5.3 实际问题与一元一次方程 分层讲义 2026-2027学年人教版七年级数学上册

5.3 实际问题与一元一次方程 分层讲义题集 一、单元考情分析 5.3“实际问题与一元一次方程”是第五章最难啃的一块骨头，也是期末考试压轴题的常客。考查分值一般在12—20分之间，题型以解答题（8—12分） 为主，选择填空也会有2—4分的小题。 5.3的核心就一件事：从文字中找出等量关系，列出方程。常见题型有五种： 配套问题：比如多少人生产螺栓、多少人生产螺母，要让螺栓和螺母刚好配成一套。关键是要搞清楚“几个A配几个B”。 工程问题：把总工作量看成“1”，搞清楚每个人（或每个队）的工作效率。关键是“各部分工作量之和=1”。 销售问题：进价、标价、售价、利润、利润率这几个概念要分清楚。关键是“利润=售价-进价”“利润率=利润÷进价×100%”。 积分问题：比如球赛胜一场得几分、平一场得几分。关键是“胜场积分+平场积分+负场积分=总积分”。 方案选择问题：两种方案比较，哪个更划算。关键是分别算出两种方案的费用，再比大小。 老师说：应用题最怕的就是读不懂题。我的建议是——读三遍。 第一遍粗读，知道大概讲什么事； 第二遍精读，圈出关键数据； 第三遍带着问题读，找等量关系。很多孩子拿到题就急着设x，结果设完了发现不知道怎么列方程——等量关系没找到，设了也白设。 应用题里列方程的通用步骤我放在下面“答题模板”里了，做完题记得回头看看“错题复盘”板块——那都是我班上学生真实踩过的坑。 二、答题万能模板（5.3实际问题与一元一次方程） 列方程解应用题“六步法”： 审→设→列→解→验→答 第一步：审——读题，圈出已知量和未知量，找到等量关系。等量关系通常藏在“是”“比…多/少”“共”“剩余”“刚好”“相等”这些词后面。 第二步：设——设未知数。一般题目问什么就设什么为x，但有时候间接设更简单（比如按比例设）。 第三步：列——用含x的式子表示相关量，根据等量关系列出方程。注意方程两边是同一类量，单位要统一。 第四步：解——解方程（用5.2学的四步法）。 第五步：验——检验方程的解是否符合实际意义。比如人数不能是分数、时间不能是负数。 第六步：答——写出答案，注意带单位。 三、错题复盘·高频易错点提前看 以下是我带过的班上学生做5.3实际问题时出错率最高的几个地方，做题之前先看一遍： 易错1：配套问题比例搞反 比如“2个大齿轮与3个小齿轮配成一套”，很多孩子列成2×大齿轮个数=3×小齿轮个数——错！ 应该是3×大齿轮个数=2×小齿轮个数。可以这样记：配成一套需要几个，方程里就乘几个对方的。 易错2：工程问题把“工作时间”当“工作效率” 比如甲单独做12天完成，有孩子设甲的工作效率为12——错！ 工作效率是1/12，不是12。做得越快（天数越少），效率越高，这个逻辑要搞清楚。 易错3：销售问题把利润率算错 利润率=利润÷进价×100%，不是利润÷售价。比如进价100元、售价120元，利润率是20÷100=20%，不是20÷120≈16.7%。 易错4：积分问题忽略“场次总和” 比如共赛了14场，设胜了x场，负了(14-x)场——这个等量关系经常被忽略。还要注意：胜的场数必须是整数，如果解出来是分数，要判断是否符合实际。 易错5：方案选择问题忘了“分类讨论” 有的方案需要分情况讨论（比如用水量不超过多少吨一种算法、超过多少吨另一种算法），很多孩子只算了一种情况就下结论。 四、分层训练题 【A组·基础巩固——配套问题与工程问题】（建议用时：15分钟） 知识点1：配套问题 1. （选择题）某车间有20名工人，每人每天可以生产甲种零件5个或乙种零件4个。1个甲种零件与2个乙种零件配成一套。为使每天生产的零件刚好配套，应安排x名工人生产甲种零件，则列方程为（　　） A. 5x=4(20-x)　 　B. 2×5x=4(20-x) C. 5x=2×4(20-x)　 　D. 5x=4(20＋x)×2 2. （选择题）某工厂有34名工人，每人每天可加工A部件8个或B部件6个。3个A部件与2个B部件配成一套。设安排x人加工A部件，则每天加工的B部件数量为（　　） A. 6x　　 B. 6(34-x) 　　C. 8x　 　D. 8(34-x) 3. （填空题）某校手工社团用硬纸板制作正方体包装盒。已知一张硬纸板可裁盒身4个或盒底6个，一个盒身与两个盒底配成一个包装盒。