5.3 实际问题与一元一次方程（讲义）数学新教材人教版七年级上册

本讲义聚焦初中数学“一元一次方程的实际应用”核心知识点，系统梳理从审设列解验答完整步骤到行程、工程、销售等典型题型的解题方法，搭建从方程解法到实际问题转化的学习支架。 该资料以课标为纲，融合古代数学问题与生活情境，通过双重检验（计算与实际意义）培养学生抽象能力（数学眼光）、推理意识（数学思维）和模型观念（数学语言），课中辅助教师分层教学，课后助力学生通过随练与拓展查漏补缺。

第五章 一元一次方程 5.3 实际问题与一元一次方程 课标要点 1. 建立方程模型观念，能从实际情境中梳理已知量与未知量，找出等量关系，将生活问题转化为一元一次方程。 2. 掌握直接、间接两种设元方法，熟练遵循审、设、列、解、验、答完整流程规范解题。 3. 熟记行程、工程、销售、分段计费等典型题型的数量公式，会用线段图、表格梳理复杂数量关系。 4. 准确求解方程并双重检验，既要验证方程计算无误，也要判断结果符合现实实际意义。 5. 发展符号意识与应用意识，可利用方程解决常规应用题和方案对比类综合问题，培养严谨推理与反思习惯。 学习重难点 重点： 读懂题意，准确找出题目中的等量关系，构建一元一次方程模型。 掌握设未知数的方法，规范运用审、设、列、解、验、答解题步骤。 熟练运用行程、利润、工程、分段收费等常见题型的数量关系列式求解 难点： 复杂文字情境中梳理隐藏等量关系，区分干扰信息与有效条件。 间接设未知数、分段计费、方案选择类综合题的建模分析。 结合生活实际检验方程的解，判断数值是否符合现实逻辑。 知识点 列一元一次方程解实际问题的一般步骤 列一元一次方程解实际问题的核心是将实际生活中的文字信息转化为数学语言，通过建立方程模型求解未知量，基本步骤可总结为审、设、列、解、验、答六步： 1. 审：读懂题目，明确已知量、未知量，梳理各个量之间的逻辑关系，找到能够表示全部题意的相等关系，这是列方程的核心基础。 2. 设：根据题目要求设出未知数，分为直接设元（直接设题目要求的未知量为(x)）和间接设元（设中间量为(x)，再通过(x)求解目标未知量）两种方式，设元时需要注意标注单位。 3. 列：根据找到的相等关系，把各个量用含未知数的代数式表示后代入相等关系，整理得到一元一次方程。 4. 解：求解所列的一元一次方程，得到未知数的值。 5. 验：检验结果，一方面检验计算结果是否满足方程，另一方面检验结果是否符合实际问题的意义（比如人数不能为负数、长度不能为小数时需要取整）。 6. 答：写出最终答案，注意单位书写正确。 特别提醒 很多同学容易忽略检验步骤，即使计算结果正确，也可能不符合实际问题的要求，例如求解出租车乘车人数时，得到结果为(23.2)人，就不能直接保留小数，需要根据实际进一取整为(24)人；此外设元时必须标注单位，答题时也不能遗漏单位。 随学随练 1．《孙子算经》中记载了这样一道题：今有三人共车，二车空：二人共车，九人步．问车几何？其译文为：有若干人乘车，若每3人同乘一车，最终剩余2辆空车；若每2人同乘一车，最终剩下9人因无车可乘而步行．问有多少辆车？设共有辆车，则可以列出的方程为（     ） A． B． C． D． 2．“人间四月芳菲尽，山寺桃花始盛开”，体现了温度随着海拔的升高而降低．已知某地面温度为，且每升高千米温度下降，若山上的温度为，设山上距离地面的垂直高度为，可列方程为（     ） A． B． C． D． 3．《九章算术》是我国古代的数学著作，其中有一道题：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三．问人数、羊价各几何？”意思是：现有几个人共同买羊，每人出钱，少钱；每人出钱，少钱．那么人数、羊价各是多少？若设人数为，则可以列出的方程为（     ） A． B． C． D． 4．市中区某小学今年六年级毕业学生450人，比去年多了，该小学去年毕业学生多少人？设去年毕业学生人，下面方程正确的是（    ）． A． B． C． D． 5．2015年9月26日，在郓城南城中学多功能厅召开“怎样做初中生家长”的家庭教育报告会．设多功能厅共有x排座位，与会家长若每排坐30人，则有6人无座位；若每排坐31人，则空15个座位，则下列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 知识点 常见实际问题类型 行程问题： 行程问题是一元一次方程最常见的应用题型，核心公式为：路程=速度×时间，根据运动场景可分为不同子类： · 相遇问题：相遇时双方的路程和等于总路程，即(甲走的路程 + 乙走的路程 = 初始距离)，对于同时出发的相遇问题，也可变形为((甲速度 + 乙速度)×相遇时间 = 总路程)。 · 追及问题：追及时快方比慢方多走的路程等于初始的距离差，即(快者走的路程 - 慢者走的路程 = 初始距离差)，同时出发的追及问题变形为((快速度 - 慢速度)×追及时间 = 距离差)。 · 航行问题：顺水速度=船在静水中的速度+水流速度；逆水速度=船在静水中的速度-水流速度；往返航行路程相同的前提下，顺水路程=逆水路程。 · 环形跑道问题：同向出发时，第一次追上快者比慢者多跑一圈；反向出发时，第一次相遇两者路程和为一圈。 工程问题： 工程问题的核心关系是：工作总量=工作效率×工作时间，如果题目中没有给出具体的工作总量，一般把总工作量设为单位1，则各部分工作效率之和等于总效率，各部分工作量之和等于总工作量（即1）。 如果是多人合作，合作效率等于各人工效之和，例如甲单独完成需要(a)天，乙单独完成需要(b)天，那么甲的效率就是，乙的效率就是，两人合作效率为，合作完成时间为。 利润与打折销售问题： 利润问题涉及多个基本量，核心公式如下： · 利润=售价-进价（成本） · 利润率，因此利润也可表示为(进价×利润率) · 售价=标价×折扣（几折就是标价的十分之几，例如打8折就是售价=标价×0.8） · 售价=进价×(1+利润率) 配套问题： 配套问题的核心是：两种配套部件按照比例满足配套要求，例如一个桌面配四个桌腿，那么生产出的桌腿总数量应该是桌面总数量的4倍，即(桌腿数量 = 4×桌面数量)，这个相等关系就是列方程的依据。一般设分配(x)人生产其中一种部件，剩下的人生产另一种部件，再根据配套比例列方程。 方案选择问题： 方案选择问题一般会给出两种或多种不同的优惠方案，需要先计算出不同方案的费用，再根据需求选择更优惠的方案；部分题目还需要讨论费用相同时的用量，分情况说明哪种方案更划算。 一般步骤是：设使用的数量为(x)，分别列出两种方案的费用表达式，解方程找到费用相等时的(x)，再分别讨论(x)大于和小于这个值时哪种方案更优。 特别提醒 一元一次方程实际问题包含多种高频典型题型，常见有和差倍分问题、行程问题（相遇、追及、顺逆流）、工程问题、销售利润问题、配套分配问题、数字问题、积分计费问题、储蓄利息问题、浓度调配问题、方案选择优化类问题，解题核心均是找准题干等量关系，设单一未知数，依据不变量或相等关系列一元一次方程求解，特殊题型多结合分段收费、零件配套、多人分工、两种方案对比等场景，需先区分已知量与未知量，梳理隐藏相等条件再列式计算。 随学随练 1．某工厂承接甲、乙两种零件加工任务，已知加工1个甲种零件需耗材5元，加工1个乙种零件需耗材3元．若该工厂共加工甲、乙两种零件40个，且购买耗材总费用为170元，设加工甲种零件x个，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 2．现有一个水池，若单独打开甲进水管，1个小时可以注满水池；若单独打开乙进水管，个小时可以注满水池．若甲、乙两管同时打开，几个小时可以注满水池？设若甲、乙两管同时打开，个小时可以注满水池，则（   ） A． B． C． D． 3．某商店换季准备打折出售某服装，若按照原售价的八折出售，将亏损20元，而按原售价的九折出售，将盈利15元，则该服装的成本为（     ） A．230元 B．250元 C．260元 D．300元 4．某书店推出两种购书方案：①单买，每本按标价10元销售；②会员制，缴纳20元会员费后每本按标价的8折销售．若小明购买本图书，两种方案费用相等时的值为（   ） A．10 B．11 C．12 D．13 5．今年，东东的年龄是爷爷年龄的 ．东东发现，12年后，他的年龄将变成爷爷年龄的 ．则东东今年的年龄是（     ） A．8 B．9 C．10 D．20 拓展 设未知数的常用技巧 设未知数直接影响列方程和解方程的难度，常用的设元技巧有两种： 1. 直接设元法：题目问什么就设什么为x，这是最常用的设元方法，适合大多数关系清晰的问题。例如题目问“甲的速度是多少”，直接设甲的速度为(x)千米/小时即可。 2. 间接设元法：当直接设未知数不好列方程的时候，设和未知量相关的中间量为x，求出x之后再计算题目要求的未知量。例如求一个两位数的大小，直接设这个两位数为x不好表示数位关系，就可以设十位数字(x，再表示出个位数字，最后求出两位数即可。 活学活用 1．实验室中有一杯含糖率为的糖水120克，通过蒸馏能将含糖率提高到原来的2倍．晓华根据这一情景中的数量关系列出方程：，则未知数表示的意义是（   ） A．加入的糖重量 B．原有的糖重量 C．原有水的重量 D．蒸发掉的水的重量 2．父亲与小强下棋（设没有平局），父亲胜一盘记分，小强胜一盘记分，下了盘后，两人得分相等．若设小强胜的盘数是，则应满足的方程是（   ） A． B． C． D． 3．某中学七年级（一）班共有学生人，男生和女生的人数比为，则这个班男女生各多少人？ ①设男生人数为人，由此可列出方程：_______； ②设女生人数为人，由此可列出方程：_______； 4．李老师在数学课堂上出了下列一道应用题 小王同学从家到学校，若每分钟走60米，比原来规定的时间早到5分钟，若每分钟走40米，比原来规定的时间晚到3分钟，求从家到学校的距离． 李老师在黑板上展示了两位同学的正确列方程如下： 李明： 刘伟： (1)李明同学所列方程中设的未知数表示 ，刘伟同学所列方程中设的未知数表示 ； (2)从两位同学所列方程中任选一个回答老师提出的问题． 题型 配套问题 解题贴士 1. 核心逻辑：配套问题的关键是找准配套比例关系，即两种产品的数量比满足配套要求； 2. 设未知数技巧：一般设安排生产其中一种产品的工人数为 x ，另一种产品的工人数用总人数减去( x )表示； 3. 列方程依据：根据“A产品数量 × 配套比例 = B产品数量”建立等式，本题中为「螺母总数 = 2 × 螺钉总数」； 4. 易错点：不要把比例关系写反，一定要对应题目给出的配套要求。 ▌例1 如图是毛笔的结构图，现有根短竹，每根短竹可制成笔管个或笔斗个，个笔管搭配个笔斗，怎样分配短竹的数量，使制成的笔管与笔斗正好配套？小明列出方程：，则表示的是（     ） A．制成笔管的短竹数量 B．制成笔斗的短竹数量 C．制成笔管的个数 D．制成笔斗的个数 ▌例2．学校组织12名校工检修智能教室的桌椅，每人每小时平均能检修3张智能课桌或6把座椅，1张智能课桌配套4把座椅，若安排x名校工检修智能课桌，其余校工检修座椅，且智能课桌和座椅刚好配套，则可以列方程为（     ） A． B． C． D． ▌对点练1-1某茶具生产车间共有25名工人，每人每天可生产3个茶壶或者7只茶杯，1个茶壶与6只茶杯配套．为使每天生产的茶壶和茶杯刚好配套，需要多少名工人生产茶壶？设有名工人生产茶壶，则可列方程____________． ▌对点练1-2．在我国传统文化中，茶与茶具都承载着深厚的文化底蕴．某车间共有14名工人，每名工人每天可以加工10只茶壶或30只茶杯，1只茶壶需要配4只茶杯，为使每天加工的茶壶和茶杯刚好配套，该车间应安排______名工人加工茶壶．（每名工人每天只加工茶壶和茶杯中的一种） ▌对点练1-3．一台仪器由1个A部件和3个B部件构成．用钢材可以做40个A部件或240个B部件．现要用钢材制作这种仪器，应该用多少钢材做A部件，多少钢材做B部件，才能制作尽可能多的仪器？最多能制作多少台仪器？ 题型 工程问题 解题贴士 1. 核心公式：工作量 = 工作效率 × 工作时间； 2. 处理技巧：若题目没有给出具体总工作量，一般把总工作量设为单位1； 3. 列方程依据：「各部分工作量之和 = 总工作量」，若总工作量设为1，就是各部分工作量相加等于1； 4. 变例：如果是部分合作、部分单独做的题目，拆分不同阶段的工作量分别计算再相加即可。 ▌例1．甲乙两个水管单独开，注满一池水，分别需要20小时，16小时．丙水管单独开，排一池水要10小时，若水池没水，同时打开甲乙两水管，5小时后，再打开排水管丙，水池注满还要（     ）个小时． A．15 B．20 C．35 D．4 ▌例2．一项工程，甲队单独完成需30天，乙队单独完成需40天．甲队先单独做5天，之后两队合作恰好按期完成．设工期为天，可列方程为（    ） A． B． C． D． ▌对点练1-1．年月日，我国首艘万立方米液化天然气（）运输船“乔治敦”号顺利交付，该船型被称为“造船业皇冠上的明珠”．某工厂计划用天时间生产一批轮船模型，实际每天比原计划多生产个，结果提前天完成了生产任务，则原计划每天生产________个轮船模型． ▌对点练1-2．某小区计划推进老旧小区改造，若甲工程队单独完成需天，乙工程队单独完成需天，现由两队合作，中途乙队被调走，余下的任务由甲队单独做了天后完成．在这个过程中，甲、乙两队合作了________天． ▌对点练1-3．