钉子板上的多边形（综合实践）（讲义）2026-2027学年五年级上册数学（苏教版）

本小学数学讲义聚焦钉子板上多边形的格点计数、内部1枚及2枚钉子的面积规律探究、皮克定理初步感知等核心知识点，承接多边形面积计算基础，从规则图形公式计算进阶到格点图形规律探究，为初中格点几何学习搭建思维支架。 资料以“操作计数—列表观察—对比归纳—验证规律—拓展延伸”完整探究路径为主线，通过分层练习、易错预警及动手实践活动，培养学生推理意识与几何直观，如列表探究内部钉子数与面积关系渗透模型思想，课中辅助教师引导探究过程，课后助力学生巩固提升、弥补知识盲点。

钉子板上的多边形（综合实践） 第一部分 课时核心素养与新知建构 1 一、新知脉络全景梳理 1 二、核心解题方法图谱记忆 2 三、课时数学思想与素养提升 2 第二部分 核心考点深度解构与解题策略精讲 3 考点一：钉子板上多边形的基础计数（基础必考） 3 考点二：内部有 1 枚钉子的规律探究（核心必考） 4 考点三：内部有 2 枚钉子的规律探究（核心必考） 6 考点四：皮克定理的初步感知（拓展层级） 7 第三部分 高频易错预警与避坑指南 8 易错点 1：数边上钉子数时，顶点钉子重复计数 8 易错点 2：混淆边上钉子和内部钉子，计数分类错误 8 易错点 3：应用规律时忽略前提，直接套公式 8 易错点 4：规律记错，加减号搞反 9 易错点 5：面积单位与长度单位混淆 9 第四部分 分层能力进阶与课时达标精练 10 一、基础夯实达标练（6 题） 10 二、能力拓展提升练（4 题） 11 三、思维拓展培优练（2 题） 12 四、数学活动拓展 13 第五部分 习题精准解析与知识点睛 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 第一部分 课时核心素养与新知建构 一、新知脉络全景梳理 本课时是苏教版五年级上册第三单元《多边形的面积》的探究型综合实践课，严格对标 2024 版苏教版新教材内容，承接前 7 课时多边形面积计算的知识基础，从 “规则图形公式计算” 进阶到 “格点图形规律探究”，是小学阶段几何探究的经典实践内容。核心掌握钉子板格点的计数方法、内部有 1 枚钉子时多边形面积与边上钉子数的关系、内部有 2 枚钉子时的规律拓展、皮克定理的初步感知、规律验证与应用五大核心内容。全课时建立 “操作计数→列表观察→对比归纳→验证规律→拓展延伸” 的完整探究路径，围绕几何直观、推理意识、创新意识、应用意识四条《义务教育数学课程标准（2022 年版）》核心素养主线，重在经历探究过程、培养归纳推理能力，为后续初中格点几何学习奠定思想方法基础。 知识模块 核心内容 关键方法 易错预警 格点基础计数 钉子板的结构特征，多边形边上钉子数、内部钉子数的规范计数方法 逐点计数法、有序数钉法 顶点钉子重复计数，混淆边上与内部钉子 内部 1 枚钉子的规律 内部有 1 枚钉子时，面积与边上钉子数的对应关系， 列表探究法、归纳法 规律记错，遗漏除以 2 的关系 内部 2 枚钉子的规律 内部有 2 枚钉子时，面积与边上钉子数的关系， 对比迁移法、规律推导法 和内部 1 枚的规律混淆，忘记加 1 皮克定理初步感知 内部有枚钉子时的一般规律，初步感知皮克定理 归纳推广法、模型建构法 对一般规律理解模糊，公式记混 规律验证应用 用不同形状的多边形验证规律，应用规律快速计算面积 验证法、应用拓展法 不规则图形计数错误，规律应用失误 二、核心解题方法图谱记忆 方法名称 适用题型 操作路径 技巧口诀 有序计数法 钉子数计数题 按顺时针顺序数边上钉子→数内部钉子→标记顶点避免重复 顺时针数不重复，边钉内钉分清楚 列表探究法 规律探究题 画出多个图形→分别数 n、a、算 S→列表整理→观察找规律 画图列表填数据，对比观察找规律 对比归纳法 多组规律推导 先探究 a=1 的规律→再探究 a=2 的规律→对比差异→推导一般规律 一组规律先摸清，增加内钉再推导 验证应用法 规律验证题 用公式算面积→用常规方法算面积→对比验证规律正确性 两种方法算面积，验证规律准不准 三、课时数学思想与素养提升 1. 归纳推理思想：从特殊到一般的规律建构 核心要义：通过多个具体的多边形案例，计数、计算、列表观察，从特殊的例子中归纳出普遍的规律，经历 “个别→一般” 的推理过程，是小学阶段培养归纳推理能力的经典载体，也是 2022 版课标 “推理意识” 核心素养的重要落地内容。 典型范式：先研究内部有 1 枚钉子的 3 个不同图形，发现都符合；再研究内部有 2 枚钉子的图形，发现符合；进而推广到内部有枚钉子的一般规律，完整经历归纳推理的全过程。 2. 数形结合思想：格点图形与数量规律的对应 核心要义：将钉子板上的直观图形，与边上钉子数、内部钉子数、面积的数量关系建立一一对应，通过图形的变化观察数量的变化，用数量规律描述图形的面积特征，图形直观支撑规律理解，数量规律精准刻画图形属性，是数形结合思想的典型应用。 典型范式：看到格点多边形，就能对应数出边上钉子数和内部钉子数，代入规律算出面积；看到规律公式，就能联想到对应的格点图形特征，双向印证深化理解。 3. 模型思想：格点面积的数学模型建构 核心要义：通过探究提炼出格点多边形面积的计算模型（皮克定理），用统一的数学公式描述一类图形的面积计算方法，实现 “一个公式解决一类问题”，是模型思想在几何探究中的体现。 典型范式：只要是钉子板上的多边形，都可以通过数边上钉子数和内部钉子数，代入同一个公式快速算出面积，无需再用分割法、添补法逐一计算，模型具有普适性。 4. 探究实践思想：完整的数学探究过程体验 核心要义：通过动手操作、自主探究、合作交流，完整经历 “提出问题→操作观察→猜想验证→归纳结论→拓展延伸” 的数学探究全过程，培养学生的探究能力、合作能力与创新意识，落实综合实践课的育人价值。 典型范式：学生自己在钉子板上围图形、数钉子、算面积，小组内分享发现，共同总结规律，再拓展验证，主动建构知识，而非被动接受结论。 第二部分 核心考点深度解构与解题策略精讲 考点一：钉子板上多边形的基础计数（基础必考） 典型例题 1（基础层级）—— 钉子数规范计数 题目：下面钉子板上的平行四边形，相邻钉子间距 1 厘米，每个小方格面积 1 平方厘米。请数出这个多边形边上的钉子数、内部的钉子数，并用公式计算它的面积。 思路点拨： ① 第一步明确计数规则：边上钉子数指多边形的边经过的所有钉子，包括顶点，每个顶点只数 1 次，不能重复计数；内部钉子数指完全在多边形内部、不接触边的钉子； ② 第二步有序数边上钉子：按顺时针方向，从一个顶点开始数，依次经过每条边，顶点只在第一次数到的时候计数，数得平行四边形边上共有 8 枚钉子，即； ③ 第三步数内部钉子：观察多边形内部，完全落在里面、不碰边的钉子有 2 枚，即； ④ 第四步计算面积：用平行四边形面积公式验证，底 3 厘米、高 2 厘米，面积平方厘米，和后续规律计算结果对照。 【答案】 边上钉子数，内部钉子数，平行四边形面积是 6 平方厘米。 【知识点睛】格点计数的核心要点： 1. 边上钉子计数：按顺时针或逆时针顺序数，每个顶点只算 1 次，避免重复；一条边上的钉子数 = 间隔数 + 1，可通过间隔数验证； 2. 内部钉子计数：完全在图形内部、不与边接触的钉子才计入，刚好在边上的算边上钉子，不算内部； 3. 面积验证：规则图形可用面积公式计算面积，用于后续验证规律的正确性； 4. 单位前提：默认相邻钉子间距为 1 个单位长度，对应小方格面积为 1 个面积单位。 考点二：内部有 1 枚钉子的规律探究（核心必考） 典型例题 2（核心层级）—— 规律探究与归纳 题目：下面是钉子板上内部都只有 1 枚钉子的 3 个多边形，相邻钉子间距 1 厘米。分别数出每个图形的边上钉子数，计算面积，填写表格，你能发现什么规律？ 图形 边上钉子数 内部钉子数 面积/ 平方厘米 图形 1（三角形） 6 1 图形 2（平行四边形） 8 1 图形 3（五边形） 10 1 思路点拨： ① 第一步分别计算每个图形的面积： · 图形 1（三角形）：底 3 厘米，高 2 厘米，面积平方厘米； · 图形 2（平行四边形）：底 3 厘米，高 2 厘米，面积平方厘米； · 图形 3（五边形）：用分割法分成一个长方形和两个三角形，算得面积 5 平方厘米； ② 第二步填写表格，对应数据： 图形 边上钉子数 内部钉子数 面积/ 平方厘米 图形 1 6 1 3 图形 2 8 1 4 图形 3 10 1 5 ③ 第三步观察对比：观察和的关系，，，，发现面积都等于边上钉子数除以 2； ④ 第四步归纳规律：当多边形内部只有 1 枚钉子（）时，多边形的面积 = 边上钉子数 ÷ 2，用字母表示为：。 【答案】 表格填写如上，规律：当多边形内部有 1 枚钉子时，面积（为边上钉子数）。 【知识点睛】内部 1 枚钉子的规律核心要点： 1. 探究方法：通过多个不同形状的图形，列表整理数据，观察变量关系，归纳得出规律，这是探究类问题的通用方法； 2. 规律内容：时，，面积是边上钉子数的一半，必须强调 “内部有 1 枚钉子” 这个前提条件； 3. 验证意识：得出规律后，要再画一个内部 1 枚钉子的图形，用规律算面积，再用常规方法验证，确保规律正确； 4. 易错提醒：不能忽略 “内部 1 枚钉子” 的前提，直接对所有多边形用，前提不同，规律不同。 考点三：内部有 2 枚钉子的规律探究（核心必考） 典型例题 3（核心层级）—— 规律对比与拓展 题目：如果多边形内部有 2 枚钉子，再画出 3 个不同的多边形，数出边上钉子数，计算面积，对比内部 1 枚钉子的规律，你能得出什么结论？ 思路点拨： ① 第一步绘制 3 个内部有 2 枚钉子的多边形，分别计数、算面积，整理成表格： 图形 边上钉子数 内部钉子数 面积/ 平方厘米 图形 1 6 2 4 图形 2 8 2 5 图形 3 10 2 6 ② 第二步观察数据：，，，发现面积 = 边上钉子数 ÷2 +1； ③ 第三步对比的规律：内部 1 枚钉子时，内部 2 枚钉子时，内部每多 1 枚钉子，面积就多 1 平方厘米； ④ 第四步归纳规律：当多边形内部有 2 枚钉子（）时，多边形的面积 = 边上钉子数 ÷ 2 + 1，用字母表示为：。 【答案】 规律：当多边形内部有 2 枚钉子时，面积（为边上钉子数）；内部每增加 1 枚钉子，面积就增加 1 平方厘米。 【知识点睛】内部 2 枚钉子的规律核心要点： 1. 迁移对比：在的规律基础上，通过对比发现内部钉子数增加，面积随之增加，增量和内部钉子数的增量一致； 2. 规律内容：时，，比的情况多了 “+1”，对应内部多的 1 枚钉子； 3. 探究逻辑：从特殊到一般，先研究固定内部钉子数的规律，再改变内部钉子数，观察规律的变化，逐步推进探究； 4. 验证要求：同样需要多个图形验证，不能仅凭一个例子就下结论，体现科学探究的严谨性。 考点四：皮克定理的初步感知（拓展层级） 典型例题 4（拓展层级）—— 一般规律归纳 题目：结合内部 1 枚、2 枚钉子的规律，猜想：如果多边形内部有枚钉子，多边形的面积和边上钉子数、内部钉子数之间有什么关系？ 思路点拨： ① 第一步回顾已知规律： · 时， · 时， ② 第二步对比变形：把两个规律都写成统一形式，发现后面加的数等于 “内部钉子数 -1”； ③ 第三步猜想一般规律：当内部有枚钉子时，面积公式为：； ④ 第四步验证猜想：画一个内部有 3 枚钉子的多边形，数出，按公式算平方厘米，再用分割法计算面积，结果一致，验证猜想成立。 【答案】 猜想：当多边形内部有枚钉子时，面积与边上钉子数、内部钉子数的关系为：（皮克定理）；经图形验证，该规律成立。 【知识点睛】皮克定理初步感知的核心要点： 1. 定理内容：格点多边形面积 = 边上格点数 ÷2 + 内部格点数 - 1，即，这就是著名的皮克定理，小学阶段只做初步感知，重在探究过程，不要求机械记忆； 2. 推导逻辑：从特殊情况出发，通过对比、变形、猜想、验证，得出一般规律，经历完整的合情推理过程； 3. 适用范围：只适用于顶点都在格点上的简单多边形，是格点几何的基础定理； 4. 素养导向：核心价值在于培养探究能力和归纳推理意识，而非背诵公式，体会 “从特殊到一般” 的数学研究方法。 第三部分 高频易错预警与避坑指南 易错点 1：数边上钉子数时，顶点钉子重复计数 错误范式：数四边形的边上钉子数，每条边单独数，四个顶点每条边都数了一次，导致总数多算了 4 个。 成因剖析：没有按统一顺序数钉，分边计数时忽略了顶点是两条边共有的，重复计入总数。 避坑方案：按顺时针（或逆时针）方向，从一个顶点出发，沿边依次计数，每个顶点只在第一次经过时计数；也可以先算每条边的间隔数，总边上钉子数 = 总间隔数，和周长的格数对应，避免重复。 易错点 2：混淆边上钉子和内部钉子，计数分类错误 错误范式：把刚好落在多边形边上的钉子算成内部钉子，或者把内部靠近边的钉子算成边上的，导致计数错误。 成因剖析：对 “边上钉子”“内部钉子” 的定义理解不清，边界判断模糊。 避坑方案：牢记定义：钉子在多边形的边上（包括顶点），算边上钉子；完全在多边形内部、不与边接触的，算内部钉子。刚好在边上的，一律归为边上钉子，不算内部。 易错点 3：应用规律时忽略前提，直接套公式 错误范式：不管内部有几枚钉子，都用计算面积，导致结果错误。 成因剖析：只记住了最基础的规律，忽略了 “内部钉子数” 这个关键前提，对规律的适用条件理解不透彻。 避坑方案：应用规律前，先看内部钉子数，确定对应的公式：用，用，一般情况用。先定前提，再选公式，避免盲目套用。 易错点 4：规律记错，加减号搞反 错误范式：把内部 2 枚钉子的规律记成，或者把皮克定理记成，符号完全错误。 成因剖析：死记硬背公式，没有理解规律的推导逻辑，不知道 “内部钉子越多，面积越大” 的基本常识。 避坑方案：结合意义记忆：内部钉子越多，面积越大，所以内部钉子数是加的项；时，，就是，符合之前的结论。通过意义和特殊情况双重验证，避免符号记反。 易错点 5：面积单位与长度单位混淆 错误范式：相邻钉子间距 1 厘米，算出面积后写单位 “厘米”，误用长度单位。 成因剖析：对长度单位和面积单位的区分不清晰，计数后单位对应错误。 避坑方案：明确相邻钉子间距是长度单位（厘米），对应小方格的面积是面积单位（平方厘米），计算结果是面积，必须用面积单位。计数前先明确单位，答题后检查单位是否正确。 第四部分 分层能力进阶与课时达标精练 一、基础夯实达标练（6 题） 1. 填空： （1）钉子板上，多边形的边经过的钉子叫（ ），完全在多边形内部的钉子叫（ ）。 （2）当多边形内部有 1 枚钉子时，面积与边上钉子数的关系是（ ）。 （3）当多边形内部有 2 枚钉子时，面积与边上钉子数的关系是（ ）。 （4）皮克定理的初步公式：（ ），其中是（ ），是（ ）。 2. 判断： （1）钉子板上的多边形，边上钉子数越多，面积一定越大。（ ） （2）内部有 1 枚钉子的多边形，面积都是边上钉子数的一半。（ ） （3）数边上钉子数时，顶点的钉子要重复数两次。（ ） （4）内部有 3 枚钉子的多边形，面积比同边上钉子数、内部 1 枚的多 2 平方厘米。（ ） 3. 选择： （1）一个内部有 1 枚钉子的多边形，边上有 12 枚钉子，面积是（ ）平方厘米。 A. 12 B. 6 C. 24 （2）内部有 2 枚钉子的多边形，面积是 8 平方厘米，边上钉子数是（ ）枚。 A. 14 B. 16 C. 18 （3）皮克定理中，内部钉子数增加 1，面积（ ）。 A. 增加 1 B. 减少 1 C. 不变 4. 下面的多边形内部有 1 枚钉子，边上有 10 枚钉子，它的面积是多少平方厘米？（相邻钉子间距 1 厘米） 5. 一个多边形内部有 2 枚钉子，边上有 8 枚钉子，用规律计算它的面积，再用分割法验证。 6. 画一个内部有 1 枚钉子的四边形，数出边上钉子数，用规律计算面积。 二、能力拓展提升练（4 题） 7. 选择： （1）一个多边形边上有 10 枚钉子，内部有 3 枚钉子，按皮克定理，面积是（ ）平方厘米。 A. 5 B. 7 C. 8 （2）下面说法正确的是（ ）。 A. 只要边上钉子数相同，面积就相同 B. 内部钉子数相同，边上钉子数越多，面积越大 C. 内部钉子数越多，面积一定越大 8. 根据规律填写下表： 边上钉子数 内部钉子数 面积/ 平方厘米 8 1 10 2 3 7 9. 一个多边形的面积是 10 平方厘米，边上有 12 枚钉子，它的内部有几枚钉子？ 10. 在钉子板上围出内部有 3 枚钉子的多边形，数出边上钉子数，用皮克定理算面积，再用常规方法验证。 三、思维拓展培优练（2 题） 11. 一个钉子板上的多边形，边上钉子数是内部钉子数的 4 倍，面积是 9 平方厘米，这个多边形内部有几枚钉子？ 12. 如果一个多边形内部没有钉子（），猜想它的面积和边上钉子数有什么关系？画一个图形验证你的猜想。 四、数学活动拓展 实践活动：钉子板上的规律探秘 活动任务： 1. 准备钉子板（或方格纸）、橡皮筋、铅笔、直尺； 2. 第一组探究：围出 3 个内部有 1 枚钉子的不同多边形，分别数边上钉子数、计算面积，填写表格，总结规律； 3. 第二组探究：围出 3 个内部有 2 枚钉子的不同多边形，重复操作，对比第一组规律，发现变化； 4. 拓展猜想：猜想内部有 3 枚、4 枚钉子的规律，围图形验证； 5. 小组交流：分享自己的发现，共同归纳出一般规律，初步感知皮克定理； 6. 创意应用：用规律快速计算一个复杂格点多边形的面积，体会规律的便捷性。 要求：通过动手操作、自主探究，完整经历规律发现的全过程，培养归纳推理能力与合作探究精神，体会数学探究的乐趣。 第五部分 习题精准解析与知识点睛 一、基础夯实达标练解析 1. 【答案】（1）边上钉子数；内部钉子数 （2） （3） （4）；边上钉子数；内部钉子数 思路点拨： ① 明确两类钉子的定义，是探究规律的基础； ② 内部 1 枚、2 枚钉子对应的规律是本课时核心结论，要准确记忆； ③ 皮克定理的一般形式，是初步感知的内容，理解各字母含义。 【知识点睛】本题考查钉子板多边形的基础概念与核心规律，是本课时最基础的知识点，必须牢固掌握。 2. 【答案】（1）× （2）√ （3）× （4）√ 思路点拨： ① 面积由边上钉子数和内部钉子数共同决定，只看边上钉子数无法确定面积，错误； ② 符合内部 1 枚钉子的规律，正确； ③ 顶点的钉子只能数一次，不能重复数，错误； ④ 内部多 2 枚钉子，面积多 2 平方厘米，正确。 【知识点睛】概念辨析题，准确掌握规律的前提、计数的规则即可快速判断。 3. 【答案】（1）B （2）A （3）A 思路点拨： ① 内部 1 枚钉子，，选 B； ② 内部 2 枚钉子，，则，，选 A； ③ 内部钉子数增加 1，面积增加 1，选 A。 【知识点睛】基础选择题，考查规律的正向与逆向应用，是基础必考题。 4. 【答案】 答：它的面积是 5 平方厘米。 思路点拨： ① 确定前提：内部有 1 枚钉子，对应公式； ② 代入数据，计算得面积 5 平方厘米。 【知识点睛】基础规律应用，掌握内部 1 枚钉子的面积公式，直接代入计算即可。 5. 【答案】（平方厘米） 验证示例：画一个上底 2 厘米、下底 3 厘米、高 2 厘米的梯形，面积 =平方厘米；该图形边上有 8 枚钉子、内部有 2 枚钉子，代入规律计算结果一致，验证成立。 思路点拨： ① 先根据内部 2 枚钉子的对应规律计算面积； ② 再绘制符合条件的规则图形，用常规面积公式验证，确保规律正确。 【知识点睛】规律验证类题目，规律得出后必须验证。 6. 【答案】示例：画一个底 2 厘米、高 2 厘米的平行四边形，边上共 8 枚钉子，内部 1 枚钉子；用规律计算面积：平方厘米；用平行四边形面积公式计算：平方厘米，结果一致。 思路点拨： ① 先按要求画出内部有 1 枚钉子的四边形； ② 按规则数出边上钉子数，代入规律计算面积； ③ 用常规面积公式验证结果。 【知识点睛】操作实践题，通过画图巩固计数方法与规律应用，深化对规律前提条件的理解。 二、能力拓展提升练解析 7. 【答案】（1）B （2）B 思路点拨： ① 代入皮克定理：，选 B； ② 内部钉子数相同时，边上钉子数越多面积越大，B 正确；A 忽略了内部钉子数，C 忽略了边上钉子数，都错误。 【知识点睛】皮克定理应用与规律辨析，深化对面积影响因素的理解。 8. 【答案】 边上钉子数 内部钉子数 面积/ 平方厘米 8 1 4 10 2 6 10 3 7 思路点拨： ① ，； ② ，； ③ ，，则，，。 【知识点睛】规律的正向与逆向综合应用，掌握公式变形，灵活计算。 9. 【答案】 答：它的内部有 5 枚钉子。 思路点拨： ① 将已知的面积、边上钉子数代入皮克定理公式； ② 通过公式变形计算，求出内部钉子数。 【知识点睛】公式逆向应用，培养方程思想与逆向推理能力，需熟练掌握皮克定理的变形推导。 10. 【答案】 示例：围一个底 4 厘米、高 2 厘米的平行四边形，边上共 12 枚钉子，内部 3 枚钉子； 用皮克定理计算：平方厘米； 用平行四边形面积公式计算：平方厘米，验证一致。 思路点拨： 先画图计数，再用两种方法分别计算面积，验证皮克定理的正确性。 【知识点睛】拓展探究练习，通过动手操作深化对皮克定理的理解，体会规律的普适性。 三、思维拓展培优练解析 11. 【答案】 设内部有枚钉子，则边上钉子数， 代入皮克定理：，解得。 答：内部有 3 枚钉子。 思路点拨： ① 根据倍数关系设未知数，用含的式子表示； ② 代入皮克定理列方程求解。 【知识点睛】和倍问题与皮克定理的综合应用，培养方程思想与综合应用能力。 12. 【答案】猜想：当内部没有钉子时，。 验证示例：画一个长 2 厘米、宽 1 厘米的长方形，边上共 6 枚钉子，内部 0 枚钉子； 面积 =平方厘米，代入猜想公式计算：平方厘米，结果一致，猜想成立。 思路点拨： ① 根据之前的规律，内部每少 1 枚钉子面积少 1，推导时的公式； ② 绘制符合条件的图形，验证猜想的正确性。 【知识点睛】拓展探究题，培养迁移推理能力与猜想验证意识，完善对皮克定理的完整认知。 四、数学活动拓展解析 活动参考过程： 1. 准备阶段：分组，每组准备钉子板、橡皮筋、记录单，明确分工； 2. 第一组探究：每人围 1 个内部 1 枚钉子的多边形，分别数、算，汇总到表格中，共同观察数据，总结规律； 3. 第二组探究：每人围 1 个内部 2 枚钉子的多边形，同样记录数据，对比第一组规律，发现内部多 1 枚、面积多 1 的变化； 4. 拓展猜想：共同猜想内部 3 枚、4 枚钉子的规律，再围图形验证，逐步归纳出一般公式； 5. 创意挑战：围一个复杂的不规则多边形，先用分割法算面积，再用规律快速计算，对比结果，体会规律的便捷性； 6. 分享总结：各小组分享探究过程和发现，总结探究方法，交流活动体会。 【知识点睛】通过完整的动手探究活动，能亲身体验规律发现的全过程，巩固计数方法，深化对皮克定理的理解，培养归纳推理能力、合作探究能力与创新意识，落实综合实践课的育人价值，体会数学探究的乐趣与严谨性。 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $