高中数学经典题型全解析：第6课 指数对数函数 专项训练-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 以“概念-运算-图象-性质-思想-应用”为逻辑主线，系统整合指数、对数与幂函数专项内容，通过典例变式结合评注提炼解题方法，注重数学思维与核心素养培养。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |指数对数运算法则|7典例+28变式|根式与指数互化、对数恒等式、换底公式应用|从定义推导运算法则，结合实际问题强化应用| |函数概念与图象|6典例+23变式|定义域值域辨析、图象平移与定点问题|概念→图象特征→性质应用的递进关系| |函数性质|3典例+19变式|复合函数单调性判断、奇偶性证明|从基本性质到复合函数，渗透数形结合思想| |换元与转化策略|6典例+26变式|整体换元法、两边取对数法|通过变量代换实现复杂问题简单化| |比较大小|5典例+17变式|单调性法、媒介法、构造函数法|整合函数性质与代数变形技巧，培养逻辑推理|

第六课 指数、对数函数与幂函数 【目录】 1 学科网（北京）股份有限公司 1. 指数、对数的运算法则 1.1指数的运算法则 1.2对数的运算法则 1.3 对数的基本运算性质 1.4对数恒等式的应用 1.5妙用对数的换底公式 1.6 含有条件的代数式的化简 1.7一个含有指数幂的分式函数 2.指数、对数与幂函数的概念 2.1 幂函数的定义 2.2指数函数的定义 2.3函数的值的计算 2.4对数函数的定义域的特殊性 2.5 偶次方根的被开方式大于等于0 2.6函数的定义域为R与值域为R的区分 3．指数函数、对数函数和幂函数的图象 3.1幂函数的图象 3.2对数函数的图象 3.3指数函数的图象 3.4函数恒过定点的应用 3.5函数图象的平移变换 3.6用函数图象研究含有指数对数不等式恒成立 4. 两种特殊的函数 4.1 区间长度与函数的等高线 4.2函数y=|logax|的一个重要性质 4.3指数复合函数的性质 5.指数函数、对数函数和幂函数的性质 5.1幂函数的单调性与奇偶性 5.2 对数函数及其复合函数的单调性与奇偶性 5.3指数函数及其复合函数的单调性与奇偶性 5.4利用函数单调性解不等式 6.整体换元思想在解题中的应用 6.1换元法求含有指数幂的函数的值域 6.2利用对数运算法则对实施“分而治之” 6.3整体（换元）法解指数对数方程 6.4整体（换元）法解不等式 6.5 整体换元法研究不等式恒成立问题 6.6 双变量的问题与函数值域的关系 7.指数、对数与幂函数的转化策略 7.1 两边取对数研究含有指数的不等式 7.2两边取对数策略处理形如的问题 7.3函数与互为反函数的应用 8. 比较大小 8.1 充分利用函数的单调性 8.2寻求媒介比较大小 8.3析出整数，变换底数，放缩真数 8.4 作差作商，放缩变形 8.5*构造函数比较大小 1．指数、对数的运算法则 1．1指数的运算法则 【典例】化简： ． 【解析】易知实数， 原式= =． 【评注】(1)将根式化为分数指数幂、负指数幂化正指数幂，注意运算顺序，正确运用幂的运算性质——同底数的幂与幂的乘方变形化简．(2)注意偶次方根或者分数指数的分子是偶数的指数幂的运算，底数是负数的时候，要首先处理负号. 【变式1】化简下列各式：(1)；（2）. 【变式2】计算：. 【变式3】化简. 【变式4】设函数， ，，则 ． 【典例2】某食品的保鲜时间(单位：小时)与储藏温度(单位：℃)满足函数关系(为自然对数的底数，为常数)．若该食品在℃的保鲜时间是小时，在℃的保鲜时间是小时，则该食品在℃的保鲜时间是 ( ) A．16小时 B．20小时 C．24小时 D．21小时 【解析】由题意得，，两式相除，得，， 当,， 所以该食品在33的保鲜时间是24小时．应选C． 【评注】计算需利用整体思想，分别求出的值，不一定要分别计算两个字母的值. 【变式1】某工厂产生的废气经过过滤后排放，排放时污染物的含量不得超过1%.已知在过滤过程中废气中的污染物数量P(单位：毫克/升)与过滤时间t(单位：小时)之间的函数关系为：P＝(k，均为正的常数)．若在前5个小时的过滤过程中污染物被排除了90%.那么，至少还需过滤________才可以排放．(　　) A.小时 B.小时 C．5小时 D．10小时 【变式2*】 目前市场上某进口轿车的销售单价为36万元，此外一辆轿车一年的养路费、保险费、汽油费、年检费、驾驶员工资等约6万元，同时年折旧率约为10%（即这辆车每年减少它的价值的10%），大约多少年后，花费在该车上的费用就达到36万元？ 1.2对数的运算法则 【典例*】设，若p=f()，q=f()，r=(f(a)+f(b))，则下列关系式中正确的是（ ） A． B． C． D． 【解析】因为， 又，在上为增函数， 所以 ，故选C． 【评注】对数的运算法则, ， （且，）. 【变式1】已知为正实数,则 （ ） A． B． C． D． 【变式2】＝ ． 【变式3】若，且，计算_______． 【变式4】 已知函数f(x)＝ax2＋2x＋b的值域为[0，＋∞)，则 ． 【变式5】设，则_______． 【变式6】已知g(x)是奇函数，，求 _______． 【变式7】设，，均为大于1的实数，且为和的等比中项，则的最小值为 　　 ． 1.3 对数的基本运算性质 【典例】计算： 【解析】 . 【评注】在对数的运算性质中，若，则具有“互补性”，即. 【变式1】 . 【变式2】计算lg2·lg50+lg5·lg20-2lg2·lg5=_______． 【变式3】解方程． 【变式4】设函数在R上是奇函数，当，，求 ． 1．4对数恒等式的应用 【典例1】求值= 【解析】由对数恒等式可知，． 【评注】对数恒等式，. 【变式1】计算： ， ． 【变式2】计算： ． 【变式3】已知函数满足：x≥4时,＝；x＜4时，＝, 则 ． 【典例2】已知均为正数，且，求证： 【证明】设，，对这两个等式的两边取以为底数的对数， 可得，，所以，即， 所以，． 【评注】证明指数恒等式，常常将等式两边取对数，变形为两个对数乘积的形式。同时注重公式的运用，通过等式，可以实现指数的底数的转换，最终实现不同底数的指数幂之间可以进行运算． 【变式1】解关于的方程1. 【变式2】解关于方程0. 【变式3】计算． 【变式4】解关于的方程：． 1．5妙用对数的换底公式 【典例】设a>0，a≠1，正数x，y满足，则的最小值为 ． 【解析】由换底公式得，整理得 ， 所以 ． 所以，当logax＝，即时，logay取得最小值． 【评注】两个变量满足的关系式，注意目标意识，借助换底公式． 解出整体变量logay，构建含logax的二次函数，配方化为二次函数在区间上的最值求解，凸显换底公式化统一的功能， 这也是简化解决函数最值问题一条重要的途径． 【变式1】求值:（）·（4）． 【变式2】求值: ． 【变式3】利用换底公式证明: ． 【变式4】设a, b, c均为不等于1的正实数, 则下列等式中恒成立的是（　　） A． B． C． D． 【变式5】比较大小. 1.6 含有条件的代数式的化简 【典例】若，则 ． 【解析】由，得，于是 （开方法）：，所以，故． （平方法）：，又， 而，则 【评注】因为互为倒数，所以 ，可以利用整体思想，将所求式子平方，即可求解. 【变式1】若，则 ． 【变式2】若，求的值． 【变式3】已知求的值． 1.7一个含有指数幂的分式函数 【典例】设，则的值（ ） A． B． C． D． 【解析】因为 = = =. 所以，. 所以， 原式=.故选D. 【评注】从求和的整体形式特征，可猜测到 =，而它们有共同的特点：.故一般化计算：常数. 【变式1】已知，若则 . 【变式2】函数记 则= . 【变式3*】设，利用课本中推导等差数列前项和公式的方法，可求得的值为 . 