高中数学经典题型全解析：第7课 函数值域最值专项训练-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 以“方法-函数类型-问题情境”三维架构系统整合值域求解方法，通过分类讨论与模型构建培养逻辑推理与数学建模素养。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |常见求值域方法|5方法6典例15变式|分离常数法化归反比例型、单调性法判定同增同减、三角换元去根号|从代数变形到函数性质，构建基础方法体系| |二次函数最值|6子类型8典例20变式|对称轴与区间位置分类讨论、端点验证法确定最值|以开口方向和区间动定为核心，形成闭环逻辑链| |特殊函数（碗状/取大取小/高斯）|3类型9典例18变式|绝对值函数图像分段分析、取大取小函数图像叠加、高斯函数取整特性|从图像直观到抽象定义，实现特殊函数模型迁移|

第七课 函数的值域与最值 【目录】 6 学科网（北京）股份有限公司 1.常见的求值域的方法 1.1分离常数法求函数值域 1.2基本不等式法求最值 1.3 三角换元法求函数值域 1.4 函数单调性法求最值 1.5有界性法求最值 2.二次函数函数的值域与最值 2.1 函数在上最大值有三种情况 2.2 函数在上最小值有三种情况 2.3 函数在上最小值有两种情况 2.4函数在上最大值有两种情况 2.5 二次函数在闭区间上的值域要分四种讨论 2.6代入验证法确定函数在区间内最值 3.可化为二次函数的值域与最值问题 3.1通过换元转化为二次函数 3.2通过平方转化为二次函数 4.判别式法求最值 4.1判别式求函数的值域的基本原理 4.2 两个变量是判别式法求取值范围的典型特征 4.3 判别式法求定义域不是R的函数的最值 4.4求函数的值域不能完全指望判别式 4.5判别式法求值域逆用 5.碗状函数的值域和最值 5.1 形如的函数图象平底有最小值 5.2 形如的函数图象尖底有最小值 5.3形如的函数图象平底平顶 5.4 形如的函数图象呈折线形 5.5 极端化法求“碗状函数”最值 6. 谁大取谁谁小取谁函数 6.1 谁大取谁函数图象是各函数最上层部分组合 6.2谁小取谁函数图象是各函数最下层部分组合 6.3 绝对值可以构造出谁大取谁谁小取谁函数 6.4 线性规划中的谁大取谁谁小取谁函数 6.5 基本不等式在谁大取谁谁小取谁函数中的应用 7.高斯函数 7.1高斯函数的定义 7.2求高斯函数的值域 7.3高斯函数的图象 1.常见的求函数值域的方法 1.1分离常数法求函数值域 【典例】求函数的值域. 【解析】因为＝＝， 所以，值域为． 【评注】形如可用分离常数法求值域，值域是；或的函数可用分离常数法求值域．对于分子、分母均为二次式的分式函数求值域，也常用分离常数法，将分子降次为一次式后求解.若函数化为反比例型函数，由于，则直接知. 【变式1】已知函数，则该函数的值域为 . 【变式2】已知函数，则该函数的值域为 . 【变式3】已知函数，则该函数的值域为 ． 【变式4】已知函数，则该函数的值域为 ． 【变式5】已知函数，则该函数的值域为 . 【变式6*】已知函数，则的最大值是 ，最小值是 . 1.2*基本不等式法求函数值域 【典例】求函数的值域. 【解析】由，得. 因为，所以，即或. 所以，所求函数的值域为. 【评注】在求值域时若在式中出现这种类型或可化成这种类型的题目就可以用基本不等式求解.利用基本不等式求解要做到：一正，二定，三相等. 【变式1*】已知函数，则该函数的最小值为 (　　) A．－3　　　　B．3 C．4 D．－4 【变式2*】已知，求函数的最小值． 1.3* 三角换元法求函数值域 【典例*】已知函数，则该函数的的值域是 ． 【解析】因为， 可设，， 所以，， 所以，， 因为，所以，所给函数的值域为. 【评注】对于被开方数含有平方的模式，可以利用三角函数知识进行三角换元，换元的目的是让式子中的根号去掉，简化式子，方便求解范围，常见的是利用平方关系换元， 其中换元后的范围的限定要以不影响的取值，运算方便为原则. （更详细的研究在三角函数的性质一讲有介绍） 【变式1*】已知函数则该函数的值域是 . 【变式2*】 已知求函数，则该函数的的值域 . 1.4 函数单调性法求最值（值域） 【典例】已知函数，则该函数的最小值为 ． 【解析】因为函数定义域是，易得， 故为偶函数， 只需考虑在上的最小值，两个根号内的函数在上都递增， 故在上递增， 故，当时取到最小值1． 【评注】注意根式的结构特征，先求定义域，在定义域下研究根号内的两个二次函数的单调性得到根式函数的值域使问题简单化，这应当是求值域首选的方法.典型特征是函数解析式中的每个部分的函数在同一区间上同增同减. 【变式1】已知函数，则该函数的值域是 ． 【变式2】已知函数，则该函数的值域是 ． 【变式3】已知函数，则该函数的值域是 . 【变式4】已知函数，则该函数的值域是 ． 【变式5】已知函数，则该函数的最小值是 ． 1.5有界性法求函数的值域 【典例】求函数的值域. 【解析】函数的定义域为，由，得. 因为，所以，. 所以，，即函数值域为(－1,1]． 【评注】在式中只出现或或或型，可以反解，即用含的表达式来表述出或或或等，然后利用其范围得到关于的不等式，通过解不等式得到其值域。 【变式1】已知函数，则该函数的值域是 ． 【变式2*】已知函数；则该函数的值域是 ． 【变式3*】求函数；则该函数的值域是 ． 2.二次函数在闭区间上的最值 2.1 函数在上最大值有三种情况 【典例1】已知函数. （1）若，求函数的最大值； （2）若，求函数的最大值. （3）若，求函数的最大值. 【解析】. （1）因为函数在上单调增，所以当时，函数取得最大值. （2）因为，所以当时，函数取得最大值. （3）因为函数在上单调减，所以当时，函数取得最大值. 【评注】二次函数在区间上最大值有三种情况，其最大值可能是，主要是看对称轴与区间的位置关系，得到函数在区间上图像的最高点位置. 【变式1】已知函数，，求函数的最大值. 【变式2】已知函数，，求函数的最大值. 【典例2 】函数在区间上的最大值记作，求的表达式． 【解析】，图象开口向下，且对称轴方程为． ①当，即时，在区间上的最大值为； ②当，即时，在区间上的最大值为； ③当，即时，在区间上的最大值为． 故 【评注】当遇到定轴动区间的二次函数的最值问题，我们可以进行动与静的转换，即让对称轴分别运动．本题直线可以分别位于区间右侧、中间、左侧，可以获得三种最大值． 【变式1】函数在区间上的最大值记作，求的表达式． 【典例3】已知函数，若函数的最大值是2，求实数的值. 【解析】法1:，对称轴为． ①当时，，（舍去）． ②当≤≤3时，，解得． ③当时，，（舍去）． 综上所述，或． 法2:易知函数的最大值只可能是三种可能，于是， 令，得，此时，此时，符合题意； 令，得，此时，符合题意； 令，得，此时，此时的最大值是，不符合题意． 故或． 【评注】由于二次函数在区间上最大值可能有三种情况，这里已经告诉最大值，不妨直接假设三者分别等于已知的最大值，再代回去分别验证。 【变式1】已知函数在时有最大值2，求的值． 【变式2】求函数在若函数的的最大值记作，求的表达式. 【变式3】已知函数在闭区间的最大值是3，求实数的值. 2.2 函数在上最小值有三种情况 【典例1】已知函数. （1）若，求函数的最小值； （2）若，求函数的最小值. （3）若，求函数的最小值. 【解析】. （1）因为函数在递减，在递增 所以，当时，函数取得最小值. （2）因为函数在上单调减，所以，当时，函数取得最小值. （3）因为函数在上单调增，所以，当时，函数取得最小值. 【评注】二次函数在区间上最小值有三种情况，其最小值可能是，主要是看对称轴与区间的位置关系，得到函数在区间上图像的最低点位置. 【变式1】当时，求函数的最大值和最小值． 【变式2】当时，求函数的最大值和最小值． 【典例2】如果函数定义在区间上，求的最小值. 【解析】函数图象的对称轴为 当 当 当故所求. 【评注】当遇到定轴动区间的二次函数的最值问题，我们可以进行动与静的转换，即让对称轴分别运动．本题直线可以分别位于区间左侧、右侧、中间，可以获得三种最小值．　 【变式1】函数在区间上的最小值为2，求实数的值． 【变式2】设函数若函数的最小值为，求． 【典例3】已知函数，若函数的最小值是，求实数的值. 【解析】法1:，对称轴为． ①当时，，（舍去）． ②当≤≤3时，，． ③当时，，（舍去）． 综上所述，或． 法2:易知函数的最小值只可能是三种可能，于是， 令，得，此时，符合题意； 令，得，此时，符合题意； 令，得，此时，此时的最小值是，不符合题意． 故或． 【评注】由于二次函数在区间上最小值有三种情况，这里已经告诉最小值，不妨直接假设三者分别等于已知的最小值，再代回去分别验证。 【变式1】函数在的最小值记作，求的表达式． 【变式2】已知函数，求函数在的最小值. 【变式3】已知函数，求函数在的最小值. 2.3 函数在上最小值有两种情况 【典例】已知函数. （1）若，求函数的最小值； （2）若，求函数的最小值； （3）若，求函数的最小值． 【解析】．所以， （1）因为函数在上单调增， 所以，当时，函数取得最小值． （2）因为，，所以，当时，函数取得最小值． （3）因为函数在上单调减，所以，当时，函数取得最小值． 【评注】二次函数的图像是开口向下的抛物线，在区间上最小值只有可能在区间的端点处取得，即其最小值可能是，主要判断区间端点离对称轴的距离，哪个端点离对称轴距离远些，哪个端点处取最小值. 【变式1】已知函数，若的最小值为－2，则的最大值为 (　　) A．－1 B．0 C．1 D．2 【变式2】已知函数，若函数的最小值是2，求实数的值为 . 【典例2】 已知函数，若函数的最小值是，求实数的值为 . 【解析】法1：，对称轴为． ①当时，时，函数取最小值，； ②当时，时，函数取最小值，（舍去）． 综上所述，． 法2：函数图象开口向下，不论对称轴在不在区间左，中，右，函数的最小值只能在取到， 令，得，此时，此时，符合题意； 令，得，此时，此时，符合题意． 综上所述，． 【评注】二次函数在区间上最小值不论对称轴在区间的左、中、右，函数的最小值只能是端点处取得，即验证或进而进行讨论是否符合题意． 【变式1】求函数在区间上的最小值． 【变式2】设，求函数的最小值的解析式． 【变式3】函数在的最小值记作，求的表达式． 【变式4】函数在的最小值记作，求的表达式． 2.4函数在上最大值有两种情况 【典例1】已知函数． （1）若，求函数的最大值； （2）若，求函数的最大值； （3）若，求函数的最大值． 【解析】． （1）当时，当时，函数取得最大值． （2）当时，当时，函数取得最大值． （3）当时，当时，函数取得最大值． 【评注】二次函数在区间上最大值只有两种情况，其最值可能是或，哪个值大些，哪个就是最大值. 【变式1】已知函数，则该函数在区间上的最大值为________． 【变式2】已知函数，则该函数在区间上的最大值为________． 【典例2】已知函数，则该函数在区间上的最大值为________． 【解析】函数图象的对称轴为，区间中点． （1）当，即时，； （2）当，即时，． 综上，． 【评注】二次函数，区间的中点，当对称轴时，；当对称轴时，． 【变式1】求函数在区间（其中为常数）上的最大值． 【变式2】求函数在区间上的最大值． 【变式3】已知函数，则该函数在区间上的最大值为________． 2.5 二次函数在闭区间上的值域要分四种讨论 【典例1】求函数的最大值和最小值. 【解析】，对称轴为． ①当时，由图①可知，，． ②当0≤＜1时，由图②可知，，． ③当1≤≤2时，由图③可知，， ． ④当时，由图④可知，， ． 综上所述，当时，，； 当0≤＜1时，，； 当1≤≤2时，，； 当时， ，． 【评注】二次函数在闭区间上的值域要同时考虑最大值和最小值，一般是通过讨论对称轴与区间的左右位置关系，来确定函数在区间上的大致图象，结合图象寻找函数的最高点与最低点，进一步确定最大值和最小值，一般需要分四种情况讨论， 即. 【变式1】已知函数,则该函数的值域为________. 【变式2】已知函数，，求函数的值域； 【变式3】已知函数，，求函数的值域； 【典例2】已知函数，求该函数函数的值域. 【解析】把配方得，其图象开口向下，对称轴为， 区间的中点为，因为 所以. ①当时，即值域为； ②当时，即，值域为； ③时，即，值域为； ④当时，即值域为. ① ② ③ ④ 【评注】二次函数求值域还要同时考虑最大值，一般需要分四种情况讨论，即，解答时最好画出草图，从图像中直观寻找最高点与最低点. 【变式1】已知函数，求该函数的值域. 【变式2】已知函数,则该函数最值. 【变式3】已知函数，求该函数函数的值域. 2.6代入验证法确定函数在区间内最值 【典例1】已知常数，函数在区间上的最大值为3，则实数 . 【解析】记，，则， 函数的图象是把函数的图象在轴下方的部分翻折到轴的上方得到，其对称轴为， 则的最大值必在或或处取得. （1）当在处取得最大值3时，，解得或， 当时， ，，符合条件，当时，，不符合条件. (2) 当在处取得最大值时，,解得或, 当时，，不符合条件. 当时，，不符合条件. （3）当在处取得最大值时，，解得或， 当时，，不符合条件，当时，，符合条件. 综上所述，满足条件的或. 【评注】二次函数在上的最大值只能是或；对于该二次函数，如果最小值小于零，那么函数的最大值除了或，还可能是。 【变式1】已知函数，则该函数在区间上的最大值等于 . 【变式2】已知函数，则该函数在区间上的最大值等于 . 【变式3】已知函数，则该函数在区间上的最大值等于 . 【变式4】已知函数，则该函数在区间上的最大值等于 . 【变式5】已知常数，函数函数在区间上有最大值3，则 . 【典例2】函数在区间上的最大值为4，则实数 ． 【解析】记，，则， 函数的图象是把函数的图象在轴下方的部分翻折到轴的上方得到，其对称轴为，则的最大值必在或或处取得. （1）当在处取得最大值4时，，解得或， 当时，，，符合条件； 当时，，不符合条件. （2）当在处取得最大值4时，，解得或， 当时， 不符合条件； 时，不符合条件， （2）当在处取得最大值时，，解得或， 当时，，不符合条件； 当时，，，符合条件. 综上所述，. 【评注】在上的最大值只可能在区间端点和对称轴处取得，因为含有参数，不清楚何处取最值，可以逐一代入求出参数，代入之后要注意检验。 【变式1】已知为常数，函数在区间上有最大值2，则（ ） A.5 B.1 C.1或 5 D.2或1 【变式2】已知常数，函数在区间上有最大值2，则 . 【变式3】已知常数，函数在区间上的最大值等于，则实数的取值范围是 . 【变式4】已知常数，函数在区间上的最大值等于，则实数的取值范围是 . 【变式5】已知常数，函数在区间上的最大值等于，则实数的取值范围是 . 3.可化为二次函数的值域与最值问题 3.1通过换元转化为二次函数 【典例】已知函数，则该函数的值域是________. 【解析】设，，， ，，从而. 故=（）， 故原函数的值域为. 【评注】注意三个根式之间的关系，引入得到，将根式问题转化为求二次函数在区间上的值域问题，要注意引入新元的取值范围. 【变式1】已知函数，则该函数的值域是________. 【变式2】已知函数，该函数的值域是________. 【变式3】已知函数的值域是，求实数的值. 【变式4】已知函数，该函数的值域是________. 3.2通过平方转化为二次函数 【典例】已知函数的最大值为M,最小值为m,则的值为 . 【解析】易知， 所以当时，取得最大值， 当时，取得最小值， 故. 【评注】注意根式的结构特征，平方后根式外边的能抵消，根号里是一个二次函数，可用二次函数求出最值，或由用均值不等式求最大值，典型特征是两个根式被开方数之和为定值，如. 【变式1】已知函数，则该函数的值域是 ． 【变式2】已知函数，则该函数的值域为________. 【变式3】已知函数，则该函数的最大值为________ 【变式4】已知函数，则该函数的值域是 ． 4.判别式法求最值 4.1判别式求函数的值域的基本原理 【典例】求函数的值域. 【解析】因为恒成立，所以函数的定义域为． 由得： ① ①当即时，①即，所以． ②当即时，因为时方程恒有实根， 所以，所以且. 所以原函数的值域为． 【评注】原分式函数定义域是全体实数，即对任何实数x都是等式成立，等价于一元二次方程总有两个实数解，只需要判别式为非负数即可；特别应注意的是，关于的方程是类二次方程，只有一元二次方程在实数范围内有解，才能使用判别式，这就是判别式法的基本原理. 【变式1】已知函数，则该函数的值域为_________. 【变式2】已知函数，则该函数的值域 . 【变式3】 求函数的值域. 4.2 两个变量是判别式法求取值范围的典型特征 【典例】设为实数，若，则的最大值是 . 【解析】设，则，代入整理得， 从而 ，则， 故最大值为（取等条件略）. 【评注】本题也可设，则，代入得到关于的一元二次方程，在利用判别式求解，用判别式时注意不漏掉等号.求什么设什么，反求出另一变量代入方程，转化为一个一元二次方程，再利用判别式法。（更详细的介绍请参考不等式部分讲座） 【变式1】若，设，则的最小值为 . 【变式2】设为实数，若，则的最大值是 . 【变式3】设为实数，若，则的最小值是 . 4.3 判别式法求定义域不是R的函数的最值 【典例】求函数（）的最小值. 【解析】在上有解， 也就是二次函数在内与轴有公共点.注意到， 所以，根据二次函数图象特点知只需满足，结合解得， 故函数的值域为. 【评注】用判别式法解题，最理想的情形是主元的范围是，这时判别式法求得的确是参数的取值范围. 当函数的定义域不是时，求最值一定要具体考查对应是否存在，若不存在，只能更换更保险的方法，如三角换元。 【变式1】已知函数，则该函数的最大值为 . 【变式2】已知函数，则该函数的值域为 . 【变式3】已知函数，则该函数的最大值是 . 4.4求函数的值域不能完全指望判别式 【典例】若正数满足，则的取值范围是 . 【解析】设，则，代入整理得， 因为关于的二次方程有解，从而，解得或， 由知，则，即， 从而， 从而的取值范围是. 【评注】判别式并不是万能的，只能保证一元二次方程有解，并不能指出有哪些解；其次是如果主元的范围是的一个真子集，判别式法求得的参数范围会扩大，方程的解并不是判别式的正负所能左右的，可以借助二次函数图象数形结合来判断. 【变式1】若正数满足，则的取值范围是 . 【变式2】设正实数满足，则实数的最小值为 . 4.5判别式法求值域逆用 【典例】已知函数的值域为，求实数的值. 【解析】（法1）原函数定义域为，则方程在内有解. 当时，由得. 而， 从而是的两根， 则由韦达定理得，，解得. 当时，对应，符合题意. 因此. （法2）因为函数的值域为， 所以，整理得， 所以，解得. 【评注】本例要求的值，需构建关于的方程组. 解法1由“三个二次的关系”知，一元二次不等式解集的端点是相应一元二次方程的根，从而利用韦达定理构建关于的方程组，解法2把逆向问题转化为正向求值，体现了数学解题中的化归思想和方程思想. 【变式1】若函数的定义域为，值域为，则的值分别为 . 【变式2】已知函数的最大值为，则实数的值为 . 【变式3】已知函数的最大值为7，最小值为，求的值. 【变式4】已知函数的值域为，求的值. 5.碗状函数的值域和最值 5.1 平底函数有最小值 【典例】已知函数，则该函数的值域为 . 【解析】法1：，画出函数图象 ，如图所示，函数的值域为. 法2：，当且仅当，即时取等号。 【评注】函数图象上点的纵坐标本质上就是函数值，所以只要画出函数的图象，从图象可以观察到函数最大值和最小值.对于函数+，则令任一个绝对值为零，均可求得函数图象的拐弯点坐标，从而获得最小值. 【变式1】已知函数，则该函数的值域是 . 【变式2】已知函数，则该函数的值域是 . 【变式3】已知函数，则该函数的值域是 . 【变式4*】，若，则的取值范围为 . 5.2 尖底函数有最小值 【典例】已知函数，则该函数的值域是 . 【解析】法1：，画出函数图象 ，如图所示，函数的值域为． 法2：，当且仅当时取等号。 【评注】从图看出，对于函数+，若，函数在转折点处取得最小值.即两绝对值相加型函数只有最小值. 【变式1】已知函数，则该函数的值域是 . 【变式2】已知函数，则该函数的值域是 . 【变式3】已知函数，则该函数的值域是 . 【变式4】已知函数，则该函数的值域是 . 5.3函数图象平底平顶 【典例】已知函数，则该函数的值域是 . 【解析】（法1）.画出函数图象 ，如图所示，函数的值域为 （法2） ，所以 【评注】若-，令前一个绝对值为零，可求得函数-的最小值，令后一个绝对值为零，可求得函数的最大值.此类系数相同的两绝对值相减型函数既有最大值也有最小值. 【变式1】已知函数，则该函数的值域是 . 【变式2】已知函数，则该函数的值域是 . 【变式3】已知函数，则该函数的值域是 . 【变式4】已知函数，则该函数的值域是 . 5.4 函数图象呈折线形 【典例】已知函数，则该函数的值域是 . 【解析】 .画出函数图象 ，如图所示值域为. 【评注】形如类函数的最值情形，可以令趋于正无穷大，根据得到的函数值的变化趋势可确定最值类型.当，函数图象两端向上无限延伸，当，函数图象两端向上无限延伸，当，函数图象两端平行. 【变式1】已知函数，则该函数的值域是 . 【变式2】已知函数，则该函数的值域是 . 【变式3】已知函数，则该函数的值域是 . 【变式4】已知函数，则该函数的值域是 . 5.5极端化法求“碗状函数”最值 【典例】 若函数的最小值为，则实数的值为（ ） A．或 A．或 C．或 D．或 【解析】（几何意义） 函数可化为, 其几何意义为数轴上的到的距离与到的距离的倍之和，结合数轴易得时，，解得或 故选D. （最值点的规律应用）函数必有最小正值，且在转折点或处. 若，解得或， 若，存在更小值，舍掉； 若，存在更小值，舍； 若，所以或 验证符合条件。 故选D （放缩法），由题得， 所以或验证符合条件 故选D 【评注】根据的函数图象可以看出此类函数的最值，都可以在转折点处取得，而转折点就是绝对值为零的时候对应的值，至于何时取得最值，则可以通过极端化思想进行尝试. 【变式1】若函数最小值为，则实数的值为（ ） A．1或-2 A．1或2 C．-1或2 D．-1或-2 【变式2】若函数的最小值为，则实数的值为（ ） A．1 B．1或-5 C．-1或-5 D．-5 【变式3】若函数的最大值为，则实数的值为（ ） A．1 B．1或 C．或 D． 【变式4**】设函数，则使的取值范围是 ． 【变式5】设函数.若不等式恒成立，则实数的取值范围是 . 【变式6】设函数.若不等式恒成立，则实数的取值范围是 . 6. 谁大取谁谁小取谁函数 6.1 谁大取谁函数图象是各函数最上层部分的组合 【典例】对a，bR，记，则函数(xR)的最小值是　　　. 【解析】由， 故，其图象如右， 则. 【评注】在同一直角坐标系中画出个个函数的图象，谁大取谁函数的图象是各函数最上层部分的组合 【变式1】对任意的实数a、b ，记．若，其中奇函数y=f(x)在x=1时有极小值-2，y=g(x)是正比例函数，函数与函数y=g(x)的图象如图所示．则下列关于函数的说法中，正确的是( ) A．为奇函数 B．有极大值F（-1）且有极小值F（0） C．的最小值为-2且最大值为2 D．在（-3，0）上为增函数 6.2谁小取谁函数图象是各函数最下层部分的组合 【典例】用表示a，b两数中的最小值。若函数的图象关于直线对称，则t的值为____________ 【解析】因为， 又因为图象关于关于直线对称， 所以，所以，所以， 故答案为1. 【评注】本题是利用特值求解的，还可以直接画出得图象求解，谁小取谁函数图象是各函数最下层部分的组合. 【变式1】用表示三个数中的最小值， 设 ,则的最大值为____________ 【变式2】定义运算，例如，，则函数的最大值为_____ 【变式3】定义运算例如，,则函数的值域为___ 【变式4】在数学拓展课上，老师规定: ，如：1*2=1，3*2=2，则值域为___ 【变式5】若，表示两者中较小者，则解集为________. 6.3 绝对值可以构造出谁大取谁谁小取谁函数 【典例】已知函数，，求最大值； 【解析】，观察图象得，两者交点处函数值最大值， ，，。 【评注】本题本质也是“谁小取谁”函数。在一个坐标系中，画出两个函数的图象，得到“谁小取谁”函数得图象，利用图象是处理此类最值问题最常用的方法. 【变式1】设若，则的最大值为___ 【变式2】已知函数,则的值域是 ___ 6.4 线性规划中的谁大取谁谁小取谁函数 【典例】若实数满足且（表示中的较大者），则目标函数的最小值等于 ． 【解析】因为，在同一坐标系内作直线 ， 谁在上面保留谁的图形，便得到图象，如图1， 进而得，不等式所表示的平面区域，如图2， 由线性规划知识可知，在处目标函数的最小值为1. 图1 图2 【评注】谁小取谁函数图象是各函数最下层部分的组合 【变式1】定义，设实数满足约束条件，若，的取值范围 ． 6.5 基本不等式在谁大取谁谁小取谁函数中的应用 【典例】已知均为正实数，记， 则的最小值为 ． 【解析】， 由知， 又显然时，， 所以，的最小值为2。 【评注】应用基本不等式求最值要注意等号成立的条件. 【变式1】已知a 0，b 0，且，其中{a，b}表示数a，b中较小的数，则h的最大值为 ． 7．高斯函数 7．1高斯函数的定义 【典例】已知函数，其中表示不超过的最大整数，如：，，．（1）求、的值； （2）判断函数的奇偶性． 【解析】（1）,． （2）由（1）知：，且，故为非奇非偶函数． 【评注】“不超过的最大整数”，即高斯函数，也叫“取整函数”．对于实数，符号表示不超过的最大整数，例如，,. 【变式1**】如果对于任意实数，表示不超过的最大整数，则 （ ） A． B． 2 C． D． 1 【变式2】若函数 (表示不大于的最大整数),则 （ ） A． 8 B． 4 C． 2 D． 1 【变式3】设[x]表示不大于x的最大整数, 则对任意实数x, y, 有（ ） A．[－x] ＝－[x] B．[2x] ＝ 2[x] C．[x＋y]≤[x]＋[y] D．[x－y]≤[x]－[y] 【变式4】如果对于任意实数，表示不超过的最大整数，例如，，，那么“”是“”的（ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式5**】为等差数列的前项和，且记，其中表示不超过的最大整数，如． （Ⅰ）求；（Ⅱ）求数列的前1000项和． 7．2求高斯函数的值域 【典例】已知，记[x]为不超过实数的最大整数，则的值域是 ． 【解析】 若，则，，， 所以，． 若=0＝f(－x)，所以，． 若，则，因此， 所以，， 所以，． 故=或0． 所以，y的值域是{－1，0}． 【评注】由于的范围较大，在求解时就需要分类讨论，通过逐段求解函数的取值来求解与高斯函数相关的值域． 【变式1】为实数，表示不超过的最大整数，则函数在上为（ ） A．奇函数 B．偶函数 C．增函数 D． 周期函数 【变式2】为实数，表示不超过的最大整数，则函数在上为（ ） A．奇函数 B．偶函数 C．增函数 D．周期函数 【变式3】记[x]为不超过实数x的最大整数，设，则函数的值域是 ． 【变式4】符号表示不超过的最大整数，如，定义函数，那么下列命题中正确的序号是 ． （1）函数的定义域为R，值域为； （2）方程，有无数解； （3）函数是周期函数； （4）函数是增函数． 【变式5】由“不超过的最大整数”这一关系所确定的函数称为取整函数，通常记为，例如：，，则函数，的值域为（　　） A． B． C． D． 7．3高斯函数的图象 【典例】给出定义：若（其中为整数），则叫做离实数最近的整数，记作．在此基础上给出下列关于函数的四个命题： ①函数的定义域为，值域为；②函数的图象关于直线对称；③函数是周期函数，最小正周期为1；④函数在上是增函数． 其中正确的命题的序号是（ ） A．① B．②③ C．①②③ D．①④ 【解析】对于任一实数，存在使得，此时，此时又有，所以， 所以对于任意成立， 所以是周期为1的函数．从而只需考察在区间内的值． 当时，依据定义，所以此时； 当时，依据定义，所以此时． 根据的周期性，画出的图象如图所示，显然①②③正确，但④错误， 故选C． 【评注】高斯函数一般根据定义转化为分段函数，先作出在某一段的图像，然后结合函数的周期性通过图像的平移作出其他区间的图像． 【变式1】函数（其中[x]表示不超过x的最大整数）的零点的个数为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2】函数的函数值不超过的最大整数，例如，，，当时，写出函数的解析式，并作出函数图象． $ 第七课 函数的值域与最值 ( 2 ) 学科网（北京）股份有限公司 1.常见的求函数值域的方法 1.1分离常数法求函数值域 【典例】 1.【解析】∵，所以.函数的值域为. 2.且.【解析】原函数可化为. ，可得；∵，可得.故函数的值域为且. 3.【解析】，∵，∴值域是. 4.【解析】因为 ，又易知，故. 5.{ | 1且}【解析】 ∵，可得；∵，可得.故函数的值域为 {|1且} 6. ，.【解析】当时，；时，－4 1.2*基本不等式法求函数值域 【典例】 1.B【解析】当且仅当即时取“＝”号．∴. 2.5【解析】设，∵，∴. ∴. 当且仅当即时，上式取“＝”号． ∴时，5. 1.3 三角换元法求函数值域 【典例*】 1.【解析】由已知可得，设，则， ∵,∴，即值域为. 2.【解析】由已知可得，故可令. ，∵，， ∴ 故所求函数的值域为：. 1.4 函数单调性法求最值（值域） 【典例】 1.【解析】此函数的定义域为，且是增函数，当时，，函数的值域为. 2.【解析】函数在上单调递增，当时， 3.【解析】函数在其定义域上是减函数，当时，．故所求函数的值域是. 4.【解析】函数的定义域为两个根号内的函数在上都为减函数， 所以 在上都为增函数，综上可知，函数值域为 5. 【解析】函数的定义域为两个求和的函数在上都为减函数， 在上都为增函数，综上可知，函数最小值为 1.5有界性法求函数的值域 【典例】 1.．【解析】函数的定义域为　由，得. ∵，∴.且∴或.即函数值域为． 2.．【解析】先求定义域为，由，得. ∵，∴.∴.即函数值域为． 3..【解析】函数的定义域为，由，得. ∵，∴.∴或.即函数值域为 . 2.二次函数在闭区间上的最值 2.1 函数在上最大值有三种情况 【典例1】 1. 【解析】，函数的图象开口向下，在对称轴处取得最大值， 故函数的最大值为. 2. 【解析】令，则， 再求的最大值. 函数的图象开口向下，对称轴为，函数在单调递减， 所以函数的最大值为，故函数最大值为，即. 【典例2】 1.【解析】分三段讨论得． 【典例3】 1. 或【解析】， 当时， ，满足题意； 当时，，解得，舍； 当时，，解得，满足题意. 综上，或. 2.【解析】分三段讨论得． 3. 【解析】考虑最大值无非在三处可能取得，区间端点及抛物线顶点，即， 令，则，不符题意； 令，则，得或， 当时，此时，此时，不符合题意， 当时，此时，此时，符合题意； 令，则，得，此时， 此时不符题意； 综上所述，. 2.2 函数在上最小值有三种情况 【典例1】 1.【解析】，当时，，当时，． 2.【解析】，当时，，当时，． 【典例2】 1.【解析】令在区间上的最小值为，分三段讨论得， 由题得当时，，即（舍）或符合题意; 当时，不符合题意; 当时，，即（舍）或符合题意. 综上所述，或． 2.【解析】∵函数，∴对称轴为直线， ∵不一定在区间内，∴应进行讨论． 当时，函数在上单调递减，则当时，y取得最小值，即； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增，则当时，y取得最小值，即 综上，. 【典例3】 1.【解析】分三段讨论得． 2.【解析】由于，，图象开口向上，且对称轴是， ①当时， 即，； ②当时， 即，， 综上所述，． 3.【解析】函数图象开口向上，且对称轴是， ①当时，即，； ②当时，即，； ③当时，即，，综上所述，． 2.3 函数在上最小值有两种情况 【典例】 1.C【解析】 ∵，，∴当时，取最小值，，则， ∴，当时，取最大值1. 2.5【解析】，对称轴为， 因为区间端点离对称轴距离远些，故，． 【典例2】 1.【解析】，图象开口向下，对称轴为． ①当时，即时，函数取最小值； ②当时，即时，函数取最小值． 综上所述，． 2.【解析】，对称轴为，区间的中点为， ①当时，即时，左端点离对称轴距离远，所以； ②当时，即时，右端点离对称轴距离远，所以 综上所述，． 3.【解析】分两段讨论得． 4.【解析】分两段讨论得 2.4函数在上最大值有两种情况 【典例1】 1. 【解析】．函数在上单调递增，则． 2. 【解析】．，，， 则． 【典例2】 1.【解析】易得，图象开口向上，且对称轴方程为，区间的中点为即， ①当即时，在区间上的最大值为； ②当即时，在区间上的最大值为； 所以， 2.【解析】函数图象的对称轴为，区间的中点为， 当，即时，所求最大值为； 当，即时，所求最大值为． 综上， 3.【解析】函数图象的对称轴为，区间的中点为． 当时，所求最大值为； 当时，所求最大值为． 综上， 2.5 二次函数在闭区间上的值域要分四种讨论 【典例1】 1.[4,8]【解析】当时， 当1时，∴ 所给函数的值域为[4,8]． 2.【解析】，对称轴为； ①当时， ，，值域为． ②当0≤＜2时， ，，值域为． ③当2≤≤4时，， ，值域为． ④当时，，，值域为． 3.【解析】 ①当时， ，，值域为． ②当0≤＜2时， ，，值域为． ③当时，， ，值域为． ④当时，，，值域为. 【典例2】 1.【解析】，易知，其图象开口向下，对称轴为，，，故值域为. 2.解析】易知，其图象开口向上，对称轴为. 当时，，，故其值域为. 当时，，，故其值域为. 3.【解析】依题意，，其图象开口向下，对称轴为. ①对称轴在区间的左边，，即， 由单调性易知，，，函数的值域为. ②对称轴在区间内，由于区间的中点， 所以对称轴与1较近，只有这一种情况，即， 由单调性易知，，，函数的值域为. ③对称轴在区间的右边，即与已知相矛盾. 综上，当时函数的值域是，当时函数的值域是. 2.6代入验证法确定函数在区间内最值 【典例1】 1.3 【解析】记，，则， 函数的图象是把函数的图象在轴下方的部分翻折到轴的上方得到，其对称轴为， 则的最大值必在或或处取得.,, 所以在区间上. 2.7 【解析】记，，则， 函数的图象是把函数的图象在轴下方的部分翻折到轴的上方得到，其对称轴为， 则的最大值必在或或处取得，,， 所以在区间上. 3.3 【解析】记，，则， 函数的图象是把函数的图象在轴下方的部分翻折到轴的上方得到，其对称轴为， 则的最大值必在或或处取得，,, 所以在区间上. 4.7 【解析】记，，则，其对称轴为， ,所以在区间上. 5.或1【解析】记，，则， 函数的图象是把函数的图象在轴下方的部分翻折到轴的上方得到，其对称轴为， 则的最大值必在或或处取得. 当在处取得最大值3时，则，解得， 当时，不符合条件，当时，符合条件. 当在处取得最大值3时，，解得或， 当时，不符合条件，当时，符合条件. ③当在处取得最大值3时，，解得或， 当时，不符合条件，当时，不符合条件. 综上所述，满足条件的或. 【典例2】 1.B【解析】记，，则， 函数的图象是把函数的图象在轴下方的部分翻折到轴的上方得到，其对称轴为， 则的最大值必在或或处取得. （1）当在处取得最大值2时，，解得或， 当时，，符合条件； 当时，不符合条件. (2) 当在处取得最大值时，,解得或, 当时，，不符合条件； 当时，，不符合条件. （3）当在处取得最大值时，，解得或， 当时，，不符合条件； 当时，，符合条件. 综上所述，满足条件的.选B. 2.【解析】记，，则， 函数的图象是把函数的图象在轴下方的部分翻折到轴的上方得到，其对称轴为，则的最大值必在或或处取得. （1）当在处取得最大值时，，解得或， 当时，符合条件； 当时，不符合条件. (2) 当在处取得最大值时，,解得或, 当时，不符合条件； 当时，不符合条件. （3）当在处取得最大值时，，解得或， 当时，符合条件； 当时，不符合条件. 综上所述，满足条件的. 3.【解析】记，，则， 函数的图象是把函数的图象在轴下方的部分翻折到轴的上方得到，其对称轴为， 则的最大值必在或或处取得，由题由题在区间上的最大值等于， 即且，则且，平方解得. 4.【解析】记，，则， 函数的图象是把函数的图象在轴下方的部分翻折到轴的上方得到，其对称轴为， 则的最大值必在或或处取得，由题由题在区间上的最大值等于， 即且则且，平方解得. 5.不存在【解析】记，，则， 函数的图象是把函数的图象在轴下方的部分翻折到轴的上方得到，其对称轴为， 则的最大值必在或或处取得，即且 ， 即且，没有这样的实数，填“不存在”. 3.可化为二次函数的值域与最值问题 3.1通过换元转化为二次函数 【典例】 1.【解析】令，则， ∴，， 而函数在上是增函数， 所以，当时，，故所求函数的值域是. 2.【解析】令，则，且. ∴， ∵是关于的二次函数的递减区间， ∴，∴函数值域为． 3.【解析】令，则，且. ∴. ∵是关于的二次函数的递减区间， ∵函数值域为，. 4.【解析】，∴， 设，则， ∴，函数的值域是. 3.2通过平方转化为二次函数 【典例】 1.【解析】由得 ，∴函数定义域为[3,5]. 又∵， 当时，， 当或时，， ∴∵， ∴， ∴所给函数的值域为. 2.【解析】易知，∴，又，故函数的值域是. 3.【解析】法一:平方，求根号下二次函数的最大值即可. 法二:基本不等式，， 又，，当且仅当，即时取等号. 故. 4.【解析】由得 ，∴函数定义域为[3,5]. ， 当时，，当或时，， ∴，∴， ∴所给函数的值域为. 4.判别式法求最值 4.1判别式求函数的值域的基本原理 【典例】 1.【解析】的定义域为，则方程在内有解. 当时，方程为，不成立，因此. 当时，，解得. 综上，原函数值域为. ２．【解析】. 若，有两个实数解，，解得且； 若，，，符合题意. 函数的值域是. 3.【解析】，函数的定义域为R. 原函数可以化为，整理得：. 当时，方程化为13=0，显然不能成立， 当时，方程恒有实根， . ∴原函数的值域为． 4.2 两个变量是判别式法求取值范围的典型特征 【典例】 1.．【解析】关于的方程有解， 则 ，即， 当时，从而的最小值为. 2.【解析】设，则，代入整理得， 从而，则，即最大值为（取等条件略）. 3．【解析】设，整理得， ①当时，；命题成立． ②当时，方程可化为，又因为实数，则，则的最小值是（取等条件略） . 4.3 判别式法求定义域不是R的函数的最值 【典例】 1.【解析】， ， 平方得，，，解得. 令 ，，解得，当时，. 2.【解析】的定义域为， 则方程在内有解，显然不是方程的解， 从而， 解得值域为. 3.【解析】两边平方整理得，关于的方程有解，则，解得.当时，，， 因此函数的最大值是. 4.4求函数的值域不能完全指望判别式 【典例】 1.【解析】设，由得， 代入整理得，关于的二次方程有解， 从而，解得或. 另外，由知，则，从而，故所求取值范围应是. 2.【解析】由去分母整理得，关于的二次方程有解， 则. 由，上述方程的两根之积，则两根都是正数， 从而对称轴，于是. 此时由得，解得（舍去）或， 故的最小值为（此时）. 4.5判别式法求值域逆用 【典例】 1. 5，5【解析】设，则. 当时，，即. 而，则两根是1和9，由韦达定理有，解得. 当，对应，符合条件. 故. 2.5【解析】由题设得不等式，即在上恰成立，所以，解得. 3.6【解析】由已知得函数定义域为，.当时，方程有实数解；当时，由二次方程有实数根得即 又由题意知此不等式的解集为， 是相应方程的两个不等实根. 故 4.【解析】由已知得， 若显然在函数的值域内. 若，由于, 故整理得， 由已知得，;∴. 5.碗状函数的值域和最值 5.1 平底函数有最小值 【典例】 【变式1】已知函数，则该函数的值域是 . 1..【解析】 画出函数图象 ，如图所示，函数的值域为. 2..【解析】 ，画出函数图象 ，如图所示，函数的值域为. 3..【解析】 ，画出函数图象 ，如图所示，函数的值域为. 4.【解析】对于题目所给不等式的左侧，可以理解为函数两个变量、函数值之和的问题，即已知，若，求的取值范围问题．结合图形，不等式只有时能成立，且从而的取值范围为 5.2 尖底函数有最小值 【典例】 1..【解析】，画出函数图象 ，如图所示，函数的值域为. 2..【解析】，画出函数图象 ，如图所示，函数的值域为. 3.【解析】.画出函数图象 ，如图所示，函数的值域为. 4..【解析】.画出函数图象 ，如图所示，函数的值域为. 5.3函数图象平底平顶 【典例】 1.【解析】.画出函数图象 ，如图所示，值域为. 2..【解析】.画出函数图象 ，如图所示值域为. 3..【解析】.画出函数图象 ，如图所示，值域为. 4..【解析】.画出函数图象 ，如图所示，值域为. 5.4 函数图象呈折线形 【典例】 1..【解析】.画出函数图象 ，如图所示值域为 另法：. 2..【解析】.画出函数图象 ，如图所示值域为. 3..【解析】.画出函数图象 ，如图所示值域为. 4..【解析】.画出函数图象，如图所示，值域为. 5.5极端化法求“碗状函数”最值 【典例】 1.A.【解析】令，代入得，得=1或-2，选A. 2.A.【解析】有最小值，那么有两种情况：前系数相同（这种情况不要忘）和不同.若相同即，则最小值为-2不合题意；若不同，又因有最小值且为负值，，且，需在第一步时令前一项为零即，代入得.选A. 3.D.【解析】易知，有最大值，那么有两种情况：前系数的绝对值相同和不同.若相同即，则最大值为2不合题意；若不同，又因有最大值，则必须满足，解得.故选D. 4..【解析】由于是增函数，等价于　　　　① （1）当时，，①式恒成立. （2）当时，，①式化为，即. （3）当时，，①式无解. 综上的取值范围是. 5..【解析】（1）当时，恒成立； 当时，要保证恒成立，即得最小值，解得，即. .综上得，. 6..【解析】根据函数图象性质可知，当时，恒成立，即，实数的取值范围是时恒成立. 6. 谁大取谁谁小取谁函数 6.1 谁大取谁函数图象是各函数最上层部分的组合 【典例】 1.B【解析】画出其图象如图中实线部分，由图象可知：的图象不关于原点对称，不为奇函数，故A不正确；有极大值且有极小值，故B正确；的没有最小值和最大值，故C不正确。在（-3，0）上不为单调函数；故D不正确, 故选B． 6.2谁小取谁函数图象是各函数最下层部分的组合 【典例】 1.6 【解析】画出函数的图象，观察图象可知，的最大值在x=4时取得为6. 2. 【解析】根据定义， 画出函数的图象，从图象直观观察可得函数的最大值，和交点的纵坐标，计算得最大值为. 3. 【解析】作出函数的图象，从图象直观观察即可 4. 【解析】作出函数的图象，从图象直观观察即可. 5. （0，4）∪（4，+∞） 【解析】函数，当时，解方程，得x＜4，∴0＜x＜4．当x＞4时，解方程，得x＞4，∴x＞4．综上可得，不等式的解集为 （0，4）∪（4，+∞）． 6.3 绝对值可以构造出谁大取谁谁小取谁函数 【典例】 1. 【解析】解析：当，= 当，可见本题本质也是“谁小取谁”函数。在一个坐标系中，画出两个函数的图象（略）。解，得或，经验证，时，得的最大值是. 2. 【解析】，画出函数的图象即可求解. 6.4 线性规划中的谁大取谁谁小取谁函数 【典例】 1. 【解析】画出可行域， ，当时，易知此时取最小值为，取最大值为10 ；当时时，此时最大为8，最小为，所以. 6.5 基本不等式在谁大取谁谁小取谁函数中的应用 【典例】 1. 【解析】，当且仅当时取等号. 故. 7．高斯函数 7.1高斯函数的定义 【典例】 1．C 【解析】因为, 所以，所以选C 2．B【解析】,,,故选B． 3．D【解析】对于A, 设， 则, 显然错误；对于B, 设，则, 显然错误；对于C, 设，则显然错误．故选D． 4．A【解析】当时，则一定有，但反之不成立；如当，时，，但，，显然；∴是充分不必要条件，故选A． 5.【解析】（Ⅰ）设的公差为d ，据已知有7 + 21d = 28 ，解得d = 1. 所以的通项公式为.． （Ⅱ）因为所以数列的前项和为 7.2求高斯函数的值域 【典例】 1．C【解析】f(x)＝x+n,,作出该函数的图象,可知为增函数，故选C． 2．D【解析】f(x)＝x－n,,依据已知可以作出函数图象如图所示， 则可知是有界，且是周期为的非单调函数，其最小正周期为1，故选D． 3．【解析】如图， 函数的值域是． 4．（2）（3）【解析】对于（1），值域中没有1，（1）错；对于（4），函数在每一区间上都是增函数，不是整个定义域上的增函数，（4）错．对于（3），函数的周期是1，（3）正确；（2）也是正确的． 5．C【解析】由取整函数定义可知：当时，，此时． 当时，，此时； 当时，，此时； 当时，，此时； 所以函数的值域为，故选C． 7.3 高斯函数的图象 【典例】 1．D【解析】由得，令，在同一坐标系内作出函数和的图象，可知图象有4个交点，故选D． 2．【解析】根据题目要求，可以求出函数的解析式为： ，其图象为： $