1.7 角平分线的性质 课件2026-2027学年浙教版八年级数学上册

该初中数学课件聚焦“角平分线的性质”，涵盖尺规作角平分线及性质定理（角平分线上的点到角两边距离相等）。通过复习线段垂直平分线性质类比导入，搭建知识迁移支架，引导学生从已知向未知过渡。 其亮点在于融入我国纸伞传统文化元素，让学生感悟数学与生活的联系，培养数学眼光。通过探究活动（猜想点到两边距离关系、验证全等）发展推理意识，规范几何语言表达提升数学语言能力。学生能增强文化认同和探究兴趣，教师可借助清晰流程与实例提升教学效果。

第一章 三角形 1.7 角平分线的性质 1.进一步了解角平分线的定义，掌握角平分线的性质定理，能准确表述并运用性质解决简单几何问题． 2.借助我国纸伞等传统文化元素，感受数学与生活、文化的联系，增强民族文化认同感，激发学习兴趣． 学习目标 遇到线段垂直平分线问题，优先运用其 “线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等” 的性质，实现线段等量代换，将未知线段关系转化为已知条件，结合周长、长度差等信息，通过方程（组）求解线段长度. 复习导入 03 新知讲解 思考 工人师傅用角尺来平分一个角。 如图，∠AOB 是任意角，在 OA，OB 上分别取 OM＝ON。移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M，N重合，过角尺顶点C的射线OC就是∠AOB的平分线。 想一想，这种方法的依据是什么？由此你能想到怎样作一个角的平分线？ 在△OCM和△OCN中， 因为OC=OC，CM=CN.OM=ON， 所以△OCM≌△OPN （SSS）， 所以∠NOC=∠MOC. 01 已知∠BAC，用直尺和圆规作∠BAC的平分线AD. 如果能找到∠BAC的平分线上一点D，那么射线AD就是∠BAC的平分线.由于角平分线把角分成两个相等的角，因此可以想象通过作两个全等三角形来作出点D. 教材 例题 活动一：探究尺规作角平分线 A B C 已知∠BAC，用直尺和圆规作∠BAC的平分线AD. 01 教材 例题 活动一：探究尺规作角平分线 D A B C E F 03 新知讲解 已知∠BAC（如图），用直尺和圆规作∠BAC的平分线AD。 例1 分析：如果能找到∠BAC 的平分线上一点 D，那么射线 AD 就是∠BAC 的平分线。由于角平分线把角分成两个相等的角，因此可以想象通过作两个全等三角形来作出点D。 作法：如图。 1.以点A为圆心，适当长为半径作弧，与角的两边分别交于E，F两点。 2.分别以 E，F 为圆心，大于 EF 长为半径作弧，两条弧交于∠BAC 内一点D。 3.作射线AD。 射线AD就是所求作的∠BAC的平分线。 03 新知讲解 已知∠BAC（如图），用直尺和圆规作∠BAC的平分线AD。 例1 事实上，如图，连结DE，DF。 由作法可得△ADF≌△ADE， 所以∠1＝∠2（全等三角形的对应角相等）， 即AD平分∠BAC。 你能说明上述作法的道理吗? 如图，连结DE，DF. 由作法可知，AE=AF，DE=DF，AD=AD，所以△ADF≌△ADE(SSS). 所以∠CAD=∠BAD(全等三角形的对应角相等) 即AD平分∠BAC. 02 D A B C E F 活动一：探究尺规作角平分线 在∠BAC的平分线上再任意取一些点，你的结论还是成立吗？ 02 活动二：探究角平分线的性质 任意作一个角，记为∠BAC，P是∠BAC的平分线上的一点，PD⊥AB于点D，PE⊥AC于点E，比较PD和PE的大小. 01 C A B P D E 点P到AB和AC的距离相等，即PD=PE. 成立 猜想：角平分线上的点到角两边的距离相等. 03 新知讲解 做一做 任意作一个角，记为∠BAC，P 是∠BAC 的平分线上的一点，PB⊥AB 于点 B，PC⊥AC 于点 C。 比较PB和PC的大小，并证明你的结论。 证明：因为PB⊥AB，PC⊥AC(已知）， 所以∠ABP=∠ACP=Rt∠(垂线的定义）. ∠PAB＝∠PAC, ∠ABP＝∠ACP ， AP＝AP(公共边) ∴△APB≌△APC(AAS). ∴PB=PC. 因为 在△APB和△APC中， 03 新知讲解 应用所具备的条件： (1) 角的平分线； (2) 点在该平分线上； (3) 垂直距离. 定理的作用： 证明线段相等. 角平分线的性质定理： 角的平分线上的点到角的两边的距离相等 A O B P D E C 证明：角平分线上的点到角两边的距离相等. 已知：如图，OA是∠BAC的角平分线， 点P在OA上，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为点D，E.求证：PD=PE. 证明：因为OA是∠BAC的角平分线，PD⊥AB，PE⊥AC 所以∠PAE=∠PAD，∠PDA= ∠PEA=90° 由AP=AP(公共边)， 所以 △PAE≌△ PAD (AAS) 所以PD=PE(全等三角形的对应边相等). C A B P D E O 活动二：探究角平分线的性质 角平分线的性质定理： 角平分线上的点到角两边的距离相等. 几何语言： 如图，OA平分∠BAC，PD⊥AB，PE⊥AC， 则PD=PE. 活动二：探究角平分线的性质 C A B P D E O 03 新知讲解 ∵ OC 是∠AOB 的平分线， ∴ PD = PE. PD⊥OA，PE⊥OB， (角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等). 应用格式： 注意事项：证明距离相等时的三个理由，必须写全，不能遗漏. A O B P D E C 03 新知讲解 判一判 (1) 如下左图，因为 AD 平分∠BAC (已知)， 所以 BD ＝ CD . ( ) 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 × B A D C (2) 如上右图，因为 DC⊥AC，DB⊥AB (已知)， 所以 BD ＝CD. ( ) 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 × B A D C 如图，AB//CD，PB，PC分别平分∠ABC，∠DCB，AD过点P，且与AB垂直. 求证：PA=PD. C D B A P 由AB//CD，AD⊥AB，可得AD⊥CD，则PA，PD的长分别是点P到AB，CD的距离.根据角平分线的性质定理可知，它们与点P到BC的距离相等.因此，可先作出点P到BC的垂线段. 教材 例题 证明：如图，作PE⊥BC于点E，因为AB∥CD(已知)， 所以∠BAD+∠CDA=180°(两直线平行，同旁内角互补) 由AD⊥AB(已知)，知∠BAD=90°(垂直的定义) 所以∠CDA=180°-∠BAD=180°- 90°=90°， 即AD⊥CD(垂直的定义). 因为PB平分∠ABC(已知)，PA⊥AB，PE⊥BC， 所以PA=PE(角平分线上的点到角两边的距离相等). 同理，PD=PE，所以PA=PE=PD. 如图，AB//CD，PB，PC分别平分∠ABC，∠DCB，AD过点P，且与AB垂直. 求证： PA=PD. C D B A E P 教材 例题 04 课堂练习 基础题 C 1.观察下列作图痕迹，所作线段CD为△ABC的角平分线的是(　　) 04 课堂练习 基础题 2.如图，OP平分∠AOB，C为OB上一点，OC＝4，过点P作PD⊥OA.若△OCP的面积为4，则PD的长为 ( ) A．4 B．3 C．2 D．1 C 做一做：你现在能回答情境导入中的问题吗？ 活动二：探究角平分线的性质 因为AP平分∠BAC，所以∠EAD = ∠FAD. 又因为AE = AF，DE = DF，且AD为公共边. 所以△ADE ≌△ADF(SAS). 所以∠ADE =∠ADF， 所以点D在角平分线AP上，故伞圈 D 可沿伞柄滑动. 我国纸伞的结构十分巧妙.如图，伞不管是张开还是收拢，伞柄 AP始终平分同一平面内两条伞骨所成的角∠BAC，且AE=AF， DE=DF，从而保证伞圈D能沿着伞柄滑动.为什么? B C D A P E F 06 板书设计 1.7角平分线的性质 1.作已知角的平分线： 2.角平分线的性质定理： 遇角平分线与垂直条件，可利用 “角平分线上的点到角两边距离相等”，通过作辅助线构造相等线段，结合平行线、垂直等知识，实现线段等量代换，证明线段相等. 通过这节课，你了解到哪些数学知识？ 定义 性质 一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫作这个角的平分线. 几何语言： 因为∠CAD=∠BAD 所以AD是∠BAC的角平分线，即AD平分∠BAC. 角平分线上的点到角两边的距离相等. 几何语言： 如图，OA平分∠BAC，PD⊥AB， PE⊥AC，则PD=PE. 角平分线的性质 A B D C C A B P D E O 谢谢大家聆听 $