 由点的坐标为，点的坐标为，得， 所以圆弧的长为32.175， 所以过桥道路的总长度为， 解法2：因为，， 则，即， 所以圆弧的长为， 又由点的坐标为，得， 所以圆弧的长为， 所以过桥道路的总长度为63.9． 【小问3详解】 略 21. 已知定义在上的函数的表达式为，其所有的零点按从小到大的顺序组成数列（）. （1）求函数在区间上的值域； （2）求证：函数在区间（）上有且仅有一个零点； （3）求证：. 【答案】（1） （2） 当时， ①当是偶数时，， 函数在区间上是严格增函数； ②当是奇数时，， 函数在区间上是严格减函数； 且，故， 所以由零点存在定理可知， 函数在区间上有且仅有一个零点. （3） 由（2）可知函数在上有且仅有一个零点， 且满足，即（几何意义：是与交点的横坐标） 又因为，故， 所以由零点存在性定理可知， 函数在上有且仅有一个零点， 于是， ①因为，得 所以，即； （或者 ） ② 因为 由（1）可知，当时，有 故，所以； 由①②可知. 【解析】 【分析】（1）求得的导数，判断的单调性，可得所求值域； （2）讨论为奇数，或偶数时，的单调性，结合函数零点存在定理，可得证明； （3）由（2）可知函数在（）上且仅有一个零点，再由零点存在定理、以及正切函数的性质和不等式的性质，可得证明. 【小问1详解】 由， 当时，，即函数在区间上是严格增函数， 且，， 所以在区间上的值域为. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】关键点点睛：本题第三问，借助在（）上且仅有一个零点，利用正切函数的性质和不等式的性质求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $