第21章《二次函数与反比例函数》单元培优测试卷 2026-2027学年沪科版数学九年级上册

**基本信息** 沪科版九年级上册第21章《二次函数与反比例函数》培优卷，聚焦单元核心知识，通过真实情境与跨学科问题设计，培养数学抽象、模型意识与应用能力，适配单元复习提升需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|12/36|二次函数图像性质、反比例函数象限、平移规律|结合软件操作（第1题）、物理电流电阻关系（第7题）考查概念辨析| |填空题|4/16|二次函数定义、顶点坐标、反比例函数k值、抛物线应用|射水鱼捕食（第16题）体现生活情境，强化几何直观| |解答题|7/68|函数建模（利润、面积）、数形结合、跨学科应用|直播带货利润（第9题）、水火箭飞行（第22题）、立定跳远轨迹（第23题）突出模型意识与应用能力，层次分明|

第21章《二次函数与反比例函数》培优卷-2026-2027学年沪科版（新教材）数学九年级上册单元测试卷 一、选择题(共12题；共36分) 1．嘉嘉用软件绘制抛物线时，将“”按成了“”，和原图象相比，发生改变的是（　　） A．开口大小 B．开口方向 C．对称轴 D．顶点坐标 2．抛物线的对称轴为直线（　　） A． B． C． D． 3．已知反比例函数的图象在第二、四象限，则m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 4．将函数的图象先向右平移再向下平移，所得函数图象的解析式可能是（　　） A． B． C． D． 5．若函数 是关于 x的二次函数，则 m为（　　) A．2 B．±2 C．-2 D．0 6．已知点M（x1，y1)，N（x2，y2)在反比例函数 的图象上，若 则（　　). A． B． C． D． 7．已知某蓄电池的电压为定值，电流与电阻是反比例函数关系，它的图象如图，若当电阻R为时，电流为，则当电阻为时，电流为（　　） A． B． C． D． 8．将表达式为y= 的抛物线经过平移后得到表达式为 的抛物线，则平移的方向和距离是（　　）. A．向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度 B．向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度 C．向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度 D．向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度 9．“直播带货”已经成为 一种热门的销售方式，某主播代销某一品牌的 电子产品(这里代销指厂家先免费提供货源，待 货物销售后再进行结算，未售出的由厂家负责 处理).经调查发现每件售价99元时，日销售量 为200件，当每件电子产品每下降1元时，日销 售量会增加2件.已知每售出1件电子产品，该 主播需支付厂家和其他费用共50元，设每件电 子产品售价为 x ( 元)，主播每天的利润为 w (元)，则w 与x 之间的函数表达式为（　　）. A．w=(99—x)[200+2(x—50)] B．w=(x—99)[200+2(x—50)] C．w=(x-50)[200+2(99—x)] D．w=(x-50)[200—2(99—x)] 10．下表是满足二次函数 的五组数据，x1是方程 的一个解，则下列选项中正确的是（　　) x 1.6 1.8 2.0 2.2 2.4 y -0.80 -0.54 -0.20 0.22 0.72 A． B． C． D． 11．在物理实验课上，同学们分小组进行探究电流 I (A)与电阻 R (Ω)关系的实验，实验要求每个小组需保持电阻两端电压恒定.依据实验所得数据，在给定的坐标系中，甲、乙、丙三个小组分别绘制出了相应的图象(如图).根据图象及物理学知识 U=IR，可判断甲、乙、丙三个小组所控制的电阻两端电压的大小关系为(　　) A． B． C． D． 12． 华罗庚说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事非. ”请运用这句话中提到的数学思想并结合已画的部分图象判断方程 根的情况是（　　) A．有三个实数根，两个正根一个负根 B．有两个实数根，一个正根一个负根 C．有三个实数根，一个正根两个负根 D．有两个实数根，并且两个都是负根 二、填空题(共4题；共16分) 13．如果二次函数的图象经过坐标原点，那么m的值为　 　． 14．抛物线 的顶点坐标是　 　. 15．如图，点是反比例函数图象上一点，轴于点，点在轴上，连接．若面积为2，则的值为　 　 16．如图，据生物学资料介绍，射水鱼会从口中射出一股水流击中昆虫达到捕食目的，其射出的水流可以看作一条抛物线的一部分（不考虑空气阻力）．图是一次捕食中一条射水鱼发现一只昆虫后射出水流的图象，其中水流从点射出，水流运动的高度与水平距离近似满足函数关系．若这只昆虫在点，则这次射出的水流　 　击中昆虫．（填“能”或“不能”） 三、解答题(共7题；共68分) 17．已知二次函数（a为常数）． （1）当时，求该二次函数图象的顶点坐标； （2）与轴平行的直线交该二次函数图象于，两点，且点的横坐标为，求线段的长； （3）若，点，在该二次函数图象上，试说明． 18．师傅制作岭南特色传统美食竹升面时，将质量一定的面团擀拉成细面，面条的总长度y（m）是横截面积S（mm2）的反比例函数，其图象（如图所示）经过点A（4，32）. （1）求y与S之间的函数关系式； （2）若竹升面的总长度不超过0.8m，则其横截面积至少是多少mm2? 19．为支持国家南水北调工程建设，小王家由原来养殖户变为种植户，经市场调查得知，当种植樱桃的面积x不超过15亩时，每亩可获得利润y＝1900元；超过15亩时，每亩获得利润y（元）与种植面积x（亩）之间的函数关系如图所示． （1）请求出种植樱桃的面积超过15亩时每亩获得利润y与x的函数关系式； （2）如果小王家计划承包荒山种植樱桃，受条件限制种植樱桃面积x不超过50亩，设小王家种植x亩樱桃所获得的总利润为W元，求小王家承包多少亩荒山获得的总利润最大，并求出总利润W的最大值． 20．在同一坐标系中画两个函数的图象，并回答相关问题： （1）画出函数的图象； ①由分式有意义可知，函数中自变量x取除 以外的全体实数，可列如下表，请你填剩余的空． x 1 1.5 2 3 4 6 y 　 　 　 　 　 　 6 4 3 2 1.5 1 ②在坐标系中描点、连线，画函数的大致图象（描上表中剩余的点并连线）． （2）画出函数的图象； （3）当取x何值时，对于其中x的每一个值，函数的值大于函数的值，直接写出x的取值范围． 21． 某小区为了改善居住环境，准备修建一个矩形花园ABCD，为了节约材料并种植不同类花，决定花园一边靠墙，三边用栅栏围住，中间用一段垂直于墙的栅栏隔成两块，已知所用栅栏的总长为60米，墙长为30米（如图)，设花园垂直于墙的一边的长为x米. （1）若平行于墙的一边长为y米，求y与x的函数关系式及自变量x的取值范围； （2）当x为何值时，这个矩形花园的面积最大?最大值是多少?（栅栏占地面积忽略不计) （3）当这个花园的面积不小于288平方米时，直接写出x的取值范围. 22．某校物理兴趣小组举办“水火箭”发射距离比赛，如图是甲组的水火箭实物图.王老师用频闪照相机记录并测量甲组的水火箭的飞行水平距离 x米和飞行高度y米的数据，记录数据如下表： 照相机频闪时间t/s 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 …… 水平距离 x/米 0 5 10 15 20 25 30 …… 飞行高度 y/米 0 4.5 8 10.5 12 12.5 12 …… （1）根据表格中的数据描点，连线，发现y与x近似地满足二次函数关系，请写出y与x之间的函数表达式； （2）根据表格数据，可知水平距离x与时间t满足关系式 x=10t.根据比赛规定，在水平距离相同的情况下，飞行高度不低于8米的持续时间越长成绩越好.求甲组水火箭飞行高度不低于8米的持续时间； （3）乙组的水火箭与甲组的水火箭同时从同一高度发射，已知乙组水火箭的飞行高度y(米)与水平距离x(米)满足函数关系 当水平距离为多少米时，两组水火箭的高度差最大?最大高度差是多少? 23．综合与实践 立定跳远中的函数应用 问题情境：立定跳远练习中，运动员身体重心的运动轨迹可近似看作抛物线．为提升训练的安全性、降低受伤风险，并帮助校训队的运动员提高成绩，某学校成立了立定跳远运动规律探究小组． 实验数据：该探究小组测得某运动员在一次试跳中，身体重心距地面的竖直高度（单位：）与水平距离（单位：）的几组数据如下表： 0 0.8 1.6 2.4 3.2 0 0.45 0.6 0.45 0 数学建模：如图1，将运动员身体重心的运动轨迹抽象为抛物线．其顶点为，运动员的起跳点为，落地点为点．以为原点，所在的直线为轴，过点与所在水平地面垂直的直线为轴，建立平面直角坐标系． （1）请根据表格中的测量数据直接写出抛物线的顶点坐标，并求出该抛物线的函数关系式； 问题解决： 已知运动员身体重心在任意位置到地面的高度不低于时可避免练习时受伤．我们将直线与抛物线的两个交点分别记作、，称、两点之间的距离为该运动员此次立定跳远的有效水平距离． （2）求的长（结果保留根号）； （3）实验表明：调整起跳角度后，该运动员的重心运动轨迹近似满足关系式：．为促进运动员科学训练，学校设定了立定跳远的等级标准线：满分线为，良好线为．现要求该运动员的落地点（即时的值）在良好线到满分线之间（含两端点），请直接写出的最大值与最小值． 答案解析部分 1．【答案】B 2．【答案】A 3．【答案】A 4．【答案】A 5．【答案】C 6．【答案】A 7．【答案】C 8．【答案】D 9．【答案】C 10．【答案】C 11．【答案】A 12．【答案】C 13．【答案】12 14．【答案】（3，0） 15．【答案】4 16．【答案】不能 17．【答案】（1）解：当时，则二次函数的解析式为， 化为顶点式为， ∴二次函数图象的顶点坐标为； ​​​​​​ （2）解：令，则有，解得， ∴该二次函数与x轴的交点坐标为， ∴该二次函数的对称轴为直线， 由与x轴平行的直线交该二次函数图象于A，B两点可知：二次函数图象上的A，B两点关于二次函数的对称轴对称， ∵点B的横坐标为， ∴点B到对称轴的距离为， 根据对称的性质可知：； ​​​​​​​ （3）解：∵点，在该二次函数图象上， ∴， ， ∴ ， 当时，即， 解得：， ∵，且， ∴， 即． 18．【答案】（1）解：设y与x之间的函数表达式为： ∵该函数图象过点A（4，32）， ∴k=128， ∴y与S之间的函数表达式为： （2）解：由题意得∴ ∵S>0， 故这根竹升面的横截面积至少有160mm2. 19．【答案】（1）解：设y＝kx＋b，将x＝15、y＝1900和x＝35、y＝1500代入得： ， 解得：， ∴y＝−20x＋2200． （2）解：当0＜x≤15时，W＝1900x， ∴当x＝15时，W最大＝28500元； 当15＜x≤50时，W＝（−20x＋2200）x ＝−20x2＋2200x ＝−20（x−55）2＋60500， ∵15＜x≤50， ∴当x＝50时，W最大＝60000元； 综上所述，小王家承包50亩荒山获得的总利润最大，且总利润W的最大值为60000元． 20．【答案】（1）解：①由分式有意义可知，函数中自变量x取除0以外的全体实数，可列如下表，请你填剩余的空． x 1 1.5 2 3 4 6 y 6 4 3 2 1.5 1 ②在坐标系中描点、连线，画函数的大致图象，如图所示： （2）解：关于函数，先列表： x 1 2 4 y 3 6 如图所示： （3）解：由（2）得出，两个函数交于点，当函数的值大于函数的值，则x的取值范围为或． 21．【答案】（1）解：∵60=AB+CD+EF+BC， AB=EF=CD=x，BC=y， ∴3x+y=60 ∴y=-3x+60 (10≤x<20) （2）解：∵S=xy=x(-3x+60) ∴S=-3x2+60x， ∵a=-3<0， ∴当时，S有最大值平方米. （3）解：∵这个花园的面积不小288平方米 ∴-3x2+60x≥288 ∴-3x2+60x-288≥0 设y=-3x2+60x-288≥0 此函数的图象如图所示： ∴当这个花园的面积不小288平方米时，出x的取值范围是：10≤x≤12. 22．【答案】（1）解：设 将 (0，0)、(10，8)、(20，12) 代入， 得 （2）解：令 ∴x1=10，x2=40 将 x1=10， x2=40 代入得 x=10t， 得 t1=1， t2=4 ∴持续时间 4-1=3 秒 （3）解：设高度差为 h ∴当水平距离为20米时，最大高度差为4米 23．【答案】（1）解：由表格数据可知，抛物线的顶点坐标为．设抛物线的函数关系式为， ∵抛物线过点， 解得， ∴抛物线的函数关系式为， 展开得； （2）解：当时，，解得，， ∴； (3)的最大值为0.6，最小值为0.5 1 学科网（北京）股份有限公司 $