某村为了更方便地运输农作物，现计划将村里全部的交通主干道修成水泥路．已知甲工程队单独完成此项工程需要的天数比乙工程队单独完成此项工程需要的天数的2倍少5天，并且甲工程队单独完成此项工程需要的天数与乙工程队单独完成此项工程需要的天数之和为25天． (1)甲、乙工程队单独完成此项工程各需要多少天？ (2)若甲先单独修5天，之后甲、乙合作修完，甲、乙还需合作几天才能完成此项工程？ 题型 行程问题 解题贴士 1. 核心公式：路程 = 速度 × 时间； 2. 常见子题型及等量关系： · 相遇问题：( 甲路程} + 乙路程} = 总路程，若同时出发，两人行走时间相等； · 追及问题：( 快者路程} - 慢者路程} = 初始距离差})，同时出发时追及时间相等； · 顺逆水/顺风逆风问题：( 顺水速度= 静水速度} + 水流速度})，( 逆水速度} = 静水速度} - 水流速度} )，往返路程相等，可根据“去程时间 + 回程时间 = 总时间”列方程； 3. 技巧：可以画线段图辅助梳理路程关系，明确不同对象的时间、速度、路程对应关系。 ▌例1嘉嘉和淇淇在体育课上跑步锻炼，操场的跑道一圈是，嘉嘉跑一圈需要，淇淇跑一圈需要，若两人同时同向出发，后嘉嘉恰好比淇淇多跑一圈，则下列方程中正确的是（   ） A． B． B． C． D． ▌例2甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行，匀速前进．如果每人按一定的速度前进，4小时相遇；如果每人各自都比原计划每小时少走1千米，5小时相遇．那么A、B两地的距离是（     ） A．40千米 B．30千米 C．20千米 D．10千米 ▌对点练1-1一辆汽车原计划6小时从A城到B城．汽车行驶了一半路程后，因故在途中停留了30分钟．如果按照原定的时间到达B城，汽车在后一半路程的速度就应该提高12千米/时，那么A、B两城相距___________千米． ▌对点练1-2汽车以每小时108千米的速度笔直地开往寂静的山谷，驾驶员按一声喇叭，4秒后听到回声，已知声音的速度是每秒340米，听到回声时汽车离山谷的距离是___________米． ▌对点练1-3甲、乙、丙是三个车站，乙站到甲、丙两站的距离相等，小军和小明分别从甲、丙两站同时出发相向而行，小军过乙站100米后与小明相遇．然后两人保持原速继续前进，小军到达丙站后立即返回，经过乙站后300米又追上小明．问：甲、丙两站的距离是多少米？ 题型 销售利润问题 解题贴士 1. 核心概念与公式： · 进价（成本）：商品的进货价格；标价：商品标出的原价；售价：商品实际卖出的价格；利润：售价减去进价；利润率：利润占进价的百分比； · 核心公式：( 利润} = 售价 - 进价}= 进价 × 利润率} ，，； 2. 列方程要点：把公式中各个量用含未知数的式子表示后代入等式即可 3. 易错点：利润率是相对于进价计算的，不是相对于售价，不要混淆分母。 ▌例1某种商品的进价为每件180元，现按标价的9折销售时，利润率为，设这种商品的标价为每件元，依题意列方程正确的是（     ） A． B． C． D． ▌例2某礼品店以60元/套的价格购进一批吉祥物摆件，为吸引顾客，该礼品店针对这批摆件推出“八八折后再减8元”的促销活动．设这批摆件的标价为元/套，要使每套摆件仍能获利18元，则下列方程正确的是（     ） A． B． C． D． ▌对点练1-1商场将某种商品按标价的八折出售，此时商品的利润率是．已知这种商品的进价为1600元，则这种商品的标价为________元． ▌对点练1-2某商场服装部处理一批上衣，经计算如果打九折出售可以获利645元，如果打八折出售就要亏本375元，则这批上衣的原价是__________元． ▌对点练1-3【综合与实践】 一家商店因换季将某种服装打折销售，如果每件服装按标价的五折出售，将亏本50元；如果按标价的八折出售，将盈利70元． (1)每件服装的标价是多少元？进价是多少元？ (2)打几折销售能恰好保证利润率为？ 题型 积分问题 解题贴士 1. 核心逻辑：总积分等于胜场积分加上负场积分（若有平场加上平场积分）； 2. 设未知数：一般设胜场数为(x ，总场次减去胜场数就是负（平）场数； 3. 列方程：( 胜场数×胜场单分 + 负场数×负场单分 = 总积分 )； 4. 隐藏条件：场次一定是非负整数，解出方程后可以根据这个条件验证结果是否合理，还可以用来解决“某队总积分是否可能为某个数”类的判断题。 牢 ▌例1某校开展了“剪纸文化知多少”的知识竞赛，选手需要从题库中随机抽取20道题依次进行作答，答对一道得3分，不答或答错扣1分．已知小明得了36分，则他答对的题数为（     ） A．8道 B．9道 C．12道 D．14道 ▌例2某次“最强大脑”比赛，每个选手都需回答20道题，答对一题得7分，答错一题倒扣4分，王刚答完了全部道题，得了63分，他答对了（     ）道题． A．7 B．9 C．11 D．13 ▌对点练1-1某次数学竞赛有10道试题，若小宁得70分，根据图中两人的对话可知小宁答对_____题，答错_____题． ▌对点练1-2篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，胜一场得2分，负一场得1分．某队参赛12场，总得分为20分．设该队胜了x场，则可列方程为___________． ▌对点练1-3为深入贯彻国家关于青少年学生读书行动的部署要求，郑州市教育体育局持续推动全民阅读行动．近日，全市中小学生“书香润心灵，思辨启智慧”阅读知识大赛决赛圆满落下帷幕．其中抢答环节共设20道题，答对一题得5分，答错或不答一题扣5分．小明最终得分90分，他答对了几道题？ 题型 方案选择问题 解题贴士 1. 第一步：先分别用未知数表示出不同方案的总费用； 2. 第二步：令两种方案费用相等，解出分界点对应的未知数的值； 3. 第三步：代入不同范围的数值比较费用大小，给出选择结论：本题中通话时间超过90分钟选A套餐，低于90分钟选B套餐，等于90分钟两种费用相同； 4. 技巧：常见的方案选择还有买商品不同优惠、租车购票不同方案等，方法逻辑一致，都是先表示费用再比较。 解 ▌例1某景区单独购票为每人元，团体购票为每人元．某旅游团按团体购票比单独购票总共节省费用元，则该旅游团人数为（   ） A． B． C． D． ▌例2某校组织师生研学，若租用49座客车若干辆，刚好坐满；若租用54座客车，可比49座客车少租两辆且空余17个座位．若设租用的49座客车有辆，则可列方程（   ） A． B． C． D． ▌对点练1-1某新华书店暑假期间推出售书优惠方案： ①一次性购书不超过200元，不享受优惠；②一次性购书超过200元但不超过400元一律打九折；③一次性购书400元以上一律打八折．如果小聪同学一次性购书共付款324元，那么小聪所购书的原价是___________． ▌对点练1-2某商店周年活动大促期间，推出两种优惠方案．方案一：购买的所有商品一律打8折；方案二：购物满150元后，超过150元的部分打7折．若要使两种方案最终付款金额相等，则这个相等的付款金额为__________元． ▌对点练1-3某地举办音乐会，演出票的类别与单价如下表： 演出票类别 A类 B类 C类 D类 演出票单价（元/张） 300 280 240 100 王强购买了A类和C类的演出票共10张，他发现这10张演出票的总价恰好可以购买8张B类票和4张D类票．王强购买A类和C类的演出票各几张？（列方程解决） 题型 数字问题 解题贴士 1. 表示技巧：两位数的表示方法：若十位数字是( a )，个位数字是( b )，则这个两位数为( 10a + b )，不是( ab )，也不是( a+b )；同理三位数表示为( 100a + 10b + c )； 2. 设未知数：一般设数位上的其中一个数字为未知数，根据数字关系表示出另一个数字，再分别写出原数和新数； 3. 列方程：根据题目给出的新旧数的大小关系建立等式 解 ▌例1“九宫图”传说源于远古时代洛河中的神龟背甲图案，故又称“龟背图”．数学中的“九宫图”指一个的方格，要求其每行、每列及每条对角线上的三个数字之和均相等．如图所示为一个不完整的“九宫图”，则的值为（     ） A． B． C． D．6 ▌例2将整数1至2026按一定规律排列如下表所示： 平移表中带阴影的方框，方框中三个数的和可能是（    ） A．2022 B．2024 C．2019 D．2026 ▌对点练1-1一个三位数，十位上的数是百位上的数的2倍，百位上的数的3倍减去个位上的数等于十位上的数的，且各数位上数的和为14，则这个三位数是________． ▌对点练1-2、、各代表一个数，如果，，，那么__________． ▌对点练1-3我国古代的“九宫图”是由方格构成的，每个方格均有不同的数，每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等．如下给出了“九宫图”的一部分，请推算的值． 2025 x 1 5 题型 电水费问题 解题贴士 1. 分清分段收费标准，先确定用水量/电量落在第几档，区分基础低价用量和超额高价用量。 2. 找准等量关系：总费用＝基础段费用＋超出部分单价×超出用量，以此列一元一次方程。 3. 已知总费用反求用量时，先估算是否超基础额度，避免直接套用低价单价造成列式错误。 4. 看清题目有无公摊、阶梯加价、污水处理费等附加费用，计算时统一计入总花费再列式。 解 ▌例1某城市按以下规定收取每月的天然气费：用气不超过，按每立方米2.5元收费；如果超过，超过部分按每立方米3元收费．已知小明家某月共缴纳天然气费210元，那么他家这个月共用天然气（    ） A． B． C． D． ▌例2为鼓励居民节约用水，某市对居民用水实行“阶梯收费”，规定每户每月用水量不超过的，每吨2元；超过的部分，每吨3.5元．已知小莉家某月交水费34元，则小莉家该月用水量为（    ） A． B． C． D． ▌对点练1-1某市为了鼓励居民节约用水，对自来水用户按如下标准收费：若每月每户用水不超过15吨，按每吨3元收费；若超过15吨，则超过部分按每吨4元收费，如果某户居民五月份缴纳水费73元，那么该居民这个月实际用水________吨 ▌对点练1-2某市采用分段收费的方式按月计算每户家庭的水费，收费标准如下： 阶梯 户月用水量（） 收费标准（元/） 第一阶梯 不超过 3 第二阶梯 超过，但不超过 4 第三阶梯 超过的部分 7 （1）小明家2月份用水量为，应缴纳水费____元； （2）已知小红家3月份共缴纳水费120元，那么小红家3月份用水量是_______； ▌对点练1-3某市居民家庭全年用气（天然气）量划分为三档，气价实行超额累进加价，先用第一档，再用第二档，最后用第三档．例如：王明家年用气量为400立方米，前360立方米按2.53元计算，后40立方米按2.78元计算． 用气量（立方米） 单价（元） 第一档 （含） 2.53 第二档 （含） 2.78 第三档 600以上 3.54 (1)李强家年用气量为440立方米，李强家需交燃气费多少元？ (2)赵刚家全年的燃气费平均每立方米2.60元，赵刚家年用气量是多少立方米？ 题型 古代问题 解题贴士 1. 先把文言文题意翻译成现代等量关系，找准“共、余、不足、等分、倍、半”等关键字梳理数量。 2. 常设所求物品数量、人数为未知数，根据总量不变（物品总数不变）建立等式列方程。 2. 盈亏类古题核心：每人分得多则剩余、分得少则缺少，总物品数两种分法数值相等。 4. 遇鸡兔同笼、百僧分馍等特殊古题，统一用单一未知数表示两类量，简化计算避免二元思路。 解 ▌例1清代宫廷档案中有这样一个问题：“士人携钱入市购贡瓜．若购四瓜，则余钱四百八十文；若购六瓜，则不足三百二十文．瓜价恒定，问一瓜值几何？”意思是：有一位读书人带钱去集市购买贡瓜．如果买4个瓜，身上还剩余480文钱；如果买6个瓜，身上还差320文钱，每个瓜的单价不变，请问一个瓜价值多少文？设每个瓜售价为x文，根据题意，可列方程为（     ） A． B． C． D． ▌例2《九章算术》中记录了一道经典的数学问题：今有匠工四十四人，日可作斗身十二，或斗耳二十．凡斗，一身配二耳．欲令日作身、耳适相配，问各遣几人？题目大意：有工匠44人，每人每日可做斗身12个或斗耳20个．1斗身配2斗耳，问各安排多少人，使刚好配套？设人做斗身，根据题意可列方程为（     ） A． B． C． D． ▌对点练1-1我国古代数学著作《九章算术》中记载：“今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”设人数为x人，根据题意可列一元一次方程为______． ▌对点练1-2《九章算术》是我国古代数学专著，其中第七章“盈不足”问题第一道题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？”译文为：“今有若干人一起买物品，若每人出8钱，则多3钱；若每人出7钱，则还差4钱，问共有多少人，物价多少钱？”．在此问题中，共有______人． ▌对点练1-3（用一元一次方程解应用题） 我国元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中有这样的记载：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何追及之”．