【变式4】 若（），则 . 2.指数、对数与幂函数的概念 2．1 幂函数的定义 【典例】幂函数是偶函数，且在上为增函数，则函数f(x)解析式为 ． 【解析】∵是幂函数， ∴，解得． 当时，是奇函数，不合题意； 当时，是偶函数，在上为增函数； 当时；是偶函数，在上为增函数． 综上，或． 【评注】形如y＝xα的函数叫做幂函数，这是一种“形式定义”的函数，其底数为变量，指数为常数，满足三个特征：① 幂xα的系数为1；② 底数只能是自变量x，指数是常数；③ 项数只有一项．只有满足这三个特征，才是幂函数． 【变式1】已知函数是幂函数，且x∈(0，＋∞)时，f(x)是增函数，则m的值为 (　　) A．－1　 　B．2 C．－1或2　　 D．3 【变式2】若函数是幂函数，且满足f(4)＝3f(2)，则f()的值等于 ． 【变式3】已知幂函数的图象经过，则= ． 2.2指数函数的定义 【典例*】下列结论正确的序号是： （1）函数是指数函数；（2）函数是正弦函数； （3）函数是幂函数；（4）函数是指数函数，则2． 【解析】(1)(2)(3)均不符合相应函数的定义，其中是正弦函数. 对于（4），由得， 故正确的是(4). 【评注】指数函数是形如且的函数，其特征是系数为1，底数为常数，指数为自变量． 【变式1】下列函数一定是指数函数的是（ ） A．形如y=ax的函数 B.y=xa(a>0且a1) C.y=(|a|+2)-x D.y=(a-2)ax 【变式2*】命题P：函数是R上的减函数．若命题P是假命题，则实数的取值范围是 ． 【变式3】已知指数函数y＝f(x)过点(2,4)， 若函数为奇函数，则b= ． 2.3函数的值的计算 【典例】设函数则满足的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【解析】当时，，显然； 当时，。若,必须满足，所以． 因此，． 【评注】分段函数多重求值其实就是复合函数的典型问题，应注意从最内层函数值逐层“破茧”而出，求得对应的表示式或值． 【变式1】已知函数满足，那么等于 . 【变式2】已知函数满足，那么等于 . 【变式3】设，则 . 【变式4】已知函数,则 ． 【变式5】设函数，若，则 ． 2.4对数函数的定义域的特殊性 【典例】已知函数在其定义域内为增函数，则满足的实数的取值范围为 ． 【解析】等价于,则， 即且且, 所以，实数的取值范围． 【评注】对数函数的真数必须大于零，这一点往往被忽视，尤其是在处理其他问题中，更容易忽视这个隐含条件. 【变式1*】“”是“”成立的 条件（用“充要”“充分不必要”“必要不充分”“既不充分也不必要”填空） 【变式2】函数的定义域为 ． 【变式3】 函数的定义域为 ． 【变式4】设，则不等式的解集为 ． 【变式5】已知定义在集合上的函数，其值域为，则 ． 【变式6*】已知f(x)＝log2(x－2)，若实数m，n满足f(m)＋f(2n)＝3，则m＋n的最小值为________． 2.5 偶次方根的被开方式大于等于零 【典例】若则实数m的取值范围是__________． 【解析】因为函数的定义域为[0，＋∞)，且在定义域内为增函数， 所以不等式等价于 解2m＋1≥0，得m≥－； 解m2＋m－1≥0，得m≤或m≥. 解2m＋1>m2＋m－1，得－1<m<2， 综上所述，. 【评注】由于我们对于分数指数幂的本质理解不太熟练，遇到分数指数幂或者指数为负数的指数幂，一般要把它改编成较为普通的形式，如，. 【变式1】幂函数的定义域为（ ） A .R B. C. D.以上皆错 【变式2】已知函数的定义域是（ ） A． B. C. D.(0,2) 【变式3】已知幂函数，若，则a的取值范围是 . 【变式4】若，则实数a的取值范围是 . 2.6函数的定义域为R与值域为R的区分 【典例1】若函数的定义域为R，则实数a的取值范围是 ． 【解析】当时，符合题意； 当时，欲使成立，，解得， 所以实数a的取值范围是. 【评注】 对数函数的定义域为R等价于在R上恒成立. 【变式1】已知函数的定义域为R，求的取值范围为 ． 【变式2】若函数的定义域为，求实数的值为 ． 【典例2】已知函数若的值域为，求实数的取值范围. 【解析】设,因为的值域为 , ∴只要能取到上的任何实数即满足要求. 若，则； 若，则，当满足要求； 当（不合题意，舍去）． 综上所述：． 【评注】当对数函数的定义域是时，值域为R；当对数函数的值域是R时，真数取遍所有正实数. 【变式1】已知函数的值域为R，求的取值范围为 ． 【变式2】已知函数的值域为R，则实数的取值范围为 ． 【变式3】已知函数的值域为R，则实数的范围为 ． 【变式4】若函数f(x)＝log(ax+ax+1)的值域为R，则实数a的取值范围是 ． 3．指数函数、对数函数和幂函数的图象 3.1幂函数的图象 【典例】若函数 (m，n∈N*，m，n互质)的图象如图所示，则(　　) A．m，n是奇数，且<1 B． m是偶数，n是奇数且>1 C．m是偶数，n是奇数且<1 D．m是奇数，n是偶数且>1 【解析】将分数指数式化为根式的形式为， 由定义域为R，值域为[0，＋∞)，且为偶函数，知n为奇数，m为偶数． 在幂函数中，当α>1时，图象在第一象限的部分下凸， 当0<α<1时，图象在第一象限的部分上凸， 故选C． 【评注】研究幂函数的图象时,第一步先处理解析式 ,由便可确定,第二步先完成函数第一象限部分的图象,再根据定义域和奇偶性完成函数的图象,从而可判断函数的定义域、值域、单调性,凹凸性等性质． 【变式1】若幂函数在第一象限的图象如图示，则、、、的大小关系为 ． 【变式2】已知幂函数的图象与轴、轴都无交点，且关于轴对称，则函数的解析式是 ． 【变式3】已知幂函数，当取不同的正数时，在区间上它们的图象是一簇美丽的曲线，如图所示．设点，连接，线段恰好被其中两个幂函数图象三等分，即有，那么 ． 3.2 对数函数的图象 【典例】设方程的两个根分别为，则下列判断 ①，②；③；④中， 正确的是________． 【解析】构造函数与，并作出它们的图象，如图所示． 因为是的两个根，则两个函数图象交点的横坐标分别为， 不妨设，则 因此因为 所以，即，④正确． 【评注】研究对数函数图象时，注意对数函数的图象恒过点（1,0）和（a,1）,再根据底数a的范围确定函数的单调性，画出函数的图象. 【变式1】如图，曲线是对数函数的图象，已知的取值，则相应于曲线C1,C2,C3,C4的值依次为(    )． 　　（A） （B）           （C） （D） 【变式2】函数y＝ln(1－x)的图象大致为(　　) 【变式3】若点(a,b)在y=lgx图象上，a1，则下列点也在此图象上的是（　） （A） （B） （C） （D） 【变式4】若是图象上不同两点,则下列各点一定在图象上的是( ) A. B. C. D. 【变式5】如图，函数的图象为折线，则不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 3.3 指数函数的图象 【典例*】已知函数f(x)＝若方程f(x)－kx＝1有两个不同实根，则实数k的取值范围为(　　) A B. C. D. 【解析】将f(x)的图象画出，如图，则可知当x≤1时，f′(x)＝ex，f′(0)＝1. 又方程f(x)－kx＝1等价于f(x)＝kx＋1，方程有两个不同实根等价于f(x)的图象与直线y＝kx＋1有两个不同的交点，故可知实数k的取值范围是．故选D． 【评注】研究指数函数图象时，注意指数函数的图象恒过点（0,1）和（1,a）,再根据底数a的范围确定函数的单调性，画出函数的图象. 【变式1】直线x=a(a>0)与函数 的图象依次交于A、B、C、D四点，则这四点从上到下的排列次序是 【变式2】已知函数f(x)=(x-a)(x-b)（其中a>b）的图象如下面右图所示，则函数g(x)=ax+b的图象是( ) A． 　B． 　C． 　 D． 【变式3】函数图象与x轴交点个数为___________． 【变式4】函数图象与x轴交点个数是__________． 【变式5】已知函数,,的零点分别是，则它们的大小关系是 【变式6】已知函数若函数g(x)＝f (x)－m与x轴有3个交点，则实数m的取值范围是 ． 3.4函数恒过定点的应用 【典例】已知函数（且），则函数恒过定点 ． 【解析】令，解得，所以，则函数恒过定点． 【评注】对于，因为，可见函数图象必过；同理指数函数，满足，指数函数图象过点．判断对数函数指数函数过定点，主要依据就是两个恒等式：． 【变式1】函数的图象恒过定点P，则点P的坐标是（ ） A．（1,5） B.(1,4) C.(0,4) D.(4,0) 【变式2】函数（且）恒过点（1，10），则m= ． 【变式3】函数f(x)=4+log2(x-1)恒过定点Q，则Q的坐标为 ． 【变式4】若0<a<1,则函数y=loga(x+5)的图象不经过（ ） A．第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【变式5】已知幂函数的图象过点，则 【变式6*】函数的图象恒过定点，若点在直线上，则的最小值为 ． 【变式7*】函数（且）的图象恒过定点，若点在一次函数的图象上，其中，则的最小值为 ． 3.5函数图象的平移变换 【典例】说明由函数的图象经过怎样的图象变换得到函数的图象． 【解析】（法1）（1）将函数的图象向右平移3个单位，得到函数的图象； （2）作出函数的图象关于轴对称的图象，得到函数的图象； （3）把函数的图象向上平移1个单位，得到函数的图象． （法2）（1）作出函数的图象关于轴的对称图象，得到的图象； （2）把函数的图象向左平移3个单位，得到的图象； （3）把函数的图象向上平移1个单位，得到函数的图象． 【评注】函数图象左右平移（沿x轴方向），则x的变化为“左加右减”；函数图象上下平移（沿y轴），则y的值“上加下减”. 【变式1】下列命题正确的是　　　　． （1）函数的图象是一条直线； （2）函数的图象可以通过指数函数y=2x图象平移若干单位得到； （3）已知集合，则的元素个数是3； （4）函数的定义域是． 【变式2】要得到函数y＝的图象，只需将函数y＝的图象(　　) A. 向右平移3个单位 B. 向左平移3个单位 C. 向右平移8个单位 D. 向左平移8个单位 【变式3】把下面不完整的命题补充完整，并使之成为真命题： 若函数的图象与的图象关于 对称，则函数= .（注：填上你认为可以成为真命题的一件情形即可，不必考虑所有可能的情形）. 3.6用函数图象研究含有指数对数不等式恒成立 【典例】当时，恒成立，则实数的取值范围是 . 【解析】因为，故.若，则，显然不符. 故，则函数递减，递增，作出函数与的图象， 则在的上方，故，即， 因此，实数的取值范围是. 【评注】不等式恒成立，从图形的角度看，等价于两个函数图像之间的覆盖问题 【变式1】当时，恒成立，求实数的取值范围是_____________. 【变式2】.当x∈(1,2)，不等式(x－1)2<logax,则a的取值范围是_____________. 【变式3】若不等式在内恒成立，求实数的取值范围. 4. 两种特殊的函数 4.1区间长度与函数的等高线 【典例】已知函数y=|log0.5x|的定义域为，值域为，则区间的长度的最大值与最小值的差为______． 【解析】显然，由|log0.5x|=2得或， 当时，； 当时，. 所以，当时，区间长度最小为； 当时，区间长度最大为. 故区间的长度的最大值与最小值的差为. 【评注】通常定义区间的长度为．确定区间长度的最值既要明确值域中的每一个元素都是定义域中的元素的对应值，更要有运动变化的思想. 【变式1】若，定义域为，值域为，则区间的长度的最大值与最小值的差为______． 【变式2】若，定义域为，值域为，则区间的长度的最大值与最小值的差为______． 【变式3】若的定义域为，值域为，则的最小值为(　　) A. 　　 B. 　 C. 　 D. 【变式4】函数在区间[a，b]上的值域为[0,1]，则b－a的最小值为________． 4.2函数y=|logax|的一个重要性质 【典例1*】已知函数，，，则的最小值等于 【解析】由题意得； 则 （当且仅当时取等号） 【评注】对于函数，若满足，且，则必定满足，这是一个重要的隐含条件。 【变式1】已知函数，正实数满足，且，若在区间上的最大值为2，则 . 【变式2】设函数，若，且，求证：． 【变式3】已知，，,则的取值范围是 . 【典例2】已知，若关于的方程有四个实根，则这四根之积的取值范围是 . 【解析】画函数的图象， 由图知： 有四个实根的条件为.设四个实根， 当时得，所以, 当时得知，∴ ∵∴。 于是，. 【评注】对于函数满足则；遇到二次方程要注意根与系数关系确定的值；直线的高度受到四个根的限制. 【变式1】已知函数，若，，均不相等，且 ，则的取值范围是 . 【变式2】已知函数，若存在实数满足其中，则的取值范围是 . 【变式3】已知，若关于的方程有四个实根，则这四根之和的取值范围是 . 4.3指数复合函数的性质 【典例1】函数y＝a|x|(a＞1)的图象是(　　) 【解析】y＝a|x|＝ 当x≥0时，与指数函数y＝ax(a＞1)的图象相同； 当x＜0时，y＝a－x与y＝ax的图象关于y轴对称，由此判断B正确． 故选B. 【评注】对于函数的图象，由于其含有绝对值符号，故需要分类讨论，分类标准是根据绝对值内部的数的正负确定.建议先作对称轴右侧的图象，再对称作出左侧图象. 【变式1】已知定义在R上的函数（m为实数）为偶函数，记，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【变式2】已知定义在R上的函数为实数）是偶函数，记,则,的大小关系为（ ） A． B． C． D． 【变式3】若实数满足，则关于的函数图象的大致形状是(　　) 【变式4】设函数在内有定义，定义函数，取函数．求函数的单调递增区间为 ． 【典例2】若函数满足，且在单调递增，则实数的最小值等于_______． 【解析】函数的图象关于直线对称， 又有得函数的图象关于直线对称， 故，则. 由复合函数单调性得在递增， 故，所以实数的最小值等于． 【评注】函数的图象关于直线对称，利用函数的对称性可确定的值，利用复合函数的单调性（内外函数 “同增异减”）确定函数单调区间,从而求得参数取值范围. 【变式1】函数在单调增，则实数的取值范围是 【变式2】函数在单调增，则实数的取值范围是 【变式3】函数在单调增，则实数的取值范围是 【变式4】若函数（为常数）在区间上是增函数，则的取值范围是 ． 【变式5】已知函数f(x)＝e|x-a|(a为常数)，若f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数，则a的取值范围是________． 【变式6】已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间（-，0）上单调递增.若实数a满足，则a的取值范围是______. 【典例3】已知函数和函数． (1)若方程在恒有惟一解，求实数的取值范围； （2）若对任意，均存在，使得成立，求实数m的取值范围． 【解析】(1)由得，|x-m|=|m|，平方得x=0或x=2m, 所以2m<-4或2m=0,解得m<-2或m=0. (2)由题知f(x)的值域是g(x)值域的子集. 当m>8时，f(x)在单调减， 故f(x)f(4)=2m-4,g(x)在，g(x) g(m)=2m-8, 所以，2m-42m-8，解得; 当时，f(x)在单调减， 故f(x)f(4)=2m-4, g(x)在，g(x) g(m)=2m-8, 所以，2m-42m-8，解得或; 当时，f(x)在， 故f(x)f(m)=1, g(x)在增，g(x) g(4)=8-2m， 所以8-2m1,解得. 当时，f(x)在， 故f(x)f(m)=1, g(x)在增，g(x) g(4)=8-2m， 所以8-2m1,解得.舍去. 综上，. 【评注】先由双元问题转化为求函数值域问题，再通过讨论参数m的范围求得函数和的值域. 【变式1】函数的值域是 ． 【变式2】已知函数的定义域为，值域为[1,2]，则区间的长度的最大值与最小值的差为_______． 5.指数函数、对数函数和幂函数的性质 5.1幂函数的单调性与奇偶性 【典例】幂函数是偶函数，且在是减函数，则整数的值是 ． 【解析】由题设得（为负整数），讨论知： 当时，解得或； 当时，解得或； 其他情形不适合．故所求整数的值是． 【评注】所有的幂函数在（0，+∞）上都有定义，并且图象都过点（1，1）； 当时，幂函数的图象通过原点，并且在区间上是增函数．特别地，当时，幂函数的图象下凸；当时，幂函数的图象上凸； 当 时，幂函数的定义域，其图象关于y轴对称，且不过、轴； 当 时，幂函数的图象在区间上是减函数．在第一象限内，当从右边趋向原点时，图象在轴右方无限地逼近轴正半轴，当趋于时，图象在轴上方无限地逼近轴正半轴． 【变式1】下列函数中，定义域是且为增函数的是(　　) A． B． C． D． 【变式2】设，则使函数的定义域为且为奇函数的所有的值为 ． 【变式3】下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是(　　) A． B． C． D． 【变式4】已知幂函数与的图象与、轴都没有公共点，且的图象关于轴对称，则的值为 ． 【变式5】对于函数，若实数m,n满足，则的取值范围为 ． 【变式6】已知函数为幂函数，且为奇函数． (1)求的值； (2)求函数在时的值域． 5.2 对数函数及其复合函数的单调性与奇偶性 【典例1】求函数的最大值和最小值． 【解析】，， 所以该函数为奇函数．在上是单调增函数， 所以g(x)在[0,2]上单调递增，所以f(x) 在[0,2]上单调递增， 根据奇函数的对称性，得函数f(x)在上单调增， 所以． 【评注】对数函数的复合函数定义域关于原点对称下常常是奇函数，如函数等，可以结合利用证明．一个函数是奇函数，那么只需要研究它在上的单调性，便可判断其定义域上的单调性，这样，结合单调性易求相应函数的最值． 【变式1】下列结论正确的是___________． （1）函数与函数的定义域相同；（2）函数是奇函数； （3）函数是奇函数；（4）函数在上是增函数； （5）函数在上是减函数；（6）幂函数y=x-1是定义域上的减函数. 【变式2】判断函数在定义域内的单调性. 【变式3】已知函数则（　 ） A． 　　　　 B． 　　　　　 C． 　　　　　 D． 【典例2】已知函数的最大值和最小值分别是M和m，则M+m= ． 【解析】因为为增函数，又奇函数且为增函数，所以在上是增函数，所以，，=，，所以M+m=4． 【评注】奇函数函数定义域为R，因为，可见，对于函数，很容易得到，因此这种函数是奇函数．对于函数在上应为单调增，f(x)在上增，而为奇函数，所以该函数在R上单调递增． 【变式1】设函数，则 是( ) A．奇函数，且在（0,1）上是增函数 B．奇函数，且在（0,1）上是减函数 C．偶函数，且在（0,1）上是增函数 D．偶函数，且在（0,1）上是减函数 【变式2】函数的奇偶性是 ． 【变式3】若函数f(x)=为偶函数，则 ． 【变式4】函数的最大值和最小值分别为M和m，则= ． 【变式5*】设，则对任意实数，“”是“” 的 ．（填“充要条件”“充分不必要条件”“必要不充分条件”“既不充分也不必要”之一） 【变式6】设函数，若函数的最大值是M，最小值是m，则M+m= ． 【变式7】已知函数且． （1）求的定义域； （2）判断的奇偶性并予以证明； （3）若时，求使>的的集合． 5.3指数函数及其复合函数的单调性与奇偶性 【典例】已知函数f(x)=(ax－a-x)(a>0且a≠1)， （1）f(x)是R上的增函数，求a的取值范围. (2)讨论函数的奇偶性. 【解析】 （1）f(x)的定义域为R，设x1、x2∈R,且x1<x2 则f(x2)－f(x1)= (a－a－a+a)=(a－a)(1+) 由于a>0，且a≠1,所以1+>0 因为f(x)为增函数，则(a2－2)( a－a)>0 于是有，解得a>或0<a<1. (2) 因为f(-x)= (a－x－ax)= -f(x), 所以f(x)为奇函数. 【评注】指数函数的复合函数定义域关于原点对称下常常是奇函数，如函数， 等，可以结合利用证明．一个函数是奇函数，那么只需要研究它在上的单调性，便可判断其定义域上的单调性，这样，结合单调性易求相应函数的最值. 【变式1】若函数在区间上的最大值与最小值之和为，则实数= . 【变式2】已知函数. (1)求f(x)的定义域和值域； (2)讨论f(x)的奇偶性； (3)讨论f(x)的单调性，并证明. 【变式3】设a是实数，，试证明对于任意a,为增函数. 5.4利用函数单调性解指数、对数不等式 【典例1】已知定义在实数集R上的偶函数在区间上是单调增函数． 若，求的取值范围． 【解析】因为是偶函数，所以在区间上是单调减函数. 注意到，由得或， 由得； 由得． 所以的取值范围是或}. 【评注】解对数不等式常需将实数化为与左侧对数相同底数的对数即化同底，再结合对数函数单调性，去掉对数符号，将其化为分式或整式不等式求解． 【变式1】不等式的解集是 ． 【变式2】若求实数的取值范围． 【变式3】 已知a，b>0，且a≠1，b≠1，若 ，则（ ） A. B. C. D. 【变式4】设函数则使得成立的的取值范围是 ． 【变式5】已知函数，则不等式的解集是 ． 【变式6】设函数若，则实数的取值范围是 . 【变式7*】已知n为自然数，试解关于x的不等式 ． 【典例2】不等式的解集是 ． 【解析】依题意有， 解得或， 故解集是． 【评注】解指数不等式的关键是化同底，再结合指数函数的单调性，将其化为分式或整式不等式求解． 【变式1】不等式的解集为 ． 【变式2】不等式的解集是 ． 6.整体换元思想在解题中的应用 6.1 换元法求含有指数幂的函数值域 【典例】若求函数的值域是 ． 【解析】由题得， 设， 因为函数的对称轴方程为t=3， 所以，， 所以函数的值域为． 【评注】复合函数的值域，由内层函数的值域确定外层函数的自变量的取值范围，进而再由外层函数确定的取值范围． 【变式1】函数的值域为 ． 【变式2】函数的值域是 ． 【变式3】函数的值域是 ． 【变式4】函数在区间上的值域是 . 【变式5】若函数，则函数y＝f(f(x))的值域是 ． 6.2 利用对数运算法则对实施“分而治之” 【典例1】已知求函数的值域． 【解析】令，因为，所以， 又，， ， 当时，， 当时，， 所以函数的值域为． 【评注】当函数解析式较为复杂，通过化简转化将解析式简洁化是基本的方法.且解析式中多次出现某一整体结构，则应通过换元转化为基本函数求解，但换元别忘记换域啊. 【变式1】函数的最小值为 ． 【变式2】函数的最小值是 ． 【变式3】函数，，则的值域为 　 ． 【变式4】设a>0，a≠1，正数x，y满足，则的最小值为 ． 【典例2】解方程. 【解析】因为原不等式变形为，， 所以 ， 所以 ， 所以 ， 解得， .经检验以上两根都满足. 所以， 原方程的解为. 【评注】对数的运算法则中不存在对数积的运算，但是只要设法将两个对数各自分解成多项式，就会出现两个多项式相乘的局面，这是我们解决两个对数相乘的问题最理想的结果，也是我们的转化的方向.因为 所以， 【变式1】 解方程. 【变式2】解方程. 【变式3】解方程. 【变式4】解方程. 【变式5】若关于的方程的所有解都大于1，求的取值范围． 【变式6】已知a>b>1.若 =，ab=ba，则a= ，b= . 6.3整体（换元）法解指数对数方程 【典例】解方程． 