现有18张硬纸板，设用x张裁盒身，则用来裁盒底的纸板有____________张，可裁盒底____________个。根据“盒底数量是盒身数量的2倍”列方程为__________________________________________。 4. （解答题）2026年校园科技节上，七年级（3）班同学制作小火箭模型和发射架模型。制作一个小火箭模型需要3个零件A和2个零件B。班里共有16名同学参与制作，每人每天可制作零件A 6个或零件B 4个。应安排多少名同学制作零件A，才能使每天生产的零件A和零件B刚好配套？ 5. （解答题）某乡镇在2026年“美丽乡村”建设中，需要制作一批垃圾分类宣传栏。制作一个宣传栏需要2块木板和3根立柱。某木工组有15名工人，每人每天可加工木板8块或立柱6根。应安排多少名工人加工木板，才能使每天加工的木板和立柱刚好配套？ 知识点2：工程问题 6. （选择题）一项工程，甲队单独做10天完成，乙队单独做15天完成。两队合作x天完成，则列方程为（　　） A. = 1　 　B. = 1 C. = 1　 　D. 10x + 15x = 1 7. （选择题）修一条路，甲队单独修12天完成，乙队单独修18天完成。两队合作4天后，剩下的由甲队单独做，还需x天完成。根据题意列方程为（　　） A. = 1　　 B. = 1 C. 4×()+x=1　　 D. = 1 8. （填空题）一项工作，甲单独做8小时完成，乙单独做12小时完成。甲先做2小时后，乙加入合作，设两人合作x小时后完成全部工作。则甲一共工作了______小时，甲完成的工作量为______；乙完成的工作量为______。列方程为_______________________。 9. （解答题）2026年暑假，学校劳动实践基地要平整一块荒地。八年级的同学单独 平整需要6天完成，九年级的同学单独平整需要9天完成。两个年级先合作平整了2天，然后八年级同学因要参加夏令营提前离开，剩下的由九年级同学单独完成。九年级同学还需要几天完成？ 10. （解答题）某村在2026年乡村振兴项目中，需要修建一条灌溉水渠。甲工程队单独修建需要20天，乙工程队单独修建需要30天。现在两队同时从两端开始修建，中途甲队因设备检修停工了3天（停工期间乙队继续工作），从开工到完成共用了多少天？ 【B组·能力提升——销售问题与积分问题】（建议用时：18分钟） 知识点3：销售问题 11. （选择题）一件商品按标价的八折出售，售价为160元，若进价为120元，则这件商品的利润是（　　） A. 40元 　　B. 32元　 　C. 20元　 　 D. 8元 12. （选择题）某商品进价为80元，按标价的九折出售仍可获利20%，则该商品的标价为（　　） A. 96元　 　B. 100元　 　C. 106元　　 D. 120元 13. （填空题）某商店将一件商品按进价提高40%后标价，再以八折优惠卖出，结果每件仍获利24元。设这件商品的进价为x元，则标价为____________元，售价为________元。根据“售价-进价=利润”列方程为____________________________________。 14. （解答题）2026年“双十一”期间，某电商平台销售一款智能台灯。进价为每台150元，按进价提高50%后标价，再打九折销售。 （1）求这款台灯的标价和售价； （2）卖出一台这样的台灯，利润是多少元？利润率是多少？ 15. （解答题）某文具店在2026年开学季促销一款书包。进价为每个120元，按标价的八五折出售，每个仍可获利42元。这款书包的标价是多少元？ 知识点4：积分问题 16. （选择题）某足球联赛中，胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分。某队共赛了10场，得了22分，已知该队负了2场，则该队胜了（　　） A. 5场 　　B. 6场　 　C. 7场　 　D. 8场 17. （选择题）某校七年级篮球联赛中，胜一场得2分，负一场得1分（无平局）。某队共赛了15场，得了24分，设该队胜了x场，则列方程为（　　） A. 2x+(15-x)=24　 　B. 2x-(15-x)=24 C. x+2(15-x)=24　　 D. 2x−(15＋x)=24 18. （填空题）某乒乓球比赛采用积分制，胜一场得3分，负一场得1分（无平局）。某选手共参加了12场比赛，得了28分，设他胜了x场，则负了____________场，列方程为__________________________________________，解得x=_____________。 19. （解答题）2026年校园足球联赛中，某校七年级（1）班参加了14场比赛。比赛规则为：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分。该班共得了26分，且负的场数比 胜的场数少4场。 （1）设该班胜了x场，用含x的式子表示：负了______场，平了______场； （2）根据题意列方程； （3）解方程，求出该班胜、平、负各多少场。 20. （解答题）某校举办“航天知识竞赛”，共有20道题。答对一题得5分，答错或不答一题扣2分（即得-2分）。小明参加了比赛，共得了72分。他答对了几道题？ 【C组·培优拓展——方案选择与综合应用】（建议用时：15分钟） 21. （选择题）某市自来水公司为鼓励节约用水，采用分段计费方式：每月用水不超过10吨，按每吨2.5元收费；超过10吨的部分，按每吨3.5元收费。小王家2026年3月交了水费46元，设小王家3月用水x吨（x>10），则列方程为（　　） A. 2.5x+3.5(x-10)=46　 　B. 2.5×10+3.5(x-10)=46 C. 2.5x+3.5x=46　　 D. 2.5×10+3.5x=46 22. （选择题）某通信公司推出两种手机套餐： 套餐A：月租费18元，通话每分钟0.1元； 套餐B：无月租费，通话每分钟0.25元。 设某用户一个月通话x分钟，当x为多少时，两种套餐的费用相同？（　　） A. 100分钟　 　B. 120分钟　 　C. 150分钟　 　D. 180分钟 23. （填空题）某公园有两种门票方案。 方案一：成人票每张40元，儿童票每张20元。 方案二：团体票（5人及以上），每人25元。 现有4个成人和若干个儿童（儿童人数不少于2人）去公园。若购买团体票更划算，则儿童人数至少为______人。 24. （解答题）2026年暑假，某校七年级组织“科技研学”活动，计划租用A、B两种型号的大巴车。A型车每辆可载45人，租金为每辆800元；B型车每辆可载30人，租金为每辆600元。学校共有270名师生参加活动，且要求每辆车都坐满。可只租用其中一种型号，也可两种都租用。 （1）设租用A型车x辆，用含x的式子表示租用B型车的数量； （2）若租车总费用为4800元，求租用A型车和B型车各多少辆？ （3）在（2）的条件下，每名师生平均分摊的车费是多少元？ 25. （解答题）2026年，某乡村小学收到一批捐赠的图书，准备分配给六年级的三个班。甲班分到的图书数量是乙班的2倍少10本，丙班分到的比乙班的一半多5本。三个班共分到图书100本。 （1）设乙班分到x本，用含x的式子表示甲班和丙班分到的数量； （2）根据题意列方程； （3）解方程，求出三个班各分到多少本图书。 五、教学建议与课堂实操小贴士 关于“配套问题” ——我上课时会在黑板上画图。比如“2个A配3个B”，我就画两个A下面写“×3”，三个B下面写“×2”，然后告诉学生：交叉相乘。这个办法直观，学生一看就懂。 关于“工程问题” ——把总量看成“1”这个概念，很多学生不理解为什么是1而不是别的数。我会这样解释：不管工程量多大，我们把它看成“一份”，甲单独做10天完成，就是每天做这份的1/10。这样所有工程问题都能统一处理。 关于“销售问题” ——利润率的计算基数问题，我每节课都问一遍“利润率除以谁？”让学生齐声回答“进价！”重复多了就记住了。另外我会在教室里贴一张小海报：利润率=利润÷进价×100%，学生抬头就能看到。 关于“积分问题” ——关键是“总场次=胜+平+负”这个等量关系。很多学生只关注积分，忘了场次总和。我教他们先把场次关系写出来，再写积分关系。 关于“检验” ——应用题的解必须检验是否符合实际意义，这一点我反复强调。检验不只是“把解代回方程”，还要看“这个解在现实生活中成不成立”。比如人数不能是 分数、场次必须是整数。这个习惯从5.3开始养成，到了后面学不等式和函数会很有用。 关于“读题” ——我班上有些孩子一看到大段文字就发怵。我的做法是：带着他们逐句读，每读一句就问“这句话告诉我们什么？”把关键信息提取出来写在黑板上。几次之后，学生自己就能上手了。 完整解析与易错警示 四、分层训练题详细解析 【A组·基础巩固——配套问题与工程问题】解析 1. B 解析：设x人生产甲种零件，则(20-x)人生产乙种零件。 每天生产甲种零件5x个，乙种零件4(20-x)个。 1个甲配2个乙，说明乙的数量是甲的2倍， 所以4(20-x)=2×5x，即2×5x=4(20-x)，故选B。 易错提醒：选项C列成了“甲=2×乙”，把倍数关系搞反了。 切记配套关系是“乙=2×甲”，即“乙的数量 = 2 × 甲的数量”。 2. B 解析：x人加工A部件，则(34-x)人加工B部件， 每人每天加工B部件6个，所以B部件数量为6(34-x)。选B。 3. 第一空18-x，第二空6(18-x)，第三空6(18-x)=2×4x（或6(18-x)=8x） 解析：用x张裁盒身，则剩下18-x张裁盒底，可裁盒底6(18-x)个； x张裁盒身可裁盒身4x个。 一个盒身配两个盒底，所以盒底数量=2×盒身数量：6(18-x)=2×4x=8x。 4. 解：设安排x名同学制作零件A，则(16-x)名同学制作零件B。 每天制作零件A：6x个；零件B：4(16-x)个。 一个小火箭模型需要3个A和2个B，所以A和B的数量比应为3:2， 即2×A的数量=3×B的数量（或者说B的数量是A的）。 列方程：2×6x = 3×4(16-x) 12x = 12(16-x) x = 16-x 2x = 16 x = 8 16-x=16-8=8（名） 答：应安排8名同学制作零件A，8名同学制作零件B。 易错提醒：比例关系2×A=3×B，不是3×A=2×B。 可以这样验证：8人做A，每天48个A；8人做B，每天32个B。 48:32=3:2，刚好配成16套（每套3个A+2个B）。 如果列成3×A=2×B，得144=64，明显不对。 5. 解：设安排x名工人加工木板，则(15-x)名工人加工立柱。 每天加工木板：8x块；立柱：6(15-x)根。 一个宣传栏需要2块木板和3根立柱，所以木板:立柱=2:3， 即3×木板数=2×立柱数。 列方程：3×8x = 2×6(15-x) 24x = 12(15-x) 24x = 180-12x 36x = 180 x = 5 15-x=15-5=10（名） 答：应安排5名工人加工木板，10名工人加工立柱。 6. A 解析：甲单独做10天完成，效率为；乙单独做15天完成，效率为。 合作x天，甲完成，乙完成， 合起来完成全部工作“1”： =1。选A。 7. A 解析：甲单独做12天完成，效率；乙单独做18天完成，效率。 合作4天：甲完成，乙完成。剩下的甲单独做x天完成。 三部分相加等于1：=1。选A。 8. 第一空2+x，第二空，第三空，第四空= 1 解析：甲先做2小时，再合作x小时，甲一共工作2+x小时，完成； 乙合作x小时，完成。两部分相加等于1。 9. 解：设九年级同学还需要x天完成。 八年级效率为，九年级效率为。 合作2天：八年级完成2×，九年级完成2×。 剩下由九年级单独做x天，完成。 列方程： = 1 通分： = 1 5+x = 9 x = 4 答：九年级同学还需要4天完成。 10. 解：设从开工到完成共用了x天。 甲队效率为，乙队效率为。 甲队工作了x-3天（停工3天），完成；乙队工作了x天，完成。 列方程： = 1 去分母（乘60）：3(x-3)+2x=60 3x-9+2x=60 5x=69 x=13.8 答：从开工到完成共用了13.8天。 易错提醒：甲队中途停工3天，所以甲队实际工作时间是x-3天，不是x天。很多学生会忘记减掉这3天。 【B组·能力提升——销售问题与积分问题】解析 11. A 解析：售价160元，进价120元，利润=160-120=40元。选A。 易错提醒：题目问的是利润，不是利润率。利润率才是40÷120≈33.3%。 12. C 解析：设标价为x元。按标价九折出售，售价为0.9x元。获利20%， 即利润=进价×20%=80×0.2=16元。售价=进价+利润=80+16=96元。 所以0.9x=96，x=106元。选C。 易错提醒：很多同学会直接用80×1.2=96作为标价，忘记除以0.9。96是售价，不是标价。 13. 标价(1+40%)x=1.4x元，售价0.8×1.4x=1.12x元，方程1.12x-x=24 解析：进价x元，提高40%后标价为1.4x元， 八折优惠后售价为0.8×1.4x=1.12x元。 利润=售价-进价=1.12x-x=0.12x=24，解得x=200。 14. 解：（1）进价150元，提高50%后标价：150×(1+50%)=150×1.5=225元。 打九折后售价：225×0.9=202.5元。 （2）利润=售价-进价=202.5-150=52.5元。 利润率=利润÷进价×100%=52.5÷150×100%=35%。 答：标价为225元，售价为202.5元；每台利润52.5元，利润率为35%。 易错提醒：利润率的分母是进价150元，不是售价202.5元。 15. 解：设这款书包的标价为x元。 按标价八五折出售，售价为0.85x元。 利润=售价-进价=0.85x-120=42 0.85x=162 x=190 答：这款书包的标价约为190元。 易错提醒：八五折是85%，即0.85，不是8.5折。 16. C 解析：共赛10场，负2场，所以胜+平=8场。设胜了x场，则平了8-x场。 得分：3x+1×(8-x)+0×2=22，3x+8-x=22，2x=14，x=7。选C。 17. A 解析：设胜了x场，则负了15-x场（无平局）。得分：2x+1×(15-x)=24。选A。 18. 第一空12-x，第二空3x+(12-x)=28，第三空8 解析：胜x场，负12-x场。得分3x+1×(12-x)=28，3x+12-x=28，2x=16，x=8。 19.（1）负的场数比胜的场数少4场，所以负了x-4场。共14场， 平了14-x-(x-4)=18-2x场。 （2）列方程：3x+1×(18-2x)+0×(x-4)=26 3x+18-2x=26 x+18=26 x=8 （3）胜8场，负8-4=4场，平18-16=2场。 答：该班胜了8场，平了2场，负了4场。 易错提醒：检验——8+2+4=14场，得分8×3+2×1+4×0=24+2=26分，符合题意。 20. 解：设小明答对了x道题，则答错或不答了20-x道题。 得分：5x-2(20-x)=72 5x-40+2x=72 7x=112 x=16 答：小明答对了16道题。 易错提醒：答错或不答扣2分，是-2分，不是0分。很多学生会把不答的题算成0分，这是错的。 【C组·培优拓展——方案选择与综合应用】解析 21. B 解析：用水x吨（x>10），前10吨按2.5元/吨收费：2.5×10元； 超过10吨的部分为x-10吨，按3.5元/吨收费：3.5(x-10)元。 总水费：2.5×10+3.5(x-10)=46。选B。 易错提醒：A选项把前10吨也算成了2.5x，重复计算了。分段计费要分清楚“哪一段用什么单价”。 22. B 解析：套餐A费用：18+0.1x元；套餐B费用：0.25x元。 费用相同：18+0.1x=0.25x，18=0.15x，x=120。选B。 23. 答案填2 解：设儿童y人（y≥2）。方案一：160+20y；方案二：(4+y)×25=100+25y。 团体票更划算：100+25y < 160+20y，5y < 60，y < 12。又因为y≥2且为整数，所以y=2,3,4,5,6,7,8,9,10,11都可以。题目问“至少”，那就是2人。 24. 解：（1）租用A型车x辆，可载45x人。剩余270-45x人由B型车运送，每辆B型车载30人，所以B型车数量为辆。 （2）总费用：800x+600×=4800 800x+20(270-45x)=4800（因为600÷30=20） 800x+5400-900x=4800 -100x=-600 x=6 B型车数量： =0辆。 x=6时B型车为0辆，6辆A型车刚好载270人，总费用6×800=4800元。 答：租用A型车6辆，B型车0辆。 （3）平均每人车费：4800÷270=17元 25.解：甲班2x-10本，丙班 +5本。 列方程：(2x-10)+x+( +5)=100 3.5x-5=100 3.5x=105 x=30 甲班：2×30-10=50本；乙班30本；丙班+5=20本。 答：甲班50本，乙班30本，丙班20本。 学科网（北京）股份有限公司 $