其大意是：跑得快的马每天走里，跑得慢的马每天走里．慢马先走天，求快马几天可以追上慢马． 基础通关 1．《孙子算经》记载经典盈亏问题：若干农户均分粮食，若每人分6斗，剩余4斗；若每人分8斗，还差6斗．设一共有名农户，下列方程符合题意的是（     ） A． B． C． D． 2．《孙子算经》是我国古代数学经典著作，书中记载了这样一道题目：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问人有几何？意思是：今有3个人坐一辆车，有2辆车是空的；2个人坐一辆车，有9个人需要步行．问共有多少人？设共有人，可列方程为（     ） A． B． C． D． 3．某小区年拥有新能源汽车的家庭有户，_____．该小区年拥有新能源汽车的家庭有多少户？如果设该小区年拥有新能源汽车的家庭有户，列式为，那么横线上应该填的条件是（    ）． A．比年的多 B．年的比年的少 C．比年的少 D．年的比年的多 4．某公司三月份的产值为万元，比二月份减少了，那么二月份的产值（单位：万元）为（　　） A． B． C． D． 5．由于换季，商场准备对某商品打折出售，如果按原售价的七五折出售，将亏损25元，而按原售价的九折出售，将盈利20元，则该商品的进价为（    ） A．240元 B．270元 C．250元 D．230元 6．如图，若天平平衡，则的值为（    ） A．5 B．9 C．1 D．3 7．某同学跑步训练，先匀速慢跑，再加速冲刺，冲刺路程为200米，若设时间为x分钟，路程关系式满足方程，该方程解的实际意义是（    ） A．匀速慢跑的速度大小 B．匀速慢跑的训练时间 C．总路程 D．剩余距离 8．2026年发布的中央一号文件主题是“锚定农业农村现代化，扎实推进乡村全面振兴”．桃源村积极响应政策，计划在“生态养殖”和“乡村民宿”两个项目上共投资210万元，其中“生态养殖”的投资金额比“乡村民宿”的投资金额多20万元，则该村的“乡村民宿”投资金额是_____万元． 9．今年，小明的爷爷的年龄是小明年龄的5倍，小明发现，12年之后，小明的年龄将变成爷爷年龄的，则小明爷爷今年的年龄是______岁． 10．重阳节那天，延龄茶社来了位老人品茶．他们的年龄恰好是个连续的自然数．两年以后，这位老人的年龄之和正好是，那么其中年龄最小的老人今年( )岁． 11．为了提高身体素质，小健与小康相约跑步，小健每秒跑2.4米，小康每秒跑2.6米，两人在环形跑道上从同一处同时反向出发，当他们第一次相遇时小健比小康少跑16米，则环形跑道的周长为_____米． 12．公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德发现：若杠杆上的两物体与支点的距离与其重量成反比，则杠杆平衡．后来人们把它归纳为“杠杆原理”：阻力阻力臂动力动力臂．已知阻力和阻力臂分别为和，当动力为时，动力臂是___________． 13．已知连续三个奇数之和为93，则最大的奇数是________． 14．一家商店在销售某种服装（每件的标价相同）时，按这种服装每件标价的八折销售10件的销售额，与按这种服装每件的标价降低40元销售16件的销售额相等，求这种服装每件的标价． 15．智能机器人分拣货物，每分钟可分拣件货物，机器人先单独工作一段时间，之后人工辅助分拣货物，每分钟共分拣件．若总共用时50分钟，一共分拣件货物，求机器人单独工作的时长． 素养提升 1．《算法统宗》中有一道题：原文是：“牧童分杏各争竞，不知人数不知杏．三人五个多十枚，四人八枚两个剩．问：有几个牧童几个杏？”题目大意：牧童们要分一堆杏，不知道人数也不知道有多少个杏．若3人一组，每组5个杏，则多10个杏；若4人一组，每组8个杏，则多2个杏．有多少个牧童、多少个杏？设共有x个杏，可列方程是（    ） A． B． C． D． 2．将整数1至2026按一定规律排列如下表所示： 平移表中带阴影的方框，方框中三个数的和可能是（） A．63 B．2022 C．2024 D．2026 3．小智阅读一本科普图书，原来每天阅读页，读完页后，每天抽出一定的时间练钢笔字，每天阅读量降为原来的一半，结果多花了天才读完，则这本科普图书共有________页． 4．在弹性限度内，弹簧的长度随所挂物体的质量的增加而增长，经过实验与测量，得到弹簧的长度与所挂物体的质量之间的对应关系如下表；若弹簧的长度是，则所挂物体的质量是______． 物体的质量 1 2 3 4 5 弹簧的长度 13 13.5 14 14.5 15 5．《孙子算经》中有这样一道题：今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸，屈绳量之，不足一尺，问几何．意思是：用一根绳子去量一根木头，绳子余尺，将绳子对折再量木头，木头剩余1尺，问木头长多少尺．请你解决这个问题． 6．某水果店主营两款应季荔枝：妃子笑和糯米糍．已知妃子笑荔枝进价每千克25元，糯米糍荔枝每千克进价30元，老板首次采购共花费5300元，采购妃子笑荔枝的千克数比糯米糍荔枝的千克数的2倍还多20千克． (1)求首次购进妃子笑荔枝和糯米糍荔枝各多少千克？ (2)若妃子笑荔枝每千克售价40元，糯米糍荔枝每千克售价50元，当首次荔枝货品全部售完后，共获利多少元？ (3)由于糯米糍荔枝畅销，第二次采购时，妃子笑荔枝数量保持不变，糯米糍荔枝采购数量是第一次的4倍．根据（2）中的条件，妃子笑荔枝售价不变，糯米糍荔枝售价在此基础上计划打折出售，第二次总利润比首次总利润多1800元，求糯米糍荔枝是打几折销售？ 7．某电器商场计划用万元从生产厂家购进台电视机已知该厂家生产种不同型号的电视机，出厂价分别为种每台元，种每台元，种每台元． (1)若该商场只选购、两种电视机，各购买多少台？ (2)若商场销售一台种电视机可获利元，销售一台种电视机可获利元，销售一台种电视机可获利元，除了（1）的方案，该商场还有一种方案，购进种电视机台，种电视机台在同时购进两种不同型号的电视机方案中，为了使销售时获利最多，应选择哪种方案？ 8．某商店有A、B两种型号的节能灯，店主统计了3天的产品销售情况，如表： 统计日期 售出A型节能灯个数 售出B型节能灯个数 总售价 6月15日 0 1 50 6月16日 1 2 200 6月17日 5 5 750 (1)根据上表数据可得B型节能灯的单价 ． (2)根据上表数据，求A型节能灯的单价． (3)若商家A、B两种型号的节能灯共售出15个，总售价为1300元．那么售出的两种型号的节能灯各多少个？ 9．某眼镜厂生产一批眼镜，分两个车间进行，甲车间生产镜架，乙车间生产镜片．已知两个车间共有50名工人，且甲车间人数比乙车间人数的2倍少1人． (1)甲、乙两车间各有多少人？ (2)若每个工人平均每天可以生产镜架50个或镜片150片，一个镜架和两个镜片刚好配成一副眼镜，为使每天生产的镜架与镜片刚好配套，应如何调整两车间的人数？ 10．为进一步提升城市形象，驱动消费，长沙某地准备开展音乐节活动．长沙文旅计划组织140名志愿者参与服务．志愿者分为引导组和物资组，其中引导组6人一组，物资组8人一组，总组数比引导组多10组． (1)求引导组和物资组各有多少人？ (2)本次活动需租用A、B两种型号车辆一次性接送，它们的载客量和租金如下表所示：若租用同一种型号车辆，使每位志愿者都有座位，应怎样租用才合算？ A型车辆 B型车辆 载客量（人/辆） 20 15 租金（元/辆） 200 150 迁移创新、 1．探索与表达规律 (1)将连续奇数1，3，5，7，9，…，排成如图1所示的数表，十字形框上下左右移动，十字形框中的五个数之和与中间数之间总保持何种关系：____________； (2)【变式探究】如图2所示的数表，十字形框上下左右移动，十字形框中的五个数之和与中间数之间是否还有图1中的关系，并说明理由； (3)【拓展延伸】如图3所示的数表，记表示第行第个数，如表示第2行第3个数是17． ①________； ②在数表中的字形框上下左右移动，字形框中的四个数之和能否等于296．若能，求出四个数中的最大数；若不能，请说明理由． 2．如图，将一条数轴在原点和点处各折一下，得到一条“折线数轴”．图中点表示-8，点表示6，点表示12，我们称点和点在“折线数轴”上相距20个单位长度．动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着“折线数轴”的正方向运动，从点运动到点期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速，当点到达终点时停止运动；点出发的同时，动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿着“折线数轴”的负方向运动，从点运动到点期间速度变为原来的2倍，之后也立刻恢复原速．当点停止运动时，点也随之停止．设点的运动的时间为秒． (1)动点从点运动至点需要 秒： (2)当时，点在“折线数轴”上所对应的数是 ，P、Q两点在“折线数轴”上相距 个单位长度： (3)当P、Q两点在“折线数轴”上相遇时，求的值； (4)当O、P两点在“折线数轴”上相距的长度小于B、Q两点在“折线数轴”上相距的长度时，直接写出的取值范围． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五章 一元一次方程 5.3 实际问题与一元一次方程 课标要点 1. 建立方程模型观念，能从实际情境中梳理已知量与未知量，找出等量关系，将生活问题转化为一元一次方程。 2. 掌握直接、间接两种设元方法，熟练遵循审、设、列、解、验、答完整流程规范解题。 3. 熟记行程、工程、销售、分段计费等典型题型的数量公式，会用线段图、表格梳理复杂数量关系。 4. 准确求解方程并双重检验，既要验证方程计算无误，也要判断结果符合现实实际意义。 5. 发展符号意识与应用意识，可利用方程解决常规应用题和方案对比类综合问题，培养严谨推理与反思习惯。 学习重难点 重点： 读懂题意，准确找出题目中的等量关系，构建一元一次方程模型。 掌握设未知数的方法，规范运用审、设、列、解、验、答解题步骤。 熟练运用行程、利润、工程、分段收费等常见题型的数量关系列式求解 难点： 复杂文字情境中梳理隐藏等量关系，区分干扰信息与有效条件。 间接设未知数、分段计费、方案选择类综合题的建模分析。 结合生活实际检验方程的解，判断数值是否符合现实逻辑。 知识点 列一元一次方程解实际问题的一般步骤 列一元一次方程解实际问题的核心是将实际生活中的文字信息转化为数学语言，通过建立方程模型求解未知量，基本步骤可总结为审、设、列、解、验、答六步： 1. 审：读懂题目，明确已知量、未知量，梳理各个量之间的逻辑关系，找到能够表示全部题意的相等关系，这是列方程的核心基础。 2. 设：根据题目要求设出未知数，分为直接设元（直接设题目要求的未知量为(x)）和间接设元（设中间量为(x)，再通过(x)求解目标未知量）两种方式，设元时需要注意标注单位。 3. 列：根据找到的相等关系，把各个量用含未知数的代数式表示后代入相等关系，整理得到一元一次方程。 4. 解：求解所列的一元一次方程，得到未知数的值。 5. 验：检验结果，一方面检验计算结果是否满足方程，另一方面检验结果是否符合实际问题的意义（比如人数不能为负数、长度不能为小数时需要取整）。 6. 答：写出最终答案，注意单位书写正确。 特别提醒 很多同学容易忽略检验步骤，即使计算结果正确，也可能不符合实际问题的要求，例如求解出租车乘车人数时，得到结果为(23.2)人，就不能直接保留小数，需要根据实际进一取整为(24)人；此外设元时必须标注单位，答题时也不能遗漏单位。 随学随练 1．《孙子算经》中记载了这样一道题：今有三人共车，二车空：二人共车，九人步．问车几何？其译文为：有若干人乘车，若每3人同乘一车，最终剩余2辆空车；若每2人同乘一车，最终剩下9人因无车可乘而步行．问有多少辆车？设共有辆车，则可以列出的方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别用含的式子表示两种乘车方案下的总人数，即可列出方程． 【详解】解：∵设共有辆车，总人数保持不变，且每人乘一车，剩余辆空车， ∴实际使用辆车， ∴总人数可表示为， ∵每人乘一车，剩余人步行， ∴总人数可表示为， ∴． 2．“人间四月芳菲尽，山寺桃花始盛开”，体现了温度随着海拔的升高而降低．已知某地面温度为，且每升高千米温度下降，若山上的温度为，设山上距离地面的垂直高度为，可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据温度变化的等量关系列一元一次方程，思路是：山上温度等于地面温度减去升高千米下降的总温度，据此列出方程即可． 【详解】解：∵山上距离地面的垂直高度为，每升高千米温度下降， ∴温度一共下降， ∵地面温度为，山上温度为， ∴根据等量关系可列方程： 3．《九章算术》是我国古代的数学著作，其中有一道题：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三．问人数、羊价各几何？”意思是：现有几个人共同买羊，每人出钱，少钱；每人出钱，少钱．那么人数、羊价各是多少？若设人数为，则可以列出的方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】解题核心是抓住羊价不变的等量关系，根据两种出钱方案分别表示出羊价，即可列出正确方程． 【详解】解：设人数为， ∵每人出钱，还差钱， ∴羊价可表示为钱， ∵每人出钱，还差钱， ∴羊价可表示为钱， ∵羊价固定不变， ∴可列方程为． 4．市中区某小学今年六年级毕业学生450人，比去年多了，该小学去年毕业学生多少人？设去年毕业学生人，下面方程正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等量关系“去年毕业的学生今年毕业的学生”即可列方程． 【详解】解：设去年毕业学生人，列方程为：． 5．2015年9月26日，在郓城南城中学多功能厅召开“怎样做初中生家长”的家庭教育报告会．设多功能厅共有x排座位，与会家长若每排坐30人，则有6人无座位；若每排坐31人，则空15个座位，则下列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别用两种坐法表示与会家长的总人数，根据总人数不变建立等量关系，即可列出正确方程． 【详解】解：∵多功能厅共有排座位，与会家长总人数固定不变， ∴第一种坐法：每排坐30人，排共坐人，还有6人无座位，因此总人数为，第二种坐法：每排坐31人，排可坐人，空出15个座位，因此总人数为， ∴根据总人数相等可得方程：． 知识点 常见实际问题类型 行程问题： 行程问题是一元一次方程最常见的应用题型，核心公式为：路程=速度×时间，根据运动场景可分为不同子类： · 相遇问题：相遇时双方的路程和等于总路程，即(甲走的路程 + 乙走的路程 = 初始距离)，对于同时出发的相遇问题，也可变形为((甲速度 + 乙速度)×相遇时间 = 总路程)。 · 追及问题：追及时快方比慢方多走的路程等于初始的距离差，即(快者走的路程 - 慢者走的路程 = 初始距离差)，同时出发的追及问题变形为((快速度 - 慢速度)×追及时间 = 距离差)。 · 航行问题：顺水速度=船在静水中的速度+水流速度；逆水速度=船在静水中的速度-水流速度；往返航行路程相同的前提下，顺水路程=逆水路程。 · 环形跑道问题：同向出发时，第一次追上快者比慢者多跑一圈；反向出发时，第一次相遇两者路程和为一圈。 工程问题： 工程问题的核心关系是：工作总量=工作效率×工作时间，如果题目中没有给出具体的工作总量，一般把总工作量设为单位1，则各部分工作效率之和等于总效率，各部分工作量之和等于总工作量（即1）。 如果是多人合作，合作效率等于各人工效之和，例如甲单独完成需要(a)天，乙单独完成需要(b)天，那么甲的效率就是，乙的效率就是，两人合作效率为，合作完成时间为。 利润与打折销售问题： 利润问题涉及多个基本量，核心公式如下： · 利润=售价-进价（成本） · 利润率，因此利润也可表示为(进价×利润率) · 售价=标价×折扣（几折就是标价的十分之几，例如打8折就是售价=标价×0.8） · 售价=进价×(1+利润率) 配套问题： 配套问题的核心是：两种配套部件按照比例满足配套要求，例如一个桌面配四个桌腿，那么生产出的桌腿总数量应该是桌面总数量的4倍，即(桌腿数量 = 4×桌面数量)，这个相等关系就是列方程的依据。一般设分配(x)人生产其中一种部件，剩下的人生产另一种部件，再根据配套比例列方程。 方案选择问题： 方案选择问题一般会给出两种或多种不同的优惠方案，需要先计算出不同方案的费用，再根据需求选择更优惠的方案；部分题目还需要讨论费用相同时的用量，分情况说明哪种方案更划算。 一般步骤是：设使用的数量为(x)，分别列出两种方案的费用表达式，解方程找到费用相等时的(x)，再分别讨论(x)大于和小于这个值时哪种方案更优。 特别提醒 一元一次方程实际问题包含多种高频典型题型，常见有和差倍分问题、行程问题（相遇、追及、顺逆流）、工程问题、销售利润问题、配套分配问题、数字问题、积分计费问题、储蓄利息问题、浓度调配问题、方案选择优化类问题，解题核心均是找准题干等量关系，设单一未知数，依据不变量或相等关系列一元一次方程求解，特殊题型多结合分段收费、零件配套、多人分工、两种方案对比等场景，需先区分已知量与未知量，梳理隐藏相等条件再列式计算。 随学随练 1．某工厂承接甲、乙两种零件加工任务，已知加工1个甲种零件需耗材5元，加工1个乙种零件需耗材3元．若该工厂共加工甲、乙两种零件40个，且购买耗材总费用为170元，设加工甲种零件x个，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，根据“总耗材费用=甲零件总耗材费用+乙零件总耗材费用”的等量关系列方程即可． 【详解】解：∵设加工甲种零件个，甲乙两种零件共加工个， ∴加工乙种零件的个数为个． ∵加工个甲种零件需耗材元，加工个乙种零件需耗材元，总耗材费用为元， ∴甲零件总耗材为，乙零件总耗材为 ， 可得方程：． 2．现有一个水池，若单独打开甲进水管，1个小时可以注满水池；若单独打开乙进水管，个小时可以注满水池．若甲、乙两管同时打开，几个小时可以注满水池？设若甲、乙两管同时打开，个小时可以注满水池，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用工作效率=工作总量工作时间，将水池总量看作单位“1”，求出甲、乙的进水效率，再根据合作效率列方程求解． 【详解】解：将注满水池的总工作量看作单位1， 甲进水管1小时注满水池，因此甲的进水效率为1； 乙进水管b小时注满水池，因此乙的进水效率为； 甲、乙两管同时打开，小时注满水池，根据“工作效率工作时间=工作总量”，可得方程： ， 对式子化简求解： ， ． 3．某商店换季准备打折出售某服装，若按照原售价的八折出售，将亏损20元，而按原售价的九折出售，将盈利15元，则该服装的成本为（     ） A．230元 B．250元 C．260元 D．300元 【答案】D 【分析】设出原售价，利用成本不变找到等量关系，列方程求解后即可得到成本． 【详解】解：设该服装的原售价为元， 根据题意得， 解得， 则该服装的成本为（元）． 4．某书店推出两种购书方案：①单买，每本按标价10元销售；②会员制，缴纳20元会员费后每本按标价的8折销售．若小明购买本图书，两种方案费用相等时的值为（   ） A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元一次方程在实际问题中的应用，熟练掌握根据实际问题中的等量关系列方程并求解的方法是解题的关键． 先分别用含的代数式表示出两种购书方案的费用，再根据两种方案费用相等这一等量关系列出一元一次方程，最后解方程求出的值． 【详解】解：设购买本图书时两种方案费用相等， ∵方案①的费用为元， 方案②的费用为元，即元， 又∵两种方案费用相等， ∴， 移项得， 即， 解得， 故选：A． 5．今年，东东的年龄是爷爷年龄的 ．东东发现，12年后，他的年龄将变成爷爷年龄的 ．则东东今年的年龄是（     ） A．8 B．9 C．10 D．20 【答案】B 【分析】设东东今年年龄为未知数，根据年龄倍数关系表示出爷爷今年年龄，再结合12年后的年龄倍数关系列方程求解． 【详解】解：设东东今年的年龄是岁， 根据题意，得：， 解得 ， 答：东东今年的年龄是9岁． 拓展 设未知数的常用技巧 设未知数直接影响列方程和解方程的难度，常用的设元技巧有两种： 1. 直接设元法：题目问什么就设什么为x，这是最常用的设元方法，适合大多数关系清晰的问题。例如题目问“甲的速度是多少”，直接设甲的速度为(x)千米/小时即可。 2. 间接设元法：当直接设未知数不好列方程的时候，设和未知量相关的中间量为x，求出x之后再计算题目要求的未知量。例如求一个两位数的大小，直接设这个两位数为x不好表示数位关系，就可以设十位数字(x，再表示出个位数字，最后求出两位数即可。 活学活用 1．实验室中有一杯含糖率为的糖水120克，通过蒸馏能将含糖率提高到原来的2倍．晓华根据这一情景中的数量关系列出方程：，则未知数表示的意义是（   ） A．加入的糖重量 B．原有的糖重量 C．原有水的重量 D．蒸发掉的水的重量 【答案】D 【分析】本题考查一元一次方程的应用，理解题意，找准方程中等量关系是解题关键， 根据方程中的等量关系即可得出答案． 【详解】根据方程可知，x表示的意义是蒸发掉的水的重量． 故选：D． 2．父亲与小强下棋（设没有平局），父亲胜一盘记分，小强胜一盘记分，下了盘后，两人得分相等．若设小强胜的盘数是，则应满足的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了比赛积分(一元一次方程的应用)，解题关键是找准等量关系列出方程． 根据胜盘数与得分关系，小强胜x盘得分，父亲胜盘得分，由得分相等建立方程． 【详解】解∶设小强胜x盘，则父亲胜盘． ． 故选：B． 3．某中学七年级（一）班共有学生人，男生和女生的人数比为，则这个班男女生各多少人？ ①设男生人数为人，由此可列出方程：_______； ②设女生人数为人，由此可列出方程：_______； 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用．根据题意正确的列方程是解题的关键． ①男生人数为人，则女生人数为人，根据总人数为人，列方程即可； ②女生人数为人，则男生人数为人，根据总人数为人，列方程即可． 【详解】①解：男生人数为人，则女生人数为人， 依题意得，， 故答案为：； ②解：女生人数为人，则男生人数为人， 依题意得，， 故答案为：． 4．李老师在数学课堂上出了下列一道应用题 小王同学从家到学校，若每分钟走60米，比原来规定的时间早到5分钟，若每分钟走40米，比原来规定的时间晚到3分钟，求从家到学校的距离． 李老师在黑板上展示了两位同学的正确列方程如下： 李明： 刘伟： (1)李明同学所列方程中设的未知数表示 ，刘伟同学所列方程中设的未知数表示 ； (2)从两位同学所列方程中任选一个回答老师提出的问题． 【答案】(1)原来规定的时间，从家到学校的距离 (2)选李明方程（答案不唯一），从家到学校的距离米 【分析】本题考查了一元一次方程的应用． （1）结合题意作答即可； （2）任选一个求解即可． 【详解】（1）解：每分钟走60米，比原来规定的时间早到5分钟，若每分钟走40米，比原来规定的时间晚到3分钟， 则从家到学校的距离， ∴及均表示实际时间， 即未知数表示原来规定的时间； 若每分钟走60米，比原来规定的时间早到5分钟，若每分钟走40米，比原来规定的时间晚到3分钟， 则原来规定的时间， ∴及均表示实际时间， 即未知数表示从家到学校的距离； 故答案为：原来规定的时间，从家到学校的距离； （2）解：选李明方程：， ， ， ， ， 从家到学校的距离米； 选刘伟方程：， ， ， ， ， ， ， 即从家到学校的距离为米． 题型 配套问题 解题贴士 1. 核心逻辑：配套问题的关键是找准配套比例关系，即两种产品的数量比满足配套要求； 2. 设未知数技巧：一般设安排生产其中一种产品的工人数为 x ，另一种产品的工人数用总人数减去( x )表示； 3. 列方程依据：根据“A产品数量 × 配套比例 = B产品数量”建立等式，本题中为「螺母总数 = 2 × 螺钉总数」； 4. 易错点：不要把比例关系写反，一定要对应题目给出的配套要求。 ▌例1 如图是毛笔的结构图，现有根短竹，每根短竹可制成笔管个或笔斗个，个笔管搭配个笔斗，怎样分配短竹的数量，使制成的笔管与笔斗正好配套？小明列出方程：，则表示的是（     ） A．制成笔管的短竹数量 B．制成笔斗的短竹数量 C．制成笔管的个数 D．制成笔斗的个数 【答案】A 【分析】根据方程的左右两边分别表示笔管和笔斗的数量，结合每根短竹的产量反推的含义即可． 【详解】解：∵每根短竹可制成笔管个， ∴表示笔管的总个数，则表示用于制作笔管的短竹数量， ∵短竹总数为根， ∴表示用于制作笔斗的短竹数量， ∵每根短竹可制成笔斗个， ∴表示笔斗的总个数， ∵个笔管搭配个笔斗，即笔管总数等于笔斗总数， ∴方程符合题意， ∴表示制成笔管的短竹数量． ▌例2．学校组织12名校工检修智能教室的桌椅，每人每小时平均能检修3张智能课桌或6把座椅，1张智能课桌配套4把座椅，若安排x名校工检修智能课桌，其余校工检修座椅，且智能课桌和座椅刚好配套，则可以列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题为一元一次方程的配套问题，先根据表示出检修课桌和座椅的总数量，再结合配套关系列方程即可． 【详解】∵安排名校工检修智能课桌，总共有12名校工， ∴检修座椅的校工人数为， ∵每人每小时平均检修3张智能课桌， ∴每小时检修的智能课桌总数为张， ∵每人每小时平均检修6把座椅， ∴每小时检修的座椅总数为把， ∵1张智能课桌配套4把座椅，刚好配套时满足座椅总数课桌总数， ∴列方程得． ▌对点练1-1某茶具生产车间共有25名工人，每人每天可生产3个茶壶或者7只茶杯，1个茶壶与6只茶杯配套．为使每天生产的茶壶和茶杯刚好配套，需要多少名工人生产茶壶？设有名工人生产茶壶，则可列方程____________． 【答案】 【分析】根据配套关系找出等量关系，设名工人生产茶壶，则名工人生产茶杯，根据茶杯总数量是茶壶总数量的倍列出方程即可． 【详解】解：设有名工人生产茶壶，则有名工人生产茶杯， 根据题意可得，生产茶壶的总数量为个，生产茶杯的总数量为只， 由个茶壶与只茶杯配套，可得茶杯总数量是茶壶总数量的倍， 因此列方程得， ． ▌对点练1-2．在我国传统文化中，茶与茶具都承载着深厚的文化底蕴．某车间共有14名工人，每名工人每天可以加工10只茶壶或30只茶杯，1只茶壶需要配4只茶杯，为使每天加工的茶壶和茶杯刚好配套，该车间应安排______名工人加工茶壶．（每名工人每天只加工茶壶和茶杯中的一种） 【答案】 【分析】设安排名工人加工茶壶，根据总工人数量表示出加工茶杯的工人数，根据配套要求得到茶杯总数量与茶壶总数量的等量关系，列一元一次方程求解即可． 【详解】解：设该车间应安排名工人加工茶壶，则安排名工人加工茶杯， 根据题意列方程得：， 解得， ∴应安排名工人加工茶壶． ▌对点练1-3．一台仪器由1个A部件和3个B部件构成．用钢材可以做40个A部件或240个B部件．现要用钢材制作这种仪器，应该用多少钢材做A部件，多少钢材做B部件，才能制作尽可能多的仪器？最多能制作多少台仪器？ 【答案】用钢材做A部件，钢材做B部件，才能制作尽可能多的仪器，最多能制成160台仪器． 【分析】要制作尽可能多的仪器，需根据A、B部件的配套关系（1个A部件和3个B部件构成一台仪器 ），设用钢材做A部件，钢材做B部件，通过部件数量的配套比例列方程求解． 【详解】解：设用钢材做A部件，则用钢材做B部件． 则 解得， ∴做B部件的钢材为，做A部件的数量：（个），做B部件的数量：（个）， 可制作仪器数量： 台（此时A部件和B部件的数量恰好配套 ）， 答：用钢材做A部件，钢材做B部件，才能制作尽可能多的仪器，最多能制成160台仪器． 题型 工程问题 解题贴士 1. 核心公式：工作量 = 工作效率 × 工作时间； 2. 处理技巧：若题目没有给出具体总工作量，一般把总工作量设为单位1； 3. 列方程依据：「各部分工作量之和 = 总工作量」，若总工作量设为1，就是各部分工作量相加等于1； 4. 变例：如果是部分合作、部分单独做的题目，拆分不同阶段的工作量分别计算再相加即可。 ▌例1．甲乙两个水管单独开，注满一池水，分别需要20小时，16小时．丙水管单独开，排一池水要10小时，若水池没水，同时打开甲乙两水管，5小时后，再打开排水管丙，水池注满还要（     ）个小时． A．15 B．20 C．35 D．40 【答案】C 【分析】将一池水总水量看作单位，先求出各水管的工作效率，设水池注满还要小时，根据题意，列出方程，求解即可． 【详解】解：把一池水总水量看作单位， 甲单独注满需小时，乙单独注满需小时，丙单独排完整池水需小时 甲进水效率为，乙进水效率为，丙排水效率为， 设水池注满还要小时， 根据题意可得，， 解得， 即水池注满还要小时． ▌例2．一项工程，甲队单独完成需30天，乙队单独完成需40天．甲队先单独做5天，之后两队合作恰好按期完成．设工期为天，可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将总工作量看作单位1，根据“各部分工作量之和等于总工作量1”列方程，确定甲、乙的工作时间即可得到正确方程． 【详解】解：把总工作量看作单位1，可得甲的工作效率为，乙的工作效率为， ∵工期为天，甲先单独做天，之后两队合作， ∴甲先做天的工作量为，两队合作的时间为天，合作中甲的工作量为，合作中乙的工作量为， ∵总工作量为， ∴可列方程： ． ▌对点练1-1．年月日，我国首艘万立方米液化天然气（）运输船“乔治敦”号顺利交付，该船型被称为“造船业皇冠上的明珠”．某工厂计划用天时间生产一批轮船模型，实际每天比原计划多生产个，结果提前天完成了生产任务，则原计划每天生产________个轮船模型． 【答案】 【分析】根据生产总任务量不变建立等量关系，设未知数后列方程求解即可． 【详解】解：设原计划每天生产个轮船模型， 由题意可知，实际生产天数为天，实际每天生产个，根据总任务量相等，列方程得： ， 解得：， 即原计划每天生产6个轮船模型． ▌对点练1-2．某小区计划推进老旧小区改造，若甲工程队单独完成需天，乙工程队单独完成需天，现由两队合作，中途乙队被调走，余下的任务由甲队单独做了天后完成．在这个过程中，甲、乙两队合作了________天． 【答案】3 【分析】本题为工程问题，将总工作量设为单位，根据各部分工作量之和等于总工作量，列一元一次方程求解即可． 【详解】解：设甲、乙两队合作了天．根据题意，甲一共工作天，乙一共工作天，总工作量为，列方程得： 去分母，得 去括号，得 移项合并同类项，得 系数化为，得 答：在这个过程中，甲、乙两队合作了天． ▌对点练1-3．某村为了更方便地运输农作物，现计划将村里全部的交通主干道修成水泥路．已知甲工程队单独完成此项工程需要的天数比乙工程队单独完成此项工程需要的天数的2倍少5天，并且甲工程队单独完成此项工程需要的天数与乙工程队单独完成此项工程需要的天数之和为25天． (1)甲、乙工程队单独完成此项工程各需要多少天？ (2)若甲先单独修5天，之后甲、乙合作修完，甲、乙还需合作几天才能完成此项工程？ 【答案】(1)甲工程队单独完成此项工程需要15天，乙工程队单独完成此项工程需要10天． (2)甲、乙还需合作4天才能完成此项工程． 【分析】（1）根据甲、乙单独完成工程的天数和倍数关系，设未知数列方程求解得到两队单独完成的天数；再将总工程量看作单位1，根据“总工作量=各部分工作量之和”列方程， （2）求解得到合作需要的天数，用到工程问题中工作量=工作效率×工作时间的基本关系． 【详解】（1）解：设乙工程队单独完成此项工程需要天，则甲工程队单独完成此项工程需要天，根据题意得： ，解得， 甲单独完成需要的天数为（天） 答：甲工程队单独完成此项工程需要15天，乙工程队单独完成此项工程需要10天． （2）设甲、乙还需合作天才能完成此项工程，将总工程量看作单位1，则甲每天工作效率为，乙每天工作效率为，根据题意得： ，解得． 答：甲、乙还需合作4天才能完成此项工程． 题型 行程问题 解题贴士 1. 核心公式：路程 = 速度 × 时间； 2. 常见子题型及等量关系： · 相遇问题：( 甲路程} + 乙路程} = 总路程，若同时出发，两人行走时间相等； · 追及问题：( 快者路程} - 慢者路程} = 初始距离差})，同时出发时追及时间相等； · 顺逆水/顺风逆风问题：( 顺水速度= 静水速度} + 水流速度})，( 逆水速度} = 静水速度} - 水流速度} )，往返路程相等，可根据“去程时间 + 回程时间 = 总时间”列方程； 3. 技巧：可以画线段图辅助梳理路程关系，明确不同对象的时间、速度、路程对应关系。 ▌例1嘉嘉和淇淇在体育课上跑步锻炼，操场的跑道一圈是，嘉嘉跑一圈需要，淇淇跑一圈需要，若两人同时同向出发，后嘉嘉恰好比淇淇多跑一圈，则下列方程中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题是同向追及行程问题，可将一圈长度看作单位1，先表示两人的速度，再根据“嘉嘉的路程减去淇淇的路程等于1圈”列方程即可． 【详解】解：∵将跑道一圈的长度看作单位1， ∴嘉嘉的速度为，淇淇的速度为， ∵s后嘉嘉恰好比淇淇多跑一圈，路程差为1， ∴嘉嘉路程为，淇淇路程为，可得方程， 因此正确选项为A． ▌例2甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行，匀速前进．如果每人按一定的速度前进，4小时相遇；如果每人各自都比原计划每小时少走1千米，5小时相遇．那么A、B两地的距离是（     ） A．40千米 B．30千米 C．20千米 D．10千米 【答案】A 【分析】A、B两地总路程不变，根据两种情况的速度和关系列方程求解即可． 【详解】解：设、两地的距离是千米， ∵ 原来两人小时相遇， ∴ 原来两人的速度和为千米/小时， ∵ 每人各自都比原计划每小时少走千米， ∴ 减速后两人的速度和比原来少千米/小时，即减速后速度和为 千米/小时， 又∵ 减速后两人小时相遇，减速后速度和也可表示为千米/小时， ∴ 列方程得 ， 解得 ， 即、两地距离为千米． ▌对点练1-1一辆汽车原计划6小时从A城到B城．汽车行驶了一半路程后，因故在途中停留了30分钟．如果按照原定的时间到达B城，汽车在后一半路程的速度就应该提高12千米/时，那么A、B两城相距___________千米． 【答案】 【分析】设原来的速度为v千米/时，则后一半路程为千米，而后一半路程需要的时间为小时，据此根据路程等于速度乘以时间建立方程求解即可． 【详解】解：设原来的速度为v千米/时，则后一半路程为千米， 由题意得，， 所以， 所以， 所以，即， 所以 千米， 所以A、B两城相距千米． ▌对点练1-2汽车以每小时108千米的速度笔直地开往寂静的山谷，驾驶员按一声喇叭，4秒后听到回声，已知声音的速度是每秒340米，听到回声时汽车离山谷的距离是___________米． 【答案】620 【分析】本题可先将汽车速度单位换算为米/秒，再分别计算出汽车在4秒内行驶的距离和声音在4秒内传播的距离，最后通过设听到回响时汽车离山谷的距离是x米，那么按喇叭时汽车离山谷的距离是米，根据声音传播的总路程与汽车行驶的路程和等于按喇叭时汽车到山谷距离的2倍，列出方程求解． 【详解】解：1千米米，1小时秒 （米/秒） （米） （米） 设听到回响时汽车离山谷的距离是x米，那么按喇叭时汽车离山谷的距离是米． 解得： 听到回响时汽车离山谷的距离是620米． ▌对点练1-3甲、乙、丙是三个车站，乙站到甲、丙两站的距离相等，小军和小明分别从甲、丙两站同时出发相向而行，小军过乙站100米后与小明相遇．然后两人保持原速继续前进，小军到达丙站后立即返回，经过乙站后300米又追上小明．问：甲、丙两站的距离是多少米？ 【答案】600米 【分析】设甲、乙两站距离为米，由乙到甲、丙距离相等得乙丙也为米，甲丙距离为米．先求出第一次相遇两人各自走的路程，再求出第一次相遇到第二次追上两人走的路程，根据速度不变，相同时间内路程成正比例，列方程求解得到，即可算出甲丙两站的距离． 【详解】解：设甲、乙两站的距离为米，则乙、丙两站的距离也为米，甲、丙两站的距离为米． 第一次相遇时，小军走的路程为米．小明走的路程为米． 从第一次相遇到第二次追上时，小军走的路程为米， 可知这段路程是第一次相遇时小军路程的2倍．两人速度保持不变，因此这段时间小明走的路程也为第一次相遇时小明路程的2倍． 小明从第一次相遇到被追上，实际走了（米）． 列方程得： 解得 则甲、丙两站的距离为（米） 答：甲、丙两站的距离是600米． 题型 销售利润问题 解题贴士 1. 核心概念与公式： · 进价（成本）：商品的进货价格；标价：商品标出的原价；售价：商品实际卖出的价格；利润：售价减去进价；利润率：利润占进价的百分比； · 核心公式：( 利润} = 售价 - 进价}= 进价 × 利润率} ，，； 2. 列方程要点：把公式中各个量用含未知数的式子表示后代入等式即可 3. 易错点：利润率是相对于进价计算的，不是相对于售价，不要混淆分母。 ▌例1某种商品的进价为每件180元，现按标价的9折销售时，利润率为，设这种商品的标价为每件元，依题意列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等量关系，利润售价进价，利润进价利润率，列方程即可． 【详解】解：设这种商品的标价为每件元， ∵商品按标价的9折销售， ∴实际售价为元， 根据题意列方程得：． ▌例2某礼品店以60元/套的价格购进一批吉祥物摆件，为吸引顾客，该礼品店针对这批摆件推出“八八折后再减8元”的促销活动．设这批摆件的标价为元/套，要使每套摆件仍能获利18元，则下列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据“获利=实际售价-成本”． 【详解】解：设这批摆件的标价为元/套， ∵促销活动为八八折后再减8元， ∴实际售价为元， ∵每套进价为60元，要求获利18元，且获利等于实际售价减去进价， ∴列方程得． ▌对点练1-1商场将某种商品按标价的八折出售，此时商品的利润率是．已知这种商品的进价为1600元，则这种商品的标价为________元． 【答案】2400 【分析】设这种商品的标价为x元，根据利润利润率进价售价进价列方程求解即可． 【详解】解：设这种商品的标价为x元， 根据题意，得 解得 答：这种商品的标价为2400元． ▌对点练1-2某商场服装部处理一批上衣，经计算如果打九折出售可以获利645元，如果打八折出售就要亏本375元，则这批上衣的原价是__________元． 【答案】 【分析】设这批上衣原价为元，根据成本相等列出一元一次方程，求解即可得到原价． 【详解】解：设这批上衣原价为元， 由成本不变，列方程得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为得，即这批上衣的原价是10200元． ▌对点练1-3【综合与实践】 一家商店因换季将某种服装打折销售，如果每件服装按标价的五折出售，将亏本50元；如果按标价的八折出售，将盈利70元． (1)每件服装的标价是多少元？进价是多少元？ (2)打几折销售能恰好保证利润率为？ 【答案】(1)每件服装的标价是400元，进价是250元 (2)打七折销售能恰好保证利润率为 【分析】（1）设每件服装的标价是x元，根据“如果每件服装按标价的五折出售，将亏本50元；如果按标价的八折出售，将盈利70元”列方程求解即可； （2）设打y折销售能恰好保证利润率为，根据“利润率为”列方程求解即可． 【详解】（1）解：设每件服装的标价是x元， 根据题意得：， 解得：． ∴（元）． 答：每件服装的标价是400元，进价是250元； （2）解：设打y折销售能恰好保证利润率为， 根据题意得：， 解得：． 答：打七折销售能恰好保证利润率为． 题型 积分问题 解题贴士 1. 核心逻辑：总积分等于胜场积分加上负场积分（若有平场加上平场积分）； 2. 设未知数：一般设胜场数为(x ，总场次减去胜场数就是负（平）场数； 3. 列方程：( 胜场数×胜场单分 + 负场数×负场单分 = 总积分 )； 4. 隐藏条件：场次一定是非负整数，解出方程后可以根据这个条件验证结果是否合理，还可以用来解决“某队总积分是否可能为某个数”类的判断题。 牢 ▌例1某校开展了“剪纸文化知多少”的知识竞赛，选手需要从题库中随机抽取20道题依次进行作答，答对一道得3分，不答或答错扣1分．已知小明得了36分，则他答对的题数为（     ） A．8道 B．9道 C．12道 D．14道 【答案】D 【分析】设答对题的数量为未知数，根据总题数得到不答或答错的题数，结合得分规则列方程求解． 【详解】解：设小明答对的题数为道，则不答或答错的题数为道， 根据题意，列出方程为， 整理得， 解得， ∴小明答对的题数为道． ▌例2某次“最强大脑”比赛，每个选手都需回答20道题，答对一题得7分，答错一题倒扣4分，王刚答完了全部道题，得了63分，他答对了（     ）道题． A．7 B．9 C．11 D．13 【答案】D 【分析】先设王刚答对了道题，再根据题意列方程，即可解答． 【详解】解：设王刚答对了道题，则答错了道题， 由题意得，， 解得，， 即他答对了道题． ▌对点练1-1某次数学竞赛有10道试题，若小宁得70分，根据图中两人的对话可知小宁答对_____题，答错_____题． 【答案】 8 2 【分析】设小宁答对了x题，根据题意列出方程求解即可 【详解】解：设小宁答对了x题， 依据题意，得， ， ， 解得， 所以答错了（题）． ▌对点练1-2篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，胜一场得2分，负一场得1分．某队参赛12场，总得分为20分．设该队胜了x场，则可列方程为___________． 【答案】 【分析】先根据参赛总场数用表示出负场的场数．再根据总得分等于胜场得分与负场得分的和列出方程． 【详解】解：设该队胜了场，则负了场， 胜场得分为分，负场得分为分， 故可列方程为． ▌对点练1-3为深入贯彻国家关于青少年学生读书行动的部署要求，郑州市教育体育局持续推动全民阅读行动．近日，全市中小学生“书香润心灵，思辨启智慧”阅读知识大赛决赛圆满落下帷幕．其中抢答环节共设20道题，答对一题得5分，答错或不答一题扣5分．小明最终得分90分，他答对了几道题？ 【答案】 他答对了19道题 【分析】设他答对了道题，根据答对一题得5分，答错或不答一题扣5分，由此列式求解即可． 【详解】解：设他答对了道题， 依题意得：， 解得． 答：他答对了19道题． 题型 方案选择问题 解题贴士 1. 第一步：先分别用未知数表示出不同方案的总费用； 2. 第二步：令两种方案费用相等，解出分界点对应的未知数的值； 3. 第三步：代入不同范围的数值比较费用大小，给出选择结论：本题中通话时间超过90分钟选A套餐，低于90分钟选B套餐，等于90分钟两种费用相同； 4. 技巧：常见的方案选择还有买商品不同优惠、租车购票不同方案等，方法逻辑一致，都是先表示费用再比较。 解 ▌例1某景区单独购票为每人元，团体购票为每人元．某旅游团按团体购票比单独购票总共节省费用元，则该旅游团人数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设该旅游团人数为人，根据“单独购票总费用减去团体购票总费用等于节省的费用”列方程求解即可． 【详解】解：设该旅游团人数为人， ， 解得． 故选：C． ▌例2某校组织师生研学，若租用49座客车若干辆，刚好坐满；若租用54座客车，可比49座客车少租两辆且空余17个座位．若设租用的49座客车有辆，则可列方程（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，设租用的49座客车有辆，根据所有49座客车刚好坐满可得师生总人数为人，根据54座客车比49座客车少租两辆且空余17个座位可得师生总人数为人，据此列出方程即可． 【详解】解：由题意得，， 故选：D． ▌对点练1-1某新华书店暑假期间推出售书优惠方案： ①一次性购书不超过200元，不享受优惠；②一次性购书超过200元但不超过400元一律打九折；③一次性购书400元以上一律打八折．如果小聪同学一次性购书共付款324元，那么小聪所购书的原价是___________． 【答案】360元或405元 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，掌握分类讨论思想是解题的关键． 设所购书的原价为x元，由于付款金额为324元超过200元，因此原价一定大于200元，需根据优惠方案②和③两种情况，分别列方程求解并验证是否符合条件即可解答． 【详解】解：设所购书的原价为x元． 当时，享受九折优惠，即，解得：； 经检验，360在200和400之间，符合条件． 当时，享受八折优惠，即，解得：， 经检验，405大于400，符合条件． 因此，所购书的原价为360元或405元． 故答案为：360元或405元． ▌对点练1-2某商店周年活动大促期间，推出两种优惠方案．方案一：购买的所有商品一律打8折；方案二：购物满150元后，超过150元的部分打7折．若要使两种方案最终付款金额相等，则这个相等的付款金额为__________元． 【答案】360 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用（方案优惠问题），解题的关键是设出商品原价，根据两种方案付款金额相等建立方程求解． 设商品原价为元（，否则方案二无超额折扣，无法与方案一付款相等）；表示出方案一付款为元，方案二付款为元；根据付款相等列方程求解，再计算付款金额． 【详解】解：设商品原价为元（）， 方案一付款：元， 方案二付款：元， 由付款相等得， ， ， ， 相等付款额为元． 故答案为：． ▌对点练1-3某地举办音乐会，演出票的类别与单价如下表： 演出票类别 A类 B类 C类 D类 演出票单价（元/张） 300 280 240 100 王强购买了A类和C类的演出票共10张，他发现这10张演出票的总价恰好可以购买8张B类票和4张D类票．王强购买A类和C类的演出票各几张？（列方程解决） 【答案】王强购买A类票4张，购买C类票6张 【分析】设购买A类票x张，则购买C类票张，根据题意列方程即可解答． 【详解】解：设购买A类票x张，则购买C类票张． 根据题意，得． 解得． 则． 答：王强购买A类票4张，购买C类票6张． 题型 数字问题 解题贴士 1. 表示技巧：两位数的表示方法：若十位数字是( a )，个位数字是( b )，则这个两位数为( 10a + b )，不是( ab )，也不是( a+b )；同理三位数表示为( 100a + 10b + c )； 2. 设未知数：一般设数位上的其中一个数字为未知数，根据数字关系表示出另一个数字，再分别写出原数和新数； 3. 列方程：根据题目给出的新旧数的大小关系建立等式 解 ▌例1“九宫图”传说源于远古时代洛河中的神龟背甲图案，故又称“龟背图”．数学中的“九宫图”指一个的方格，要求其每行、每列及每条对角线上的三个数字之和均相等．如图所示为一个不完整的“九宫图”，则的值为（     ） A． B． C． D．6 【答案】D 【详解】解：由两条对角线上的数字之和相等，可得， ∴. ▌例2将整数1至2026按一定规律排列如下表所示： 平移表中带阴影的方框，方框中三个数的和可能是（    ） A．2022 B．2024 C．2019 D．2026 【答案】A 【分析】本题考查数字规律探究，解题核心是根据数表排列规律，设出方框中三个数的表达式，再结合数表限制条件分析和的可能取值． 【详解】解：设连续的三个数为，，， 则， 方框中三个数的和为3的倍数， B，D选项不符合题意， 不能为每一行第一个数和最后一个数， 除以7余数不能为0或1， ， ， C选项不符合题意． ， ， A选项符合题意． ▌对点练1-1一个三位数，十位上的数是百位上的数的2倍，百位上的数的3倍减去个位上的数等于十位上的数的，且各数位上数的和为14，则这个三位数是________． 【答案】 【分析】设百位上的数字为，则十位上的数字为，再根据各数位数字和表示出个位数字，根据题目给出的等量关系列出一元一次方程，求解即可得到各数位数字，进而得到三位数． 【详解】解：设百位上的数字为，则十位上的数字为， 各数位上的数的和为， 个位上的数字为， 根据题意得：， 解得：， 百位上的数字为，十位上的数字为，个位上的数字为， 这个三位数为． ▌对点练1-2、、各代表一个数，如果，，，那么__________． 【答案】 【分析】 根据，，可得，代入，可得，进而可得，再代入中即可求解． 【详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴（）， 解得：， ∴， ∴． ▌对点练1-3我国古代的“九宫图”是由方格构成的，每个方格均有不同的数，每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等．如下给出了“九宫图”的一部分，请推算的值． 2025 x 1 5 【答案】 【分析】先得出第一行第一列的数，再根据第二行上的三个数字之和、对角线上的三个数之和相等建立方程，解方程即可得． 【详解】解：设“九宫图”中的数字如下图所示： 2025 1 5 由题意得：①，②， 整理①得：，解得， 整理②得：， ∴， 解得． 题型 电水费问题 解题贴士 1. 分清分段收费标准，先确定用水量/电量落在第几档，区分基础低价用量和超额高价用量。 2. 找准等量关系：总费用＝基础段费用＋超出部分单价×超出用量，以此列一元一次方程。 3. 已知总费用反求用量时，先估算是否超基础额度，避免直接套用低价单价造成列式错误。 4. 看清题目有无公摊、阶梯加价、污水处理费等附加费用，计算时统一计入总花费再列式。 解 ▌例1某城市按以下规定收取每月的天然气费：用气不超过，按每立方米2.5元收费；如果超过，超过部分按每立方米3元收费．已知小明家某月共缴纳天然气费210元，那么他家这个月共用天然气（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设他家这个月共用天然气，先计算出用天然气的费用是150元，可知他家这个月用天然气超过，超过的部分所需费用为元，根据题意列出方程，解方程求出x的值即可． 【详解】解：设他家这个月共用天然气， （元），且， 他家这个月用天然气超过， 根据题意得：， 解得， 答：他家这个月共用天然气， 故选：D． 【点睛】本题考查了一元一次方程的解法、列一元一次方程解应用题等知识与方法，解决本题的关键是正确地用代数式表示用天然气超过部分所需的费用． ▌例2为鼓励居民节约用水，某市对居民用水实行“阶梯收费”，规定每户每月用水量不超过的，每吨2元；超过的部分，每吨3.5元．已知小莉家某月交水费34元，则小莉家该月用水量为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 利用应缴水费超出10吨的部分，即可得出关于的一元一次方程，此题得以解决． 【详解】解：由题意，得： 解得：． 故选：D ． ▌对点练1-1某市为了鼓励居民节约用水，对自来水用户按如下标准收费：若每月每户用水不超过15吨，按每吨3元收费；若超过15吨，则超过部分按每吨4元收费，如果某户居民五月份缴纳水费73元，那么该居民这个月实际用水________吨 【答案】22 【分析】本题考查了一元一次方程的应用． 设实际用水量为x吨，根据收费标准列出方程求解． 【详解】解：∵， ∴该居民这个月实际用水超过15吨， 设实际用水量为x吨， 依题意，得， 即， 整理得， 解得， 因此． 故答案为：22． ▌对点练1-2某市采用分段收费的方式按月计算每户家庭的水费，收费标准如下： 阶梯 户月用水量（） 收费标准（元/） 第一阶梯 不超过 3 第二阶梯 超过，但不超过 4 第三阶梯 超过的部分 7 （1）小明家2月份用水量为，应缴纳水费____元； （2）已知小红家3月份共缴纳水费120元，那么小红家3月份用水量是_______； 【答案】 65 30 【分析】本题考查有理数四则运算的实际应用，一元一次方程，能够理解题意，根据不同的取值范围列出相应的方程是解题的关键． （1）根据表格列式计算水费即可； （2）设用水量为立方米，通过比较水费判断用水量超过25立方米，再列方程求解即可． 【详解】解：（1）根据题意得：（元）， 应缴纳水费65元． 故答案为：65； （2）当用水量为25立方米时，水费为元； ∵， ∴小红家3月份用水量超过25立方米， 设小红家3月份用水量为立方米，则水费为，即， 解得，即用水量为30立方米． 故答案为：． ▌对点练1-3某市居民家庭全年用气（天然气）量划分为三档，气价实行超额累进加价，先用第一档，再用第二档，最后用第三档．例如：王明家年用气量为400立方米，前360立方米按2.53元计算，后40立方米按2.78元计算． 用气量（立方米） 单价（元） 第一档 （含） 2.53 第二档 （含） 2.78 第三档 600以上 3.54 (1)李强家年用气量为440立方米，李强家需交燃气费多少元？ (2)赵刚家全年的燃气费平均每立方米2.60元，赵刚家年用气量是多少立方米？ 【答案】(1)1133.20元 (2)500立方米 【分析】（1）根据燃气缴费方式求解即可． （2）先计算600立方米用气量的总费用，然后再算出平均每立方米的费用，比较得出用气量不足600立方米，设赵刚家用气量为立方米，根据题意列出关于x的一元一次方程，求解即可得出答案． 【详解】（1）解：（元） 答：李强家需交燃气费1133.20元． （2）解：600立方米用气量的总费用：（元） 平均每立方米的费用：（元） ，因此用气量不足600立方米． 设赵刚家用气量为立方米． 答：赵刚家年用气量是500立方米． 题型 古代问题 解题贴士 1. 先把文言文题意翻译成现代等量关系，找准“共、余、不足、等分、倍、半”等关键字梳理数量。 2. 常设所求物品数量、人数为未知数，根据总量不变（物品总数不变）建立等式列方程。 2. 盈亏类古题核心：每人分得多则剩余、分得少则缺少，总物品数两种分法数值相等。 4. 遇鸡兔同笼、百僧分馍等特殊古题，统一用单一未知数表示两类量，简化计算避免二元思路。 解 ▌例1清代宫廷档案中有这样一个问题：“士人携钱入市购贡瓜．若购四瓜，则余钱四百八十文；若购六瓜，则不足三百二十文．瓜价恒定，问一瓜值几何？”意思是：有一位读书人带钱去集市购买贡瓜．如果买4个瓜，身上还剩余480文钱；如果买6个瓜，身上还差320文钱，每个瓜的单价不变，请问一个瓜价值多少文？设每个瓜售价为x文，根据题意，可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用读书人携带的总钱数不变作为等量关系，分别用两种购买情况表示总钱数，即可列出方程． 【详解】解：每个瓜售价为文，读书人携带的总钱数固定，则总钱数可表示为文，总钱数可表示为文， ∵总钱数相等， ∴可列方程． ▌例2《九章算术》中记录了一道经典的数学问题：今有匠工四十四人，日可作斗身十二，或斗耳二十．凡斗，一身配二耳．欲令日作身、耳适相配，问各遣几人？题目大意：有工匠44人，每人每日可做斗身12个或斗耳20个．1斗身配2斗耳，问各安排多少人，使刚好配套？设人做斗身，根据题意可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设做斗身的人数为，用总人数表示出做斗耳的人数，再根据配套要求列方程即可． 【详解】解：∵设人做斗身，总工匠共人， ∴做斗耳的人数为人，可得每日斗身总产量为个，每日斗耳总产量为个， ∵个斗身配个斗耳，刚好配套时斗耳总数量是斗身总数量的倍， ∴列方程得：． ▌对点练1-1我国古代数学著作《九章算术》中记载：“今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”设人数为x人，根据题意可列一元一次方程为______． 【答案】 【分析】根据两种出钱方式分别表示出物价，利用物价不变列一元一次方程即可． 【详解】解：根据题意知，每人出，多出，因此物价可表示为；每人出，还差，因此物价可表示为． ∵物价为固定值，两种表示物价的式子相等， ∴可列方程为 ． ▌对点练1-2《九章算术》是我国古代数学专著，其中第七章“盈不足”问题第一道题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？”译文为：“今有若干人一起买物品，若每人出8钱，则多3钱；若每人出7钱，则还差4钱，问共有多少人，物价多少钱？”．在此问题中，共有______人． 【答案】7 【分析】设共有x人，根据“若每人出8钱，则多3钱”得到物价为钱，根据“每人出7钱，则还差4钱”得到物价为钱，根据物价相同即可列出方程并求解． 【详解】解：设共有x人，根据题意，得 ， 解得． ▌对点练1-3（用一元一次方程解应用题） 我国元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中有这样的记载：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何追及之”．其大意是：跑得快的马每天走里，跑得慢的马每天走里．慢马先走天，求快马几天可以追上慢马． 【答案】快马天追上慢马 【分析】设快马天追上慢马，根据慢马先走天，追及时快马所行路程等于慢马所行总路程列出方程，解方程求出的值即可． 【详解】解：设快马天追上慢马， ∵跑得快的马每天走里，跑得慢的马每天走里，慢马先走天， ∴， ∴ 解得： 答：快马20天追上慢马． 基础通关 1．《孙子算经》记载经典盈亏问题：若干农户均分粮食，若每人分6斗，剩余4斗；若每人分8斗，还差6斗．设一共有名农户，下列方程符合题意的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，解题核心是抓住粮食总量不变，分别根据两种分粮情况表示出粮食总量，令二者相等即可得到符合题意的方程. 【详解】解：设一共有名农户，粮食总量固定不变. ∵每人分斗，剩余斗， ∴粮食总量为 ； ∵每人分斗，还差斗，说明现有粮食总量比少斗， ∴粮食总量为 ； ∵粮食总量相等， ∴得方程 . 2．《孙子算经》是我国古代数学经典著作，书中记载了这样一道题目：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问人有几何？意思是：今有3个人坐一辆车，有2辆车是空的；2个人坐一辆车，有9个人需要步行．问共有多少人？设共有人，可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】核心思路是抓住车的总数不变，用含的式子分别表示两种情况下的总车数，即可列出方程． 【详解】解：∵设共有人，车的总数固定不变， 第一种情况：3人共车，2辆车空，载人的车辆数为，因此总车数为， 第二种情况：2人共车，9人步行，坐车的总人数为，因此总车数为 ， ∴可列方程为． 3．某小区年拥有新能源汽车的家庭有户，_____．该小区年拥有新能源汽车的家庭有多少户？如果设该小区年拥有新能源汽车的家庭有户，列式为，那么横线上应该填的条件是（    ）． A．比年的多 B．年的比年的少 C．比年的少 D．年的比年的多 【答案】A 【分析】设该小区年拥有新能源汽车的家庭有户，根据方程进行分析即可得到答案． 【详解】解：根据方程，可知年拥有新能源汽车的家庭数量比年拥有新能源汽车的家庭数量多． 4．某公司三月份的产值为万元，比二月份减少了，那么二月份的产值（单位：万元）为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设二月份的产值为万元，根据三月份产值与二月份产值的数量关系，列出关于x的方程求解即可． 【详解】解：设二月份的产值为万元， ∵三月份产值为万元，比二月份减少了， ∴， 解得：． 5．由于换季，商场准备对某商品打折出售，如果按原售价的七五折出售，将亏损25元，而按原售价的九折出售，将盈利20元，则该商品的进价为（    ） A．240元 B．270元 C．250元 D．230元 【答案】C 【分析】抓住商品进价不变的特点，根据两种打折出售的盈亏情况建立方程，先求出原售价，再计算进价即可． 【详解】解：设该商品的原售价为元， ∵商品进价固定，按原售价七五折出售亏损25元，可得进价为元，按原售价九折出售盈利20元，可得进价为元， ∴列方程得：， 解得， 将代入，得进价为： （元）， 因此该商品的进价为250元． 6．如图，若天平平衡，则的值为（    ） A．5 B．9 C．1 D．3 【答案】D 【分析】由天平左右两边平衡可得，直接求解即可． 【详解】解：由天平左右两边平衡可得：， 解得：． 7．某同学跑步训练，先匀速慢跑，再加速冲刺，冲刺路程为200米，若设时间为x分钟，路程关系式满足方程，该方程解的实际意义是（    ） A．匀速慢跑的速度大小 B．匀速慢跑的训练时间 C．总路程 D．剩余距离 【答案】B 【分析】题目已定义x为时间，解一元一次方程得到x的值，结合变量定义即可判断解的实际意义． 【详解】解：原方程为， 解得：． ∵题目中明确x代表时间（单位：分钟）， ∴该方程的解的实际意义是对应匀速慢跑的训练时间． 8．2026年发布的中央一号文件主题是“锚定农业农村现代化，扎实推进乡村全面振兴”．桃源村积极响应政策，计划在“生态养殖”和“乡村民宿”两个项目上共投资210万元，其中“生态养殖”的投资金额比“乡村民宿”的投资金额多20万元，则该村的“乡村民宿”投资金额是_____万元． 【答案】95 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，先设出“乡村民宿”的投资金额为未知数，再根据总投资额的等量关系列出一元一次方程，求解即可得到结果; 【详解】解：设该村的“乡村民宿”投资金额是万元，则“生态养殖”的投资金额为万元， 根据题意列方程得： 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为，得． 9．今年，小明的爷爷的年龄是小明年龄的5倍，小明发现，12年之后，小明的年龄将变成爷爷年龄的，则小明爷爷今年的年龄是______岁． 【答案】60 【分析】设出小明今年的年龄，表示出爷爷今年的年龄，再根据12年后两人年龄的数量关系列出方程，求解后即可得到爷爷今年的年龄． 【详解】解：设小明今年的年龄为岁，则小明爷爷今年的年龄为岁． 根据题意列方程，得 去分母，得 去括号，得 移项，合并同类项，得 系数化为，得 因此小明爷爷今年的年龄为岁． 10．重阳节那天，延龄茶社来了位老人品茶．他们的年龄恰好是个连续的自然数．两年以后，这位老人的年龄之和正好是，那么其中年龄最小的老人今年( )岁． 【答案】 【分析】先根据两年后位老人的年龄和，求出今年位老人的总年龄，再设最小年龄为未知数，根据连续自然数的求和关系列方程求解即可． 【详解】解：由题意可知，两年后每位老人年龄增加岁，则位老人总共增加的年龄和为， 可得位老人今年的年龄和为， 设年龄最小的老人今年岁，个连续自然数的年龄依次为，，，，， 根据题意列方程得， 整理方程得， 计算得， 移项化简得， 解得． 11．为了提高身体素质，小健与小康相约跑步，小健每秒跑2.4米，小康每秒跑2.6米，两人在环形跑道上从同一处同时反向出发，当他们第一次相遇时小健比小康少跑16米，则环形跑道的周长为_____米． 【答案】400 【分析】先根据小健比小康少跑16米的路程差求出相遇时间，再利用反向出发第一次相遇时，两人路程和等于环形跑道周长计算周长. 【详解】解：设出发到第一次相遇的时间为秒. 根据题意列方程得 合并同类项，得 系数化为，得 反向出发第一次相遇时，两人路程和等于环形跑道周长，因此周长为： ， ∴环形跑道的周长为米. 12．公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德发现：若杠杆上的两物体与支点的距离与其重量成反比，则杠杆平衡．后来人们把它归纳为“杠杆原理”：阻力阻力臂动力动力臂．已知阻力和阻力臂分别为和，当动力为时，动力臂是___________． 【答案】 【分析】设动力臂是，根据杠杆原理“阻力阻力臂动力动力臂”列出一元一次方程，解方程即可得到结果． 【详解】解：设动力臂是， 由题意得：， 解得， 所以动力臂是． 13．已知连续三个奇数之和为93，则最大的奇数是________． 【答案】33 【详解】解：设连续三个奇数按从小到大顺序为, 则由题意得， 解得， 故最大奇数为． 14．一家商店在销售某种服装（每件的标价相同）时，按这种服装每件标价的八折销售10件的销售额，与按这种服装每件的标价降低40元销售16件的销售额相等，求这种服装每件的标价． 【答案】这种服装每件的标价是80元 【分析】设这种服装每件的标价是元，根据题意建立一元一次方程，解方程即可． 【详解】解：设这种服装每件的标价是元， 由题意得：， 解得， 答：这种服装每件的标价是80元． 15．智能机器人分拣货物，每分钟可分拣件货物，机器人先单独工作一段时间，之后人工辅助分拣货物，每分钟共分拣件．若总共用时50分钟，一共分拣件货物，求机器人单独工作的时长． 【答案】机器人单独工作的时长为分钟 【分析】设机器人单独工作的时长为分钟，则人工辅助分拣货物的时长为分钟，根据题意建立一元一次方程，解方程即可． 【详解】解：设机器人单独工作的时长为分钟，则人工辅助分拣货物的时长为分钟， 由题意得：， 解得， 答：机器人单独工作的时长为分钟． 素养提升 1．《算法统宗》中有一道题：原文是：“牧童分杏各争竞，不知人数不知杏．三人五个多十枚，四人八枚两个剩．问：有几个牧童几个杏？”题目大意：牧童们要分一堆杏，不知道人数也不知道有多少个杏．若3人一组，每组5个杏，则多10个杏；若4人一组，每组8个杏，则多2个杏．有多少个牧童、多少个杏？设共有x个杏，可列方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】牧童总人数不变，用杏的总数分别表示两种分法下的总人数，即可列出方程． 【详解】解：设共有个杏，牧童总人数固定不变， ∵第一种分法中，3人分5个杏，多10个杏，分掉的杏数为，每5个杏对应3个牧童， ∴总牧童人数为， ∵第二种分法中，4人分8个杏，多2个杏，分掉的杏数为，每8个杏对应4个牧童， ∴总牧童人数为， ∵总人数相等， ∴． 2．将整数1至2026按一定规律排列如下表所示： 平移表中带阴影的方框，方框中三个数的和可能是（） A．63 B．2022 C．2024 D．2026 【答案】B 【分析】设连续的三个数为，，，再结合数表限制条件分析和的可能取值． 【详解】解：设连续的三个数为，，， 则， A．，，但21右边没有其它的数，故不符合题意； B．，，，674是97行左起第2个数，符合题意； C．，，故不符合题意； D．，，故不符合题意． 二、填空题 3．小智阅读一本科普图书，原来每天阅读页，读完页后，每天抽出一定的时间练钢笔字，每天阅读量降为原来的一半，结果多花了天才读完，则这本科普图书共有________页． 【答案】 【分析】设这本科普图书的总页数为页，根据时间差为天列出方程，求解即可． 【详解】解：设这本科普图书的总页数为页，根据题意列方程得： 去分母得： 合并同类项得： 解得： 答：这本科普图书共有页． 4．在弹性限度内，弹簧的长度随所挂物体的质量的增加而增长，经过实验与测量，得到弹簧的长度与所挂物体的质量之间的对应关系如下表；若弹簧的长度是，则所挂物体的质量是______． 物体的质量 1 2 3 4 5 弹簧的长度 13 13.5 14 14.5 15 【答案】12 【分析】先根据表格数据得到弹簧长度与所挂物体质量的变化规律，再列出方程解答即可． 【详解】解：由表格数据可知，物体质量每增加，弹簧长度增加， 设所挂物体的质量为， 则：， 解得， ∴若弹簧的长度是，则所挂物体的质量是． 5．《孙子算经》中有这样一道题：今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸，屈绳量之，不足一尺，问几何．意思是：用一根绳子去量一根木头，绳子余尺，将绳子对折再量木头，木头剩余1尺，问木头长多少尺．请你解决这个问题． 【答案】尺 【分析】设木头长x尺，根据“不同测量方法中绳长不变”列方程求解即可． 【详解】解：设木头长x尺， 根据题意，得， 解得， 答：木头长尺． 6．某水果店主营两款应季荔枝：妃子笑和糯米糍．已知妃子笑荔枝进价每千克25元，糯米糍荔枝每千克进价30元，老板首次采购共花费5300元，采购妃子笑荔枝的千克数比糯米糍荔枝的千克数的2倍还多20千克． (1)求首次购进妃子笑荔枝和糯米糍荔枝各多少千克？ (2)若妃子笑荔枝每千克售价40元，糯米糍荔枝每千克售价50元，当首次荔枝货品全部售完后，共获利多少元？ (3)由于糯米糍荔枝畅销，第二次采购时，妃子笑荔枝数量保持不变，糯米糍荔枝采购数量是第一次的4倍．根据（2）中的条件，妃子笑荔枝售价不变，糯米糍荔枝售价在此基础上计划打折出售，第二次总利润比首次总利润多1800元，求糯米糍荔枝是打几折销售？ 【答案】(1)首次购进妃子笑荔枝140千克，糯米糍荔枝60千克. (2)共获利3300元. (3)糯米糍荔枝是按原价打八五折销售 【分析】（1）设首次购进糯米糍荔枝x千克，则购进妃子笑荔枝千克，根据题意列出一元一次方程并求解，即可获得答案； （2）首先计算妃子笑和糯米糍每千克利润，然后进一步求解即可； （3）设糯米糍荔枝按原价打y折销售，结合题意可知第二次妃子笑数量为140千克，糯米糍数量为千克，且第二次总利润为元，然后根据题意列出一元一次方程并求解，即可获得答案． 【详解】（1）解：设首次购进糯米糍荔枝x千克，则购进妃子笑荔枝千克， 根据题意列方程得：， 整理得：，解得（千克）， ∴（千克）， 答：首次购进妃子笑荔枝140千克，糯米糍荔枝60千克； （2）妃子笑每千克利润为（元），糯米糍每千克利润为（元）， 则总利润为：（元）， 答：共获利3300元； （3）设糯米糍荔枝按原价打y折销售， 第二次妃子笑数量为140千克，糯米糍数量为（千克）， 第二次总利润为（元）， 根据题意列方程得：， 解得， 答：糯米糍荔枝是打八五折销售． 7．某电器商场计划用万元从生产厂家购进台电视机已知该厂家生产种不同型号的电视机，出厂价分别为种每台元，种每台元，种每台元． (1)若该商场只选购、两种电视机，各购买多少台？ (2)若商场销售一台种电视机可获利元，销售一台种电视机可获利元，销售一台种电视机可获利元，除了（1）的方案，该商场还有一种方案，购进种电视机台，种电视机台在同时购进两种不同型号的电视机方案中，为了使销售时获利最多，应选择哪种方案？ 【答案】(1)购进、两种电视机各台 (2)应选择购进种电视机台，种电视机台 【分析】（1）设购进A种电视机台，则B种为台，列方程求解即可； （2）求出两种方案的利润，再比较即可． 【详解】（1）解：设购进种电视机 台，则购进种电视机台， 由题意得，， 解得， 所以， 答：购进、两种电视机各台； （2）解：若购进、两种电视机各台，可获利（元） 若购进种电视机台，种电视机台，可获利（元） 因为， 所以为了获利最多，应选择方购进种电视机台，种电视机台． 8．某商店有A、B两种型号的节能灯，店主统计了3天的产品销售情况，如表： 统计日期 售出A型节能灯个数 售出B型节能灯个数 总售价 6月15日 0 1 50 6月16日 1 2 200 6月17日 5 5 750 (1)根据上表数据可得B型节能灯的单价 ． (2)根据上表数据，求A型节能灯的单价． (3)若商家A、B两种型号的节能灯共售出15个，总售价为1300元．那么售出的两种型号的节能灯各多少个？ 【答案】(1)50元/个 (2)A型节能灯的单价为100元/个 (3)售出的A型号的节能灯有11件，B型号的节能灯有4件 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，观察表格数据先推出B型节能灯单价，设A型节能灯的单价，根据6月16销售情况列关于的方程，解出即可求出A型节能灯单价；设A和B型节能灯的件数和，根据题意，列关于的方程，即可求出两种型号节能灯各自的件数． 【详解】（1）解：6月15日的销售情况可知，售出0个A型节能灯，1个B型节能灯，总售价为50元， B型节能灯的单价为50元/个． （2）解：设A型节能灯的单价为元/个，根据6月16日的销售情况，售出1个A型节能灯，2个B型节能灯，总售价为200元， 可列方程得， 解得， A型节能灯的单价为100元/个． （3）解：设售出A型节能灯个，则售出B型节能灯个，根据题意，可列方程得 ， 解得， ． 售出的A型号的节能灯有11个，B型号的节能灯有4个． 9．某眼镜厂生产一批眼镜，分两个车间进行，甲车间生产镜架，乙车间生产镜片．已知两个车间共有50名工人，且甲车间人数比乙车间人数的2倍少1人． (1)甲、乙两车间各有多少人？ (2)若每个工人平均每天可以生产镜架50个或镜片150片，一个镜架和两个镜片刚好配成一副眼镜，为使每天生产的镜架与镜片刚好配套，应如何调整两车间的人数？ 【答案】(1)甲车间有33人，乙车间有17人. (2)应从甲车间调3名工人到乙车间，使每天生产的镜架与镜片刚好配套. 【分析】（1）设乙车间有x人，则甲车间有人，结合两个车间共有50名工人，再建立方程求解即可； （2）设应从甲车间调名工人到乙车间，使每天生产的镜架与镜片刚好配套，利用一个镜架和两个镜片刚好配成一副眼镜，再建立方程求解即可. 【详解】（1）解：设乙车间有x人，则甲车间有人， 根据题意，得． 解得． 所以． 答：甲车间有33人，乙车间有17人. （2）解：设应从甲车间调名工人到乙车间，使每天生产的镜架与镜片刚好配套， ∴， 解得：， 答：应从甲车间调3名工人到乙车间，使每天生产的镜架与镜片刚好配套. 10．为进一步提升城市形象，驱动消费，长沙某地准备开展音乐节活动．长沙文旅计划组织140名志愿者参与服务．志愿者分为引导组和物资组，其中引导组6人一组，物资组8人一组，总组数比引导组多10组． (1)求引导组和物资组各有多少人？ (2)本次活动需租用A、B两种型号车辆一次性接送，它们的载客量和租金如下表所示：若租用同一种型号车辆，使每位志愿者都有座位，应怎样租用才合算？ A型车辆 B型车辆 载客量（人/辆） 20 15 租金（元/辆） 200 150 【答案】(1)引导组60人，物资组80人 (2)租用7辆A型车 【分析】（1）设引导组有人，根据“引导组6人一组，物资组8人一组，总组数比引导组多10组”，列一元一次方程求解即可； （2）分别求出租用两种型号车辆的费用，比较大小即可． 【详解】（1）解：设引导组有人，物资组有人， 由题意得：， 解得：， 则（人）， 答：引导组60人，物资组80人 （2）解：若租用A型车辆，则需要租用（辆），费用为（元）， 若租用B型车辆，（辆），即需要租用辆，费用为（元）， 因为， 所以租用7辆A型车合算． 迁移创新、 1．探索与表达规律 (1)将连续奇数1，3，5，7，9，…，排成如图1所示的数表，十字形框上下左右移动，十字形框中的五个数之和与中间数之间总保持何种关系：____________； (2)【变式探究】如图2所示的数表，十字形框上下左右移动，十字形框中的五个数之和与中间数之间是否还有图1中的关系，并说明理由； (3)【拓展延伸】如图3所示的数表，记表示第行第个数，如表示第2行第3个数是17． ①________； ②在数表中的字形框上下左右移动，字形框中的四个数之和能否等于296．若能，求出四个数中的最大数；若不能，请说明理由． 【答案】(1)十字形框中的五个数之和是中间数的5倍； (2)是，十字形框中的五个数之和是中间数的5倍，理由如下： 设中间数为，则十字形框中的其余四个数分别是，，，， ， ∴十字形框中的五个数之和是中间数的5倍； (3)①55； ②字形框中的四个数之和不能等于296，理由如下： 假设字形框中的四个数之和能等于296，设字形框中的上行中间数为，则其余三个数分别是，， 根据题意得：，解得：， 由图可知第行最后一个数为， 解得， 即71是第六行最后一个数， ∴假设不成立，即字形框中的四个数之和不能等于296． 【分析】（1）根据图形，表示出各数，列出关系式即可； （2）根据图形，表示出各数，列出关系式即可； （3）①根据定义作答即可； ②先设出中间数据，表示出其余数据，然后根据总数列出方程，进行验证即可． 【详解】（1）解：设中间数a， ∴其余4个数为， ∴十字形框中的五个数之和， 即十字形框中的五个数之和是中间数的5倍； （2）略； （3）解：①表示的数为第5行第4个数， 已知第四行最后一个数为47， ∴； ②略． 2．如图，将一条数轴在原点和点处各折一下，得到一条“折线数轴”．图中点表示-8，点表示6，点表示12，我们称点和点在“折线数轴”上相距20个单位长度．动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着“折线数轴”的正方向运动，从点运动到点期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速，当点到达终点时停止运动；点出发的同时，动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿着“折线数轴”的负方向运动，从点运动到点期间速度变为原来的2倍，之后也立刻恢复原速．当点停止运动时，点也随之停止．设点的运动的时间为秒． (1)动点从点运动至点需要 秒： (2)当时，点在“折线数轴”上所对应的数是 ，P、Q两点在“折线数轴”上相距 个单位长度： (3)当P、Q两点在“折线数轴”上相遇时，求的值； (4)当O、P两点在“折线数轴”上相距的长度小于B、Q两点在“折线数轴”上相距的长度时，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)； (3) (4)或 【分析】（1）计算P从A到C的总时间时，分段计算A到O、O到B、B到C的运动时间，求和即可； （2）求t为定值时P、Q的位置及两点距离，先判断t对应两个动点各自的运动阶段，再分别计算对应坐标，用折线数轴的距离规则计算两点距离； （3）求相遇时间时，判断相遇所在的时间区间，根据该区间内两点的位置表达式列等式求解； （4）求距离小于距离的范围时，分区间写出、的长度表达式，列不等式求解，再合并各区间的解集． 【详解】（1）段：长度，时间秒； 段：长度，时间秒； 段：长度，时间秒； 总时间：秒． （2）对：用秒到达，剩余秒在段运动，走了个单位，对应数为； 对：用秒到达，剩余秒在段运动，走了个单位，对应数为； 距离：； （3）相遇时、路程和为总长，分区间讨论： ①当点在上运动时，且点在上运动，即时， 故无法相遇，舍去； ②当点在上运动时，且点在上运动时，即时， 故无法相遇，舍去； ③当点在上运动时，且点在上运动时，即时， ∴， 解得； 当时，不再相遇； 故． （4）①当点在上运动时，且点在上运动，即时， ，， ∴， 解得， ∴； ②当点在上运动时，且点在上运动，即时， ，， ， 解得， ∴； ③当点在上运动时，且点在上运动时，即时， ，， ∴， 解得， ∴； ④当点在上运动时，且点在上运动时，即时， ，， ∴，恒成立， 故； ⑤当点在上运动时，且点在上运动时，即时， ，， ∴， 解得， ∴； 综上所述，或． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $