第三单元 第 2 课时 三角形的面积（讲义）2026-2027学年五年级上册数学（苏教版）

本讲义聚焦三角形面积这一核心知识点，承接平行四边形面积计算基础，延续“转化推导”思想，从“单一图形转化”进阶到“两个完全相同三角形拼合转化”，系统梳理拼合方法、公式推导、公式应用及等底等高特征，为梯形面积和组合图形面积学习奠定转化思想与操作方法基础。 该资料以“动手拼合—转化推导—公式建构—应用拓展”为主线，通过拼合操作培养几何直观，公式推导逻辑闭环强化推理意识，生活场景应用提升应用意识。分层练习与易错预警设计，课中辅助教师系统教学，课后助力学生查漏补缺，巩固知识要点。

第 2 课时 三角形的面积 第一部分 课时核心素养与新知建构 1 一、新知脉络全景梳理 1 二、核心解题方法图谱记忆 2 三、课时数学思想与素养提升 2 第二部分 核心考点深度解构与解题策略精讲 3 考点一：两个完全一样的三角形拼合为平行四边形的方法（基础必考） 3 考点二：三角形面积公式的推导（核心必考） 5 考点三：面积公式的基础应用（核心必考） 6 考点四：等底等高三角形的面积特征（拓展应用） 8 第三部分 高频易错预警与避坑指南 10 易错点 1：计算时忘记除以 2，导致面积错误 10 易错点 2：底和高不对应，计算结果错误 10 易错点 3：单位不统一，直接计算导致错误 10 易错点 4：拼合转化时，用两个不一样的三角形拼合，导致等量关系错误 11 易错点 5：公式变式记反，求底 / 高时用错公式 11 易错点 6：混淆 “等底等高” 的前提，误用面积关系 11 第四部分 分层能力进阶与课时达标精练 12 一、基础夯实达标练（6 题） 12 二、能力拓展提升练（4 题） 13 三、思维拓展培优练（2 题） 14 四、数学活动拓展 15 第五部分 习题精准解析与知识点睛 16 学科网（北京）股份有限公司 第一部分 课时核心素养与新知建构 一、新知脉络全景梳理 本课时是苏教版五年级上册第三单元《多边形的面积》的核心奠基课，严格对标 2024 版苏教版新教材内容，承接第 1 课时平行四边形面积计算的知识基础，延续 “转化推导” 的核心数学思想，从 “单一图形转化” 进阶到 “两个完全相同图形的拼合转化”，是图形面积计算体系中承上启下的关键课时。核心掌握两个完全一样的三角形拼合成平行四边形的规范方法、三角形面积公式的完整推导过程、公式的正向与变式应用、等底等高三角形的面积特征四大核心内容。全课时建立 “动手拼合→转化推导→公式建构→应用拓展” 的完整学习路径，围绕空间观念、几何直观、推理意识、应用意识四条《义务教育数学课程标准（2022 年版）》核心素养主线，是多边形面积计算单元的核心环节，为后续梯形面积公式的推导、组合图形面积计算奠定核心的转化思想与操作方法基础。 知识模块 核心内容 关键方法 易错预警 三角形拼合转化方法 两个完全一样的锐角 / 直角 / 钝角三角形，通过旋转、平移拼合成平行四边形的规范操作，拼合前后图形的等量关系 拼合转化法、旋转平移法 用两个不一样的三角形拼合，拼合后图形的等量关系分析错误 面积公式推导 拼合前后平行四边形与三角形的底、高、面积的对应关系，公式的完整推导 对应关系分析法、公式推导法 混淆平行四边形与三角形的面积对应关系，推导逻辑错误，忘记除以 2 公式基础应用 已知底和高求面积，已知面积和底求高，已知面积和高求底 公式正用 / 逆用法、单位换算法 底和高不对应，单位不统一，公式变式应用错误，漏乘 2 或漏除以 2 面积特征应用 等底等高的三角形面积相等，三角形与平行四边形的面积关系 对比分析法、特征应用法 误以为面积相等的三角形形状一定相同，混淆三角形与平行四边形的面积关系 实际问题解决 结合生活场景的三角形面积计算，解决实际问题 场景建模法、实际问题转化法 忽略实际场景中的单位换算、面积取舍，不符合生活实际 二、核心解题方法图谱记忆 方法名称 适用题型 操作路径 技巧口诀 拼合转化法 公式推导、图形拼合题 取两个完全一样的三角形→旋转其中一个→平移拼接→拼成平行四边形→对应等量关系 两个三角拼四边，旋转平移是关键，底高对应面积半 公式推导法 面积公式推导题 分析拼合前后图形关系→平行四边形面积 = 底 × 高→三角形面积 = 底 × 高 ÷2→总结公式 拼合找对应，公式自然成，面积一半要记清 底高对应法 面积计算题 先找三角形的一组对应的底和高→统一单位→代入公式计算 底高必须对应，单位先统一，除以 2 别忘记 公式逆用法 求底 / 高的计算题 已知面积和高，；已知面积和底， 逆用公式要记牢，面积乘 2 除以底得高，面积乘 2 除以高得底 特征应用法 等底等高面积判断题 先判断底和高是否相等→若相等则面积相等，与形状无关 等底等高，面积相等，形状不一定同 三、课时数学思想与素养提升 1. 转化思想：未知图形向已知图形的二次转化 核心要义：将三角形这一未知面积计算方法的图形，通过两个完全相同的三角形拼合的方式，转化为已经学过的、会计算面积的平行四边形，把 “求三角形面积” 这个未知问题，转化为 “求平行四边形面积” 的已知问题，化繁为简、化未知为已知，是本课时最核心的数学思想，也是上一课时转化思想的延续与深化，是 2022 版课标强调的几何推理的核心载体。 典型范式：用两个完全一样的锐角三角形，通过旋转、平移拼合成一个平行四边形，平行四边形的底就是三角形的底，平行四边形的高就是三角形的高，因此一个三角形的面积等于拼合成的平行四边形面积的一半，直接用平行四边形的面积公式推导出三角形的面积公式。 2. 数形结合思想：图形与公式的双向对应 核心要义：将三角形的图形特征与面积公式建立一一对应关系，图形中的底对应公式中的，高对应公式中的，面积对应公式中的，把抽象的公式与直观的图形结合起来，既可以通过图形理解公式的含义（三角形面积是等底等高平行四边形的一半），也可以通过公式解决图形的面积计算问题，是数形结合思想的典型应用。 典型范式：看到三角形的图形，就能立刻找到对应的底和高，代入公式计算；看到面积公式，就能联想到三角形与平行四边形的面积关系，双向印证，加深理解。 3. 推理思想：公式推导的逻辑闭环 核心要义：通过动手拼合、观察对比、分析归纳，从 “拼合前后两个三角形的面积之和等于平行四边形的面积” 出发，一步步推导出三角形的面积公式，每一步都有严谨的逻辑依据，形成 “操作→观察→分析→推导→结论” 的完整逻辑闭环，培养有理有据的几何推理意识，是 2022 版课标推理意识的核心体现。 典型范式：拼合后，2 个完全一样的三角形面积 = 平行四边形的面积，三角形的底 = 平行四边形的底，三角形的高 = 平行四边形的高，因为平行四边形面积 = 底 × 高，所以一个三角形面积 = 底 × 高 ÷2，每一步推理都有明确的对应依据，逻辑严谨。 4. 应用思想：数学知识的生活落地 核心要义：将三角形的面积计算知识，应用于红领巾、三角形菜地、交通标志牌、玻璃等生活场景的面积计算，体会数学知识在解决实际问题中的实用价值，培养用数学方法解决生活问题的应用意识，让数学知识真正服务于生活。 典型范式：计算三角形菜地的收成，需要先算出菜地的面积，再根据每平方米的收成计算总产量；制作三角形交通标志牌，需要先计算面积，再计算所需材料，数学知识贯穿生活问题解决的全过程，实现知识的落地应用。 第二部分 核心考点深度解构与解题策略精讲 考点一：两个完全一样的三角形拼合为平行四边形的方法（基础必考） 典型例题 1（基础层级）—— 拼合转化操作与等量关系分析 题目：请你用两个完全一样的锐角三角形，画出拼合转化为平行四边形的完整过程，并说一说拼合前后，图形的底、高、面积有什么关系？ 思路点拨： ① 第一步规范拼合前提：必须用两个完全一样的三角形，包括底、高、边长、角度完全相同，这是拼合成功的核心前提，两个不一样的三角形无法拼合成平行四边形； ② 第二步旋转平移规范：将其中一个三角形旋转 180°，再平移，使两个三角形的相等的边完全重合，拼接后的图形必须是对边平行且相等的平行四边形，无重叠、无空隙； ③ 第三步对应关系分析：拼合前后，三角形的底就是平行四边形的底，三角形的高就是平行四边形的高，两个完全一样的三角形的面积之和等于拼合成的平行四边形的面积，因此一个三角形的面积等于平行四边形面积的一半，三者的对应关系必须完全明确； ④ 第四步总结规律：拼合过程中，图形的形状发生了改变，从两个三角形变成了一个平行四边形，但每个三角形的底、高没有改变，面积的对应关系是推导公式的核心依据。 【答案】 取两个完全一样的锐角三角形，将其中一个三角形旋转 180°，沿相等的边平移，使两条对应边完全重合，最终拼接成一个平行四边形。 拼合前后的关系： 1. 底的关系：三角形的底 = 平行四边形的底； 2. 高的关系：三角形的高 = 平行四边形的高； 3. 面积的关系：2 个完全一样的三角形面积之和 = 平行四边形的面积，1 个三角形的面积 = 平行四边形的面积 ÷2。 【知识点睛】拼合转化的核心要点： 1. 拼合前提：必须用两个完全一样的三角形，这是拼合成功的唯一前提，形状不同、大小不同的三角形无法拼合成平行四边形； 2. 操作规范：先旋转其中一个三角形 180°，再平移，使两个三角形的相等边完全重合，拼接后的图形必须是规则的平行四边形，对边平行且相等，无重叠、无空隙； 3. 等量关系：拼合前后，三角形的底对应平行四边形的底，三角形的高对应平行四边形的高，两个三角形的面积和等于平行四边形的面积，这是公式推导的核心逻辑； 4. 拓展说明：两个完全一样的直角三角形可以拼成长方形（特殊的平行四边形），两个完全一样的钝角三角形也可以拼合成平行四边形，所有三角形都可以用这种方法推导面积公式。 考点二：三角形面积公式的推导（核心必考） 典型例题 2（核心层级）—— 面积公式完整推导 题目：结合拼合转化的过程，完整推导三角形的面积公式，并说明公式中每个字母的含义。 思路点拨： ① 第一步回顾拼合结论：两个完全一样的三角形，通过旋转、平移拼合成一个平行四边形，拼合前后的面积关系为：，因此； ② 第二步对应边的关系：拼合后，平行四边形的底对应三角形的底，平行四边形的高对应三角形的高，即：，； ③ 第三步代入平行四边形面积公式：我们已经学过平行四边形的面积公式：，将对应关系代入，可得：； ④ 第四步公式符号化：用表示三角形的面积，表示三角形的底，表示三角形的高，那么三角形的面积公式可以写成：； ⑤ 第五步公式含义说明：公式中的和必须是对应的底和高，即高是这条底边对应的高，不能用不对应的底和高相乘，计算时必须记得除以 2。 【答案】 三角形面积公式推导过程： 1. 两个完全一样的三角形，通过旋转、平移拼合成一个平行四边形，2 个三角形的面积之和等于平行四边形的面积； 2. 平行四边形的底 = 三角形的底，平行四边形的高 = 三角形的高； 3. 因为平行四边形面积 = 底 × 高，所以三角形面积 = 底 × 高 ÷ 2； 4. 用表示面积，表示底，表示高，公式为：。 公式含义：代表三角形的面积，代表三角形的底，代表这条底边对应的高，底和高必须相互对应，计算时必须除以 2。 【知识点睛】面积公式推导的核心要点： 1. 推导逻辑：以 “两个完全一样的三角形拼合成平行四边形” 为核心依据，通过平行四边形面积公式迁移推导出三角形面积公式，逻辑闭环完整，每一步都有对应关系支撑； 2. 公式核心：，必须强调三个核心点：① 底和高的对应性；② 必须除以 2，这是最容易出错的地方；③ 底和高的单位必须统一； 3. 公式变式：由，可以推导出两个变式公式：（已知面积和高求底），（已知面积和底求高），三个公式可以互相推导； 4. 单位要求：计算时，底和高的单位必须统一，比如底用厘米，高也要用厘米，面积单位就是平方厘米，单位不统一要先换算。 考点三：面积公式的基础应用（核心必考） 典型例题 3（基础层级）—— 正向公式应用 题目：一块三角形的菜地，底是 20 米，对应的高是 15 米，这块菜地的面积是多少平方米？ 思路点拨： ① 第一步确定已知条件：题目给出了三角形的底米，这条底对应的高米，求面积； ② 第二步选择公式：已知底和高，求面积，用三角形面积公式； ③ 第三步代入计算：将，代入公式，（平方米）； ④ 第四步写答语：完整写出答语，说明这块菜地的面积是 150 平方米。 【答案】 答：这块菜地的面积是 150 平方米。 【知识点睛】正向公式应用的核心要点： 1. 步骤规范：先写公式，再代入数值计算，最后写答语，步骤完整，逻辑清晰； 2. 底高对应：必须确保高是这条底边对应的高，本题中 15 米的高是 20 米的底对应的高，才能直接相乘； 3. 单位统一：本题中底和高的单位都是米，单位统一，直接计算即可；如果单位不统一，要先换算成相同单位，再计算； 4. 核心提醒：计算时必须记得除以 2，这是三角形面积计算最核心的易错点，可通过验算确保结果正确，比如，与底一致，计算正确。 典型例题 4（提升层级）—— 公式变式应用 题目：一个三角形的面积是 36 平方厘米，它的底是 9 厘米，这条底对应的高是多少厘米？ 思路点拨： ① 第一步确定已知条件：题目给出了三角形的面积平方厘米，底厘米，求这条底对应的高； ② 第二步选择公式：已知面积和底，求高，用公式的变式； ③ 第三步代入计算：将，代入公式，（厘米）； ④ 第四步验证：用正向公式验算，平方厘米，与题目给出的面积一致，计算正确； ⑤ 第五步写答语：完整写出答语，说明这条底对应的高是 8 厘米。 【答案】 答：这条底对应的高是 8 厘米。 【知识点睛】公式变式应用的核心要点： 1. 变式公式记牢：求高用，求底用，必须记得用面积乘 2，再除以已知量，不能记反； 2. 对应性不变：求出的高，必须是已知的这条底对应的高，底和高的对应关系始终不变； 3. 验算必做：变式计算后，一定要用正向公式验算，确保结果正确，避免计算错误； 4. 单位规范：面积单位是平方厘米，底的单位是厘米，求出的高的单位也是厘米，单位要对应。 考点四：等底等高三角形的面积特征（拓展应用） 典型例题 5（拓展层级）—— 面积特征应用 题目：下面两个三角形，底都是 8 厘米，高都是 5 厘米，它们的面积相等吗？形状相同吗？为什么？ 思路点拨： ① 第一步分析面积关系：两个三角形的底都是 8 厘米，高都是 5 厘米，根据面积公式，底和高都相等，所以面积一定相等，都是平方厘米； ② 第二步分析形状关系：三角形的形状由三条边的长度决定，虽然底和高相等，但两条斜边的长度不一定相等，因此形状不一定相同； ③ 第三步总结特征：等底等高的三角形，面积一定相等，但形状不一定相同，周长也不一定相等； ④ 第四步验证：可以画出两个等底等高但形状不同的三角形，一个是锐角三角形，一个是钝角三角形，测量它们的斜边长度，会发现斜边不同，形状不同，但面积都是 20 平方厘米。 【答案】 它们的面积相等，形状不一定相同。 理由： 1. 面积相等：根据三角形面积公式，两个三角形的底都是 8 厘米，高都是 5 厘米，底和高都相等，因此面积都是平方厘米，面积一定相等； 2. 形状不一定相同：三角形的形状由三条边的长度决定，底相等，但两条斜边的长度不一定相等，因此形状不一定相同。 【知识点睛】等底等高三角形的核心特征： 1. 核心结论：等底等高的三角形，面积一定相等，与形状、斜边长度、周长无关； 2. 形状特征：面积相等的三角形，形状不一定相同；只有三条边长度都对应相等的三角形，形状才相同； 3. 易错提醒：不能误以为 “面积相等，形状就一定相同”，这是本课时的高频易错点，必须明确区分面积和形状的概念； 4. 应用场景：判断两个三角形的面积是否相等，只需要看底和高是否相等，不需要看形状是否相同。 典型例题 6（拓展层级）—— 三角形与平行四边形的面积关系 题目：一个平行四边形的面积是 48 平方厘米，和它等底等高的三角形的面积是多少平方厘米？ 思路点拨： ① 第一步回顾拼合结论：两个完全一样的三角形可以拼合成一个等底等高的平行四边形，因此三角形的面积是等底等高平行四边形面积的一半； ② 第二步计算面积：平行四边形面积是 48 平方厘米，因此等底等高的三角形面积 = 48÷2=24 平方厘米； ③ 第三步验证：用公式验算，设底为，高为，平行四边形面积，三角形面积平方厘米，计算正确。 【答案】 和它等底等高的三角形的面积是 24 平方厘米。 【知识点睛】三角形与平行四边形的面积关系核心要点： 1. 核心关系：等底等高的三角形面积是平行四边形面积的一半，等底等高的平行四边形面积是三角形面积的 2 倍； 2. 前提条件：必须是等底等高的前提下，这个关系才成立，底和高不相等的话，没有这个倍数关系； 3. 易错提醒：不能直接说 “三角形面积是平行四边形的一半”，必须加上 “等底等高” 的前提条件，否则结论错误。 第三部分 高频易错预警与避坑指南 易错点 1：计算时忘记除以 2，导致面积错误 错误范式：三角形的底是 10 厘米，高是 6 厘米，直接用平方厘米计算面积，忘记除以 2，结果错误。 成因剖析：对三角形面积公式的核心逻辑理解不清，没有记住三角形面积是等底等高平行四边形的一半，计算时遗漏了 “÷2” 这个核心步骤。 避坑方案：牢记三角形面积公式，计算时先算底 × 高，再必须除以 2。可以记口诀：“三角形面积不算难，底乘高来除以 2，忘记除以 2，计算全白搭”。计算后用反向验算，比如算出的面积乘 2，是否等于底 × 高的乘积，确保不遗漏除以 2。 易错点 2：底和高不对应，计算结果错误 错误范式：三角形的三条边分别是 10 厘米、8 厘米、6 厘米，一条高是 7 厘米，直接用计算面积，导致结果错误。 成因剖析：对底和高的对应关系理解不清，误以为任意一条边都可以和任意一条高相乘，忽略了高必须是这条底边对应的高，7 厘米的高只能对应 8 厘米或 6 厘米的底，不能对应 10 厘米的底。 避坑方案：牢记 “底和高必须一一对应”，高是从底边的对角顶点向这条底边作的垂线，只能和对应的底边相乘。计算前先明确高是哪条底边对应的，再代入公式计算，避免底高不对应。 易错点 3：单位不统一，直接计算导致错误 错误范式：三角形的底是 3 分米，高是 6 厘米，直接用计算面积，单位混乱，结果错误。 成因剖析：计算前没有统一单位，底和高的单位不同，直接相乘导致面积单位错误，数值也不符合实际。 避坑方案：计算前先检查底和高的单位是否统一，不统一的话，先换算成相同单位，再代入公式计算。比如本题，先把 3 分米换算成 30 厘米，再计算面积平方厘米，或者把 6 厘米换算成 0.6 分米，计算平方分米。 易错点 4：拼合转化时，用两个不一样的三角形拼合，导致等量关系错误 错误范式：用一个锐角三角形和一个钝角三角形拼合，试图拼成平行四边形，结果无法拼接，等量关系完全错误。 成因剖析：对拼合转化的核心前提理解不清，不知道必须用两个完全一样的三角形，才能拼合成平行四边形，才能推导面积公式。 避坑方案：牢记拼合转化的核心前提：两个完全一样的三角形，包括底、高、边长、角度完全相同，这是拼合成功的唯一前提。拼合前先验证两个三角形是否完全一样，再进行旋转、平移操作。 易错点 5：公式变式记反，求底 / 高时用错公式 错误范式：已知面积和底，求高，用，忘记乘 2，导致计算结果错误。 成因剖析：对公式的变式理解不清，没有掌握乘除的互逆关系，记反了公式的变式，忘记了面积需要先乘 2，再除以已知量。 避坑方案：牢记公式的推导关系，，所以，，求什么，就用面积乘 2，再除以对应的已知量。也可以通过乘法口诀验算，比如，，想，所以，避免公式记反。 易错点 6：混淆 “等底等高” 的前提，误用面积关系 错误范式：看到三角形和平行四边形，就直接说三角形面积是平行四边形的一半，忽略了 “等底等高” 的前提条件。 成因剖析：对三角形与平行四边形的面积关系理解片面，没有记住 “等底等高” 是这个倍数关系的唯一前提，盲目套用结论。 避坑方案：牢记 “等底等高” 是面积倍数关系的核心前提，只有在底和高都相等的情况下，三角形面积才是平行四边形的一半。判断时先确认底和高是否相等，再套用结论，不能盲目使用。 第四部分 分层能力进阶与课时达标精练 一、基础夯实达标练（6 题） 1. 填空： （1）两个完全一样的三角形，通过（ ）、（ ）的方法，可以拼合成一个（ ），拼合前后，（ ）的面积是（ ）面积的一半。 （2）三角形的面积公式是（ ），用字母表示为（ ），其中表示（ ），表示（ ），计算时必须记得（ ）。 （3）一个三角形的底是 10 厘米，对应的高是 6 厘米，面积是（ ）平方厘米。 （4）一个平行四边形的面积是 40 平方厘米，和它等底等高的三角形的面积是（ ）平方厘米。 （5）两个等底等高的三角形，（ ）一定相等，（ ）不一定相同。 2. 判断： （1）两个面积相等的三角形，一定可以拼成一个平行四边形。（ ） （2）三角形的面积是平行四边形面积的一半。（ ） （3）等底等高的三角形，面积一定相等。（ ） （4）三角形的底越长，面积就越大。（ ） （5）计算三角形面积时，底和高的单位必须统一。（ ） 3. 选择： （1）三角形的面积公式是根据（ ）的面积公式推导出来的。 A. 长方形 B. 平行四边形 C. 正方形 （2）一个三角形的面积是 24 平方分米，底是 8 分米，对应的高是（ ）分米。 A. 3 B. 6 C. 12 （3）下面关于三角形的说法，正确的是（ ）。 A. 面积相等，形状一定相同 B. 等底等高，面积一定相等 C. 周长相等，面积一定相等 （4）一个三角形的底扩大到原来的 2 倍，高不变，面积会（ ）。 A. 扩大到原来的 2 倍 B. 缩小到原来的一半 C. 不变 4. 计算下面三角形的面积： （1） （2） 5. 一个三角形的面积是 56 平方厘米，高是 8 厘米，这条高对应的底是多少厘米？ 6. 画出两个完全一样的锐角三角形拼合成平行四边形的完整过程，并标注各部分的对应关系。 二、能力拓展提升练（4 题） 7. 选择： （1）一个三角形的底和高都扩大到原来的 2 倍，面积会扩大到原来的（ ）倍。 A. 2 B. 4 C. 8 （2）下面的三角形中，面积相等的是（ ）。 A. 底和高都不相等的两个三角形 B. 等底等高的两个三角形 C. 周长相等的两个三角形 8. 一块三角形的交通标志牌，底是 8 分米，对应的高是 7 分米，如果每平方分米需要用油漆 0.2 千克，刷这个标志牌的正反两面一共需要多少千克油漆？ 9. 用一根长 36 厘米的铁丝围成一个等腰三角形，腰长 10 厘米，底边上的高是 6 厘米，这个三角形的面积是多少平方厘米？ 10. 一个三角形和一个平行四边形的面积相等，底也相等，三角形的高是 12 厘米，平行四边形的高是多少厘米？ 三、思维拓展培优练（2 题） 11. 一个三角形，如果底增加 4 厘米，高不变，面积就增加 16 平方厘米；如果高增加 3 厘米，底不变，面积就增加 15 平方厘米。原来这个三角形的面积是多少平方厘米？ 12. 如图，平行四边形的面积是 60 平方厘米，点是的中点，求三角形的面积是多少平方厘米？ 四、数学活动拓展 实践活动：三角形面积探秘 活动任务： 1. 准备两张完全一样的锐角三角形纸片、两张完全一样的直角三角形纸片、两张完全一样的钝角三角形纸片，剪刀、直尺、铅笔； 2. 动手操作：用每组的两个三角形，通过旋转、平移拼合成平行四边形，观察拼合前后图形的底、高、面积的变化； 3. 测量计算：测量三角形的底和高，计算面积；再测量拼合成的平行四边形的底和高，计算面积，对比两者的面积关系； 4. 拓展探究：用不同的三角形纸片重复操作，验证面积公式是否适用于所有三角形，探究等底等高三角形的面积特征； 5. 分享交流：和同学分享你的操作过程和发现，说一说三角形面积公式的推导逻辑，巩固转化思想。 要求：通过动手操作，亲身体验三角形面积公式的推导过程，加深对公式的理解，提升动手操作能力和逻辑推理能力，体会转化思想的应用。 第五部分 习题精准解析与知识点睛 一、基础夯实达标练解析 1. 【答案】（1）旋转；平移；平行四边形；三角形；平行四边形 （2）底 × 高 ÷2；；底；这条底对应的高；除以 2 （3）30 （4）20 （5）面积；形状 思路点拨： ① 拼合转化的核心操作：两个完全一样的三角形，通过旋转、平移拼合成平行四边形，三角形面积是平行四边形的一半； ② 三角形的面积公式，是底，是对应高，计算时必须除以 2，是本课时核心知识点； ③ 面积计算：平方厘米； ④ 等底等高的三角形面积是平行四边形的一半，平方厘米； ⑤ 等底等高的三角形，面积一定相等，形状不一定相同，核心特征。 【知识点睛】本题考查三角形面积的基础概念、公式、核心特征，是本课时最基础的知识点，必须牢固掌握。 2. 【答案】（1）× （2）× （3）√ （4）× （5）√ 思路点拨： ① 两个完全一样的三角形才能拼成平行四边形，面积相等的三角形不一定完全一样，错误； ② 必须是等底等高的前提下，三角形面积才是平行四边形的一半，错误； ③ 等底等高的三角形，面积一定相等，正确； ④ 面积由底和高共同决定，底越长，高不确定的话，面积不一定越大，错误； ⑤ 计算三角形面积时，底和高的单位必须统一，正确。 【知识点睛】概念辨析题，准确掌握三角形面积的推导、公式、核心特征即可快速判断。 3. 【答案】（1）B （2）B （3）B （4）A 思路点拨： ① 三角形的面积公式是根据平行四边形的面积公式推导出来的，选 B； ② 求高，用分米，选 B； ③ 等底等高的三角形，面积一定相等，选 B； ④ 面积公式，高不变，底扩大 2 倍，面积也扩大 2 倍，选 A。 【知识点睛】基础选择题，考查公式推导、公式变式、核心特征、积的变化规律，是基础必考题。 4. 【答案】 （1） （2） 思路点拨： 已知底和高，直接代入面积公式计算，注意单位统一，计算时必须除以 2。 【知识点睛】正向公式应用，掌握基础的面积计算方法，步骤规范，计算准确，不遗漏除以 2。 5. 【答案】 答：这条高对应的底是 14 厘米。 思路点拨： 已知面积和高，求底，用公式变式，代入计算即可，计算后用正向公式验算。 【知识点睛】公式变式应用，掌握求底 / 高的方法，牢记必须用面积乘 2，再除以已知量，避免公式记反。 6.【答案】① 画出两个形状、大小完全相同的锐角三角形；② 标注 “旋转 180°”“平移” 的操作过程，体现其中一个三角形经旋转平移后与另一个三角形拼接的逻辑；③ 画出最终拼合成的平行四边形；④ 标注对应关系：三角形的底、高，平行四边形的底（等于三角形的底）、平行四边形的高（等于三角形的高），并注明 “2 个完全相同的三角形面积之和 = 拼合后平行四边形的面积”。 思路点拨： ① 拼合操作的核心是使两个三角形的对应边完全重合，需先将其中一个三角形旋转 180°，再沿水平方向平移； ② 拼接后需验证图形对边平行且相等，确认为平行四边形，无重叠、无空隙； ③ 转化前后三角形的底和高均不变，面积的等量关系是推导公式的核心依据。 【知识点睛】本题考查三角形拼合转化的操作规范与等量关系，核心是掌握 “两个完全相同的三角形可拼成等底、等高的平行四边形” 的转化方法，体会化未知为已知的转化数学思想。 二、能力拓展提升练解析 7. 【答案】（1）B （2）B 思路点拨： ① 面积公式，底和高都扩大 2 倍，面积扩大倍，选 B； ② 等底等高的三角形，面积一定相等，选 B。 【知识点睛】积的变化规律与面积特征的应用，深化对公式的理解，提升应用的灵活性。 8. 【答案】 答：一共需要 11.2 千克油漆。 思路点拨： 先计算单面的面积，再计算正反两面的总面积，最后根据每平方分米的油漆量计算总油漆量，步骤完整，逻辑清晰，注意 “正反两面” 这个易错点。 【知识点睛】实际问题应用，结合生活场景，考查面积计算的综合应用能力，注意实际场景中的面积取舍。 9. 【答案】 答：这个三角形的面积是 48 平方厘米。 思路点拨： 先根据等腰三角形的周长和腰长，求出底边长，再根据底和高计算面积，注意高是底边对应的高，符合底高对应要求。 【知识点睛】周长与面积的综合应用，结合等腰三角形的特征，考查面积计算的综合能力，注意底高的对应关系。 10. 【答案】 答：平行四边形的高是 6 厘米。 思路点拨： 根据面积和底相等的条件，推导出三角形的高是平行四边形高的 2 倍，因此平行四边形的高是 12÷2=6 厘米。 【知识点睛】三角形与平行四边形面积关系的逆向应用，培养逻辑推理能力，深化对面积公式的理解。 三、思维拓展培优练解析 11. 【答案】 答：原来这个三角形的面积是 40 平方厘米。 思路点拨： 底增加 4 厘米，高不变，增加的面积是一个小三角形的面积，用增加的面积 ×2÷ 增加的底，就得到原来的高；同理，高增加 3 厘米，底不变，增加的面积 ×2÷ 增加的高，就得到原来的底；再用原来的底 × 高 ÷2 求出面积。 【知识点睛】逆向推理题，考查三角形面积公式的灵活应用，培养逻辑推理能力，理解底、高、面积之间的变化关系。 12. 【答案】 答：三角形的面积是 30 平方厘米。 思路点拨： 点 E 是 BC 的中点，不影响三角形 AED 的底和高，三角形 AED 的底是平行四边形的底 BC，高是平行四边形的高，因此三角形面积是平行四边形面积的一半，60÷2=30 平方厘米。 【知识点睛】平行四边形与三角形面积的综合应用，结合中点的特征，考查面积公式的灵活应用，培养空间想象能力和逻辑推理能力。 四、数学活动拓展解析 活动参考过程： 1. 动手操作：用三组不同类型的三角形（锐角、直角、钝角），分别通过旋转、平移，将两个完全一样的三角形拼合成平行四边形，观察拼合前后的图形变化，记录拼合的方法； 2. 测量对比：用直尺测量每个三角形的底和高，计算面积；再测量拼合成的平行四边形的底和高，计算面积，对比两者的面积关系，验证 “三角形面积是等底等高平行四边形面积的一半” 的结论； 3. 拓展验证：用不同底和高的三角形重复操作，多次验证，确保公式适用于所有类型的三角形； 4. 分享交流：展示自己的操作过程，分享自己的发现，总结三角形面积公式的推导逻辑，明确转化思想的应用，加深对公式的理解。 【知识点睛】通过动手操作的实践活动，能亲身体验三角形面积公式的推导过程，巩固拼合转化的方法，加深对公式的理解，提升动手操作能力和逻辑推理能力，体会转化思想在数学学习中的核心价值。 1 学科网（北京）股份有限公司 $