知识点4 根式讲义----2026年新高一数学人教A版必修第一册

知识点4根式 一、根式定义 1. n次方根：若x”=a(n>1且n∈N),则x叫做a的n次方根。 。当n为奇数时，正数的n次方根是正数，负数的n次方根是负数，记为x=Va。例如， 27=3,-8=-2。 。当n为偶数时，正数a有两个n次方根，它们互为相反数，记为±Va(a>0)；负数没有 偶次方根；0的n次方根是0。例如，16的4次方根为±16=±2。 2 根式：式子a叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数。 二、根式性质 1. (Va”=a(n>1且n∈N)。例如，(53=5。 当为言敏时，行-a当n为低绿时，石-如-80何如，新-2-2 -34=-3=3。 ab=a./b(a≥0，b≥0，n>1且n∈N)。例如，38×27=8×27=2×3=6 27_27_3 4. g-g(a≥0，b>0,n>1且n∈N).例如 Vb Yb V8=82 专题训练 一、选择题 1. V16的值是(） A.4B.±4C.8D.±8 2. 化简(-32的结果是（) A.3B.-3C.9D.-9 3. 要使根式x-2有意义，则x的取值范围是() A.x>2B.x≥2C.X<2D.X≤2 下列根式中，最简二次根式是(】 A亚B设c阳Dg 5. 计算3×6的结果是（) A.32B.23C.9V2D.2V6 二、填空题 1. 8的立方根是 2. 化简V20=■ 3 计算8-V2=一。 4. 若Vx+3+(y-22=0,则x+y=」 已知a=3+1,b=3-1,则a2-b2=一一 三、解答题 1. 计算下列各式： 。25-327+4 。18-6+9 。(3+1)(V3-1】 2. 化简并求值：二公2+0的.其中0=3+1b=3-1。 a-b ab 3. 已知x=V5-2,求x2+4x-1的值。 4 已知V2a-1+Vb-2a+a+b+c=0,求a,b,c的值。 答案 一、选择题 1. A 解析：16表示16的算术平方根，算术平方根是一个非负的平方根，所以16=4，选A。 2. A 解析：-3=V9=3,选A。这里要注意先计算指数运算，再进行开方运算，且算术平方根 是非负的。 3. B 解析：要使根式Vx-2有意义，则被开方数x-2≥0，即x≥2，选B。 4.D 解析：最简二次根式需满足被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。 -V12=√4×3=2V3,不是最简二次根式。 沿器 ,不是最简二次根式。 .8=4×2=2V2,不是最简二次根式。 -3是最简二次根式，选D。’ 5.A 解析：V3×V6=V3×6=V18=V9×2=3V2,选A。 二、填空题 1. 2 解析：因为2=8，所以8的立方根是2。 2. 2V5 解析：V20=V4×5=2V5。 3. 2 解析：V8-V2=V4×2-V2=2V2-V2=V2。 4. -1 解析：因为x+3≥0，(y-22≥0，要使Vx+3+(y-22=0成立，则x+3=0且y-22=0 由x+3=0得x+3=0,x=-3;由(y-22=0得y-2=0,y=2。 所以x+y=-3+2=-1. 5. 4V3 解析：根据平方差公式a2-b2=(a+b)(a-b),已知a=3+1,b=3-1,则 a+b=(3+1)+(V3-1)=23,a-b=(3+1)-(V3-1)=2。 所以a2-b2=(a+b)(a-b)=2V3×2=4V3。 三、解答题 1. 解： 只25-327+V4=5-3+2=4。 解 i丽-a+得92-42器3-29+要物要-32 2 解： 根据平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2,(V3+1)(3-1)=(32-12=3-1=2。 2. 解： 化简原式： 。对分子a2-比根据平方差公武a-b=(a+bQ-b,则原式0-b÷(2+b6可 ab 化为a+ba-b:2++)。 a-b ab 。约去分子分母的a-b,得到(a+b):(2+0+b)】 ab. ab通分，2=2ab 。对括号内2+Q+b a6.所以2+g+b-2ab+a2+6 ab ab 。由完全平方公式a+2ab+b2=(a+b},则2ab+a+B-(a+b ab ab。 。所以原式变为(a+b):a+b2 根据除法运算法则，除以一个数等于乘以它的倒数， ab 即(a+b)x,ab (a+b)2 。约分可得品 代入求值： 。把a=5+1,b=5-1入hb 。先计算ab=(3+1)(3-1),根据平方差公式(x+y)(x-y)=x2-y2这里x=3, y=1,则ab=(32-12=3-1=2。 。再计算a+b=(3+1)+(V3-1)=2V3。 ab 2 1 3 。所以a+b2533· 43 综上，化简求值结果为3。 3. 解： 对x2+4x-1进行变形可得x2+4x-1=(x+2)2-5。 已知x=V5-2,则(x+22-5=(V5-2+22-5=(V5)2-5=5-5=0。 4. 解： 因为V2a-1≥0，Vb-2a≥0，Va+b+c≥0，要使V2a-1+Vb-2a+Va+b+c=0成立， 则V2a-1=0,Vb-2a=0,Va+b+c=0。 由V2a-1=0得2a-1=0.2a=1,a=号。 2 把a=2代入8b-2a=0.得6-2×号=0，即61=0，b-1=0,b=1. 把a-克b=1代入a+b+c-0.得}+1+c=0.即}+c=02+c=0,c=-是 综上，a61c=是