1.1.2空间向量的数量积运算课时作业-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 本练习通过基础巩固、能力提升、综合应用三层设计，实现空间向量数量积从概念理解到几何体综合应用的递进，培养空间观念与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|数量积定义、垂直条件、简单夹角|如选择1-4直接考查数量积公式与性质，填空9-10强化模长与夹角计算| |能力提升|几何体中向量运算、综合性质应用|如选择5（正方体多选题）、填空11（长方体夹角与数量积），解答13（长方体数量积计算）| |综合应用|复杂几何体（四棱锥、直三棱柱）向量问题|如选择7-8（平行六面体、直三棱柱），解答14-15（正四棱锥证明、四棱锥向量表示与长度计算）|

课时作业2 空间向量的数量积运算 一、选择题 1．已知两异面直线的方向向量分别为a，b，且|a|＝|b|＝1，a·b＝－，则两直线的夹角为(　　) A．30°　　　　　　　　　 B．60° C．120° D．150° 2．对于向量a、b、c和实数λ，下列命题中的真命题是 (　　)． A．若a·b＝0，则a＝0或b＝0 B．若λa＝0，则λ＝0或a＝0 C．若a2＝b2，则a＝b或a＝－b D．若a·b＝a·c，则b＝c 3.已知空间向量a,b,c满足a+b+c=0,|a|=2,|b|=3,|c|=4,则a与b的夹角为(　　) A.30° B.45° C.60° D.以上都不对 4．已知a，b是异面直线，且a⊥b，e1，e2分别为取自直线a，b上的单位向量，且m＝2e1＋3e2，n＝ke1－4e2，m⊥n，则实数k的值为(　　) A．－6 B．6 C．3 D．－3 5．(多选题)如图所示，正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为a，对角线AC1和BD1相交于点O，则有(　　) A．·＝a2 B．·＝a2 C．·＝a2 D．·＝a2 6．在四面体OABC中，OB＝OC，∠AOB＝∠AOC＝，则cos〈，〉＝(　　) A. B. C．－ D．0 7．已知在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，AA1＝AB＝AD＝1，且这三条棱彼此之间的夹角都是60°，则AC1的长为(　　) A．6 B. C．3 D. 8.已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ABC=120°,AB=2,BC=CC1=1,则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为(　　) 　　　　　 　　　　　 　　　　　 A. B. C. D. 二、填空题 9．已知空间中四点A，B，E，C，若·＝·，则 ________. 10．已知a，b是空间两个向量，若|a|＝2，|b|＝2，|a－b|＝，则cos〈a，b〉＝________. 11.如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，设AD＝AA1＝1，AB＝2，P是C1D1的中点，则与所成角的大小为________；·＝________. 12.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,BC=CC1=1,∠AD1B=,则直线AB1与BC1所成角的余弦值为　　　　.  三、解答题 13．在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝4，E为侧面AA1B1B的中心，F为A1D1的中点，求下列向量的数量积： (1)·；(2)·. 14.如图，正四棱锥P­ABCD的各棱长都为a. (1)用向量法证明BD⊥PC； (2)求|＋|的值． 15.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为1的正方形,侧棱PA的长为2,且PA与AB、AD的夹角都等于60°,M是PC的中点,设=a,=b,=c. (1)试用a,b,c表示向量; (2)求BM的长. 课时作业2 空间向量的数量积运算 （答案） 一、选择题 1．已知两异面直线的方向向量分别为a，b，且|a|＝|b|＝1，a·b＝－，则两直线的夹角为(　　) A．30°　　　　　　　　　 B．60° C．120° D．150° 解析：选B　设向量a，b的夹角为θ，则cos θ＝＝－，所以θ＝120°，则两个方向向量对应的直线的夹角为180°－120°＝60°. 2．对于向量a、b、c和实数λ，下列命题中的真命题是 (　　)． A．若a·b＝0，则a＝0或b＝0 B．若λa＝0，则λ＝0或a＝0 C．若a2＝b2，则a＝b或a＝－b D．若a·b＝a·c，则b＝c 解析：　对于A，可举反例：当a⊥b时，a·b＝0； 对于C，a2＝b2，只能推得|a|＝|b|，而不能推出a＝±b； 对于D，a·b＝a·c可以移项整理推得a⊥(b－c)．故选B. 3.已知空间向量a,b,c满足a+b+c=0,|a|=2,|b|=3,|c|=4,则a与b的夹角为(　　) A.30° B.45° C.60° D.以上都不对 解析：设a与b的夹角为θ.由a+b+c=0,得a+b=-c,两边平方,得a2+2a·b+b2=c2,所以4+2×2×3cos θ+9=16,解得cos θ=,故选D. 4．已知a，b是异面直线，且a⊥b，e1，e2分别为取自直线a，b上的单位向量，且m＝2e1＋3e2，n＝ke1－4e2，m⊥n，则实数k的值为(　　) A．－6 B．6 C．3 D．－3 解析：选B　由m⊥n，得m·n＝0，∴(2e1＋3e2)·(ke1－4e2)＝0.∴2k－12＝0.∴k＝6. 5．(多选题)如图所示，正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为a，对角线AC1和BD1相交于点O，则有(　　) A．·＝a2 B．·＝a2 C．·＝a2 D．·＝a2 解析：选AC　连接A1D，则·＝·＝||||cos〈，〉＝a×a×cos 60°＝a2.A正确．·＝·(＋＋)＝2＋·＋·＝a2，故B错误．·＝·＝·(＋＋)＝(2＋·＋·)＝2＝||2＝a2.C正确．·＝·(－)＝·－·＝－a2.D错误． 6．在四面体OABC中，OB＝OC，∠AOB＝∠AOC＝，则cos〈，〉＝(　　) A. B. C．－ D．0 解析：选D　·＝·(－)＝·－·＝||||cos〈，〉－||||·cos〈，〉，因为〈，〉＝〈，〉＝，||＝||，所以·＝0，所以⊥，所以cos〈，〉＝0. 7．已知在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，AA1＝AB＝AD＝1，且这三条棱彼此之间的夹角都是60°，则AC1的长为(　　) A．6 B. C．3 D. 解析：选B　设＝a，＝b，＝c， 则|a|＝|b|＝|c|＝1， 且〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°， 因此a·b＝b·c＝c·a＝. 由＝a＋b＋c得 ||2＝2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c＋2c·a＝6. ∴||＝，故选B. 8.已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ABC=120°,AB=2,BC=CC1=1,则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为(　　) 　　　　　 　　　　　 　　　　　 A. B. C. D. 解析：∵=-,=+, ∴·=·+·-·-·=0+1-2×1×-0=2. 易知||=,||=, ∴cos<,>===,故选C. 二、填空题 9．已知空间中四点A，B，E，C，若·＝·，则 ________. 解析：·＝·，则·(－)＝·＝0.∴⊥. 答案：⊥ 10．已知a，b是空间两个向量，若|a|＝2，|b|＝2，|a－b|＝，则cos〈a，b〉＝________. 解析：将|a－b|＝两边平方，得(a－b)2＝7. 因为|a|＝2，|b|＝2，所以a·b＝. 又a·b＝|a||b|cos〈a，b〉，故cos〈a，b〉＝. 答案： 11.如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，设AD＝AA1＝1，AB＝2，P是C1D1的中点，则与所成角的大小为________；·＝________. 解析：法一：连接A1D， 则∠PA1D就是与所成角．连接PD，在△PA1D中，易得PA1＝DA1＝PD＝，即△PA1D为等边三角形，从而∠PA1D＝60°，即与所成角的大小为60°.因此·＝××cos 60°＝1. 法二：根据向量的线性运算可得·＝(＋)·＝2＝1. 由题意可得PA1＝B1C＝，则××cos〈，〉＝1，从而〈，〉＝60°. 答案：60°　1 12.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,BC=CC1=1,∠AD1B=,则直线AB1与BC1所成角的余弦值为　　　　.  解析　设AB=a,=+,=++, 则·=·+·+·+·+·+·=0+1+0+0+0+1=2, ||=,||=. 由=,得a=(负值舍去), ∵=+,=+,∴·=·+·+·+·=1+0+0+0=1,又||=,||=, ∴cos<,>===. 答案　 三、解答题 13．在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝4，E为侧面AA1B1B的中心，F为A1D1的中点，求下列向量的数量积： (1)·；(2)·. 解： 如图，设＝a，＝b，＝c，则|a|＝|c|＝2，|b|＝4，a·b＝b·c＝c·a＝0. (1)·＝·(＋)＝b·＝|b|2＝42＝16. (2)·＝(＋)·(＋)＝·(a＋c)＝|c|2－|a|2＝22－22＝0. 14.如图，正四棱锥P­ABCD的各棱长都为a. (1)用向量法证明BD⊥PC； (2)求|＋|的值． 解：(1)证明：∵＝＋， ∴·＝(＋)·＝·＋· ＝||||cos 60°＋||||cos 120°＝a2－a2＝0.∴BD⊥PC. (2)∵＋＝＋＋， ∴|＋|2＝||2＋||2＋||2＋2·＋2·＋2·＝a2＋a2＋a2＋0＋2a2cos 60°＋2a2cos 60°＝5a2，∴|＋|＝a. 15.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为1的正方形,侧棱PA的长为2,且PA与AB、AD的夹角都等于60°,M是PC的中点,设=a,=b,=c. (1)试用a,b,c表示向量; (2)求BM的长. 解析　(1)∵M是PC的中点, ∴=(+). ∵=,=-, ∴=[+(-)], 结合=a,=b,=c,得=[b+(c-a)]=-a+b+c. (2)∵AB=AD=1,PA=2, ∴|a|=|b|=1,|c|=2. ∵AB⊥AD,∠PAB=∠PAD=60°, ∴a·b=0,a·c=b·c=2×1×cos 60°=1. 由(1)知=-a+b+c, ∴==(a2+b2+c2-2a·b-2a·c+2b·c) =×(1+1+4-0-2+2)=, ∴||=,即BM的长等于. 学科网（北京）股份有限公司 $