精品解析：安徽省宿城第一中学2026届高三5月份模考数学试卷

2026届高中毕业班模拟检测数学试卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，，若含有4个元素，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 2. 已知随机变量服从标准正态分布，且，则（ ） A. 0.1 B. 0.2 C. 0.3 D. 0.6 3. 已知向量与，，向量在向量方向上的投影向量是，则（ ） A. 4 B. 16 C. 1 D. 3 4. 已知，则（ ） A. 2 B. -2 C. 3 D. -3 5. 已知为奇函数，当时，，则曲线在处的切线方程是（ ） A. B. C. D. 6. 直线与圆相交于，两点，当面积最大时，（ ） A. 0 B. C. D. 7. 在三棱锥中，，若为三棱锥的外接球直径，且与所成角的余弦值为，则该外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 8. 已知是抛物线：的焦点，直线与抛物线相交于两点，满足，记线段的中点到抛物线的准线的距离为，则的最大值为（ ） A. 2 B. C. 3 D. 4 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. 的最小正周期为 B. C. D. 若将的图象向右平移个单位，则所得函数是偶函数 10. 已知函数，则下列说法正确的是（    ） A. 若为的极小值点，则的取值范围为 B. 存在，使得在上有且仅有一个零点 C. 当时，过点存在两条直线与曲线相切 D. 存在，使得 11. 已知棱长为2的正方体中，，分别是棱，的中点，为棱上一点，动点在线段上，动点在正方形内及其边界上，且．记点的轨迹为曲线，则（ ） A. B. 曲线的长度为 C. 存在，，使得平面 D. 当与只有一个公共点时， 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.将答案填在答题卡相应的位置上. 12. 复数满足，则的实部为______. 13. 设双曲线的右焦点为，过点且垂直于轴的直线交两渐近线于两点，与双曲线的一个交点为（在轴同侧）．且，则该双曲线的离心率为___________． 14. 预制菜指以农、畜、禽、水产品为原辅料，配以调味料等经预选、调制等工艺加工而成的半成品.近几年预制菜市场快速增长.某城市调查近4个月的预制菜市场规模y（万元）得到如表所示的数据，根据数据得到y关于x的非线性回归方程 1 2 3 4 按照这样的速度，预估第10个月的预制菜市场规模是______万元.（结果用e表示） 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，，． （1）求； （2）设为边的中点，若，求的面积． 16. 甲、乙两人参加学校组织的数学知识竞赛，规则如下：每轮比赛从题库中随机抽取两个问题，先由甲回答第一题，然后乙回答第二题.答题者若答对则得1分，答错则对方得1分.当某轮比赛结束后出现一人总分比另一人多2分，则比赛结束，得分多者获胜.已知无论之前答题情况如何，甲每题回答正确的概率为，乙每题回答正确的概率为. （1）记X为第一轮答题后甲的总分，求X的分布列和数学期望； （2）求甲在这次竞赛中获胜的概率. 17. 对于正实数a，，我们熟知基本不等式：，其中为a，b的几何平均数，为a，b的算术平均数．现定义a，b的对数平均数：． （1）设，求证：； （2）证明； （3）若不等式对任意正实数恒成立，求正实数m的取值范围． 18. 已知点在直线上移动，椭圆以和为焦点且经过点. （1）当椭圆的长轴长最小时，求椭圆的标准方程； （2）在（1）的条件下，直线与椭圆交于A、B两点（其中点A在x轴上方，点B在x轴下方）.将平面沿x轴折叠，使y轴正半轴和x轴所确定的半平面（平面）与y轴负半轴和x轴所确定的半平面（平面）垂直. ①当B为椭圆的下顶点时，求折叠后直线与平面所成角的正弦值； ②求三棱锥体积的最大值. 19. 在数1和4之间插入个实数，使得这个数构成递增的等比数列，将这个数的乘积记作， （1）求； （2）证明：； （3）设，，记数列前项和，若，求. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届高中毕业班模拟检测数学试卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，，若含有4个元素，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据集合元素的互异性及并集的概念求解即可. 