高中数学经典题型全解析：第1课 代数 专项训练 -2027届高三数学一轮复习

第1讲 高中数学基础知识准备（代数部分） 1.数式的扩充1.1数的分类 【典例】 1.（1）（3）（4）【解析】（1）对.正整数如1,2,3，…是正数也是实数； （2）错误.自然数包含0,0不是正整数； （3）对.整数可以分为奇数和偶数, 奇数包含，偶数包含； （4）对.质数是2,3,5,7,11,13，…都是正整数； （5）错误.无限不循环小数都是无理数，有限小数和循环小数都是有理数； （6）错误.分数是有理数. 2.（1）（3）【解析】（1）对.正整数如1,2,3，…的平方还是正整数； （2）错误.自然数包含0,0的相反数是0,0不是负整数； （3）对.奇数包含，因此或都是奇数； （4）错误.当时，和都是0，0不是正数； （5）错误. 有理数相反数还是有理数. 3．A【解析】因为，得到（是正整数）的末位数字的规律是2,4,8,6，每4个就重复，而，的末位数字与的末位数字相同，即为2. 1.2绝对值的几何意义与化简 【典例】 1.，；【解析】. 2.，或；【解析】，，或. 3.D【解析】A错，绝对值相等的数可以是互为相反数；B错， C错，两个负数，绝对值大的反而小；D正确，绝对值相等的两数，相等或互为相反数。选D 1.3二次根式 【典例1】 1.【解析】因为，，所以. 2.或【解析】因为，，所以或解得或. 3. 【解析】因为，所以. 【典例2】 1.C【解析】由，得. 2.< , > , >【解析】；；. 3.甲和乙【解析】甲采用的是分母有理化的方法，分子分母同时乘以；乙采用的是将1巧妙变形的方法. 4. （1）（2）（3） 【解析】（1）. （2）因为，当时，，即，与矛盾舍去；当时，；当时，，即与矛盾舍去. （3） 2.式子的运算 2.1合并同类项与通分 【典例1】 1.B【解析】A错误，与中的指数各不相同；B正确，0 与都是常数，是同类项；C错误， 与没有相同的字母；D错误，是常数而是一次项. 2.B【解析】根据合并同类项：把同类项的系数相加，B是一个四次多项式，A是一个三次多项式，A+B的最高次数还是四次. 3.D【解析】去括号后再合并同类项得 . 4.【解析】化简原式，将代入得原式. 【典例2】 1.B【解析】由可知，从而或即或，因此. 2. 【解析】由得，因此. 3. ,2016,1【解析】的展开式中有2016个相乘，所以其多项式的次数是2016；因为的系数都是1，所以最高次项系数是1；常数项是. 4.8【解析】,所以则. 5.【解析】（1）原式. （2）原式. （3）原式. （4）原式 . 【典例3】 1.【解析】 因此. 2.【解析】 因此. 2.2多项式恒等对应项系数相等 【典例】 1.0【解析】 .由于多项式恒等得，解得.因此. 2. 【解析】，， 由于多项式恒等，得，化简得，因此 3.【解析】由 可知 由于多项式恒等得，解得. 2.3利用恒等式将分式裂项 【典例】 1.1,3【解析】由得. 2.3,7【解析】由得. 3.【证明】 ， . 3 乘法公式 3.1平方差公式 【典例】 1.(1)，（2） 【解析】(1) . （2）. 2.（1）；（2）. 【解析】（1）； 3. （1）（2） 3.1立方和差公式 【典例】 1.【解析】（1） ； （2） ; （3） . 2.【解析】(1)原式 （2）原式 （3）原式 ． 【注释】计算三个数的和的平方，可以先把两个数的和看做一个整体，利用两数和的完全平方公式，展开后再用两数和的完全平方公式计算。三个数的和的平方等于这三个数的平方和加上这三个数中任意两个数的积的和的2倍． 3.【解析】(法一)原式= = =． (法二)原式===． 4. 【解析】（1）原式= （2）原式= 3.2完全立方和差公式 【典例】 1. 【解析】（1） ． (2) ． 3.3公式法分解因式 【典例】 1. 【解析】(1) ． (2) ． 2. 【解析】 ． 3.4分组分解法 【典例】 1. 【解析】（1） ． （2） ． 2.【解析】（1）（法一） = = =． （法二） ＝ ＝＝ ＝ ＝． (2)原式 . 3.5十字相乘法 【典例】 1.【解析】(1) ； (2); (3)； （4） 2.【解析】 (1) ； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）. 3.【解析】原式 . 4.一元二次方程的根 4.1判别式 【典例】 1.【解析】（1），所以有两个不等实数根； （2）所以没有实数根； （3）所以有两个相等实数根. 2.【解析】（1）由于该方程的根的判别式为， 所以，①当时，，所以方程有两个相等的实数根； ②当时，， 所以方程有两个不相等的实数根． （2）由于该方程的根的判别式为，所以 ①当，即时，方程有两个不相等的实数根，； ②当，即时，方程有两个相等的实数根； ③当，即时，方程没有实数根． 4.2韦达定理 【典例】 1.10【解析】由韦达定理得 所以. 2. 【解析】由韦达定理得 所以 3.【解析】（法一）∵2是方程的一个根， ， ∴． 所以，方程就为， 解得． 所以，方程的另一个根为，k的值为－7． (法二)设方程的另一个根为x1，则 ，∴． 由 ，得． 所以，方程的另一个根为，k的值为－7． 4.【解析】由题意，根据根与系数的关系得： (1) (2) (3) (4) 5.【解析】（1）因为，所以不论m为任何实数，方程总有两个不相等的实数根； （2）由韦达定理得 所以 所以. 6.【解析】由韦达定理得 即解之得 此时方程为 这时满足条件，所以 4.3根的意义 【典例】 1． A【解析】由已知为方程的两个实数根。 由根的意义及韦达定理得 ， . 所以 ． 2．【解析】由系数和为0可知方程有一根1，由两根相等可得两根之积为1，即 所以 3． 【解析】由已知得 ， 可知为方程 ， 由，得 即， 所以. 5.一元二次方程解法 5.1 配方法 【典例】 1.【解析】原方程可化为 即 故 从而 即 ． 2.【解析】原方程可化为 即 故 从而 ． 5.2分解因式法 【典例】 1.【解析】原方程可化为，故． 2.【解析】原方程可化为，故． 5.3公式法 【典例】 1.【解析】，， ，． 2.【解析】 ，， ，． 6分式方程与无理方程 6.1去分母化分式方程为一元二次方程 【典例】 1.【解析】(1)方程两边各项都乘以得 整理得： , 解得： 或． 检验：把代入，不等于0，所以是原方程的解； 把代入，等于0，所以是增根． 所以，原方程的解是． （2）原方程可化为 方程两边各项都乘以得 整理得： 解得： 或． 检验：把代入，不等于0，所以是原方程的解； 把代入，不等于0，所以是原方程的解． 所以，原方程的解是． 6.2用换元法化分式方程为一元二次方程 【典例】 1.【解析】设，则原方程可化为 解得或． (1) 当时，，去分母，得 ； (2) 当时， ． 检验：把各根分别代入原方程的分母，各分母都不为0． 所以，，都是原方程的解． 2.【解析】设，则原方程可化为： 整理得 ， 解之得 (1) 当时，，去分母，得 ； 整理得 ， 解之得 (2) 当时，．去分母，得 ； 整理得 ， 解之得 ． 检验：把各根分别代入原方程的分母，各分母都不为0． 所以，都是原方程的解． 6.3平方法解无理方程 【典例】 1．【解析】两边平方得 整理得 即 两边平方得 , 整理得 ， 解得 或． 检验：把代入原方程，左边=右边，所以是原方程的根． 把代入原方程，左边右边，所以是增根． 所以，原方程的解是． （2）原方程可化为： 两边平方得 整理得 ， 两边平方得 整理得 ， 解得 或． 检验：把代入原方程，左边=右边，所以是原方程的根． 把代入原方程，左边右边，所以是增根． 所以，原方程的解是． 7.方程组与不等式组 7.1一次方程组与不等式组 【典例1】 1.【解析】得 得 把代入（2）得 ， 所以 2.【解析】（2）×2，得 （3） 得 ， 把代入（1），得 , 所以 ． 3.【解析】由已知得，三个方程有公共解.联立（2）与得方程组 得 把（4）代入（3）得 把（4）得 把，代入（1）得. 【典例2】 1.C【解析】对于A,同大取大解集为x>b，A错误; 对于B,同小取小解集为x<a，B错误; 对于C,大于小，小于大取中间解集为a<x<b ，C正确；对于D.不等式无解. 2.A【解析】两个方程相加得，由x+y>0得，故选A 3.【解析】，得，所以 得，所以 由得 所以 ． 【典例3】 1.【解析】得 得 所以方程组无解． 2.【解析】得 得 所以方程组有无数组解． 【典例4】 1.【解析】化简得 （4） 得 ； 得 ； 得 . ． 2.【解析】得 把代入（2）得， 所以 7.2二元二次方程组 【典例1】 1.【解析】由(1)得 (3) 将(3)代入(2)得 ， 解得 ． 把代入(3)得 ； 把代入(3)得 ． ∴原方程组的解是． 2.【解析】由(2),得 把(3)代入(1),整理,得 ， 解得 ． 把代入(3), 得 ； 把代入(3), 得． 所以原方程组的解是 3．【解析】由(1)得 把(3)代入(2),整理,得 ， 解得． 把代入(3)得； 把代入(3)得． 所以原方程组的解是 4.【解析】解由（1）得 把代入（2）得 解之得， 所以方程组的解为或 【典例2】 1.【解析】由（1）得 或， 由（2）得 或 联立得方程组 或或或． 所以方程组得解为或或或． 2.【解析】由(1)得 ∴ 或 ∴ 原方程组可化为两个方程组 ． 用代入法解这两个方程组，得原方程组的解是： ． 3.【解析】(1)+(2)得 变形得， 即或， (1) -(2)得 变形得 即或． 所以原方程组可变为下列四个方程组: 或或或． 解此四个方程组，得原方程组的解是： ． 8. 函数 8.1直角坐标系 【典例】 1.C【解析】横坐标相同，纵坐标互为相反数的两个点关于x轴对称. 2.B【解析】点在y轴的负半轴上，则，所以，，故点Q在第二象限． 3. 【解析】第二象限的角平分线上的点的横坐标，纵坐标互为相反数．所以，解之得． 8.2初中函数概念 【典例】 1. 【解析】（1）要使有意义，只要即. （2）要使有意义，只要即. （3）要使有意义，只要即. （4）要使有意义，只要即. 2.【解析】（1）要使有意义，只要被开方数大于或等于0即. （2）要使有意义，只要即. （3）要使有意义，只要即. 8.3一次函数 【典例1】 1. 【解析】设一次函数解析式，依题意知（2，-1）和（0，3）满足，则 ， 解得 ， 此函数的解析式为. 【典例2】 1.C【解析】,可知y随x的增大而减小，函数与y轴的交点在y轴的正半轴，画出大致图像可知函数经过一、二、四象限。选C 2. 减小【解析】一次函数从左至右是下降的，随的增大而减小. 3. 【解析】一次函数，的图像从左至右是下降的，随的增大而减小.由 得. 8.4反比例函数 【典例】 1.B【解析】反比例函数的图像从左至右是上升的，随的增大而增大.由 得.即. 2. 【解析】点满足，则，这个函数的解析式. 3.【解析】因为，所以不能说“在时，的值随着增大是减小的”.但是可以说“在时，的值随着增大是减小的”和“时，的值随着增大是减小的”. 9.二次函数 9.1解析式的待定系数求法 【典例】 1.【解析】∵二次函数的最大值为2，而最大值一定是其顶点的纵坐标， ∴顶点的纵坐标为2．又顶点在直线上， 所以，，∴．∴顶点坐标是． 设该二次函数的解析式为， ∵二次函数的图像经过点，∴， 解得．∴二次函数的解析式为， 2.【解析】设该二次函数为 由函数图象过点，可得 解得． 所以，所求的二次函数为． 9.2图像与符号的关系 【典例】 1.B【解析】由图像可以判断图像开口向上，过点，其对称轴是,所以当和时，函数值相等，③正确；，，所以，，①错误，②正确，由图可知，当时, 的值可以取两个，④错误. 2.B【解析】由图像可以判断图像开口向下，对称轴在右侧,则因此.即，点在第二象限. 3. 【解析】因为,二次函数的图象向右平移1个单位,再向上平移2个单位得到的图象,所以与是同一个函数， 9.3最值与变换趋势 【典例】 1. A【解析】配方得，该函数的最小值是－11. 2. B【解析】二次函数的对称轴为，关于对称的点为，函数在时，t随着x的增加而增加.，选B. 3.7【解析】二次函数对称轴是，所以，得.由得该函数的最大值是7. 4. 【解析】抛物线开口向下，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小. 9.4平移变换 【典例】 1.D【解析】函数的顶点坐标为，向左平移1个单位，然后向上平移3个单位后顶点坐标为，所以平移后的解析式为，选D. 2.C【解析】原抛物线的顶点是原点，平移后顶点是，得到的抛物线是，答案为C. 9.5对称变换 【典例】 1.【解析】（1）由于，可知，函数图象的顶点为，所以，对称后所得到图象的顶点为，所以，二次函数的图象关于直线对称后所得到图象的函数解析式为，即． （2）由于，可知，函数图象的顶点为，所以，对称后所得到图象的顶点为，且开口向下，所以，二次函数的图象关于直线对称后所得到图象的函数解析式为，即． 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1讲 高中数学基础知识准备（代数部分） 1.数式的扩充 1.1 数的分类 1.2绝对值的几何意义与化简 1.3 二次根式 2.式子的运算 2.1 合并同类项与通分 2.2 多项式恒等对应项系数相等 2.3利用恒等式将分式裂项 3.多项式乘法与分解因式 3.1立方和差公式 3.2完全立方和差公式 3.3公式法分解因式 3.4分组分解法 3.5十字相乘法 4.一元二次方程的根 4.1判别式 4.2韦达定理 4.3根的意义 5.一元二次方程的解法 5.1 配方法 5.2分解因式法 5.3公式法 6.分式方程与无理方程 6.1去分母化分式方程为一元二次方程 6.2用换元法化分式方程为一元二次方程 6.3平方法解无理方程 7.方程组与不等式组 7.1一次方程组与不等式组 7.2二元二次方程组 8.函数 8.1平面直角坐标系 8.2初中函数概念 8.3一次函数 8.4反比例函数 9.二次函数 9.1解析式的待定系数求法 9.2图象与符号的关系 9.3最值与变换趋势 9.4平移变换 9.5对称变换 1．数式的扩充 1.1数的分类 【典例】判断下列说法正确的是 （1）0是既不是正数也不是负数； （2）0不是自然数； （3）-1是负数，但不是整数，更不是奇数； （4）2是最小的质数； （5）是无理数，也是无理数； （6）是无理数，不是有理数； （7）方程没有实数根。 【解析】实数分为正数、负数、零，因此（1）正确； 由于计数的需要，就产生了1，2，3，4等数以及表示“没有”的数0，都是自然数，（2）错误； 能被2整除的整数是偶数，如2，0，－2…，记为（为整数），不能被2整除的整数是奇数，如，1，3，记为（为整数）． 是负整数，（3）错误； 如果一个大于1的正整数，只能被1和它本身整除，那么这个正整数叫做质数（素数），如2,3,5,7,11,13,17,19，，如果一个正整数能被1和它本身除外的正整数整除，那么这个正整数叫做合数，（4）正确； 初中遇到的无理数有三种：开不尽的方根，如、；特定结构的不循环无限小数，如1．101001000100001……；特定意义的数，如π、等。=1．414，是无限不循环小数，是无理数，=2是整数，是有理数，（5）错误； 任何一个有理数总可以写成的形式，其中p、q是互质的整数，这是有理数重要特征，（6）错误； 因为，所以方程没有实数根，（7）正确． 因此（1）（4）（7）正确． 【评注】（1）数的分类：如下图 （2）数集因生产和科学发展的需要而逐步扩充，书籍每一次扩充，对数学学科本身来说，解决了在原有数集中某种运算不是永远可以实施的矛盾：分数解决了在整数集中不能整除的矛盾；负数解决了在正有理数集中不够减的矛盾；无理数解决了开方开不尽的矛盾；人类总是想使自己遇到的一切都能有合理的解释，不想得到“无解”的答案。数集扩到实数集R以后，像这样的方程还是无解的，因为没有一个实数的平方等于-1． 【变式1】判断下列说法正确的是 （1）正整数是正数也是实数； （2）自然数都是正整数； （3）整数可以分为奇数和偶数； （4）质数都是正整数； （5）小数都是无理数． （6）有的无理数是分数 【变式2】判断下列说法正确的是 （1）正整数平方还是正整数； （2）自然数的相反数都是负整数； （3）用来表示整数，或都是奇数； （4）当是任意实数时，和都是正数； （5）有理数相反数是无理数． 【变式3】 观察下列算式，用你所发现的规律得出22017的末位数字是( ) 21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，26＝64，27＝128，28＝256，…， A．2 B．4 C．6 D．8 1.2绝对值的几何意义与化简 【典例】解不等式： 【解析】由，得；由，得； 当时，不等式可变为不等式无解; 当时，不等式可变为,解得. 综上所述，原不等式的解为：x＜0. 【评注】绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即 绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离． 两个数的差的绝对值的几何意义：表示在数轴上，数和数之间的距离． 【变式1】若，则x=_________；若，则x=_________． 【变式2】如果，且，则b＝________；若，则c＝________． 【变式3】下列叙述正确的是（ ） （A）若，则 （B）若，则 （C）若，则 （D）若，则 1.3 二次根式 【典例1】求值． （1）9的平方根；（2）125的立方根；（3）27的3次方根；（4）的5次方根；（5）16的4次方根． 【解析】（1）因为，则是9的平方根． （2）=125，则5是125的立方根． （3）27的3次方根表示为． （4）的5次方根表示为． （5）16的4次方根表示为，即16的4次方根为． 【评注】 如果,那么称为的平方根．叫的平方根，叫的算术平方根；如果,那么称为的立方根．叫实数的立方根． 【变式1】）若则 ． 【变式2】若,则 ． 【变式3】）若则 ． 1.4有理化因式 【典例】计算（没有特殊说明，本节中出现的字母均为正数）： (1) (2) (3) 【解析】(1) 原式=． (2) 原式=． (3) 原式=． 【评注】（1）式子叫做二次根式；把分母中的根号化去叫做分母有理化；把两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式（常用的有理化因式有：与；与）； （2）二次根式的运算： ； （3）二次根式的意义： 【变式1】二次根式成立的条件是( ) A． B． C． D．是任意实数 【变式2】比较大小： 3 2； 【变式3】化简，甲，乙两位同学的解法如下： 对于甲，乙两位同学的解法，其中做的正确是 ． 【变式4】填空： （1）＝________； （2）若，则的取值范围是________； （3）________． 2．式子的运算 2.1合并同类项与通分 【典例1】下列合并同类项错误的个数是（ ） ① ② ③ ④ A．1个 B．2个 C．3个 D ．4个 【解析】①错误，，②错误，和不是同类项，③错误，，④错误，和不是同类项，答案是D． 【评注】合并同类项：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母及字母的指数不变． 【变式1】下列各组是同类项的是（ ） A．与 B．0 与 C．与 D．与 【变式2】 若A是一个三次多项式，B是一个四次多项式，则A+B一定是（ ） A．三次多项式 B．四次多项式 C．七次多项式 D．四次七项式 【变式3】计算的结果是（ ） A． B． C． D． 【变式4】先化简后求值：，其中，． 【典例2】求值：（1），（2） 【解析】（1）原式. （2）原式. 【评注】单项式乘以多项式：就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。 多项式乘以多项式：先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加． 【变式1】若其中、为整数，则的值为（ ） A．或 B． C． D．或 【变式2】已知，则实数 ； ． 【变式3】多项式的常数项为 ，其多项式的次数是 ；最高次项系数是 ． 【变式4】定义：，则将利用乘法法则，表示为的形式，则 ． 【变式5】已知，类比多项式的乘法计算 （1）; （2）; （3）;（4）． 【典例3】已知，则 , ． 【解析】，因此 ，解得． 【评注】分式的运算：（1）分式中的约分： ； （2）分式的加减：，； （3）分式的乘除：，； （4）分式的乘方. 【变式1】已知，则 ； 【变式2】已知，则 ． 2.2多项式恒等对应项系数相等 【典例】已知两个多项式，在实数范围内 ，不论取什么实数值代入两式总是相等的，求的值． 【解析】由题意得，即．只要两个多项式对应系数相等，即，解得，或． 【评注】多项式恒等的定义：设和是含相同变量的两个多项式，表示这两个多项式恒等．就是说x在取值范围内 ，不论用什么实数值代入左右的两边，等式总是成立的．符号“≡”读作“恒等于”，也可以用等号表示恒等式．例如：, 　, 都是恒等式，这些式子展开后对应实数相等． 【变式1】已知，在实数范围内 ，不论取什么实数值，式子总是成立的，则 ． 【变式2】已知，在实数范围内 ，不论取什么实数值，式子总是成立的，则 ． 【变式3】已知，在实数范围内，不论取什么实数值，式子总是成立的，求的值． 2.3利用恒等式将分式裂项 【典例1】求：的值 【解析】 ． 根据恒等式定义，当x=0时， 2＝－6A．∴； 当x=3时， 8＝15B．∴． 当x=－2时，　8＝10C．　∴． 【评注】分式的裂项为恒等变形，右边通分化简后，与左边恒等，对应项系数相等，可得的值． 【变式1】已知化成，则 , ． 【变式2】已知化成，则 , ． 【变式3】试证：对任意的正整数n，有＜． 3乘法公式与分解因式 3.1立方和差公式 【典例】计算： （1）; （2）． 【解析】（1）原式=; （2）原式=． 【评注】两个数的和乘以这两个数的平方和与这两个数积的差等于着两个数的立方和；两个数的差乘以这两个数的平方和与这两个数积的和等于这着两个数的立方差． （1）立方和公式 ； （2）立方差公式． 乘法公式还有： 平方差公式 完全平方公式；； 【变式1】计算（1）；（2）；（3）. 【变式2】计算(1);（2）；（3）. 【变式3】计算：． 【变式4】计算（1）; （2）． 3.2完全立方和差公式 【典例】计算． 【解析】 ． 【评注】两数差的立方,先变成两数差的平方与一次的乘积,再利用完全平方公式,以及多项式乘法法则展开,可以得到结果． （1）两数和的立方公式 ； （2）两数差的立方公式． 【变式1】计算（1）；（2）． 3.3公式法分解因式 【典例】将下列多项式分解因式 (1) ； (2) ． 【解析】(1) ； (2) ． 【评注】利用公式分解因式,只要式子满足公式的形式,就可以直接写出分解结果． （1）平方差公式：; （2）完全平方公式：，; （3）立方和公式 ； （4）立方差公式 ． 【变式1】将下列多项式分解因式： (1) ； (2) ． 【变式2】分解因式． 3.4分组分解法 【典例】把分解因式． 【解析】 ． 【评注】如既没有公式可用，也没有公因式可以提取．因此，可以先将多项式分组处理．这种利用分组来因式分解的方法叫做分组分解法．分组分解法的关键在于如何分组． （1）分成两组，小组分别分解因式后，组与组之间可以提取公因式； （2）分组得分组后，组与组之间用平方差公式分解因式。 【变式1】将下列多项式分解因式： （1）；（2）． 【变式2】 将下列多项式分解因式： （1）； (2)． 3.5十字相乘法 【典例】把分解因式． 【解析】 【评注】二次项系数分解成，常数项分解成，把写成，这里按斜线交叉相乘，再相加，就得到，如果它正好等于的一次项系数，那么就可以分解成，其中位于上一行，位于下一行． 这种借助画十字交叉线分解系数，从而将二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法． 必须注意，分解因数及十字相乘都有多种可能情况，所以往往要经过多次尝试，才能确定一个二次三项式能否用十字相乘法分解． 【变式1】将下列多项式因式分解： (1) ； (2); (3)； （4） 【变式2】将下列多项式因式分解： (1) ；（2）；（3）； （4）；（5）；（6）． 【变式3】因式分解：． 4．一元二次方程的根 4.1判别式 【典例】讨论一元二次方程的根的情况 【解析】用配方法可以将变形为 ． ① 因为a≠0，所以，4a2＞0．于是 （1）当时，方程①的右端是一个正数，因此，原方程有两个不相等的实数根； （2）当时，方程①的右端为零，因此，原方程有两个等的实数根 x1＝x2＝－； （3）当时，方程①的右端是一个负数，而方程①的左边一定大于或等于零，因此，原方程没有实数根． 【评注】一元二次方程的根的情况可以由来判定，我们把叫做一元二次方程的根的判别式，通常用符号“Δ”来表示． 对于一元二次方程，有 （1）当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根x1，2＝； （2）当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根 x1＝x2＝－； （3）当Δ＜0时，方程没有实数根． 【变式1】判断下列方程根的情况． （1）；（2）；（3）． 【变式2】判定下列关于x的方程的根的情况（其中a为常数），如果方程有实数根，写出方程的实数根． （1） ； （2）． 4.2韦达定理 【典例】已知：为一元二次方程的两个根， 求证： 【证明】， ． 【评注】如果一元二次方程的两个根为，那么：，这个结论就是韦达定理，也叫根与系数关系． 利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形： ，，， ，， 等等．韦达定理体现了整体思想． 【变式1】若方程的两根为，则 ． 【变式2】设是方程的两个根，则 【变式3】已知方程的一个根是2，求它的另一个根及k的值． 【变式4】若是方程的两个根，试求下列各式的值： (1) ； (2) ； (3) ； (4) 【变式5】已知关于x的一元二次方程 (1)求证：不论m为任何实数，方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程两根为，且满足，求的值． 【变式6】若关于的方程两实数根的平方和是9. 求的值. 4.3根的意义 【典例】若是一元二次方程的根，则判别式和完全平方式的关系是( ) A． B． C． D．大小关系不能确定 【解析】得，，选A． 【评注】是一元二次方程的根，则，可变形得，． 【变式1】若实数，且满足，则代数式的值为( ) A． B． C． D． 【变式2】已知方程的两实数根相等，则之间的关系是 ______． 【变式3】已知实数满足，则= _____ ，= _____ ，= _____ ． 5一元二次方程的解法 5.1配方法 【典例】解一元二次方程． 【解析】原方程可化为 即 故 从而 即． 【评注】解一元二次方程的常用方法有：（1）配方法：一元二次方程，用配方法将其变形为：两边开方即可得到方程的根． 【变式1】解一元二次方程． 【变式2】解一元二次方程． 5.2分解因式法 【典例】解一元二次方程． 【解析】原方程可化为 ， 故． 【评注】若可分解为，那么由，可得从而得到或． 【变式1】解一元二次方程． 【变式2】解一元二次方程． 5.3公式法 【典例】解一元二次方程． 【解析】 ，， ． 【评注】的两个根为：直接代入可得方程的两个根． 【变式1】解一元二次方程． 【变式2】解一元二次方程． 6分式方程与无理方程 6.1去分母化分式方程为一元二次方程 【典例】解方程 ． 【解析】原方程可化为 方程两边各项都乘以 即 ， 整理得 解得 或． 检验：把代入，不等于0，所以是原方程的解； 把代入，等于0，所以是增根． 所以，原方程的解是． 【评注】(1) 去分母解分式方程的步骤： ①把各分式的分母因式分解； ②在方程两边同乘以各分式的最简公分母； ③去括号，把所有项都移到左边，合并同类项； ④解一元二次方程； ⑤验根． (2) 验根的基本方法是代入原方程进行检验，但代入原方程计算量较大．而分式方程可能产生的增根，就是使分式方程的分母为0的根．因此我们只要检验一元二次方程的根，是否使分式方程两边同乘的各分式的最简公分母为0．若为0，即为增根；若不为0，即为原方程的解． 【变式1】解下列方程： (1) ; (2) ． 6.2用换元法化分式方程为一元二次方程 【典例】用换元法解方程 ． 【解析】设，则 原方程可化为 去分母得 所以 或 ． (1)当时， 去分母得 解之得 ； (2)当时， 去分母得 解之得 ． 检验：把把各根分别代入原方程的分母，各分母都不为0． 所以，原方程的解是，，． 【评注】解决分式方程的方法就是采取去分母、换元等法，将分式方程转化为整式方程，体现了化归思想．注意观察方程特点，可以看到分式与互为倒数．因此，可以设，即可将原方程化为一个较为简单的分式方程． 【变式1】用换元法解方程 【变式2】用换元法解方程． 6.3平方法解无理方程 【典例】解方程 【解析】原方程可化为 两边平方得 整理得 两边平方得 整理得， 解得或． 检验：把代入原方程，左边=右边，所以是原方程的根． 把代入原方程，左边右边，所以是增根． 所以，原方程的解是． 【评注】直接平方将很困难．可以把一个根式移右边再平方，这样就可以转化为上例的模式，再用上例的方法解方程．含未知数的二次根式恰有两个的无理方程的一般步骤： ①移项，使方程的左边只保留一个含未知数的二次根式；②两边平方，得到含未知数的二次根式恰有一个的无理方程； 【变式1】解下列方程： (1) ； (2) ． 7方程组与不等式组      7.1一次方程组与不等式组 【典例1】已知关于x,y的方程组的解,满足，求m的值. 【解析】，得，所以 得，所以 把代入方程得 , 所以 ． 【评注】1．加减消元法：将一个(或两个)方程两边同乘以一个数,使得某一个未知数的系数相等或互为相反数，再将得到的方程相加（减）就可以消去一个未知数，得到一个一元一次方程。这种解二元一次方程组的方法叫做加减消元法，简称加减法． 2．代入消元法：解方程组的基本思路是“消元”．即把“二元”变为“一元”，主要步骤是：将其中一个方程中的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，并将其并代入另一个方程中，从而消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程。这种解方程组的方法称为代入消元法，简称代入法． 【变式1】解方程组 【变式2】解方程组 【变式3】已知关于x,y的方程组的解,满足，求a的值. 【典例2】已知关于x,y的方程组的解,满足，求实数a的取值范围。 【解析】，得，所以. 把代入（2）得，所以. 由得 由（3）得. 代入（4）得,即. 所以 ． 【评注】一元一次不等式组的解法：利用数轴把两个不等式的解集在数轴上表示出来，然后取公共部分.在b<a的前提条件下有如下结果. 不等式组 解集 无解 【变式1】设，那么解集是的不等式组是（　　） Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 【变式2】若方程组中，若未知数x、y满足x+y>0,则m的取值范围是( ) 【变式3】若关于x、y的二元一次方程组中，x的值为负数，y的值为正数，求m的取值范围. 【典例3】讨论方程组解得情况（不全为0） 【解析】得 ， 得 ， 得 ， （1）当时，方程组有无数组解 （2）当时，方程组有无解 （3）当时，方程组的解为 【评注】讨论方程组解得情况的解的情况时，要讨论消元后方程的系数是否为0． 【变式1】解方程组 【变式2】解方程组 【典例4】解方程组 【解析】(法1)得，（4） 得（5） （4）与（5）联立得． 把代入（3）得． 解得 ． 所以方程组的解为． (法二)得，， 将代入（1），（3）得 解这个方程组得，． 【评注】解三元一次方程组关键是通过消元将三元一次方程组转化为二元一次方程组来解，一般需要两次消元。此外除了掌握基本方法之外，也要注意观察方程组中方程的特点，寻找更简单的解法. 【变式1】解方程组 【变式2】非零实数满足解方程组，求的值. 【注释】本题中，求三个数的连比，把z看成已知数，解关于x，y的方程组，求出x，y后就可以求出三个数的连比。 7.2二元二次方程组 【典例1】k为何值时方程组只有一组解。 【解析】（1）代入（2）得 即 当k=0时，方程为一元一次方程，有一解x=1，y=2 当k≠0时，方程为一元二次方程，由判别式得 所以满足条件的k有两个，0或. 【评注】 (1) 解由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组的步骤： ①由二元一次方程变形为用表示的方程，或用表示的方程(3)； ②把方程(3)代入二元二次方程，得一个一元二次方程； ③解消元后得到的一元二次方程； ④把一元二次方程的根，代入变形后的二元一次方程(3)，求相应的未知数的值； ⑤写出答案． (2) 消，还是消，应由二元一次方程的系数来决定．若系数均为整数，那么最好消去系数绝对值较小的. (3) 消元后，求出一元二次方程的根，应代入二元一次方程求另一未知数的值，不能代入二元二次方程求另一未知数的值，因为这样可能产生增根，这一点切记． 【变式1】解方程组 【变式2】解方程组 【变式3】解方程组 【变式4】解方程组 【典例2】解方程组 【解析】由（1）得 或 所以原方程组化为 或 用代入法解方程组得， ， 用代入法解方程组得， ， 所以原方程组的解为；；；． 【评注】两个都是二元二次方程其中有一个可以分解因式的二元二次方程组，可以把分解后的方程与另一个组成方程组。转化为第一类型的方程组来解。两个都是二元二次方程且都是二次齐式二元二次方程组的解法可以通过消去常数法，来解方程组。 【变式1】解方程组 【变式2】解方程组 【变式3】解方程组 8． 函数 8.1平面直角坐标系 【典例】下列说法中，正确的是( ) A．平面直角坐标系是由两条互相垂直的直线组成的 B．平面直角坐标系是由两条相交的数轴组成的 C．平面直角坐标系中的点的坐标是唯一确定的 D．在平面上的一点的坐标在不同的直角坐标系中的坐标相同 【解析】在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系。水平的数轴叫做轴或横轴，竖直的数轴叫做轴或纵轴，选C． 【评注】1．坐标平面上的点与有序实数对构成一一对应； 2． 各象限点的坐标的符号；第一象限：；第二象限：；第三象限：；第四象限：； 3． 坐标轴上的点的坐标特征．横坐标轴上的点：；纵坐标轴上的点：。 4．平行于坐标轴的直线的点的坐标特点：平行于x轴(或横轴)的直线上的点的纵坐标相同；平行于y轴(或纵轴)的直线上的点的横坐标相同。 【变式1】已知点和，则和 ( ) A．关于原点对称 B．关于y轴对称 C．关于x轴对称 D．不存在对称关系 【变式2】已知在y轴的负半轴上，则在( ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式3】已知点在二、四象限的角平分线上，则a=_____． 8.2 函数的概念 【典例】与是同一个函数吗？ 【解析】与不是同一个函数，因为尽管它们的对应关系一样（约分后），但的x的取值是所有实数，而中x的取值是． 所以与不是同一个函数． 【评注】初中的函数的概念 ①常量和变量：在某一变化过程中可以取不同数值的量叫做变量；保持数值不变的量叫做常量。 ②设在一个变化的过程中有两个变量和，如果对于的每一个值，都有唯一的值与它对应，那么就说是的函数，叫做自变量． ③函数值：给自变量在取值范围内的一个值，所求的函数的对应值． 【变式1】求下列函数的自变量的取值范围： （1） （2）（3）（4） 【变式2】求下列函数的自变量的取值范围：(1) (2) (3) 8.3一次函数 【典例1】已知一次函数的图象经过点和，则此函数的解析式为_________． 【解析】设一次函数解析式，依题意知和满足，则 解得，此函数的解析式为． 【评注】用待定系数法确定函数解析式的一般步骤(一设二代三解四还原)： （1）根据已知条件写出含有待定系数的函数关系式； （2）将的几对值或图象上的几个点的坐标代入上述函数关系式中得到以待定系数为未知数方程； （3）解方程得出未知系数的值； （4）将求出的待定系数代回所求的函数关系式中得出所求函数的解析式． 【变式1】已知一次函数的图象经过点（2，-1）和（0，3），则这个一次函数的解析式为________． 【典例2】已知一次函数，若函数y随x的增大而减小，并且函数的图象经过二、三、四象限,求m的取值范围． 【解析】图象经过二、三、四象限可得且，所以． 【评注】1．当函数的图象在的某个范围内从左至右是上升的，可以说“的值随着增大是增大的”；当函数的图象在的某个范围内从左至右是下降的，可以说“的值随着增大是减小的”． 2．当时, 的值随着增大而增大；当时, 的值随着增大而减小． 3．时图象与y轴的交点在y轴的正半轴；时图象与y轴的交点在y轴的正半轴；图象与y轴的交点为坐标原点，此时函数为正比例函数． 【变式1】一次函数的图象经过的象限是（ ） A．一、二、三 B．二、三、四 C．一、二、四 D．一、三、四 【变式2】已知一次函数中，则y的值随x值增大而 （填“增大”或“减小”）． 【变式3】已知点和点在同一直线上，且． 若，则的关系是____． 8.4反比例函数 【典例】画出函数的图象，试分析其性质。 【解析】先要找出它是哪一种函数平移而来的，它应是由反比例函数平移而来，（这种变换是解决这类问题的关键），由此说明，函数的图象是由图象向右平移3个单位，再向下平移2个单位得到的，如图所示： 具体画图时对于图象与坐标轴的交点位置要大致准确，即．故图象一定过和两个关键点。再观察其图象可以得到如下性质：自变量的取值范围为，函数值，但是图象是中心对称图形，对称中心是． 【评注】1．分析此类函数的图象快速做法：先找到对称中心(3, -2),直线x=3,y=-2为双曲线的渐近线,作出函数上关于（3, -2）对称的点，光滑连接就得到函数图象。 2．y随x变化趋势：当x>3时，y随x的增加而增加；当x<3时，y随x的增加而增加。 【变式1】已知反比例函数的图象上有两点，，且，则的值是 （ ） A ．正数 B．负数 C．非正数 D．不能确定 【变式2】已知反比例函数的图象经过点，那么这个函数的解析式为________． 【变式3】能否说“反比例函数在时，的值随着增大是减小的”？ 9．二次函数 9.1解析式的待定系数求法 【典例】已知二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，且顶点到x轴的距离等于2，求此二次函数的表达式． 【解析】（法1）∵二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)， ∴可设二次函数为，展开，得 ， 顶点的纵坐标为 ，由于二次函数图象的顶点到x轴的距离2，∴，即．所以，二次函数的表达式为，或． （法二）：∵二次函数的图象过点，∴对称轴为直线．又顶点到x轴的距离为2，∴顶点的纵坐标为2，或－2．于是可设二次函数为，或，由于函数图象过点，∴，或．∴，或．所以，所求的二次函数为，或． 【评注】二次函数有三种形式：1．一般式：；2．顶点式：，其中顶点坐标是；3．交点式：，其中是二次函数图象与x轴交点的横坐标．根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况： 1．已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式； 2．已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式； 3．已知抛物线与轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式； 4．已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式． 【变式1】已知某二次函数的最大值为2，图象的顶点在直线上，并且图象经过点，求二次函数的解析式． 【变式2】 已知二次函数的图象过点，求此二次函数的表达式． 9.2图象与各项系数符号的关系 【典例】二次函数的图象如图所示，则下列关系式不正确的是（ ） A． B． C． D． 【解析】由图形开口向下，可得；对称轴在x轴左侧，知顶点横坐标，所以；与y轴交点在y轴的正半轴可得，所以；函数与x轴交于两点可得；函数在自变量为1时函数函数图象在x轴下方，可得．因而正确选项为A ． 【评注】二次函数中，（只对分析，请自己归纳的情况） 1．二次项系数 抛物线开口向上， 的值越大，开口越小，反之的值越小，开口越大． 2． 一次项系数 在二次项系数确定的前提下，决定了抛物线的对称轴． 在的前提下，当时，，即抛物线的对称轴在轴左侧；当时，，即抛物线的对称轴就是轴；当时，，即抛物线对称轴在轴的右侧． 总结起来，在确定的前提下，决定了抛物线对称轴的位置．的符号的判定：对称轴在轴左边则，在轴的右侧则，概括的说就是“左同右异” ． 3．常数项 ⑴ 当时，抛物线与轴的交点在轴上方，即抛物线与轴交点的纵坐标为正；⑵ 当时，抛物线与轴的交点为坐标原点，即抛物线与轴交点的纵坐标为． ⑶ 当时，抛物线与轴的交点在轴下方，即抛物线与轴交点的纵坐标为负． 总结起来，决定了抛物线与轴交点的位置． 总之，只要都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的． 【变式1】已知二次函数的图象如图所示,则下列结论: ①同号;②当和时,函数值相等;③④当时, 的值只能取0．其中正确的个数是( ) A．1个 B．2个 C． 3个 D． 4个 【变式2】 已知二次函数的图象如图所示，则点在（　 ） A．第一象限　　　B．第二象限 C．第三象限　　 D．第四象限 【变式3】二次函数的图象是由的图象向左平移1个单位,再向下平移2个单位得到的，则b= ,c= ． 9.3最值与变换趋势 【典例】某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售价（元）与产品的日销售量（件）之间的关系如下表： （元） 15 20 30 … （件） 25 20 10 … 若日销售量是销售价的一次函数． （1）求出日销售量（件）与销售价（元）的函数关系式； （2）要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元？此时每日销售利润是多少元？ 【解析】（1）设此一次函数表达式为．则 解得，�即一次函数表达式为． （2）设每件产品的销售价应定为元，所获销售利润为元 则 产品的销售价应定为25元，此时每日获得最大销售利润为225元． 【评注】对于二次函数：（1） 当时，抛物线开口向上，当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大；当时，有最小值． （2） 当时，抛物线开口向下，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小；当时，有最大值． 【变式1】二次函数的最小值是( )． A．－11 B． 7 C． 11 D．－3 【变式2】若A（），B（），C（）为二次函数的图象上的三点，则的大小关系是（ ） A． B． C．　 D． 【变式3】已知二次函数的对称轴是，则该函数的最大值是_______． 【变式4】已知抛物线，如果随的增大而减小，那么的取值范围是_______． 9.4平移变换 【典例】求把二次函数y＝2x2－4x＋3的图象经过下列平移变换后得到的图象所对应的函数解析式： （1）向右平移2个单位，向下平移1个单位； （2）向上平移3个单位，向左平移2个单位． 【解析】二次函数y＝2x2－4x+3的解析式可变为y＝2(x－1)2+1，其顶点坐标为(1，1)． （1）把函数y＝2(x－1)2+1的图象向右平移2个单位，向下平移1个单位后，其函数图象的顶点坐标是(3，0)，所以，平移后所得到的函数图象对应的函数表达式就为 y＝2(x－3)2． （2）把函数y＝2(x－1)2+1的图象向上平移3个单位，向左平移2个单位后，其函数图象的顶点坐标是(－1，4)，所以，平移后所得到的函数图象对应的函数表达式就为y＝2(x＋1)2＋4． 【评注】由于平移变换只改变函数图象的位置而不改变其形状（即不改变二次项系数），所以只改变二次函数图象的顶点位置（即只改变一次项和常数项），所以，首先将二次函数的解析式变形为顶点式，然后，再依据平移变换后的二次函数图象的顶点位置求出平移后函数图象所对应的解析式． 【变式1】把二次函数的图象向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后的图象对应的二次函数的关系式为（ ） A． B． C． D． 【变式2】把抛物线向上平移1个单位，得到的抛物线是（ ） A． B． C． D． 9.5对称变换 【典例】 求把二次函数的图象关于下列直线对称后所得到图象对应的函数解析式： （1）直线；（2）直线． 【解析】（1）由于，可知，函数图象的顶点为，所以，对称后所得到图象的顶点为，所以，二次函数的图象关于直线对称后所得到图象的函数解析式为，即． ( x y O x ＝－1 A (1,－1) 图 10.5.1 ) ( x y O y ＝1 A (1,－1) B (1，3) 图 10.5.2 ) （2）由于，可知，函数图象的顶点为，所以，对称后所得到图象的顶点为，且开口向下，所以，二次函数的图象关于直线y＝1对称后所得到图象的函数解析式为，即． 【评注】在把二次函数的图象关于与坐标轴平行的直线进行对称变换时，具有这样的特点——只改变函数图象的位置或开口方向、不改变其形状，因此，在研究二次函数图象的对称变换问题时，关键是要抓住二次函数的顶点位置和开口方向来解决问题． 【变式1】求把二次函数的图象关于下列直线对称后所得到图象对应的函数解析式： （1）直线；（2）直线． 25 学科网（北京）股份有限公司 $