【解析】依题意，所以． 令，所以，解得或． 当时，，所以，而，所以不合题意，舍去； 当时，，所以，，， 故． 【评注】解对数方程应将方程的两边化为同底的结构形式后，脱去对数符号，再解整式或分式方程. 【变式1】求关于x的方程的根. 【变式2】解关于x的方程： 【变式3】解关于x的方程： 【典例2】解下列关于x的方程： （1）（2） 【解析】（1）令，由 得,解得或， 因为，,所以 舍去， 所以，解得． （2） 设，则. 因为方程的根为-1和3， 由知无解，的根. 因此方程只有一个根且根是. 【评注】异底数的指数方程应考察底数之间的关系，对于含通过换元变形为一元二次方程． 【变式1】方程的实数解为 ． 【变式2】已知函数，求方程的根． 【变式3】已知关于x的方程2－7+3=0有一个根是2, 求a的值和方程其余的根. 6.4整体（换元）法解不等式 【典例】若集合，，求． 【解析】由得，解得，即． 由得， 解得，即． 于是，． 【评注】解指、对数不等式应将不等式的两边化为同底的结构形式后，再解整式或分式不等式. 【变式1】 已知一元二次不等式的解集为，则的解集为　 【变式2】 已知一元二次不等式的解集为，则的解集为　 　 【变式3】已知一元二次不等式的解集为，则的解集为 　　　 　 6.5 整体换元法研究不等式恒成立问题 【典例*】已知函数， 若对于任意，不等式恒成立，求实数的最大值； 【解析】由题意得恒成立， 令，则由可得， 此时恒成立，即恒成立. 因为时，当且仅当时等号成立， 因此实数的最大值为． 【评注】整体换元法就是利用换元，将问题转化为含参不等式恒成立问题，再利用参量分离法求解. 【变式1】设函数，对任意，不等式恒成立的实数称为函数的“伴随值”，则的取值范围是 . 【变式2】设函数，对任意，不等式恒成立的实数称为函数的“伴随值”，则的取值范围是 . 【变式3】设函数，对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是 . 【变式4】已知函数（常数． （1）若函数是奇函数，求实数的值； （2）若对于任意的恒成立，求实数的取值范围． 6.6 双变量的问题与函数值域的关系 【典例】已知是定义在上的奇函数，当时，，函数 . 如果对于，，使得，则实数的取值范围是 . 【解析】因为是定义在上的奇函数，所以f(0)=0. 当时，,所以. 又因为对于，，使得， 所以. 由题知， ． 所以，,解得. 【评注】解决双变量问题的关键是把等式（不等式）的一边看成常数，将问题转化为k>f(x)恒成立或有解问题. 【变式1】已知是定义在上的奇函数，当时，， 函数. 如果对于，，使得，则实数的取值范围是 . 【变式2】已知是定义在上的奇函数，当时，， 函数. 如果对于，，使得，则实数的取值范围是 . 【变式3】已知是定义在上的奇函数，当时，， 函数. 如果对于，都有，使得，则实数的取值范围是 . 【变式4】已知是定义在上的奇函数，当时，， 函数. 如果对于，，使得，则实数的取值范围是 . 【变式5】已知是定义在上的奇函数，当时，， 函数. 如果对于，，使得，则实数的取值范围是 . 【变式6】已知是定义在上的奇函数，当时，， 函数. 如果对于，，使得，则实数的取值范围是 . 【变式7】已知是定义在上的奇函数，当时，， 函数. 如果对于，，使得，则实数的取值范围是 . 7． 指数、对数与幂函数的转化策略 7.1 两边取对数研究含有指数的不等式 【典例】若存在，使得（且）成立，则实数a的取值范围是 . 【解析】两边取2为底的对数，则，即有解， 所以，整理得， 即或， 则或. 故实数a的取值范围是． 【评注】含有指数的不等式，想把指数拉下“马”，两边取对数是常见的方法之一.针对本题求字母ɑ的范围，最好的办法就是分离参数.从以上两个角度看，本题两边取对数是最佳方案. 【变式1】设实数，，则的最大值是 ． 【变式2】若不等式对于任意实数恒成立，则实数的范围为 . 【变式3】已知，满足不等式的实数的取值范围是 ． 7.2两边取对数策略处理形如的问题 【典例】已知x,y,z为正数，满足 （1）求使2x=py的p的值； （2）求与（1）中所求的p的差最小的整数； （3）求证： . 【解析】：（1）设，则 由2x=py得 . （2） 又 故与p差最小的整数是3. （3） ． 【评注】若多个指数幂的值相等，应引入中间量，利用指数式与对数式的关系: 且，将多元问题统一为一元问题，更有利于变形运算. 【变式1】设,且，则 A． B．10 C．20 D．100 【变式2】设a，b，c都是正数，且，那么（ ）． A． B． C． D． 【变式3】已知，则之间的关系是 ． 【变式4】若，且，，都是正数，则，，从小到大依次为 ． 7.3函数与互为反函数的应用 【典例*】若已知点在曲线y=ex上，点在曲线y=lnx上，则的最小值是_________. 【解析】因曲线y=ex与y=lnx关于直线y=x对称， 所求的最小值为曲线y=ex上的点到直线y=x最小距离的两倍,设P(x, ex)为y=ex上任意点, 则P到直线y=x的距离, 因, 所以,,即min=. 【评注】函数y=ex与函数y=lnx互为反函数，他们的图象关于直线对称，它们图象上点之间的最小值为y=ex图象上的点到y=x的距离的2倍.而曲线上的点到指定直线的最短距离问题，可以转化为求已知直线与曲线的切线平行时两直线间的距离问题.几个导数公式：，，，；点线距离公式，平行线间的距离公式. 【变式1】若已知点在曲线y=ex上，点在直线y=x上，则的最小值是_________. 【变式2】若已知点在曲线y=x上，点在曲线y=lnx上，则的最小值是_________. 【变式3】若已知点在曲线y=x上，点在曲线y=上，则的最小值是_________. 【变式4】设点在曲线上，点在曲线上，求最小值为 8.比较大小 8.1 充分利用函数的单调性 【典例】 设，则的大小关系是 【解析】在R上单调减， 所以， 对于，因为函数在单调增，所以， 所以，，即. 【评注】比较大小问题首先应该从相同数字入手.底数相同，就构造对数函数、指数函数；指数相同，就构造幂函数.对于底数不同指数也不同的，可以根据函数图象观察比较获得. 【变式1】设则的大小关系是( ) A． B． C． D． 【变式2】已知，函数f(x)＝ax，若实数m，n满足f(m)＞f(n)，则m、n的关系为(　　) A．m＋n＜0 B．m＋n＞0 C．m＞n D．m＜n 【变式3】比较大小：，.（a>0,a≠1） 【变式4】比较大小:，，． 8.2寻求媒介比较大小 Comment by Administrator: 修改了标题 媒介可以是单调性，0,1，还可以是其他的，比较好一些 【典例】设y1＝40．9，y2＝80．48，y3＝()－1．5，则(　　) A．y3>y1>y2　　　　B．y2>y1>y3 C．y1>y2>y3 D．y1>y3>y2 【解析】　y1＝21．8，y2＝21．44，y3＝21．5， ∵y＝2x在定义域内为增函数， ∴y1>y3>y2．故选D. 【评注】比较大小往往要利用函数的单调性研究值所在范围，选取中间媒介值0，1的比较大小. 【变式1】设，则(　　) A． B． C． D． 【变式2】已知(0.71．3)m＜(1.30．7)m，则实数m的取值范围是 ． 【变式3】已知，则(　　) A． B． C． D． 【变式4】某算法的程序框图如图所示，，则输出的是 ( ) A． B． C． D．不确定 Comment by Administrator: 选项错误 【变式5】 设，则的大小关系是 【变式6】比较大小. 【变式7】若,则 （A） （B） （C） （D） 8.3 析出整数，变换底数，放缩真数 【典例】设，则的大小关系是 【解析】，即比较大小． 利用换底公式，得， 根据函数单调性，得 ， ，即，进而得. 【评注】指数式与对数式比较大小，依据指数和对数函数的单调性研究值所在范围，选取中间媒介值0，1的比较大小，有时还要构建函数或用作差或作商法比较大小．其中，对数比较大小，底数和真数都不相同时，可以先分离出整数，使得真数相同，再比较同真数的对数大小；同真数的对数比较大小，可以利用换底公式换成同底数的对数，再利用单调性比较大小. 【变式1】，，三个数中最大数的是 ． 【变式2】设均为正数，且，，．则（ ） A．　　B． 　C． 　D． 【变式3】设则(　　) A． B． C． D． 8.4 作差作商，放缩变形 【典例】若，试比较与的大小． 【解析】法一：因为， 所以， 因此，， 即． 法二(作商)由换底公式得， ，即． 【评注】比较大小的最基本的方法就是作差法，通过作差，与0比较，判断两个数的大小；当然如果两个数都是正数，也可以作商与1比较。 【变式1】比较大小： 【变式2】已知x,y,z为正数，满足，用作差法比较3x、4y、6z的大小 8.5*构造函数比较大小 【典例*】已知x,y,z为正数，满足，比较3x、4y、6z的大小 【解析】由x,y,z为正数，设， 则. 构造函数， 当(e为自然对数的底)时， ， 则在区间上递增， 又， 因此，即. 【评注】本题中，由，，，可以联想到函数，从而比较3x、4y、6z的大小，也就是判断函数值的大小，因此下面的任务就是搞清楚函数的单调性。 【变式1*】已知函数上满足，比较大小. 【变式2*】设函数f(x)的定义域为R，且对任意的xR,则对任意的正数a,必有（ ） A． B. C. D. 18 学科网（北京）股份有限公司 $ 第六课 指数、对数函数与幂函数 1．指数、对数的运算法则 1．1指数的运算法则 【典例1】 1．（1）a；（2）4a；【解析】（1）由已知，有，故原式=； （2）原式=. 2.100．【解析】原式= ==108+2-7-2-1=100. 3.-1．【解析】原式=. 4．【解析】因为，所以， 故． 【典例2】 1.C【解析】依题意知，所以， 两边取对数得－5k＝ln 0.1＝－ln 10，即k＝. 设经过t小时，废气中的污染物含量为0.01，则， 所以kt＝2ln 10，t＝， 故至少还需过滤10－5＝5小时，才可以排放． 2.4【解析】依题意知，x年后花费在该车上的费用y=6x+36(1+90%+(90%)2+…+(90%)x-1)10% =6x+36-36(0.9)x=36,化简得（0.9）x=, 画出两个函数的图象，可知x取3-4之间的值时，满足方程， 所以4年后花费在该车上的费用就达到36万元． 1.2对数的运算法则 1．D 【解析】因为， lg（xy）=lgx+lgy（x，y为正实数）， 所以2lg（xy）=2lgx+lgy=2lgx•2lgy，满足上述两个公式． 2.2【解析】＝－2＋4＝2． 3.0【解析】由已知，得，因此，,所以． 4.0【解析】，可得.所求式= 5.2【解析】， 故. 6.3【解析】 相加得： . 7．【解析】，== ，当且仅当取等号． 1.3 对数的基本运算性质 1.2【解析】原式＝lg2+lg2(lg5+1) +2lg5=2lg5+lg2+lg2(lg5+lg2)=2． Comment by Administrator: 原式 2.1【解析】原式=lg2(lg5+1)+lg5(1+lg2)-2lg2·lg5=lg2+lg5=1. 3. 【解析】，所以．所以． 4.-2【解析】由在R上是奇函数，得且，故. 注意不要误认为是. 1．4对数恒等式的应用 【典例1】 1.【解析】；. 2.9．【解析】原式＝3+2log33+=3+2+4＝9． 3.【解析】由3＜＜4,可得且＞4,所以 ． 【典例2】 1．1【解析】因为，所以，则方程化为，所以， 所以. 2．【解析】因为，所以,则方程化为 ，所以， ，两边取对数得. 3．【解析】因为，所以,则原式化为 . 4. 【解析】可证：（两边取对数），所以原方程可化为 ，解得：， 即：，故. 1．5妙用对数的换底公式 1．4【解析】． 2.8【解析】由换底公式，得原式． 3.【解析】由换底公式，得左边==右边，结论成立． Comment by Administrator: 删掉错误答案 4. B【解析】∵loga=1(a >0且a≠1)，∴logb·loga= logb，B是正确的．由对数的运算公式知选项C,D错误，由对数的换底公式知A错误．故选B. Comment by Administrator: 补充答案 5.【解析】令， 则，故. 1.6 含有条件的代数式的化简 1．【解析】，所以或，所以或， 所以或．故或． 2. ，【解析】因为，所以，； 且． 3. 【解析】（法1）由得，故，因此． （法2）由得，故，因此． 1.7一个含有指数幂的分式函数 1.1 【解析】当时，，. 2.【解析】因为时，=1.所以=1，又.所以原式= 3.【解析】由题意得， 所以，则，原式. 4. 【解析】由题意得， 所以，则，原式=. 2.指数、对数与幂函数的概念 2．1 幂函数的定义 1．B 【解析】∵f(x)是幂函数，∴m2－m－1＝1，∴m＝－1或m＝2， 当m＝－1时，m2＋m－3＝－3； 当m＝2时，m2＋m－3＝3，∵当x∈(0，＋∞)时，f(x)是增函数，∴f(x)＝x－3不适合，即m＝－1不适合，故m＝2． 2．【解析】设，f(4)＝3f(2)． 3.【解析】为幂函数，故，且，则，因此. 2.2指数函数的定义 1.C【解析】A和D的底数不一定满足a>0且a1；B是幂函数；C的底数为 2．或【解析】若P真，则，由题意知P假，所以或 3. 【解析】设f(x)＝ax(a>0，且a≠1)．∵f(x)过点(2,4)，∴a2＝4，解得a＝2， ∴f(x)＝2x, g(x)＝． ∵g(x)为奇函数，∴g(－x)＝－g(x)，即＝－， =，得1－b＝b，得b＝． 2.3函数的值的计算. 1.2【解析】令，所以. 2.【解析】令，所以. 3.【解析】因为，所以． 4.-2【解析】． 5. 【解析】由题意，，由，得或，解得. 2.4对数函数的定义域的特殊性 1. 必要不充分【解析】由，不能得到，因为M,N不一定大于0.反过来，由可得. 2． 【解析】，解得． 3.【解析】． 4. {x|或}【解析】令，解得； 令，解得．所以{x|或}． 5. 【解析】由题得x-1>0且2x+1>0且，解得，所以. Comment by Administrator: 完善解析 6.7【解析】　由已知得log2(m－2)＋log2(2n－2)＝3，即log2[(m－2)(2n－2)]＝3， 因此m>2且n>1且（m-2）(2n-2)=8．于是n＝＋1. 所以m＋n＝m＋＋1＝m－2＋＋3≥2＋3＝7.当且仅当m－2＝， 即m＝4时， m＋n取得最小值7. 2.5 偶次方根的被开方式大于等于零 1.B【解析】因为，所以定义域为. 2.B【解析】因为，所以，解得． 3.3<a<5．【解析】幂函数在单调递减，所以a+1>10-2a且a+1>0且10-2a>0, 解得3<a<5. 4.【解析】因为函数的定义域为，且在其定义域内单调递增.故原不等式化为，解得. 2.6函数的定义域为R与值域为R的区分 【典例1】 【解析】定义域为R，由题设知恒成立 所以，解得. 2．【解析】由题意得的解集为，令，则的解集为，∴，且2是的一个根，代入求得. 反之，当时，的定义域为． 【典例2】 1. 或【解析】由题设知需取遍内任意值， 所以，解得或. 2.【解析】函数值能取遍所有正数， 由，即，则或. 3.【解析】取满所有的正数，，即. 所以，的取值范围是 4．【解析】当时，f(x)＝0，不符合题意；当时，欲使ax+ax+1取遍所有正数， 只须使，解得或，所以实数a的取值范围是. 3．指数函数、对数函数和幂函数的图象 3.1幂函数的图象 1． 【解析】观察图形可知，，，且，而，，，且．所以 ． 2．或 【解析】由，解得．当或3时，； 当时，； 当m＝0或2时，是奇函数，不合题意． 综上，或． 3．1 【解析】易求得点，分别代入，得， 则，故． 3.2 对数函数的图象 1.A【解析】过（0,1）作平行于x轴的直线，与曲线的交点横坐标为, 由图知,故选A. Comment by Administrator: 删掉了图象 2.C【解析】依题意由y＝lnx的图象关于y轴对称可得到y＝ln(－x)的图象，再将其图象向右平移1个单位 即可得到y＝ln(1－x)的图象，变换过程如图．答案：C 3.D【解析】由题意 ，即也在函数图象上. 选D. 4.C【解析】因为在的图象上,所以，所以, 因此，在图象上,故选C. 5．C【解析】如图，把函数的图象向左平移一个单位得到的图象， x=1时两图象相交，不等式的解集为. 3.3 指数函数的图象 1.D、C、B、A【解析】画出指数函数图象，可得． 2.A【解析】 A；由题知0<a<1,b<-1,所以函数g(x)=ax+b的图象是A. 3.2【解析】由得，即，令, 观察图象可知两图象有两个不同的交点,所以函数有2个零点． 4.1【解析】令，根据此题可得，在平面直角坐标系中分别画出和的图象， 可得交点只有一个，所以函数的零点只有一个． 5.【解析】在同一直角坐标系中，画出函数，， 由图象可知. 6. (0,1)【解析】函数 由题意知，方程f (x)－m=0即f (x)＝m有三个实根,则与有3个交点即可，作出图象，数形结合可得m的取值范围是(0,1)． 3.4函数恒过定点的应用 1．A【解析】令x-1=0,x=1,f(1)=5. 2．9【解析】当x=1时，f(x)=a0+m=10,所以m=9. 3.（2,4）【解析】令,则,所以Q（2,4）. 4．A【解析】图象恒过定点（-4,0）且单调递减，所以函数的图象不过第一象限． 5．-8【解析】设幂函数，点（2,8）代入函数，解得，所以. 6．4【解析】易知定点,所以，所以 （当且仅当，即时等号成立），所以的最小值为4． 7.8【解析】易知定点,所以，所以 （当且仅当，即时等号成立），所以的最小值为8． 3.5函数图象的平移变换 1．（2）（3）（4）【解析】（1）中，的图象表示两条射线． （2），所以将指数函数图象向右平移单位即可得到． 对于函数且总是可以由指数函数通过平移变换得到． （3）作出函数图象，它们y轴左边有一个交点，y轴右边还有（2,2）和（4,4）两个， ∴的元素个数是3． （4）由，得或．综上，正确命题是（2）（3）（4）． 2.A【解析】因为y＝8·2－x＝2－x＋3＝2－(x－3)，y＝()x＝2－x， 故把函数y＝()x的图象向右平移3个单位即得函数y＝8·2－x的图象，故选A. 3. 【解析】如 ①x轴，－3－log2x ②y轴，3+log2(－x) ③原点，－3－log2(-x) ④直线y=x, 2x－3 3.6函数图象研究含有指数对数的不等式恒成立 1. 或【解析】，则(1)当时，，则问题转化为 ，.(2)当时，，则问题转化为， .综上所得：或. 2. a∈(1,2］【解析】 考查两函数y=(x－1)2及y=logax图象可知a∈(1,2］． 3. 【解析】如图，当时， 若，函数的图象显然在函数图象的下方，所以不成立； 当时， 的图象必须过点或在这个点的上方，则， . 综上得，． 4. 两种特殊的函数 4.1区间长度与函数的等高线 1.2【解析】因为且存在，使，即，故； 又a在变化过程中，必须有，故， 因此区间的长度的最大值与最小值的差为. 2.1【解析】因为在区间上递减，在区间上递增. 又由得； 由得，或2. 故要使值域为，则m应在1到2之间运动，即， 因此，区间的长度的最大值与最小值的差为. 3.A【解析】作的图象，可见在上递减，在上递增， 且由，即当时， 函数的值域为，而观察图象可见，当时，函数的值域也 为.当从1到4的变化过程中，值域不变，故选A. 4.【解析】由题意可知求b－a的最小值即求区间[a，b]的长度的最小值， 当f(x)＝0时x＝1，当f(x)＝1时x＝3或，所以区间[a，b]的最短长度为1－＝， 所以b－a的最小值为. 4.2函数y=|logax|的一个重要性质 【典例1*】 1.【解析】∵，∴且，则. 因为在上单调递减，所以，所以由题设得∴. 又，得，所以. 2.【解析】数形结合，分类讨论．作出的图象．由，且，可得两种情况： ①，则； ②，则，故等价于， 即，可得，故. 综上知：. 3.【解析】因为，，，，所以. 【典例2】 1.【解析】设，，所以；由， 所以 故的取值范围是. 2.【解析】由题意知，因此，，得，令，得或，. 令=4，得或，，. 3.【解析】设四个实根，由可得.，所以； 知 .因为，，则， 的取值范围是，又， 故的取值范围是． 4.3指数复合函数的性质 【典例1】 1.D【解析】为偶函数，由图象的对称性知, 又因为在单调增，，所以,故选D 2.B【解析】 由为偶函数，得,所以 , ，因为在单调增， 所以,故选B． 3.B 【解析】原式可化为， 它的图象是将的图象向右平移一个单位得到的，故选B. 4．【解析】作出函数图象，根据新定义， 可以得到函数的图象，观察得的单调递增区间为 【典例2】 1.(－∞，1]【解析】作出函数图象，可知. 2.(－∞，1]【解析】作出函数图象，可知. 3.[0,+∞)【解析】作出函数图象，可知. 4.【解析】作出函数图象，可知. 5.(－∞，1]【解析】f(x)＝当x≥a时，f(x)单调递增，当x<a时，f(x)单调递减， 又f(x)在[1，＋∞)上是增函数，所以a≤1． 6.【解析】由是偶函数可知，单调递增；单调递减． 又，可得，，即，所以. 【典例3】 1 ．【解析】令t=－|x|，则y=2(t≤0)，其值域为． 2.1【解析】当时，是增函数，因为函数值域为[1，2] ，即，所以； 当时，是减函数，因为函数值域为[1，2]，即， 所以．故的长度的最大值为1-（-1）=2，最小值为1-0=1或0-（-1）=1， 则区间的长度的最大值与最小值的差为1． 5.指数函数、对数函数和幂函数的性质 5.1幂函数的单调性与奇偶性 1．B 【解析】由定义域为R，排除选项C，由函数单调递增，排除选项A，D． 故选B． 2．1，3 【解析】将的值逐一代入验证可知，和3时符合题意． 3．A 【解析】由偶函数的定义，可以排除C，D，又根据单调性，可得B不对，故选A． 4. 【解析】∵两个幂函数图象与、轴都没有公共点，∴ ，解得． 又∵的图象关于y轴对称，∴ 为偶数，即得． 5.[9,49]【解析】函数的定义域为R，且为递增的奇函数， 故可化为， 即， 因此，表示圆上的点到原点的距离的平方， 所以． 6．【解析】(1) ∵函数为幂函数 ， ∴，解得， 又∵奇函数，∴． (2) 由（1）可知，， 令=t，则，得值域为. 5.2 对数函数及其复合函数的单调性与奇偶性 【典例1】 1.(1)(2)(3)(4)(5)【解析】(1)的定义域都是（-1,1）； （2）（3）是同一个函数，满足f(-x)=-f(x);(4)两个增函数相加仍然是增函数； （5）两个减函数相加仍然是减函数，所以正确； （6）定义域为（-，0）（0，+），所以减区间为（-，0）和（0，+），所以错误． 2. R上的减函数【解析】由于在定义域R内为奇函数， 且在上单调递减，故为R上的减函数． 3．D【解析】设，则，且是上的奇函数， ∴． 【典例2】 1.A【解析】求出函数的定义域，判断函数的奇偶性和单调性推出结果，函数， 函数的定义域为（-1，1），， 所以函数是奇函数． ，已知在（0,1）上 ， 所以在(0,1)上单调递增，故选A． 2.偶函数【解析】函数的定义域为R，且， 故为偶函数． 3．1【解析】若函数f(x)=为偶函数,且是奇函数， 所以f(x)= 是奇函数，所以 =，解得=1． 4.0【解析】是单调增函数且是奇函数，． 5.充要条件【解析】分析可得是奇函数，且单调递增，所以可得为充要条件． 6．6【解析】设.所以是奇函数， 7．