【详解】根据集合元素的互异性可知，，. 因为含有4个元素，所以仅含有1个元素， 若，则或，所以或. 若，则. 结合集合元素的互异性可知或. 当时，，，，符合题意. 当时，，，，不符合题意. 综上，. 2. 已知随机变量服从标准正态分布，且，则（ ） A. 0.1 B. 0.2 C. 0.3 D. 0.6 【答案】B 【解析】 【分析】根据正态分布的对称性求解即可. 【详解】由题意，随机变量服从标准正态分布，则， 因为，所以， 则， 所以. 故选：B. 3. 已知向量与，，向量在向量方向上的投影向量是，则（ ） A. 4 B. 16 C. 1 D. 3 【答案】A 【解析】 【详解】由题设，则， 由，则. 4. 已知，则（ ） A. 2 B. -2 C. 3 D. -3 【答案】D 【解析】 【分析】根据诱导公式和齐次思想化简计算即可. 【详解】由，得， 故. 5. 已知为奇函数，当时，，则曲线在处的切线方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据奇函数定义可得当时，函数的解析式，求导，结合导数的几何意义求切线方程. 【详解】因为为奇函数，当时，， 当时，可得， 则，可得，， 所以曲线在处的切线方程是，即. 故选：D. 6. 直线与圆相交于，两点，当面积最大时，（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出圆心和半径，直接利用三角形面积公式求出最值，从而得到圆心到直线的距离，代入计算即可. 【详解】，即， 则其圆心为，半径为，而， 当且仅当时等号成立，此时为顶点为的等腰直角三角形， 此时圆心到直线的距离， 则，解得. 故选：B. 7. 在三棱锥中，，若为三棱锥的外接球直径，且与所成角的余弦值为，则该外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据与所成角的余弦值列方程，求得外接球的半径，进而求得外接球的表面积. 【详解】设外接球的半径为，则，由于是外接球的直径， 所以， ，所以， 所以，所以， 所以， ， 设与所成角为，则， 整理得，所以外接球的表面积为. 故选：A 【点睛】方法点睛： 求解外接球有关问题，关键是找到球心并计算出半径；求解异面直线所成的角，可以利用几何法来求解，也可以利用向量法来进行求解. 8. 已知是抛物线：的焦点，直线与抛物线相交于两点，满足，记线段的中点到抛物线的准线的距离为，则的最大值为（ ） A. 2 B. C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】设两焦半径，由抛物线定义将中点到准线距离转化为焦半径和的一半，再求焦点到中点距离的平方，利用基本不等式消元求比值的最大值. 【详解】设，过点分别作抛物线的准线的垂线，垂足分别为， 则，点到抛物线的准线的距离为， 因为， ， 所以， 又因为，所以，当且仅当时等号成立， 所以，故. 所以的最大值为. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. 的最小正周期为 B. C. D. 若将的图象向右平移个单位，则所得函数是偶函数 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据函数的图象，求函数的解析式，再根据函数的性质判断选项. 【详解】由图象可知，，得，函数的最小正周期为， 时，，得，，且， 所以，所以，C正确； 函数的最小正周期，A正确；，B错误； 将的图象向右平移个单位，得到函数，为偶函数，故D正确. 10. 已知函数，则下列说法正确的是（    ） A. 若为的极小值点，则的取值范围为 B. 存在，使得在上有且仅有一个零点 C. 当时，过点存在两条直线与曲线相切 D. 存在，使得 【答案】ABD 【解析】 【分析】对A，对求导，再利用极值的定义，即可求解；对B，当，求出的单调区间，进而可得方程的解满足题意，即可求解；对C，设出切点，根据条件，将问题转化成判断方程解的个数，即可求解；对D，令，，将问题转化成方程有解，即可求解. 【详解】对于A，因为，令，得到或， 若为的极小值点，则，解得，所以A正确， 对于B，因为，当时，则的增区间为，减区间为， 又，若，即， 解得，此时在上有且仅有一个零点，故B正确， 对于C，设切点为，则，又， 则切线方程为，又切线过点， 则，整理得到， 令，则，令，得到或， 当时，，当时，，当时，， 所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增， 又时，，时，，且时，，时，， 所以与轴有个交点，即有个解，故C错误， 对于D，令，， 则， 令，得到，所以D正确， 11. 已知棱长为2的正方体中，，分别是棱，的中点，为棱上一点，动点在线段上，动点在正方形内及其边界上，且．记点的轨迹为曲线，则（ ） A. B. 曲线的长度为 C. 存在，，使得平面 D. 当与只有一个公共点时， 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，根据条件可得面，即可求解；对于B，根据条件可得点的轨迹是以为圆心，为半径的圆弧，即可求解；对于C，根据条件可得面面，即可求解；对于D，在面上建立平面直角坐标系，根据条件，求出的坐标，即可求解. 【详解】对于选项A，如图1，连接，因为，分别是棱，的中点，则， 由正方体的性质易知，所以，又面，面，所以面， 则动点到平面的距离为定值，又动点在线段上，则，所以选项A正确， 对于选项B，如图2，连接，因为面，又面，所以， 又，E是棱的中点，所以，则点的轨迹是以为圆心，为半径的圆弧， 所以曲线的长度为，故选项B错误； 对于选项C，如图2，连接，，且与曲线交于， 因为，面，面，所以面， 又易知，面，面，所以面， 又，面，所以面面， 因为面，所以面，则与重合时，平面，所以选项C正确， 对于选项D，如图3，建立平面直角坐标系，则动点在圆上， 当与曲线只有一个公共点时，设直线的方程为， 则，整理得到，解得或（舍），所以， 令，得到，即，所以，所以选项D错误， 故选：AC. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.将答案填在答题卡相应的位置上. 12. 复数满足，则的实部为______. 【答案】 【解析】 【详解】设，则， 根据复数相等的定义可得，，解得，即， 故实部为. 13. 设双曲线的右焦点为，过点且垂直于轴的直线交两渐近线于两点，与双曲线的一个交点为（在轴同侧）．且，则该双曲线的离心率为___________． 【答案】## 【解析】 【分析】借助渐近线方程及双曲线方程可求出点、坐标，再利用题目条件计算即可得解. 【详解】双曲线的渐近线方程为，设点在轴上方，则， 将代入，有，解得，则， 则有，即，则. 14. 预制菜指以农、畜、禽、水产品为原辅料，配以调味料等经预选、调制等工艺加工而成的半成品.近几年预制菜市场快速增长.某城市调查近4个月的预制菜市场规模y（万元）得到如表所示的数据，根据数据得到y关于x的非线性回归方程 1 2 3 4 按照这样的速度，预估第10个月的预制菜市场规模是______万元.（结果用e表示） 【答案】 【解析】 【分析】两边取对数，求出样本中心点，得到方程，求出，得到回归方程，求出答案. 【详解】令，则，， 所以，则，所以， 代入回归方程，则，可得万元. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，，． （1）求； （2）设为边的中点，若，求的面积． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理余弦定理化简已知得，再利用平方关系求出即得解； （2）利用余弦定理求出，由（1）及三角形面积公式即得解. 【小问1详解】 设内角的对边分别为， 因为，由正弦定理可知， 由余弦定理可知．解得， 所以由正弦定理得. 又因为，所以． 【小问2详解】 由（1）可知，， 因为，所以是锐角. 因为所以 由余弦定理可知， ， 所以，， 所以由（1）及三角形面积公式可知． 16. 甲、乙两人参加学校组织的数学知识竞赛，规则如下：每轮比赛从题库中随机抽取两个问题，先由甲回答第一题，然后乙回答第二题.答题者若答对则得1分，答错则对方得1分.当某轮比赛结束后出现一人总分比另一人多2分，则比赛结束，得分多者获胜.已知无论之前答题情况如何，甲每题回答正确的概率为，乙每题回答正确的概率为. （1）记X为第一轮答题后甲的总分，求X的分布列和数学期望； （2）求甲在这次竞赛中获胜的概率. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）分析总分各取值，求其概率并列出分布列，进而按期望公式求出期望. （2）利用全概率公式，根据第一轮后甲得分三种情形进行递归分解，其中时比赛状态重置，时甲失败、时甲获胜，从而建立关于获胜概率的方程并求解. 【小问1详解】 第一轮答题后甲的总分X可取， ，，， X的分布列为 . 【小问2详解】 记D="甲在这次竞赛中获胜"，因为甲获胜至少经过一轮答题，由（1）知， 一轮回答后有三种情形，由全概率公式得： ， 是指一轮答题后甲得0分的条件下甲获胜的概率，为0（乙获胜，比赛结束）； 是指一轮答题后甲得1分的条件下甲获胜的概率为； 是指一轮答题后甲得2分的条件下甲获胜的概率为1； 所以 解得 ， 所以甲在这次竞赛中获胜的概率. 17. 对于正实数a，，我们熟知基本不等式：，其中为a，b的几何平均数，为a，b的算术平均数．现定义a，b的对数平均数：． （1）设，求证：； （2）证明； （3）若不等式对任意正实数恒成立，求正实数m的取值范围． 【答案】（1） 设，则， 故当时，恒成立，即在上单调递减，又，故时， 即时，，即得证. （2） 要证，需证，因，故只需证，，即证，. 设，则，由（1）可得，即得， 故得证. （3） 【解析】 【分析】（1）构造函数，利用其单调性可证得推理即得； （2）将待证式等价转化成，设，则，利用（1）的结论证明即可； （3）将题设不等式等价转化成，设，则，将问题化成在时恒成立.，设，分类讨论其导函数的零点情况，探讨函数的值域情况即得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由不等式对任意正实数恒成立可得， ，即恒成立. 设，则，则有，化简得，，即在时恒成立. 设，则 ① 当时，即时，方程有两个异根， 由，可取则， 因，故当时，，在上单调递增，故，与题意不符，故舍去； ② 当时，因，则， 即，在上单调递减，故恒有成立，符合题意. 综上可知， 【点睛】思路点睛：本题主要考查运用导数证明不等式，解决不等式恒成立求参问题，属于难题. 导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用． 18. 已知点在直线上移动，椭圆以和为焦点且经过点. （1）当椭圆的长轴长最小时，求椭圆的标准方程； （2）在（1）的条件下，直线与椭圆交于A、B两点（其中点A在x轴上方，点B在x轴下方）.将平面沿x轴折叠，使y轴正半轴和x轴所确定的半平面（平面）与y轴负半轴和x轴所确定的半平面（平面）垂直. ①当B为椭圆的下顶点时，求折叠后直线与平面所成角的正弦值； ②求三棱锥体积的最大值. 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）将 关于直线 对称得 ，由椭圆定义转化 ，取等时得最小长轴长，进而求椭圆方程； （2）① 联立直线与椭圆求交点，翻折后建立空间直角坐标系，用向量法求线面角正弦值； ② 联立直线与椭圆，由韦达定理得表达式，翻折后三棱锥体积化为关于的函数，用二次函数最值求最大值. 【小问1详解】 设关于对称的点， 则由垂直关系和和中点在直线上，可得 ，解得. （当且仅当三点共线时等号成立）. ∴椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 翻折后，如图：   ①当为椭圆的下顶点时，由题意知，直线， 联立方程组可得，解得或，∴. 令原来轴负半轴所在直线为轴， 则，，，， ∴，，， 设为平面的一个法向量， 则， 令，所以，即， 设直线与平面的夹角为， 则. ②联立方程组，整理得， ，∴， 设，，则，， ， 由可得，，， ∴. 所以当时，的体积最大，此时. 19. 在数1和4之间插入个实数，使得这个数构成递增的等比数列，将这个数的乘积记作， （1）求； （2）证明：； （3）设，，记数列前项和，若，求. 【答案】（1）， （2）由题意和（1）知 因为 所以 （3） 【解析】 【分析】（1）利用等比数列的对称项乘积为常数，将正序与倒序相乘，开方得到所有项乘积. （2）利用三角恒等式将每一项裂项为相邻余切差，从而通过裂项相消求和，化简为仅含首末项的表达式. （3）该思路先按公比是否为1分类求出，再代入的求和式，并借助二项式定理及其导数化简组合数加权和，最终分段表示结果. 【小问1详解】 设，，……，构成等比数列，其中=1，=4， 则，① ，② ∵， ①×②得， ∴. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ； 当时，； 当时，；综上所述：. ①当时，； . 令得：，即； ②当时，； 综上所述：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $