精品解析：安徽蚌埠市2026届高三年级一模考试（期末）数学试题

安徽蚌埠市2026届高三第一次教学质量检查考试数学试题 本试卷满分150分，考试时间120分钟 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡和试卷上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知i为虚数单位，复数满足，则在复平面内对应点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 某高中为了解在校学生身高发育情况，在高一、高二、高三年级中各随机抽取了的学生，并分别统计了三个年级所抽取学生的平均身高，列表如下： 年级 高一 高二 高三 样本容量 38 32 30 平均身高 则估计该校全体学生的平均身高为（ ） A B. C. D. 4. 已知非零向量与的夹角为，则“”是“为锐角”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知点是椭圆上的一点，为的左焦点，则以PF为直径的圆与圆的位置关系是（ ） A. 内含 B. 内切 C. 相交 D. 外切 7. 已知等差数列前项和为，等差数列的前项和为，且，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数及其导函数的定义域都是，若函数是偶函数，也是偶函数，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知抛物线的焦点为，过点的直线交于点．连接BF并延长交于点，点为坐标原点，则下列结论正确的是（ ） A. B. 存在直线，使为直角 C. D. 直线MB与ME斜率之和为零 11. 某商场为了吸引顾客前来消费，开展抽奖活动，规定消费每满100元即可获得一次抽奖机会．已知顾客第一次抽奖的中奖概率为，从第二次抽奖开始，若前一次没有中奖，则这次抽奖的中奖概率为，若前一次中奖，则这次抽奖的中奖概率为．记顾客第次抽奖的中奖概率为，则（ ） A. B. 某顾客消费200元，则其中奖概率为 C. 的最大值为 D. 当时，越大，越小 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数若，则________________. 13. 若一个圆台的高为，母线与底面所成角为，侧面积为，则该圆台的体积为______________. 14. 干支纪年是中国的一种纪年法，分别排列出十天干与十二地支如下： 天干：甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸 地支：子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥 把天干与地支按以下方法依次配对：把第一个天干“甲”与第一个地支“子”配出“甲子”，把第二个天干“乙”与第二个地支“丑”配出“乙丑”，…，若天干用完，则再从第一个天干开始循环使用，若地支用完，则再从第一个地支开始循环使用．若2026年即丙午年为第1年，则第年是____________年（用干支纪年表示）． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知且． （1）求； （2）若，求的面积． 16. 某市科协开展“科技大篷车”进校园活动，为了解此次活动的效果，对某校参与活动的480名同学进行了问卷调查，得到如下列联表： 对活动的评价 满意 不满意 合计 男生 240 40 280 女生 120 80 200 合计 360 120 480 （1）根据小概率值的独立性检验，分析对活动的评价是否与性别有关； （2）在对活动评价“不满意”的学生中抽取2名男生和4名女生，从中任选3人了解不满意的原因，记选中的3人中男生人数为，求的分布列和数学期望． 附：， 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 17. 如图，在四棱锥中，底面是菱形，为的中点，为棱上一点． （1）当时，求证：平面； （2）已知平面平面，当二面角的大小为时，求． 18. 已知双曲线的右焦点为，一条渐近线方程为，为坐标原点，直线经过点与双曲线的右支交于M，N点，为MN的中点． （1）求双曲线的标准方程； （2）直线平行于，且与双曲线的右支相切于点． （i）求证：O，P，Q三点共线； （ii）设直线与两条渐近线相交于A，B点，直线与两条渐近线相交于C，D点，记的面积分别为，求的最大值． 19. 已知函数． （1）若直线与函数的图象均相切，求直线的方程； （2）记． （i）求的单调区间； （ii）若，其中，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 安徽蚌埠市2026届高三第一次教学质量检查考试数学试题 本试卷满分150分，考试时间120分钟 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡和试卷上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】化简集合，再根据并集的概念求解. 详解】，又， 所以，即， 故选：A. 2. 已知i为虚数单位，复数满足，则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】由已知得到，再根据复数几何意义求解. 【详解】由，即得， 根据复数的几何意义复数对应复平面内的点，位于第三象限， 故选：C. 3. 某高中为了解在校学生的身高发育情况，在高一、高二、高三年级中各随机抽取了的学生，并分别统计了三个年级所抽取学生的平均身高，列表如下： 年级 高一 高二 高三 样本容量 38 32 30 平均身高 则估计该校全体学生的平均身高为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据均值的定义判断． 【详解】由题意平均身高为， 故选：D． 4. 已知非零向量与的夹角为，则“”是“为锐角”的（ ） A 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据充分必要条件定义判断． 【详解】为锐角时，，因此是必要的， 时，，满足，但不是锐角，因此不充分，故是必要不充分条件， 故选：B． 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平方关系和商数关系求出，再由二倍角公式求解，利用诱导公式化简求值. 【详解】因为，，所以， 由，解得， 因为，所以，， 由，即解得， 所以. 故选：B. 6. 已知点是椭圆上的一点，为的左焦点，则以PF为直径的圆与圆的位置关系是（ ） A. 内含 B. 内切 C. 相交 D. 外切 【答案】A 【解析】 【分析】通过椭圆的定义和三角形中位线定理，得出两圆的圆心距，再比较它与 的大小判定两圆的位置关系. 【详解】因为椭圆方程为，所以，得， 以为直径的圆，圆心为的中点，设为，半径为， 设为右焦点，则原点为的中点，如下图： 根据椭圆定义， 则， 圆，圆心为，半径， 则，即两圆圆心距小于两半径之差， 所以两圆内含， 故选：A. 7. 已知等差数列的前项和为，等差数列的前项和为，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用等差数列的性质，将转化为前项和的比值进行计算。 【详解】根据等差中项性质，， 所以. 又因为等差数列前项和， 所以. 已知，令，则， 因此，， 故选：C. 8. 已知函数及其导函数的定义域都是，若函数是偶函数，也是偶函数，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数奇偶性以及导函数性质可得，求导并利用基本不等式可判断的单调性，解不等式可得结果. 【详解】由题意知，两边同时求导，即是奇函数， 令， 则，可得， 令， 可得， 易知，当且仅当时，等号成立； 即函数在上单调递减，又是奇函数，可得, 当时，,单调递增，当时，,单调递减， 因函数是偶函数，则， 可知不等式等价于，即， 即，即可得，解得或, 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据不等式的性质及基本不等式的应用，需逐一分析选项，结合已知条件且进行判断. 【详解】A选项，因为，所以， 由于，则，所以，A选项正确； B选项，， 因为（当且仅当时取等号）， 所以，则，B选项正确； C选项，，由，可得， 所以，C选项错误； D选项，因为，所以， 函数在上单调递增，所以，即，D选项正确. 故选：ABD. 10. 已知抛物线的焦点为，过点的直线交于点．连接BF并延长交于点，点为坐标原点，则下列结论正确的是（ ） A. B. 存在直线，使为直角 C. D. 直线MB与ME斜率之和为零 【答案】ACD 【解析】 【分析】对A，设过点的直线方程并联立抛物线，利用韦达定理得到，进而推出；对B，假设为直角，通过数量积推出，与抛物线的性质矛盾，从而判定为错误；对C，利用抛物线焦点弦的性质求出点的坐标，计算数量积，判定为正确；对D，求出直线与的斜率表达式，代入点坐标化简后，发现两者斜率互为相反数，和为零. 【详解】对于A：设直线，由得， 由韦达定理可得，所以，A正确； 对于B：由抛物线方程可知焦点，则， 若为直角，则，即， 解得，但抛物线上的点满足，B错误； 对于C：点在直线上，由抛物线焦点弦的性质，所以，， ，C正确； 对于D：直线的斜率，直线的斜率， 又， 所以， 所以，D正确； 故选：ACD. 11. 某商场为了吸引顾客前来消费，开展抽奖活动，规定消费每满100元即可获得一次抽奖机会．已知顾客第一次抽奖的中奖概率为，从第二次抽奖开始，若前一次没有中奖，则这次抽奖的中奖概率为，若前一次中奖，则这次抽奖的中奖概率为．记顾客第次抽奖的中奖概率为，则（ ） A. B. 某顾客消费200元，则其中奖概率为 C. 的最大值为 D. 当时，越大，越小 【答案】AC 【解析】 【分析】对A，根据抽奖规则建立递推公式，代入算出验证选项；对B，用对立事件概率公式计算两次抽奖至少中奖一次的概率进行判断；对C，将递推公式变形构造等比数列，求出通项后分奇偶讨论验证选项；对D，根据通项公式分析奇偶项的单调性，进行判断. 【详解】对于A：由题意可得， 所以，A正确； 对于B：第一次未中奖的概率为，在第一次未中奖的条件下，第二次也未中奖的概率为， 因此，两次均未中奖的概率为，由对立事件的概率可得其中奖概率为：，B错误； 对于C：由得，所以是等比数列， 首项为，公比为， 所以. 当为奇数时，； 当为偶数时，随增大而减小，当时取得最大值， 综上，的最大值为，C正确； 对于D：当为奇数时，，随的增大而增大； 当为偶数时，随增大而减小，D错误； 故选：AC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数若，则________________. 【答案】 【解析】 【分析】求出，再代入求值即可 【详解】因为，所以， 因为，所以且，得. 故答案为： 13. 若一个圆台的高为，母线与底面所成角为，侧面积为，则该圆台的体积为______________. 【答案】 【解析】 【分析】设上底面半径为，结合题意得母线，下底面半径为，再结合侧面积求得，最后计算体积即可. 【详解】如图，根据题意，，， 所以，在中，，， 设上底面半径为，则下底面半径为， 所以圆台的侧面积为，解得 所以圆台的体积为 故答案为： 14. 干支纪年是中国的一种纪年法，分别排列出十天干与十二地支如下： 天干：甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸 地支：子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥 把天干与地支按以下方法依次配对：把第一个天干“甲”与第一个地支“子”配出“甲子”，把第二个天干“乙”与第二个地支“丑”配出“乙丑”，…，若天干用完，则再从第一个天干开始循环使用，若地支用完，则再从第一个地支开始循环使用．若2026年即丙午年为第1年，则第年是____________年（用干支纪年表示）． 【答案】丙午 【解析】 【分析】将问题利用二项式定理解决整除问题求解. 【详解】由题意可知干支纪年排列的周期为. ， 由二项式定理，， 则除最后一项外，其余各项都能被整除， 而， 则除最后一项外，其余各项都能被整除， 所以被除所得余数为，即第年与第一年的干支纪年相同， 故答案为：丙午. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知且． （1）求； （2）若，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）方法一：根据正弦定理将条件中的角转化为边，再结合余弦定理得出，进而即可得出结论. 方法二：根据，将条件转化为角之间的关系，求出. （2）根据三角形的面积公式求解. 【小问1详解】 方法一：由条件及正弦定理，，所以， 由余弦定理，， ，化简得， 所以，可得， ，又，所以． 方法二：由题意，所以， 又由，得，故 ， 即， 解得，从而． 【小问2详解】 由（1）知，， 的面积为． 16. 某市科协开展“科技大篷车”进校园活动，为了解此次活动的效果，对某校参与活动的480名同学进行了问卷调查，得到如下列联表： 对活动的评价 满意 不满意 合计 男生 240 40 280 女生 120 80 200 合计 360 120 480 （1）根据小概率值的独立性检验，分析对活动的评价是否与性别有关； （2）在对活动评价“不满意”的学生中抽取2名男生和4名女生，从中任选3人了解不满意的原因，记选中的3人中男生人数为，求的分布列和数学期望． 