（1）因为， 所以 ，解得，所以的定义域为； （2） ，，因为 ， 所以为奇函数． （3）因为 ，所以，又 在上递增， 因为 ，所以在 上为递增函数，由>得，， 又因为，所以使>的x的集合为． 5.3指数函数及其复合函数的单调性与奇偶性 1.2【解析】. 2.【解析】(1)f(x)的定义域是R，令，得2x＝－．∵2x>0，∴－>0，解得－1<y<1． 所以函数的值域为． (2)∵f(－x)＝ ＝ ＝－f(x)，∴f(x)是奇函数． (3)f(x)＝，设x1，x2是在R上任意两个实数，且 ， f(x1)－f(x2)＝－＝， ∵x1<x2，∴∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)． ∴f(x)为R上的增函数． 3.【解析】证明：设∈R,且则= 易证<0即， 因为此结论与a取值无关，所以对于a取任意实数，为增函数. 5.4利用函数单调性解指数、对数不等式 【典例1】 1．{x|或}【解析】变形得，所以或，所以或． 2. 或【解析】当时，由指数函数的单调性与对数恒等式， 对原不等式两边取以a为底的指数式，则，故; 当时，则，故； 综上所述，实数的取值范围为或． 3. D【解析】， 当时，，，； 当时，，，． 4. 【解析】当时，,则恒成立，故符合题意； 当时，由，解得， 综上可知的取值范围为． 5. 【解析】由，得，解得． 6 或【解析】当则； 当,则.综上或. 7. 【 解析】由，则原不等式化为 ，即， 又，故，解得．因此，原不等式的解集为． 【典例2】 1.【解析】由原不等式，得，故，即，所求不等式的解集为． 2．(-3，2)【解析】原不等式可化为：， 所以，整理得，解得不等式的解集为． 6.整体换元思想在解题中的应用 6.1 换元法求含有指数幂的函数值域 1. ．【解析】令，则，， ,即， ∴ 函数的值域为． 2. ．【解析】令 则 ∴． ∴函数的值域为． 3. 【解析】因为函数由复合而成，且， 故由指数函数的性质，得．因此，函数的值域为． 4. 【解析】函数由与复合而成. 由，得，由二次函数的性质， 知在上递减，在上递增， 因此，函数的值域为． 5. ．【解析】令，所以， 所以．所以函数的值域为． 6.2 利用对数运算法则对实施“分而治之” 【典例1】 1．【解析】根据对数的运算性质得． 令,则，故函数的最小值为． 2．【解析】 设 3. 【解析】 设. 4. 【解析】， ∴ ． ∴当logax＝，即时，logay取得最小值． 【典例2】 1．2或【解析】或，解得. 2．【解析】,所以. 3．【解析】原方程化为，即， 解得，所以. 4．【解析】原方程化为，解得 ，所以 . 5．【解析】由原方程可化为，变形整理有 （*），，由于方程（*）的根为正根， 则，解之得，从而. 6.，【解析】设，因为， 因此 6.3整体（换元）法解指数对数方程 【典例1】 1. 或【解析】设，则.因为方程的根为3或， 即，或，解得或． 2. 1或【解析】由题解得或，所以． 3．【解析】设,则，所以. 即 ，所以 . 【典例2】 1．【解析】原方程变形为，则，故，即方程的实数解为． 2. 【解析】，由可得， 则，即，则，． 3.【解析】2－7+3=0, =或=3. =时, 方程为: 8·()－14·()+3=0x=2或x=1－log3． =3时, 方程为: x=2或x=． 6.4整体（换元）法解不等式 1. 【解析】由题知，所以． 2．【解析】由题知，所以. 3．【解析】由题知,所以. 6.5 整体换元法研究不等式恒成立问题 1.或.【解析】由题意知为增函数且，原式可化为 在上恒成立.当时， 在时恒成立， 因为在时小于，所以即，解得. 当，在时恒成立，因为在时的最小值为， 所以即，解得.综上，的取值范围是或. 2..【解析】由题意知为增函数且，可化为恒成立.当时，在时恒成立， 因为在时无最大值，所以此时不合题意； 当时， 在时恒成立，因为在时的最小值为， 所以即，解得. 综上，的取值范围是. 3. 【解析】由题意知为增函数且，可化为 即恒成立. 当时，在时恒成立，因为在时无最大值，不合题意； 当时， 在时恒成立，因为在时的最小值为， 所以即，解得. 综上，的取值范围是. 4.【解析】（1）因为是奇函数，所以，则，整理得，即（若运用求的值，一定要验证函数为奇函数）． （2）由，得 令，则，故，即对于任意的恒成立，，当时，， 当时，，因为，当且仅当时，取得最小值4. 故,综述，． 6.6 双变量的问题与函数值域的关系 1. 【解析】由题知，，所以，,解得. 2. m>-5【解析】由题知，，所以，m+8>3,解得m>-5. 3. 【解析】由题知，，所以， ,解得. 4. m<4【解析】由题知，，所以， ,解得m<4. 5. 【解析】由题知，，所以， ,解得. 6. 【解析】由题知，,若g(x)的值域与f(x)的值域交集是空集，则 或 ,解得. 7.【解析】由题知，，所以 且m+8=3,无解. 7． 指数、对数与幂函数的转化策略 7.1 两边取对数研究含有指数的不等式 1．【解析】，（当且仅当 时取等号）． 2.【解析】当时, 不等式恒成立；当时，等价于不等式恒成立，即恒成立，即，即，解得.（详见导数关于函数的研究） 3.【解析】，函数是(0,+∞)上单调减函数，两边取对数，即得． 7.2两边取对数策略处理形如的问题 1.A【解析】 ，故，，应选A. 2．B【解析】设，则，故，因此，，，故选B. . 3．【解析】当均不为零时，由，两边取以10为底的对数，得，，由 得到，即；当时，亦成立．所以的关系式． 4.B【解析】令，则，，，， ∴，∴； 同理可得：，∴，∴． 7.3函数与互为反函数的应用 1.【解析】设曲线上点处的切线与直线y=x平行，则切线的斜率为，则，故切点为，因此，的最小值为. 2.【解析】设曲线上点处的切线与直线y=x平行，则切线的斜率为，则，故切点为，因此，的最小值为. 3.【解析】设曲线上点处的切线与直线y=x平行，则切线的斜率为，则，故切点为，因此，的最小值为. 4. .【解析】函数与函数互为反函数，图象关于对称 函数上的点到直线的距离为， 设函数由图象关于对称得：最小值为. 8. 比较大小 8.1 充分利用函数的单调性 1．C【解析】由在区间是单调减函数可知，，又，故选． 2．D【解析】∵∴函数在R上递减，又∵，∴m＜n． 3．【解析】当时，对数函数在上是增函数，于是， 当时，对数函数在上是减函数，于是． 4．【解析】∵， ∴． 8.2寻求媒介值0，1比较大小 1.B【解析】因为，而，又，，所以． 2．(0，＋∞) 【解析】∵0＜0．71．3＜0．70＝1,1．30．7＞1．30＝1，∴0．71．3＜1．30．7．　 而(0．71．3)m＜(1．30．7)m,∴幂函数y＝xm在(0，＋∞)上单调递增，故m＞0． 3.D【解析】因为，，，所以． 4．C【解析】算法的功能是输出中的最小者．结合函数的图象易判断知，∴必有．故输出的是，故选C． 5. 【解析】，∴必有. 6. log25>20.2>0.22.【解析】1<20.2<2,0.22<1,log25>2,所以log25>20.2>0.22． 7.C【解析】用特殊值法,令,,得,选项A错误,,选项B错误,,选项C正确,,选项D错误,故选C． 8.3 析出整数，变换底数，放缩真数 1. 【解析】，，，所以最大． 2.A【解析】∵a，b，c均为正数，由指数函数性质，得，， ∴．由对数函数性质，得，1＜c＜2,选A． 3.D【解析】根据函数单调性，得 ，进而得．答案：D． 8.4 作差作商，放缩变形 1. ．【解析】由题知；；. 又，， ，，． 2. 【解析】设， ． ． 8.5构造函数比较大小 1. 【解析】构造函数 ， 故函数F(x)在R上单调递增，又，所以 . 2.D【解析】构造函数，，故函数F(x)在R上单调递增，又 >0,所以故选D. 2 学科网（北京）股份有限公司 $