高中数学经典题型全解析：第3课 集合 专项训练 -2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 以“概念-策略-计数-避错”为逻辑链，系统整合集合核心知识与解题方法，通过典例变式强化数学思维与表达。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念与运算|8小节，每节1典例+多变式|描述法本质分析、元素三性判定、交并补运算规则|从集合表示到元素关系，构建概念基础| |问题研究策略|7策略，每策略1典例+多变式|数轴法处理包含关系、韦恩图解决计数、补集思想规避漏解|从直观工具到逻辑方法，形成解题体系| |计数问题|3类型，每类型1典例+多变式|子集个数公式、元素个数估算、n相关元素求和|从简单计数到复杂应用，提升数学眼光| |易错点|3类，每类1典例+多变式|空集特殊性、区间与集合差异、交并集辨析|针对高频错误，强化数学语言严谨性|

第三课 集合 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 1. 集合的概念与运算 1.1集合的表示 1.2元素的性质 1.3元素与集合的关系 1.4集合的包含关系 1.5 集合的交集 1.6集合的并集 1.7集合Ａ的补集 1.8两个集合相等元素相同 2.集合问题研究策略 2.1用数轴解决集合间的包含关系 2.2用数轴处理两个集合存在公共元素的问题 2.3韦恩图（Venn图）的应用 2.4 函数图象处理集合之间的包含关系 2.5 元素不属于集合的两种处理方式 2.6 区间可以排除结合的代表元素的形式差异 2.7单元素集合与集合的子集只有一个的问题 3．集合中的计数问题 3.1集合元素的个数问题 3.2子集的个数问题 3.3和n有关的元素的个数 4.如何避免出现几种常见的潜意识错误 4.1 不要把并集当做交集解 4.2以为区间与集合没区别 4.3别拿空集不当集合 1. 集合的概念与运算 1.1集合的表示 【典例】集合，用列举法表示集合A为________． 【解析】由题意x的取值有0,1，将其代入解析式得， 所以用列举法表示集合A为． 【评注】描述法的一般形式是{代表元素|元素的性质}.研究集合,首先必须弄清代表元素的真正含义，区分集合中元素的本质，如集合是整数集还是实数集,是点集还是数集等问题． 【变式1】研究的对象称为元素，元素组成的整体称为集合 若集合是平行四边形，是矩形，是正方形，是菱形，则（ ）． A． B． C． D． 【变式2】代表元素决定了集合的本质属性 设集合P＝{(x，y)|x＋y<4，x，y∈N*}，则集合P的非空子集个数是________． 【变式3】代表元素看本质不看形式，明确它代表的是数、点还是物 已知集合，，，，则________． 【变式4】点集与数集没有共同语言 已知，，则集合中元素的个数为________． 1.2元素的性质 【典例】下列对象一定能构成集合的是( 　　 ) A．2026年央视春节联欢晚会上的所有好看的节目 B．我国从19912015年所发射的所有人造卫星 C．2026年夏季世界大学生运动会中的高个子女运动员 D. 高一（2）班学生的姓名 【解析】“好看的节目”“高个子”均不确定，所以排除A、C； D中可能含有相同的元素，可能有两个同学重名，排除D. 故选B． 【评注】集合元素的特征： （1）确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立. （2）互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素. （3）无序性：一般不考虑元素之间的顺序，但在表示数列之类的特殊集合时，通常按照习惯的由小到大的数轴顺序书写。 【变式1】下列各组对象不能构成一个集合的是（ ） A. 2017年联合国常任理事国 B.方程在实数范围内的解 C.的近似值的全体 D. 第三届青奥赛的中国队的体育运动员 【变式2】若集合中的元素是的三边长，则一定不是 （ ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【变式3】已知实数，集合，求集合中所有元素的和. 1.3元素与集合的关系 【典例1】判断下列表示正确的有 （1）;(2);(3);(4);(5);(6) 【解析】因为N是自然数集，含0，所以（1）正确； 因为Q是有理数集，所以（2）错误； 因为空集中没有任何元素，所以（3）、（4）错误； 因为不是单元素集的元素，所以(5)错误； 因为集合只有4个元素A,B,C,D,所以(6)错误。 故，表示正确的有（1）. 【评注】空集不含有任何元素，0是一个数，是一个单元素集；符号只在集合与元素的关系中使用；符号只在集合与集合的关系中使用。 【变式1】设集合，下列关系式中成立的为 （ ） A． B． C． D． 【变式2*】i是虚数单位，其中，若集合，则（ ）． A． B． C． D． 【典例2】已知集合，若，则，那么实数的值为 ． 【解析】因为，所以或或． ①当时，； ②当时，； ③当时，. 综上，实数的值为2或4． 【评注】题目设定，且，意味着数和数同时在集合A中，这就提供了对的判定条件，分类讨论即可. 【变式1】已知集合，则中元素的个数是 （ ） A． B． C． D． 【变式2】已知集合，试用列举法表示集合为 ． 【变式3】已知集合，试求集合的所有子集为 . 【变式4】设A是整数集的一个非空子集，对于k∈A，如果k－1∉A，且k＋1∉A，那么称k是A的一 个“孤立元”．给定S＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有多少个？ 1.4集合的包含关系 【典例】已知集合，，则（ ） A.A=B B.AB= C.AB D.BA 【解析】因为集合A=,B=，所以BA， 故选D． 【评注】如果集合A是集合B的子集，并且集合B中至少有一个元素不属于A，那么集合A叫做集合B的真子集，是的真子集，记作AB. 【变式1】已知集合．若，则集合可以是（　　） A． B． C． D． 【变式2】已知集合，，若，则实数的取值集合为 ． 1.5 集合的交集 【典例】已知集合，则=（ ） A. B. C. D. 【解析】由得，，所以， 因为，所以， 选D. 【评注】交集指不同的事物、感情聚集或交织在一起。数学上，对于给定的两个集合A 和 集合B 的交集是指含有所有既属于 A ，又属于 B 的元素，而没有其他元素的集合。 【变式1】已知集合，则=（ ） A. B. C. D. 【变式2】已知集合,,那么集合为（ ） A. B. C. D. 【变式3】已知集合，，则等于 （ ） A． B． C． D． 1.6集合的并集 【典例】设集合，，则（ ） A． B． C． D． 【解析】，， 所以． 故选A． 【评注】在集合论和数学的其他分支中，一组集合的并集是这些集合的所有元素构成的集合，而不包含其他元素。 若A和B是集合，则A和B并集是有所有A的元素或所有B的元素，而没有其他元素的集合。A和B的并集通常写作 "A∪B"，读作“A并B”，用符号语言表示，即：A∪B={x|x∈A,或x∈B} 【变式1】设集合A＝{x|－1＜x＜2}，集合B＝{x|1＜x＜3}，则A∪B＝( ) A.{x|－1＜x＜3} B.{x|－1＜x＜1} C.{x|1＜x＜2} D.{x|2＜x＜3} 【变式2】设集合，集合，则（ ） 【变式3】已知集合，，则（ ） （A） （B） （C） （D） 【变式4*】设集合 则=（ ） （A）{x|－1＜x＜1} （B）{x|0＜x＜1} （C） （D） 【变式5】已知集合，.若，求实数的取值范围 ． 1.7集合A的补集 【典例1】全集U=｛0,1,2,3,4,5,6,7,8,9｝，集合A=｛0,1,3,5,8｝，B=｛2,4,5,6,8｝，则为________． 【解析】（法1），所以={7,9}． （法2），所以={7,9}， 所以, ={7,9}． 【评注】一般地，设全集Ｕ是一个集合，A是全集Ｕ的一个子集,由全集Ｕ中所有不属于A的元素组成的集合，叫做子集A在全集Ｕ中的补集(或余集，在台湾叫作差集)记作. 读作A在全集Ｕ中的补集。 【变式1】设集合，则＝（ ） （A） （B） （C） （D） 【变式2】设全集，集合，，则为（ ） A． B． C． D． 【变式3】已知全集U={1，2，3，4，5，6}，集合P={1，3，5}，Q={1，2，4}，则=（ ） A.{1} B.{3，5} C.{1，2，4，6} D.{1，2，3，4，5} 【变式4】全集U=｛0,1,2,3,4,5,6,7,8,9｝，集合A=｛0,1,3,5,8｝，B=｛2,4,5,6,8｝，则为________． 【变式5】已知是至少有一组对边平行的四边形}，A=是平行四边形}，求 【典例2】已知集合 则（ ） A． B． C． D． 【解析】根据补集的运算得，．故选B． 【评注】借助数轴寻求元素之间的关系，使问题直观准确地得到解决．对于涉及的集合信息较多或对于未给元素的抽象集合，研究其关系或运算时，常可考虑用韦恩图求解．与不等式相关的集合的运算，常常结合数轴求解。 【变式1】设全集为R, , 则为________． 【变式2】已知集合， ，则________ 1.8两个集合相等元素相同 【典例1】设集合，且，求． 【解析】（法1）根据定义，有或因为集合中元素具有互异性， 所以，解得，．所以． （法2）根据性质，有，或，集合中元素互异， 所以且， 所以，所以，. 所以． （法3）根据性质，有 即 集合中元素互异， 所以，解得，． 所以． 【评注】两个集合相等，则它们包含的元素完全相同，但顺序并无要求，本题需要根据不同的对应进行分类讨论取舍．对解的取舍，取舍的依据是：元素的互异性。两个集合相等，则全体元素的和与积都相等. 【变式1】下列各组两个集合和表示同一集合的是（ ） A． B． C． D． 【变式2】已知集合其中且，求的值． 【变式3】已知集合，集合，若A = B ，求实数m、n的值． 【典例2】已知集合，则集合之间的关系为（ ） A． B． C． D． 【解析】 集合中，集合中， 而和都表示全体奇数， 所以集合与集合相等． 所以,选C。 【评注】在判断两个数集的关系时，我们可以适当地对表明元素性质的等式进行变形，除去相同的因素，专门比较不同的部分。如本题元素x的分母都是9，只需要比较分子表示的整数的类型即可。 【变式1】设集合，，则与的关系是（ ） A． B． C． D．以上都不对 【变式2】设M={x| xZ}，N={x| x=,nZ }，P={x| x=n＋}，则下列关系正确的是( ) A． NM． B． NP C．N=M∪P D．N=M∩ P 【变式3】集合 ,则与的关系是（ ） A． B． C． D．以上都不对 【变式4】已知，则 （ ） A.ST B.TS C. D. 2.集合问题研究策略 2.1用数轴解决集合间的包含关系 【典例1】已知集合且，集合，若PQ，求实数的取值范围. 【解析】，， 因为PQ，画出数轴，则有且等号不能同时取到，解得， 故的取值范围是. 【评注】的含义是：若则；PQ的含义是：若则，并且。在数轴上表现为一个区间完全落在另一个区间的内部，但要注意端点是否包含。 【变式1】已知集合，若，则集合可以是（　　） A． B． C． D． 【变式2】已知集合，，若，则实数的取值范围是 ． 【变式3】设集合，，若，则实数必满足（ ） A． B． C． D． 【典例2】已知集合,，且BA，则实数的取值范围是 【解析】化简得． 由BA，得，且等号不能同时取到，解得． 经检验，均满足题意， 所以实数的取值范围是。 【评注】若BA，则它们两个集合就不可能相等，即。因此做此类题型一定要有检验环节，比如中等于号不能同时取到，可以求完之后再检验一下，否则容易有增根，导致答案错误。 【变式1】已知集合，若AB，则实数的取值范围是 ． 【变式2】已知集合，，若AB，则实数的取值范围是 【变式3】已知集合，若AB，则实数的取值范围是 ． 【变式4】已知集合，B=，若 ，则实数的取值范围是 ． 2.2用数轴处理两个集合存在公共元素的问题 【典例1】已知集合，，，则实数的取值范围是 ． 【解析】由于集合B的长度长于集合A的长度，又， 则集合A的两个端点至少有一个在集合B所在的区间中， 如图（1），则； 如图（2）则。 依题意，得，解得，所以实数的取值范围是． 【评注】两个数集之间有公共元素，也就是他们表示的区间有公共的点，通常我们可以利用数轴，比较两个区间的端点即可．注意等号能否成立． 【变式1】已知集合，，，则实数的取值范围是 ． 【变式2】已知集合，，，则实数的取值范围是 ． 【变式3】已知集合，，，则实数的取值范围是 ． 【变式4】已知集合，，，则实数的取值范围是 ． 【变式5】已知集合，，，则实数的取值范围是 ． 【变式6】已知集合，，，求实数的取值范围． 【变式7】已知集合，，，求实数的取值范围． 【变式8】已知集合，，，求实数的取值范围． 【变式9】已知集合，，，求实数的取值范围． 【典例2】已知集合,，且，则实数的取值范围是 【解析】，由，有或， 解得. 所以，实数的取值范围是。 【评注】本题分两种情况进行讨论，注意中间是“或”不是“且”。也可用补集思想求解：当时，则有或，解得或。所以当时， 。 【变式1】已知集合,，且，则实数的取值范围是 【变式2】已知集合，，若，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【变式3】设集合，，若，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 2.3 韦恩图（Venn图）的应用 【典例】在开秋季运动会时，某班级共有28名同学参加比赛，有15人参加径赛，有8人参加田赛，有14人参加球类比赛，同时参加田赛和径赛的有3人，同时参加径赛和球类比赛的有3人，没有同时参加三项比赛的同学，问同时参加田赛和球类比赛的有多少人？只参加径赛的同学有多少人？ 【解析】画出韦恩图，只参加径赛的人数为：。设同时参加田赛和球类比赛的有人，列式得，解得，故同时参加田赛和球类比赛的有3人，只参加径赛的同学有9人. 【评注】对于涉及的集合信息较多或对于未给元素的抽象集合，研究其关系或运算时，常可考虑用韦恩图求解．画出韦恩图，将每一个区域内的元素个数标出来。 【变式1】设集合是全集的子集，，，则下列选项中正确的是（ ） A.如果或，则 B.如果，则 C.如果，则 D.上述各项都不正确 【变式2】如图，是全集，是它的三个子集，则阴影部分所示的集合可表示为（ ） A. B . C. D. 【变式3】如图所示，M、P、S是V的三个子集，则阴影部分所表示的集合是（ ） A. B. C. D. 【变式4】已知I为全集，集合M、NI，若M∩N＝N，则（ ） A. B.M C. D.M 2.4 函数图象处理集合之间的包含关系 【典例*】设集合M=，集合B=，若，求实数的取值范围。 【解析】,设函数， 由知，在区间上的函数值都不大于0， 可利用的图象，得，即， 解得，. 故，实数的取值范围是 【评注】研究两个集合之间关系，尤其是一元二次不等式的解集，常见的方法是求出解集，用数轴去研究集合之间的关系。用数轴研究首先必须求出区间的端点坐标，也就是要准确求得一元二次方程的实数根，但是有时它的实数根含有无理式，这就需要解无理不等式，显然超出高考的要求。 不过，上述问题本质上就是判断区间端点在数轴上的位置关系，而这一点在平面直角坐标系中，借助函数图像对应的点在x轴的上下方也可以达到同样的小姑。 如本题集合A是不等式的解集，实质上就是函数的函数值小于0时对应的x的范围，在图形上表现为图象位于x轴下方的自变量的范围，，就是在区间上的函数值都不大于0。 【变式1】若点在直线与x轴交点的左侧，则实数的取值范围是__________ 【变式2】已知集合，，若，则实数的取值范围是__________ 【变式3*】 设集合，集合，若，求实数的取值范围. 2.5 元素不属于集合的两种处理方式 【典例】设集合，,则实数a的取值范围是 ． 【解析】（法1) 若，则，解得，其补集是. （法2）易知不满足，即有或，解得或， 所以，实数a的范围是． 【评注】这类问题适合用补集思想——即先求时a的取值范围再取补集即可。法2 中容易遗漏这种情况。 【变式1】集合,若，则实数a的取值范围是 ． 【变式2】关于的不等式的解集为,若，则实数的取值范围是 ． 【变式3】设不等式的解集为A，且，则的值是________． 2.6 区间可以排除结合的代表元素的形式差异 【典例*】设集合P=｛︱｝,，则________． 【解析】，，画出数轴，可判断． 【评注】集合中表示代表元素的字母可以不同，但是作为元素本质不变。例如集合与是相同的集合，因为它们都表示不大于2的所有实数的集合。 如果我们用区间表示集合，就不需要知道原来集合中的代表元素是谁，看到的仅仅是一个表示实数的连续的区间，可以免去因代表元素的字母不同带来的困惑。 【变式1】已知集合，，，，则________． 【变式2*】已知集合，，则等于 （ ） A． B． C． D． 【变式3*】设全集为, , ，则为________． 2.7 单元素集合与集合的子集只有一个的问题 【典例*】关于的方程的解集只有一个子集，求实数的范围． 【解析】由题意，关于的方程的解集为， ，即，解得. 【评注】注意只有一个子集与只含有一个元素的区别.单元素集合只有空集这一个真子集，但有两个子集：空集和它本身；若一个集合的子集只有一个，则该集合只能为空集. 【变式1】若关于的不等式的解集是单元素集合，则的最小值是 ． 【变式2*】设，集合A＝，B=，若AB只有一个真子集，则值的个数为（ ） A． B． C． D． 【变式3】若集合A＝｛x｜mx2＋2x＋m＝0，m∈R｝中有且只有一个元素，则m的取值集合是（ ） A．｛1｝ B．｛－1｝ C．｛0，1｝ D．｛－1，0，1｝ 3．集合中的计数问题 3.1集合元素的个数问题 【典例】已知集合，，则集合中元素的个数为________． 【解析】，集合中元素的个数为5． 【评注】集合中的任意两个元素互不相同，这是在计算并集元素个数时不可忽视的． 【变式1】已知集合，则集合中的元素的个数为（ ） A． 5 B．4 C．3 D．2 【变式2】已知集合，，，则集合中元素的个数为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式3】已知集合，}，则集合中有_____个元素. 【变式4】已知集合A＝{0,1,2}，则集合中元素的个数是(　　) A．1 B．3 C．5 D．9 【变式5】已知全集U＝A∪B中有m个元素，(∁UA)∪(∁UB)中有n个元素．若A∩B非空，则A∩B的元素个数为________． 3.2子集的个数问题 【典例】设集合，则满足的集合B的个数是（ ） A.1 B.3 C.4 D.8 【解析】，，则集合B中必含有元素3， 即此题可转化为求集合的子集个数问题， 所以，满足题目条件的集合B共有个． 故选C． 【评注】当集合元素较少时，可以按子集中元素的个数分类枚举，避免遗漏和重复． 当集合元素较多时，常用如下公式：若集合中含有n个元素，则集合的所有子集个数为，真子集个数为． 【变式1】设集合P＝{(x，y)|x＋y<4，x，y∈}，则集合P的非空子集个数是________． 【变式2】已知且A中至少有一个奇数，则这样的集合A共有_____个. 【变式3】在集合的子集中，含有元素的子集共有（ ） A．2个 B．4个 C．6个 D．8个 【变式4】已知集合，则集合P的真子集的个数为（ ） A．4 B．6 C．15 D．63 【变式5】满足，且的集合M的个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式6*】设集合，则的子集的个数是（ ） A．4 B．3 C．2 D．1 3.3和n有关的元素的个数 【典例】集合，，则 中所有元素的和等于_____. 【解析】首先求出在内形式为的整数， 因为， 所以，易知中满足条件的数为. 故所求和等于. 【评注】与指数幂形式有关的元素个数问题，常常要学会估算，或者记住几个常用的指数幂值. 本题中，先研究形如2的、且与1912和2004接近的数，只有2和2,再试验，看哪些数在[1912,2004]间且具有的形式； 闭区间内的整数个数为,但若中的是小数，最简单办法就是找简单例子试验一下，易得区间内的整数个数是不超过的最大整数. 【变式1】 设集合M＝{m|m＝2n，n∈N，且m<500}，则M中所有元素的和为________． 【变式2*】若是正整数，则区间中有个整数 设函数的定义域是，那么函数的值域中有_____个整数. 【变式3*】若是小数，则区间中的整数个数是不超过的最大整数 设函数的定义域是，那么函数的值域中有_____个整数. 4.如何避免出现几种常见的潜意识错误 4.1 不要把并集当做交集解 【典例*】设集合，，则（ ） A． B． C． D． 【解析】，，所以． 故选A． 【评注】审题时要看清求的是交集还是并集，不要把并集当做交集求解。 【变式1】集合A = { x | x < a}，B = { x | 1 < x < 2}，若，则实数a的取值范围是（ ） A．a≤1 B．a < 1 C．a≥2 D．a > 2 4.2*以为区间与集合没区别 【典例】已知={x| 2≤x≤5}, =[a+1,2a1].若，则实数的取值范围是______． 【解析】易知，所以应满足，解得2<a≤3． 故实数的取值范围是. 【评注】集合可以是空集，可以是单元素集合或多元素集合，可以是整数集合，而区间则表示的是连续的实数的集合．区间的右端点一定大于左端点。 【变式1】已知={x| 2≤x≤5},={x| a+1≤x≤2a1}.若，则实数的取值范围是______． 【变式2】已知集合A＝，集合B＝．若，则实数的取值范围是______． 【变式3】已知集合，AB，则实数的取值范围是 【变式4*】已知集合，是的充分不必要条件，求实数的取值范围 4.3别拿空集不当集合 【典例1】若集合，集合，且，求实数的取值范围． 【解析】①若，则，解得； ②若，则，解得，此时，适合题意； ③若，则，解得，此时，适合题意. 综上，实数的取值范围为． 【评注】因为空集是任何集合的子集，因此符合，，，. 【变式1】方程中最高次系数含字母时要考虑其可能为零. 已知集合，.若，求实数的值. 【变式2】已知集合，，若，求实数的值。 【变式3】不能忽视一元二次方程无解的情况 若集合，集合，且，求实数的取值范围． 【典例2】已知集合,，且，则实数的取值范围是( ) A. B. C. D. 【解析】化简得．当时，成立，即有成立,所以；当时，要使,故需，解得．综上，.故选D. 【评注】本题易错点是对的认识不足而忽视的情形，应注意：空集是任何集合的子集，记为；空集是任何非空集合的真子集． 对于含参的集合问题，要注意有和两种情形. 【变式1】已知集合A＝{x|1＜x＜3}，B＝{x|2m＜x＜1－m}．若，则实数m的取值范围是 ． 【变式2】遇到条件、时，要注意情形的讨论． 已知集合，，若，则实数a的取值范围是______． 【变式3】 已知集合，若，则的取值范围是 【变式4】已知集合={x| －2≤x≤7 }, ={x|m+1＜x＜2m－1｝，若，则实数的取值范围是 ． $第三课 集合 1. 集合的概念与运算1.1集合的表示 ( 6 ) 学科网（北京）股份有限公司 1.B【解析】正方形是特殊的矩形，故选B． 2.7【解析】集合P的元素个数为3，所以其非空子集个数为：． 3. {0，1，2}【解析】，，则{0，1，2}． 4. 0【解析】集合A是数集，B是点集，两个集合无公共元素．故元素的个数为0. 1.2元素的性质 1.C【解析】A、B、D各组对象均是确定的，C中对象是不确定，因为没有提出具体的近似要求， 所以给定一个数就很难判断它是不是的近似值，故选C. 2.D【解析】由集合中元素的互异性可知: △一定不是等腰三角形. 3. 或【解析】当时，方程有两个不等实根，两根之和为， 所以中所有元素之和等于; 当时,方程的根为，=， 则中所有元素的和等于. 故所求和为或． 1.3元素与集合的关系 【典例1】 1.D【解析】对A, ∵0是一个数，0不可能是集合X的子集，∴A错； 对B、C,符号用错；对D， ∵，∴正确. 2. D【解析】∵，∴，故选D． 【典例2】 1.B【解析】∵可取，时都有，∴有个元素. 2.【解析】集合中元素应是，而不是，满足的条件是且． ，又，可取． 为，故集合. 3.【解析】是的正约数，∴ 可以是； 相应的为，即 . ∴的所有子集为. 4.6【解析】依题可知，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”， 这三个元素一定是相连的三个数，即， 故这样的集合共有6个． 答案：6 1.4集合的包含关系 1.C【解析】由子集概念，对于，都有，结合数轴，应选C． 2.【解析】或，解得，故实数的取值集合为. 1.5 集合的交集 1. D【解析】，所以，选D. 2.D【解析】两个集合的交集还是一个集合，因为是两个点集， 而A选项是的值，B选项是一个点，所以A,B都不对； C选项虽是集合但不是点集，所以C不对.故选D. 3.A【解析】化简得，，借助数轴，可知，故选A． 1.6集合的并集 1.A【解析】由已知，集合A∪B＝{x|－1＜x＜3}，故选A. 2.A【解析】，选A. 3.C【解析】∵,∴. 4.C【解析】，{x|－1＜x＜1}， ，选C. 5. 【解析】由得．又，故实数的取值范围为． 1.7集合A的补集 【典例1】 1.C【解析】由补集的概念，得，故选C． 2.B【解析】. 3.C【解析】根据补集的运算得，所以，故选C 4. {0,1,2,3,4,6,7,9}【解析】，所以={0,1,2,3,4,6,7,9}． 5. {是只有一组对边平行的四边形}【解析】全集是有一组或两组对边平行的四边形组成，集合A是由两组对边平行的四边形组成，所以{是只有一组对边平行的四边形}. 【典例2】 1.【解析】，。 2.B【解析】因为，所以，所以. 1.8两个集合相等元素相同 【典例1】 1.C 【解析】只有C中的两个集合的元素完全相同。与3.14159不相等，故A中两个集合不相等； 在选项B中，集合A含有两个元素，集合B中只有一个元素； 选项D中，集合A中含有两个元素0和1。所以选C。 2.【解析】或，可以求出或， 考察互异性判断不符合题意，所以． 3.【解析】由 A = B ，得 由集合的互异性可知m≠1．所以m =－1，n = 0． 【典例2】 1.C【解析】对任意，均有， 而当为偶数时，令，， 则，故，故选C. 2.C【解析】当n 为偶数时，为整数；当为奇数时，，其中为整数， 所以N=M∪P，故选C. 3.A【解析】∵，，∴. 4.C.【解析】集合S表示的是所有偶数的集合，集合T表示的是奇数集，显然这两个集合之间不存在包含或相等的关系，因此A,B，D错误，故选C. 2.集合问题研究策略 2.1用数轴解决集合间的包含关系 【典例1】 1.C【解析】由子集概念，对于，都有，结合数轴表示，应选C． 2. 【解析】，故，即. 3．D【解析】集合，，利用数轴， 可得或，解得或，即，故选D． 【典例2】 1.【解析】且，且这两个不等式中的“等号”不能同时取到，解得. 2. 【解析】且等号不同时成立，解得． 3. 【解析】且，且这两个不等式中的“等号”不能同时取到，解得 4. 【解析】若B是空集，则解出； 若B不是空集，则解出。综上可得。 2.2用数轴处理两个集合存在公共元素的问题 【典例1】 1.【解析】，解得. 2.【解析】，解得. 3.【解析】，解得. 4.【解析】，，，解得. 5.【解析】，由或，解得或. 6.【解析】，由，解得. 7. 【解析】，由或，解得或. 8. 【解析】，，由，解得. 9. 【解析】区间的左右端点满足：，即， 这是实数必须满足的大前提. （法1）比较区间端点可知时，或，解得的取值范围是. （法2）当时，，解得，故时的取值范围是. 【典例2】 1. 【解析】，由，故或， 解得. 2.D【解析】依题意，结合数轴，可以确定出. 3.A【解析】，依题意，，所以，解得，所以． 2.3 韦恩图（Venn图）的应用 1. D【解析】利用Venn图举反例. 2.C【解析】阴影部分的元素属于集合P和集合M，但不属于集合S，故选C。 3.C【解析】图中的阴影部分是子集,但不属于集合P，属于集合P的补集，故选C. 4.C【解析】（法1）∵M∩N=N，∴NM，∴ （法2）画出韦恩图，显然：，故选C. 2.4 函数图象处理集合之间的包含关系 1.【解析】与x轴的交点为， 依题意，，解得. 2.【解析】依题意，，解得. 3. 【解析】设函数，若，作出的草图， 则有或，解得或，即. 2.5 元素不属于集合的两种处理方式 1. 【解析】依题意知1，所以． 2. 【解析】，所以，解得或； 若，，解得或，其补集是， 所以实数的取值范围是. 3.1【解析】因为，且，所以，且解得， 又，故。 2.6 区间可以排除结合的代表元素的形式差异 1.{0，1，2}【解析】，，则{0，1，2}． 2.A【解析】，，借助数轴，可知，故选A． 3. 【解析】解得，故，，， ． 2.7 单元素集合与集合的子集只有一个的问题 1.0【解析】依题意得方程有等根，所以，得， 所以，即的最小值为0，当且仅当符合题意. 2.A【解析】由题意，AB为单元素集，即双曲线与有且仅有一个交点， 则为双曲线切线或与渐近线平行，值的个数为，故选A. 3.D【解析】集合中只含有1个元素，所以方程mx2＋2x＋m＝0为一次方程或二次方程有两个相等的实数根，因此满足或，m的取值集合是｛－1，0，1｝ 3．集合中的计数问题 3.1集合元素的个数问题 1.D【解析】 依题意，得集合，所以集合中的元素个数为2，故选D． 2.B【解析】因为，所以当时，或，此时； 当时，或，此时； 所以集合共3个元素，应选B. 3.0【解析】由得.∵Δ＜0， ∴A=，.所以中有0个元素. 4.C【解析】因为，所以当时，，此时； 当时，，此时； 当时，，此时. 故集合共五个元素，应选C. 5.m－n【解析】U＝A∪B中有m个元素，∵(∁UA)∪(∁UB)＝∁U(A∩B)中有n个元素， ∴由图可知A∩B中有m－n个元素． 3.2子集的个数问题 1.7【解析】集合P中的元素个数为3，所以其非空子集个数为． 2.5【解析】A可以是,,,,.故A共有5个． 3.B【解析】A的子集共个，含有元素0的和不含元素0的子集各占一半，有4个．选B. 4.D【解析】由已知得，故集合P的真子集的个数为． 5.B【解析】集合M中必含有,则或.故集合M的个数是2. 6.A【解析】集合是以原点为对称中心的，长半轴长为3，短半轴长为2的椭圆； 集合是过点（0，1）的指数函数的图象，数形结合可知中有两个元素， 所以的子集的个数是4，应选A． 3.3和n有关的元素的个数 1.511【解析】∵2n<500，∴n＝0,1,2,3,4,5,6,7,8，∴M中所有元素的和S＝1＋2＋22＋…＋28＝511. 2.【解析】在定义域()，函数的值域是， 值域中含有个整数. 3.【解析】函数在区间上单调递增， 所以函数的值域是，值域中含有个整数. 4.如何避免出现几种常见的潜意识错误 4.1 不要把并集当做交集解 1．C【解析】，因为，所以a≥2，选C. 4.2*以为区间与集合没区别 1. 【解析】①当时，即，有a＜2； ②当，则，解得2≤a≤3.综合①②得a的取值范围为a≤3. 2. 【解析】，解得，所以实数a的取值范围为． 3.【解析】，得，当，不符合，所以。 4.【解析】因为BA，得，解得 ，但是当，不符合，所以。 4.3别不拿空集不当集合待 【典例1】 1.或【解析】集合，又，当时，a=0；当时，a=1；当时，.综上，a的值为或. 2. 【解析】由，则集合B有两种可能，一种是空集，一种是有限集， 当集合B是空集时，显然a=0， 当集合B是有限集时，解得，则有或者。 即a的值为。 3.【解析】（1）若，则，解得； （2）若，则，解得，此时，适合题意； （3）若，则，解得，此时，不合题意. 综上，实数的取值范围为． 【典例2】 1. 【解析】由，得： ①若2m≥1－m，即m≥时，，符合题意； ②若2m＜1－m，即m＜时，需或解得0≤m＜. 综上，实数m的取值范围是. 2. 【解析】因为，所以， 当时，，解得； 当时，需满足，解得. 综上，实数a的取值范围是． 3.【解析】易知集合. 若，则，符合； 若，则集合满足，，且，. 故的取值范围为． 4.≤4【解析】则． 当=时，m+12m－1,解得; 当时,，解得．所以实数的取值范围是≤4． $