附：， 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】（1）与性别有关 （2）分布列见解析，1 【解析】 【分析】（1）提出零假设，计算出的值并比较大小即可得出结论； （2）易知的所有可能取值为0，1，2，分别求出对应概率即可求得分布列和期望. 【小问1详解】 零假设为：对活动的评价与性别无关， 根据表中数据可得，， 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为对活动的评价与性别有关，该推断犯错误的概率不超过0.001. 【小问2详解】 的所有可能取值为0，1，2， ， 故的分布列为 0 1 2 . 17. 如图，在四棱锥中，底面是菱形，为的中点，为棱上一点． （1）当时，求证：平面； （2）已知平面平面，当二面角的大小为时，求． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点，证明四边形是平行四边形，可得，利用线面平行的判定定理证明； （2）法1，由题易得平面，，以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，设，求出平面和平面的法向量，利用向量法求解；法2，作于点于点，即得，运算得解. 【小问1详解】 由条件得，是的中点，取的中点，连接，，（如图1）， 则， 在菱形中，为的中点，所以， 所以，且，所以四边形是平行四边形， 则，而平面平面， 所以平面. 【小问2详解】 由为的中点，则， 而平面平面，平面平面平面， 所以平面. （方法一）底面是菱形，，所以为正三角形，则， 以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系（如图2）， 则， 设，其中，则， ， 设平面的法向量为，所以， 即，取，可得， 又平面即平面的法向量为， 由二面角的大小为，则， 即，化简得， 又，所以，即. （方法二）作于点于点，连（如图3）， 依题意，平面， 故平面，从而，故， 设，则， 而，故， 又，故，解得，即. 18. 已知双曲线的右焦点为，一条渐近线方程为，为坐标原点，直线经过点与双曲线的右支交于M，N点，为MN的中点． （1）求双曲线的标准方程； （2）直线平行于，且与双曲线的右支相切于点． （i）求证：O，P，Q三点共线； （ii）设直线与两条渐近线相交于A，B点，直线与两条渐近线相交于C，D点，记的面积分别为，求的最大值． 【答案】（1） （2）（i）证明见解析（ii） 【解析】 【分析】（1）依题意可得、，结合，即可求出、； （2）（i）设直线方程为，联立直线与双曲线方程，消元， 列出韦达定理，即可求出，再设直线的方程为，由直线与双曲线的位置关系求出点坐标，从而计算出，即可证明； （ii）记与轴的交点为，则，结合的范围计算可得. 【小问1详解】 双曲线的渐近线方程为， 依题意可得，即，又，， 解得， 所以双曲线的标准方程为． 小问2详解】 （i）设直线方程为， 联立，得， 则， 所以， 则. 可知直线的斜率为， 设直线的方程为， 联立，得， 由，得， 所以，解得，从而， 可知直线的斜率． 由，为公共点，所以，，三点共线． （ii）记与轴的交点为，由（i）知点坐标为． 因为直线平行于，所以， 所以，又， 所以当时，的最大值为 19. 已知函数． （1）若直线与函数的图象均相切，求直线的方程； （2）记． （i）求的单调区间； （ii）若，其中，求证：． 【答案】（1） （2）（i）单调减区间为，无区间；（ii）证明见解析 【解析】 【分析】（1）设两个函数图象的切点，根据导数的几何意义和点斜式写出两个函数图象对应的切线方程，让其系数相等，再令，求导即可求出； （2）（i）先得到的解析式，求其二阶导数，通过判断二阶导数进而判断一阶导数的正负，最后根据导数与单调性的关系即可判断； （ii）通过可得 ， 再将转化成，最后令，求导判断单调性即可. 【小问1详解】 定义域为， 设函数图象上的切点为， 切线方程为， 设函数图象上的切点为， 切线方程为， 比较对应项系数，有，消元得． 令，则，故为单调减函数， 当且仅当时，， 所以，直线的方程为． 【小问2详解】 （i），其定义域为． 记，则． 令，得；令，得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 故，即在上单调递减． 所以的单调减区间为，无增区间． （ii）由（i）及知，当时，，当时，， 因为，且，所以， 要证，只需证，即， 也就是， 令， 则， 记， 则，所以在上单调递增， ，故在上单调递减， ，得， 从而，即． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $