奥数培优·第11讲 平面图形面积计算（讲义）-2026-2027学年五年级上册数学人教版

【人教版】小学五年级上册奥数培优讲义・第 11 讲 平面图形面积计算 【前言】 华罗庚：宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之谜，日用之繁，无处不用数学。 面积计算是几何板块核心内容，校内仅学习基础图形公式，奥数拓展割补平移、等积变换、弦图、比例面积、等高三角形五大核心解题方法，融合长方形、正方形、三角形、圆、扇形、不规则阴影图形综合题型，是小升初几何压轴必考模块。本讲系统梳理全部模型，搭配分层例题、配套习题，掌握图形转化思想后可破解所有复杂面积难题。 【 三维教学目标】 知识与技能 熟记长方形、正方形、三角形、平行四边形、梯形、圆、扇形全套标准面积公式；掌握割补平移、等高比例、差不变、弦图法、等积替换五大奥数解题模型；能处理不规则阴影、正方形弦图、多边形比例、圆扇拼接、等高三角形、多图形组合综合题；学会用方程、比例两种工具求解隐藏边长、未知面积。 过程与方法 通过平移、翻转、拼接图形，将不规则图形转化为标准基础图形，体会转化思想；归纳等高三角形、四边形分点比例、圆阴影固定解题模板；规范 “标边长→找等量→套公式 / 比例计算” 几何解题书写步骤。 情感态度与价值观 破除复杂图形畏难心理，建立 “化不规则为规则” 几何转化思维；培养画图标注边长、阴影分区审题习惯；感受图形等量、比例对称的数学几何美感。 【教学重难点】 重点 基础图形全套面积公式熟练变形运用；割补平移、等积替换、差不变三大基础转化方法；等高三角形面积比 = 底边长之比核心规律。 难点 弦图法拼接正方形、长方形截条面积题型； 四边形边上分点，内部多边形面积比例推导； 圆、扇形拼接阴影，利用面积差 / 和求不规则图形。 【高频易错总提示】 ⚠️ 易错 1：三角形面积忘记 ÷2，圆扇形半径直径混淆； ⚠️ 易错 2：等高三角形搞反底和面积正比关系； ⚠️ 易错 3：弦图拼接时大、小正方形边长关系列错等式； ⚠️ 易错 4：阴影面积差不变题型，分不清谁减谁； ⚠️ 易错 5：扇形面积圆心角换算时分母 360 漏写； ⚠️ 易错 6：长方形截去长条，减少面积拆分图形出错； ⚠️ 易错 7：四边形分点比例计算，忘记拆分两个大三角形分别推导。 一、知识点总结 （一）基础图形标准面积公式 1. 长方形：；周长 2. 正方形：；周长 3. 平行四边形： 4. 三角形：（必须除以 2） 5. 梯形： 6. 圆形：；周长 7. 扇形：（为圆心角度数） 8. 圆环： （二）五大奥数核心解题模型 模型 1 割补平移翻转法 核心思路：不规则阴影通过平移、翻转、分割、拼接，转化成长方形 / 圆 / 圆环等规则图形，直接套用公式。 适用题型：曲线阴影、凹凸不规则图形、半圆拼接题。 模型 2 等高三角形等积规律 1. 等高三角形：面积之比 = 对应底边长度之比； 2. 等底三角形：面积之比 = 对应高之比； 3. 同底等高三角形，面积完全相等。 4. 适用题型：线段分点、四边形内部小多边形面积比例。 模型 3 差不变原理（面积等量代换） 两个图形同时加上 / 减去同一部分，面积差值不变； 若，则。 适用题型：阴影 A 比阴影 B 大多少、长方形与三角形重叠题型。 模型 4 弦图拼接法 正方形截取长条、大小正方形嵌套，四块全等长方形拼成大正方形， 等量关系：大正方形边长 = 长方形长 + 宽；小正方形边长 = 长方形长−宽。 适用题型：木板锯长条、大小正方形面积差、长方形截边变正方形。 模型 5 四边形分点比例模型 任意四边形，四条边上按固定比例取点，连接内部四边形； 拆分对角线，分成两组等高三角形，分别计算减少的面积，再求剩余面积占比。 （三）通用解题四步法 1. 标图：在图形标注已知边长、角度、半径； 2. 转化：割补 / 找等高 / 用差不变，转化为标准图形； 3. 列式：利用比例、方程、面积公式建立等式； 4. 验算：检查单位、三角形 ÷2、扇形圆心角换算。 二、经典基础例题（3 道，思路 + 解析 + 总结 + 随堂小练） 例 1 等高三角形比例 ★基础 【题目】如图，B、C、D 三点共线，A、B、E 三点共线，△ABC 面积为 1，，，求△BDE 面积。 【解题思路】连接 CE，利用等高三角形面积正比底边分步计算。 【完整解析】 △ABC 与△BEC 同高，， △BEC 与△CED 等底等高（）， 答：三角形 BDE 面积为 4。 【方法总结】 等高三角形，底边扩大几倍，面积同步扩大几倍。 【随堂小练 1】 如下图，△ABC 面积 3，BD=3AB，BC=CE，E点在BC的延长线上，求△ADE 面积。 例 2 割补平移求圆环阴影 ★基础 【题目】如图，大圆直径为 2cm，小圆直径等于大圆半径，阴影翻转拼接后求面积。 【完整解析】 大圆半径：cm，小圆半径：cm 阴影 = 圆环面积： （平方厘米） 答：阴影面积 2.355 平方厘米。 【方法总结】 曲线不规则阴影优先翻转拼接，转化圆环计算。 【随堂小练 2】 大圆直径 4，内部小圆半径 1，拼接阴影求面积。 例 3 长方形三等分等积图形 ★提升 【题目】长方形长 9cm，宽 6cm，△ABE、△ADF、四边形 AECF 面积相等，求△AEF 面积。 【完整解析】 长方形总面积：cm²，每块面积：cm² 求：cm，cm 求：cm，cm cm² cm² 答：三角形 AEF 面积 15 平方厘米。 【方法总结】 总面积等分后，反向求剩余直角三角形直角边，做差求目标面积。 【随堂小练 3】 长方形长 10 宽 9，三等分面积，求中间三角形面积。 三、拓展拔高例题（5 道竞赛题型） 拓展 1 等腰直角三角形与扇形等积替换 ★★拔高 【题目】如下图，等腰直角△ABC 腰长AC=BC= 10cm，阴影甲 = 阴影乙，求扇形所在圆总面积。 【完整解析】 cm²； 阴影甲 = 阴影乙，等式两边同时加上空白（公共）部分， 可得扇形面积 = 等腰直角△ABC面积 = 50 cm² 扇形圆心角 45°，整圆份数： 圆总面积：cm² 答：扇形所在圆面积 400 平方厘米。 【方法总结】 阴影面积相等，抵消公共部分，图形总面积相等。 【随堂小练 4】 等腰直角三角形ACB腰 8，阴影甲 面积= 阴影乙面积，圆心角45° 扇形AEF，求扇形所在圆面积。 拓展 2 弦图法（长正方形拼接正方形）★★拔高 【题目】4 个完全一样的长方形拼成一个外围大正方形，内部小正方形边长 2 米，大正方形边长 10 米，求单个长方形面积。 【完整解析】 长 + 宽 =，长−宽 = 长：m, 宽：m, 木条面积：㎡ 答：单个长方形木条面积平方米。 【方法总结】 锯长条题型用四块拼接弦图，利用长 + 宽、长−宽联立求解边长。 【随堂小练 5】 【题目】4 个完全一样的长方形拼成一个外围大正方形，内部小正方形边长 4 厘米，大正方形边长 14 厘米，求单个长方形面积。 拓展 3 长方形截边变正方形（方程面积差）★★拔高 【题目】如下图，长方形长截 4dm，宽截 1dm，变为正方形，总面积减少 49dm²，求原长方形面积。 【完整解析】 设正方形边长dm 原面积：dm² 答：原长方形面积 130 平方分米。 【方法总结】 截去面积拆分为两个长方形，设正方形边长列方程求解。 【随堂小练 6】 长截 5，宽截 2 变正方形，面积减 66，求原面积。 拓展 4 四边形分点内部比例 ★★★竞赛 【题目】任意四边形，求。 【完整解析】 同一个三角形，两组邻边占比相乘 = 整体面积占比 连 BD，， 两者合计： 同理 四周总面积：，内部 面积比： 答：面积之比 5:9。 【方法总结】 四边形面积比例，连接对角线拆分为两组三角形分别计算。 【随堂小练 7】 四边分点均取，求内部四边形占比。 四、易错题专区（3 道典型错例） 易错题 1 三角形忘记 ÷2 【题目】底 6 高 4，求面积 错误： 正确： 【避坑】所有三角形面积公式必须除以 2。 易错题 2 扇形直径半径混淆 【题目】直径 6，圆心角 60° 求扇形 错误： 正确：半径， 【避坑】公式代入必须用半径，不能直接用直径。 易错题 3 弦图长加宽搞反 【题目】大正方形边长 = 长−宽 错误：长−宽 = 正确：大正方形边长 = 长 + 宽，小正方形边长 = 长−宽 【避坑】四块长方形拼成大正方形，外围边长是长加宽。 五、趣味挑战题 趣味挑战（差不变图形思考题） ★★★竞赛 【题目】如下图，长方形ABED长8 厘米，宽 5 厘米，图中有一条斜线CD分割图形，阴影甲的面积比阴影乙大 10 平方厘米，求下方三角形底边DE的长。 【完整解析】 运用差不变原理：两块阴影同时加上中间公共空白区域，面积差值不变。 加空白等于长方形整体面积： 平方厘米 加空白等于右下角大三角形面积。 计算三角形面积： （平方厘米） 三角形的高与长方形宽相等，为 5 厘米，根据三角形面积反求底： 底（厘米） 答：下方三角形底边DE长 12 厘米。 【方法总结】 阴影面积差题型通用技巧：同加公共区域，转化成长方形、三角形等标准图形计算，只用到课内基础面积公式，简单易懂。 六、一题多解精选（拓展 2 弦图锯木条） 【题目】正方形锯宽 1 米长条，剩余面积 6㎡，求锯下木条面积。 解： 【方法一】 弦拼接算术法（课堂首选） 四块拼大正方形，和差求长宽，计算简洁； 【方法二】整数凑数法 设原正方形边长为，锯掉宽 1 米木条后，剩余长方形长、宽。 根据题意列等式： 乘积为 6、两数相差 1 的正整数只有 3 和 2，因此。 木条面积：（平方米） 【方法三】竞赛拔高拓展（★★★★★选学）・简单方程通用法，适合无整数解题型 设原正方形边长为米。 剩余长方形面积 = 原正方形面积 − 锯下木条面积 列方程： 整理： 因式分解： 解得 ，（边长不能为负数，舍去） 正方形边长为 3 米。 木条面积：（平方米） 答：锯下的木条面积为 3 平方米。 【点评】弦拼接算术法，凑数法计算简单，课堂优先使用；简单方程法为通用解法，遇到无整数解的同类题目时，可依靠方程准确求出边长，适合拔高拓展学习。 七、基础必做习题（3 道） 基础 1 【题目】如下图，圆心角 45° 扇形，直角边 6cm，求阴影面积； 基础 2 【题目】如下图，三角形阴影 A 比三角形阴影 B 大 10.5平方厘米，求 线段BC 的长度； 基础 3 【题目】如下图，圆直径 10，扇形弧长 3.14cm，求扇形面积； 八、拓展拔高习题（2 道） 拓展1 【题目】（弦图拼接法练习）大正方形边长 66，小正方形边长 30，嵌套长方形，求长方形长宽。 拓展2 【题目】如下图，大小正方形边长差 2，面积差 24㎡，求小正方形面积。 九、随堂小练完整答案 随堂小练 1 【题目】如下图，△ABC 面积 3，BD=3AB，BC=CE，E点在BC的延长线上，求△ADE 面积。 解： 连接 BE，△ABC 与△ACE 等高，BC=CE → BD=3AB，AD=AB+BD=4AB，△ABE、△ADE 等高，底是 4 倍 答：△ADE 面积 24。 随堂小练 2 【题目】大圆直径 4，内部小圆半径 1，圆心重合，拼接圆环阴影求面积。 解： 大圆半径，小圆 圆环面积 验算：大圆面积3.14×2²=12.56，小圆3.14×1²=3.14，12.56-3.14=9.42，结果一致。 答：阴影面积 9.42。 随堂小练 3 【题目】长方形长 10，宽 9，三等分面积，求中间△AEF 面积。 解： 长方形总面积：，每块面积 △ABE 面积，高 9，底， △ADF 面积，长 10，底， 右下角小直角△ECF： 答：中间三角形面积。 随堂小练 4 【题目】等腰直角三角形ACB腰 8，阴影甲 面积= 阴影乙面积，圆心角45° 扇形AEF，求扇形所在圆面积。 解： 等腰直角△面积： 阴影甲 面积= 阴影乙面积，同时加公共区域 → 扇形面积 = 直角三角形ACB面积 = 32 扇形圆心角 45°，整圆份数 圆总面积： 答：圆面积 256。 随堂小练 5 【题目】大正方形边长 14 厘米，内部小正方形边长 4 厘米，按图上的线条锯下四个和长方形ABCD一样的长方形，求单个长方形木条面积。 解：  大正方形面积：14×14=196（平方厘米）  内部小正方形面积：4×4=16（平方厘米）  4 个长方形总面积：196-16=180（平方厘米）  单个长方形面积：180÷4=45（平方厘米） 答：锯下的木条面积为 45 平方厘米。 随堂小练 6 【题目】长方形长截 5，宽截 2 变正方形，面积减少 66，求原长方形面积。 解： 设正方形边长为，原长，原宽 减少面积 = 即： ， 原长，原宽 原面积： 答：原长方形面积 130。 随堂小练 7 【题目】四边形四边分点均取，，求内部 EFGH 占总面积几分之几。 解：同一个三角形，两组邻边占比相乘 = 整体面积占比 设四边形总面积，连接对角线 BD, AE= AB、AH= AD(同高面积比 = 底之比) 两者和： 同理 四周四块三角形总和： 内部四边形： 答：内部占总面积。 十、基础习题完整解答 基础 1 【题目】如下图，直角等腰三角形OBC直角边 6cm，圆心角 45° 扇形半径是三角形斜边，求阴影面积。 解： 等腰直角三角形面积： 直角三角形斜边平方 = 半径 ²： 45° 扇形面积： 阴影面积 = 扇形−三角形 = cm² 答：阴影面积 10.26 平方厘米。 基础 2 【题目】如下图，长方形ABDF中的三角形阴影 A 比其外部的三角形阴影 B 大 10.5平方厘米，求 BC 长度。 解： 长方形ABDF总面积： 设公共部分（空白重叠区域）面积为 ， 即：， 又因为： 所以： △ABC 底 AB=6，高 BC： 因此利用直角三角形面积公式： → → cm 答：BC 长 4.5 厘米。 基础 3 【题目】如下图，圆直径 10，扇形弧长 3.14cm，求扇形面积。 解： 圆半径，圆周长 弧长占比：，圆心角 圆面积： 扇形面积： cm² 答：扇形面积 7.85 平方厘米。 十一、拓展习题完整解答 拓展 1 弦图拼接法练习 【题目】如下图，大正方形边长 66，小正方形边长 30，嵌套长方形，求长方形长宽。 解：根据弦图模型，四块全等长方形拼成一个大正方形，中间嵌一个小正方形，等量关系为： 大正方形边长 = 长 + 宽 = 66 小正方形边长 = 长 − 宽 = 30 联立解得： 长 = (66 + 30) ÷ 2 = 48 宽 = (66 − 30) ÷ 2 = 18 答案：长 48cm，宽 18cm。 拓展 2 面积差 【题目】如下图，大小正方形边长差 2，面积差 24㎡，求小正方形面积。 解：已知大正方形边长比小正方形多 2 米，大边长 = 小边长 + 2。 设小正方形边长，大边长 ， 小面积： ㎡ 答：小正方形面积 25 平方米。 十二、本讲全套总结 🧠（一）思维导图 🎯（二）核心速查表 题型 核心解题工具 不规则阴影 割补平移、差不变替换 三角形比例 等高→面积比 = 底边比 锯长方形 / 大小正方形 弦图拼接，和差求长宽 四边形内多边形 连接对角线拆分两组三角形 扇形圆阴影 圆心角换算圆环面积 长方形截边变正方形 设正方形边长列方程 📌（三）避坑清单 1. 三角形计算末尾必须除以 2； 2. 圆、扇形公式参数只能代入半径； 3. 弦图大正方形边长 = 长方形长 + 宽； 4. 等高三角形底边越长，对应面积越大； 5. 差不变题型必须同时加减公共区域再求差值； 6. 四边形比例先拆两条对角线再分步计算。 （四）解题记忆小口诀 面积计算先看图，割补平移化规则； 三角勿忘除以二，圆扇半径别搞错； 等高底边成正比，差不变法巧代换； 截条嵌套用弦图，四边对角拆两段； 对角拆分算占比，几何转化是关键。 祝贺你完成了本讲的学习，为努力的自己💪加油！ 学科网（北京）股份有限公司 $