第2章 2.2 第2课时 基本不等式的应用-（配套教参Word版）【创新教程·五维课堂】2026-2027学年高中数学必修第一册同步课时作业（人教A版）

**基本信息** 聚焦基本不等式应用，通过基础巩固、能力提升、综合应用三层设计，实现从单一知识点到实际问题解决的递进，培养数学思维与应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|单一不等式应用|单选/填空直接应用（如第1题a+b=2求最值）| |提升层|综合条件不等式|多选结合方程与性质（如第5题2x+y=xy判断选项）| |拓展层|实际问题建模|解答题融入生活情境（如第13题工厂利润最大化）|

1．已知a＞0，b＞0，a＋b＝2，则y＝＋的最小值是(　　) A.　　 B．4　　　 C.　　 D．5 答案：C 2．已知x≥，则f(x)＝有(　　) A．最大值 B．最小值 C．最大值1 D．最小值1 答案：D 3．已知x＞0，y＞0，x＋2y＋2xy＝8，则x＋2y的最小值是(　　) A．3 B．4 C. D. 答案：B 4．设正实数x，y，z满足x2－3xy＋4y2－z＝0，则当取得最大值时，＋－的最大值为(　　) A．9 B．1 C. D．3 答案：B 5．(多选)若x＞0，y＞0，且2x＋y＝xy，则(　　) A.＋＞1 B．x＋2y＋xy≥9＋6 C．xy≤8 D.＋≥2 解析：ABD　[∵x＞0，y＞0,2x＋y＝xy，∴＋＝1，∴＋＞＋＝1，A正确；x＋2y＋xy＝3x＋3y＝(3x＋3y)＝9＋＋≥9＋6，当且仅当x＝y，即x＝1＋，y＝2＋时等号成立，B正确；2x＋y＝xy≥2，解得xy≥8，C错误；2x＋y＝xy可化为(x－1)(y－2)＝2，又由x＞0，y＞0知，x－1＞0，y－2＞0，则＋≥2＝2当且仅当＝，即x＝2，y＝4时等号成立，D正确．] 6．(多选)已知a，b均为正实数，且a＋b＝1，则(　　) A．ab的最大值为 B.＋的最小值为5 C.的最小值为 D.＋的最小值为 解析：ACD　[对于A选项，由基本不等式可得ab≤2＝， 当且仅当即当a＝b＝时，等号成立，所以ab的最大值为，A正确；对于B选项，＋＝＋＝＋＋2≥2＋2＝2＋2， 当且仅当即时，等号成立，所以＋的最小值为2＋2，B错误； 对于C选项， ＝a2b2＋(a2＋b2)＋ ＝a2b2＋(a＋b)2－ab＋ ＝a2b2－ab＋＋ ＝2＋≥， 当且仅当即或时，等号成立， 所以的最小值为，C正确；对于D选项，＋＝＋＝a＋2－4＋＋b＋1－2＋＝＋－2，设s＝a＋2，t＝b＋1，可得s＞0，t＞0，且s＋t＝4， 则上式＝(s＋t)－2＝ －2≥－2＝， 当且仅当即即时，等号成立， 所以＋的最小值为，D正确．] 7．若x，y是正实数，(x－y)2＝(xy)3，则＋的最小值为　________　. 解析：因为(x－y)2＝(xy)3且x，y是正实数，所以两边同时除以(xy)2，得2＝xy，又因为2＝2＋＝xy＋≥2＝4，当且仅当xy＝，即x＝2＋，y＝2－时等号成立，所以＋≥＝2. 答案：2 8．中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上．以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实．一为从隅，开平方得积．”即假设在平面内有一个三角形，边长分别为a，b，c，三角形的面积S可由公式S＝求得，其中p为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦—秦九韶公式．现有一个三角形的边长满足a＋b＝12，c＝4，则此三角形面积的最大值为　________　. 解析：由题意可得，p＝(a＋b＋c)＝8，则S＝. 由基本不等式可得，S＝≤＝8. 当且仅当8－a＝8－b，即a＝b＝6时取等号． 答案：8 9．某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位：万元)与机器运转时间x(单位：年)的关系为y＝－x2＋18x－25(x∈N*)，则当每台机器运转　____________　年时，年平均利润最大，最大值是　________　万元． 解析：每台机器运转x年的年平均利润为＝18－，且x>0，故≤18－2＝8，当且仅当x＝5时等号成立，此时年平均利润最大，最大值为8万元． 答案：5　8 10．某品牌电脑体验店预计全年购入360台电脑，已知该品牌电脑的进价为3 000元/台，为节约资金决定分批购入，若每批都购入x(x∈N*)台，且每批需付运费300元，储存购入的电脑全年所付保管费与每批购入电脑的总价值(不含运费)成正比(比例系数为k)，若每批购入20台，则全年需付运费和保管费7 800元． (1)记全年所付运费和保管费之和为y元，求y关于x的函数． (2)若要使全年用于支付运费和保管费的资金最小，则每批应购入电脑多少台？ 解：(1)由题意，得y＝×300＋k×3 000x. 当x＝20时，y＝7 800，解得k＝0.04. 所以y＝×300＋0.04×3 000x＝×300＋120x(x∈N*)． (2)由(1)，得y＝×300＋120x≥2＝2×3 600＝7 200. 当且仅当＝120x，即x＝30时，等号成立． 所以要使全年用于支付运费和保管费的资金最少，每批应购入电脑30台． 11．(1)已知0＜x＜，求y＝2x－5x2的最大值； (2)已知x＞0，y＞0，且x＋y＝1，求＋的最小值． 解：(1)y＝2x－5x2＝x(2－5x) ＝·5x·(2－5x)． ∵0＜x＜，∴5x＜2,2－5x＞0， ∴5x(2－5x)≤()2＝1， ∴y≤，当且仅当5x＝2－5x，即x＝时，ymax＝. (2)∵x＞0，y＞0，且x＋y＝1， ∴＋＝(x＋y)＝10＋＋≥10＋2＝18， 当且仅当＝，即x＝，y＝时等号成立， ∴＋的最小值是18. 12．已知：x＞0，y＞0，且x＋2y＝1，求使＋＞a恒成立的参数a的范围． 解：∵x＞0，y＞0，且x＋2y＝1， ∴＋＝＋＝1＋2＋＋≥3＋2＝3＋2. 当且仅当＝，且x＋2y＝1， 即x＝－1，y＝1－时，等号成立． ∴＋的最小值为3＋2，故要使＋＞a恒成立，只需a＜3＋2即可． 即a的取值范围为(－∞，3＋2)． 13．某工厂某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件，需另投入成本为C(x)，当年产量不足80千件时，C(x)＝x2＋10x(万元)．当年产量不小于80千件时，C(x)＝51x＋－1 450(万元)．每件商品售价为0.05万元．通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完． (1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式； (2)当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？ 解：(1)因为每件商品售价为0.05万元，则x千件商品销售额为0.05×1 000x万元， 依题意得当0＜x＜80时，L(x)＝1 000x×0.05－－250＝－x2＋40x－250； 当x≥80时， L(x)＝1 000x×0.05－－250＝1 200－. ∴L(x)＝ (2)当0＜x＜80时，L(x)＝－(x－60)2＋950. 对称轴为x＝60，即当x＝60时，L(x)max＝950万元； 当x≥80时，L(x)＝1 200－≤1 200－2＝1 000(万元)， 当且仅当x＝100时，L(x)max＝1 000万元， 综上所述，当年产量为100千件时，年获利润最大． 学科网（北京）股份有限公司 $