第21章二次函数与反比例函数单元卷2026-2027学年数学沪科版九年级上册

**基本信息** 沪科版九年级二次函数与反比例函数单元卷，以生活实际（如服装店利润、护眼贴销售）和几何情境（抛物线形拱桥、函数图像综合）为载体，全面考查核心知识与数学思维，适配单元复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10题40分|二次函数定义、反比例函数性质、图像平移|第7题结合抛物线图像判断一次函数象限，考查几何直观| |填空题|4题20分|抛物线应用、函数平移、k值几何意义|第14题含参二次函数定点探究，培养推理能力| |解答题|8题90分|解析式求法、实际应用、综合证明|第22题销售数据建模求最值，体现模型意识；第23题面积定值与存在性探究，发展创新意识|

2026-2027学年数学沪科版九年级上册第21章二次函数与反比例函数单元卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ （考试时间：120分钟 满分：150分 ） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知是关于x的二次函数，那么m的值为（　　） A． B．2 C． D．0 2．若反比例函数的图象经过点，则的值为（   ） A． B． C． D． 3．抛物线，其中，a，b，c能决定抛物线的增减性的是（     ） A． B． C． D． 4．已知反比例函数上有两点，当满足下列什么条件时，一定有（   ） A． B． C． D． 5．已知函数的图象经过点，且在第一象限内y随x的增大而增大．下列函数符合要求的是（    ） A． B． C． D． 6．若点在二次函数的图象上，且点P到y轴的距离小于2，则n的取值范围是（     ） A． B． C． D． 7．二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象一定不经过（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 8．将二次函数图象向左平移个单位，再向下平移个单位后，所得图象的函数是（　　） A． B． C． D． 9．某服装店衣服售价为280元时，获得的利润是进价的，此时每天可卖出200件衣服．为尽快清空库存，店主决定降价处理，当衣服售价每降低5元时，每天销量增加25件．店主要想每天获得的利润最大，则需要将售价定为多少元？（　　） A．200 B．220 C．240 D．260 10．抛物线的函数表达式为y＝（x﹣2）2﹣9，则下列结论中，正确的序号为（　　） ①当x＝2时，y取得最小值﹣9；②若点（3，y1），（4，y2）在其图象上，则y2＞y1；③将其函数图象向左平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度所得抛物线的函数表达式为y＝（x﹣5）2﹣5；④函数图象与x轴有两个交点，且两交点的距离为6． A．②③④ B．①②④ C．①③ D．①②③④ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 11．苏州自古以桥梁之盛闻名内外，素有东方威尼斯之称．如图是抛物线形拱桥，当拱顶距水面时，水面宽，水面下降，水面宽度增加___________． 12．将二次函数的图象整体平移，使其顶点移至的位置，则平移后的解析式为___________． 13．如图，直线平行于轴，且与反比例函数及分别交于，两点，连接，，已知的面积为2，则的值为__________． 14．二次函数 （k为常数，且k≠0）始终经过第二象限内的定点A． （1）定点A的坐标是 _____； （2）设点A的纵坐标为，若该函数图象与在内没有交点，则k的取值范围是 _____． 三.（本题共16分） 15．已知二次函数的图象的顶点坐标是，且过点． (1)求二次函数的解析式； (2)若函数值随的增大而增大，求的取值范围． 16．如图，已知抛物线经过点． (1)求m的值； (2)求出此抛物线的顶点坐标以及与x轴的两个交点坐标． 四.（本题共16分） 17．已知二次函数()的图象上的部分点的横坐标，纵坐标的对应值如下表： … 0 … … 1 1 … (1)二次函数图象的顶点坐标为_________，_________； (2)求该二次函数的表达式． 18．如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，两点． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)直接写出在第一象限内，一次函数大于反比例函数y=的x的取值范围． 五.（本题共20分） 19．已知点，点均在反比例函数上，且． (1)若时，求的值； (2)若时，求的值； (3)随着的变化，的值是否变化？若不变，请求出这个值；若变化，说明理由． 20．已知二次函数（m为常数）． (1)若该函数图象上有两个点、，试比较与的大小； (2)当时，函数有最小值为，请直接写出m的值． 六.（本题共12分） 21．已知正比例函数与反比例函数的图象在第一象限交于点． (1)求反比例函数的解析式； (2)如图，将直线向上平移个单位后与的图象交于点和点， ①求的面积； ②直接写出不等式的解集． 七.（本题共12分） 22．综合与实践： 【问题情境】关注眼健康，共筑“睛”彩大视界．某电商为积极响应爱眼日活动宣传，计划销售一款护眼贴．已知该款护眼贴的进价为50元/盒，销售一段时间后，该电商发现这款护眼贴的月销售量（盒）与销售单价（元/盒）的情况如图所示： 销售单价（元/盒） 月销售量（盒） 65 1300 60 1400 70 1200 (1)【数据整理】请将以上调查数据按照一定顺序重新整理，填写在下表中： 销售单价（元/盒） 60 ________ ________ 月销售量（盒） ________ ________ ________ (2)【模型建立】分析数据的变化规律，求出月销售量与销售单价之间的函数关系式（不要求写自变量的取值范围）； (3)【拓广应用】该电商规定每盒护眼贴的销售单价不得低于进价，且利润不得高于进价的．设销售这种护眼贴每月获利（元），当销售单价为多少元/盒时，每月获利最大？最大利润是多少元？ 八.（本题共14分） 23．抛物线经过点． (1)求c的值； (2)已知B是x轴上方的抛物线上一点，轴，垂足为H，且 ①求证：为定值； ②若抛物线上有且仅有两个点C，D（异于点B），使得的面积相等，求该抛物线的函数表达式． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2026-2027学年数学沪科版九年级上册第21章二次函数与反比例函数单元卷》 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D A C B A B C D B 1．B 【分析】二次函数要求的最高次数为2，且二次项系数不能为0，据此列出关于的条件即可求解． 【详解】解：∵是关于的二次函数， ∴，且， 解得， 解得， ∴． 2．D 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，掌握反比例函数图象上点的坐标满足其解析式是解题的关键．根据反比例函数图象上点的坐标特征，将点代入反比例函数，即可求得的值． 【详解】解：函数的图象经过点， ， 解得， 故选：D． 3．A 【分析】本题考查二次函数的性质，需明确抛物线增减性的影响因素，抛物线增减性由开口方向和对称轴位置共同决定，根据二次函数性质分析各参数的作用即可得到结果； 【详解】解：∵抛物线的开口方向由决定，开口方向决定整体增减趋势；抛物线的对称轴为直线，对称轴位置由和共同决定；抛物线的增减性以对称轴为分界，因此增减性由共同决定；只决定抛物线与轴的交点位置，仅上下平移抛物线，不改变开口方向和对称轴位置，不影响增减性∴能决定抛物线增减性的是． 4．C 【分析】先根据反比例函数解析式表示出两点的纵坐标，再根据列出不等式，化简后求解的范围即可，用到分式不等式的化简规则． 【详解】∵在反比例函数上 ∴， 要求，代入得： ∵， ∴不等式变形为： 移项得 ∵分子， ∴分母 解得． 5．B 【分析】本题先将已知点代入各选项解析式求出参数，再根据函数增减性，判断是否满足“第一象限内随的增大而增大”的条件，用到一次函数、反比例函数、二次函数的增减性性质． 【详解】解：选项A：∵ 函数经过点， ∴ 代入坐标得 ， 解得， ∵ ， ∴ 随的增大而减小，不符合要求，排除A； 选项B：∵ 函数经过点， ∴ 代入坐标得 ， 解得， ∵ ， ∴ 随的增大而增大，在第一象限满足条件，符合要求； 验证其余选项： 选项C：∵ 函数经过点， ∴代入坐标得， ∵ ，反比例函数在第一象限内随的增大而减小，不符合要求，排除C； 选项D：∵ 函数经过点， ∴ 代入坐标得 ， 解得， ∵ ， ∴抛物线开口向下，对称轴为轴， 在第一象限时随的增大而减小，不符合要求，排除D． 6．A 【分析】根据点在二次函数的图象上，点到轴的距离小于，可得：，进一步可得的取值范围． 【详解】解：∵， ∴该二次函数的图象开口向上，顶点为． ∵点P到y轴的距离小于2， ∴． 当时，； 当时，； 当时，． ∴n的取值范围是． 7．B 【分析】观察图象得：抛物线开口向上，且对称轴在y轴的右侧，可得，即可求解． 【详解】解：观察图象得：抛物线开口向上，且对称轴在y轴的右侧， ∴， ∴， ∴一次函数的图象经过第一、三、四象限， ∴一次函数的图象一定不经过第二象限． 8．C 【分析】本题考查了二次函数图象的平移规律，解决本题的关键是得到新抛物线的顶点坐标． 抛物线平移不改变的值，由抛物线的顶点坐标即可得出结果． 【详解】解：原抛物线的顶点为，向左平移个单位，再向下平移个单位，那么新抛物线的顶点为， 可设新抛物线的解析式为：， 代入得：， 所得图象的解析式为：， 故选：C． 9．D 【分析】先根据已知条件求出衣服进价，再通过设未知数得到总利润的二次函数表达式，利用二次函数的性质求出利润最大时的售价． 【详解】解：设衣服的进价为元， ∵售价为280元时，利润是进价的， ∴， 解得，即进价为200元． 设降价个5元，每天总利润为元， 则每件利润为元，每天销量为件， ∴， 整理得， ∵，二次函数开口向下，当时，取最大值， ∴， ∴总降价金额为元， ∴售价为元． 10．B 【分析】由二次函数的开口向上，函数有最小值，可判断①，由二次函数的增减性可判断②，由二次函数图象的平移可判断③，由二次函数与x轴的交点坐标可判断④，从而可得答案． 【详解】解： y＝（x﹣2）2﹣9，图象的开口向上， ∴当x＝2时，y取得最小值﹣9；故①符合题意； y＝（x﹣2）2﹣9的对称轴为， 而 故②符合题意； 将其函数图象向左平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度所得抛物线的函数表达式为y＝（x+1）2﹣5，故③不符合题意； 当时，则 解得： 而 故④符合题意； 故选B 【点睛】本题考查的是二次函数的图象与性质，二次函数与x轴的交点问题，掌握“二次函数的图象与性质”是解本题的关键． 11． 【分析】本题考查点的坐标的求法及二次函数的实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．根据已知得出直角坐标系，设这条抛物线为，把代入进而求出二次函数解析式，再通过把代入抛物线解析式得出水面宽度，即可得出答案． 【详解】解：如图，建立直角坐标系，则， 可设这条抛物线为， 把代入得：， 解得：， ， 当时，， 解得：， 水面下降，水面宽度增加． 故答案为：． 12． 【分析】本题考查二次函数图象的平移性质，二次函数图象平移不改变二次项系数，根据二次函数的顶点式（其中为顶点坐标，为二次项系数），将，，代入，即可求出答案． 【详解】解：平移后的解析式为， 故答案为： 13． 【分析】本题主要考查了反比例函数比例系数的几何意义，设直线l与y轴交于点C，根据反比例函数比例系数的几何意义得到，再由的面积为2，得到，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，设直线l与y轴交于点C， ∵直线平行于轴， ∴直线l垂直于y轴，即， ∵直线平行于轴，且与反比例函数及分别交于，两点， ∴； ∵的面积为2， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 14． 或 【分析】（1）先将抛物线的解析式进行化简：，当时，抛物线过定点，从而得结论； （2）先计算二次函数过两个定点，确定，根据该函数图象与在内没有交点，分和两种情况列不等式可解答． 【详解】解：（1）， ， ， ∵点A在第二象限， 当时，， ∴； 故答案为：； （2）当时，， ∴二次函数（k为常数，且k≠0）始终经过定点和， 由（1）知：， ∵函数的图象与在内没有交点， 分两种情况： ①当时，时，， 即， ∴， ∴； ②当时，当时，， ∴， ∴， ∴； 综上，k的取值范围是或； 故答案为或． 【点睛】本题考查二次函数的图象和性质．熟练掌握二次函数的图象和性质，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键． 15．(1) (2) 【分析】本题考查待定系数法求函数解析式、二次函数的性质，正确求出函数解析式是解答的关键． （1）将已知点的坐标代入求解即可； （2）根据该函数图象的开口方向和对称轴，利用二次函数的性质可得结论． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象的顶点坐标是， ， ∵二次函数图象过点， 将点代入， 得， 解得，， ∴该二次函数解析式为； （2）解：∵二次函数的图象的顶点坐标是，对称轴为直线，开口向下， ∴当时，函数值随的增大而增大． 16．(1) (2)；， 【分析】本题主要考查了求二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征： （1）把点代入得到关于m的方程，再解方程可求得m的值； （2）由（1）可得抛物线的解析式，进而可求抛物线的顶点坐标以及与x轴的两个交点坐标． 【详解】（1）解：把点代入得： ， 解得． （2）解：由（1）可知， ∴， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴当时， 解得， ∴抛物线与x轴的两个交点坐标为，． 17．(1)，； (2) 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，涉及对称性、顶点坐标的确定及二次函数表达式的求解，关键是利用二次函数的对称性快速定位对称轴与顶点，再选择合适的表达式形式简化计算． （1）通过表格中纵坐标相同的两个点，计算得到二次函数的对称轴，结合表格数据直接得出顶点坐标；再利用对称性找到的对称点，进而求出的值； （2）已知顶点坐标，优先选择顶点式设函数表达式，代入表格中一个已知点求解出参数即可． 【详解】（1）解：∵当时，时， ∴二次函数的对称轴为直线， 又∵时， ∴二次函数图象的顶点坐标为； ∵与关于对称轴对称，且时， ∴； 故答案为：，； （2）解：设二次函数的顶点式为， 将点代入表达式得：，解得， ∴，即． 18．(1)反比例函数的解析式为y=；一次函数的解析式为 (2) 【分析】本题考查反比例函数和一次函数的性质，解本题的关键掌握待定系数法和一次函数及反比例函数的性质． （1）把代入中，得m的值，把B代入中，得n的值，把A、B都代入中，得k、b的值，即可求一次函数的表达式； （2）由图象分析，相同x值，一次函数图象比反比例函数图象高的部分，对应x即可． 【详解】（1）解：把代入中， 得，解得， ∴反比例函数解析式为， 把代入中， 得， ∴， 把、代入中， 得， 解得，即一次函数的解析式为； （2）解：由图象分析： 一次函数大于反比例函数y=的x的取值范围为． 19．(1) (2) (3)不变， 【分析】（1）根据m的值先求得点A的坐标，然后代入反比例函数解析式即可解答； （2）根据点A和点B在反比例函数图象上，可得，，从而可知m、n为关于x的一元二次方程的两个解，进而根据根与系数的关系即可解答． （3）同（2）可解． 【详解】（1）解：当，则， ∵点在反比例函数上， ∴， ∴； （2）解：当时，反比例函数为， ∵点，点均在反比例函数上， ∴，， ∴m、n为关于x的一元二次方程的两个解， 方程整理得，其中，方程有2个不相等的实数根， ∴； （3）解：不变， ∵点，点均在反比例函数上， ∴，， ∴m、n为关于x的一元二次方程的两个解， 方程整理得，其中， ∵， ∴，方程有2个不相等的实数根， ∴． 20．(1)． (2) 【分析】（1）先求二次函数对称轴，利用二次函数开口向上时，点到对称轴距离越远函数值越大的性质比较和； （2）对于范围内的最值问题，先确定对称轴为，因为二次函数开口向上，所以分三种情况讨论：如果对称轴在范围左侧，那么最小值在处取得；如果对称轴在区间内，那么最小值在顶点处取得；如果对称轴在区间右侧，那么最小值在处取得，分别列方程求解后验证是否符合对应范围条件． 【详解】（1）解：已知二次函数，二次项系数，抛物线开口向上． 根据对称轴公式得对称轴为： ， 点到对称轴的距离：， 点到对称轴的距离：， 开口向上的二次函数，点离对称轴越远，函数值越大， 因为， 因此． （2）解：根据对称轴位置分三种情况讨论： 当时： 在上y随x的增大而增大，最小值在处取得： ，此情况无解． 当时： 函数最小值在顶点取得： ，整理得， 解得，只有满足条件； 当时： 在上y随x的增大而减小，最小值在处取得： ， 解得，不满足，舍去． 综上，． 21．(1) (2)①；②或 【分析】（1）先根据一次函数求出点坐标，再代入反比例函数计算即可； （2）①先求出的点坐标，再代入平移后的一次函数解析式，再求出C、D两点的坐标，再根据，代入计算即可；②根据函数图象即可写出不等式的解集． 【详解】（1）解：直线过点， ， 将代入函数中，得， 反比例函数的解析式为； （2）解：①由（1）知，反比例函数的解析式为， 点，在的图象上， ，， ，， 由平移得，平移后直线的解析式为， 将代入中，得，解得， 直线的解析式为， 当时，， ， ； ②，， 结合图象，可得不等式的解集为或． 22．(1)65，70，1400，1300，1200 (2) (3)当销售单价为85元/盒时，每月获利最大，最大利润是31500元 【分析】（1）根据题意即可填写； （2）利用待定系数法求解即可； （3）列出二次函数，利用二次函数的性质求出最值即可． 【详解】（1）解：根据销售单价从小到大排列得下表： 销售单价x（元/盒） 60 65 70 月销售量y（盒） 1400 1300 1200 （2）解：观察表格可知月销售量y是关于销售单价x的一次函数， 设月销售量y与销售单价x之间的函数关系式为， 将，分别代入， 得， 解得， 月销售量y与销售单价x之间的函数关系式为； （3）解：由题意得， ∵规定每盒护眼贴的销售单价不得低于进价，且利润不得高于进价的． ∴， ， 抛物线开口向下， 对称轴为直线， 当时，w随x的增大而增大， 当时，w有最大值，（元）． 答：当销售单价为85元/盒时，每月获利最大，最大利润是31500元． 23．(1) (2)①证明：设， 点在轴上方， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴ ，为定值． ②抛物线的函数表达式为或 【分析】（1）把点代入抛物线，即可求解； （2）①设，则，根据，得到，因此，从而可推出，得到，即可证明，为定值； ②根据同底三角形面积相等得点B，C，D到x轴的距离都相等，都等于，结合交点个数要求，利用一元二次方程判别式求出b的值，即可得到抛物线解析式． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点， ∴， ∴． （2）①略； ②∵的面积相等，且它们有公共边，在x轴上， ∴点B，C，D到x轴的距离都相等，都等于， ∴点B，C，D是直线或直线与抛物线的交点， 由方程组得， ∵， ∴该方程总有2个不同实根，对应抛物线上2个点，其中一个为B，因此异于B有1个点满足条件． 由方程组得， ∵要求异于B共有2个点满足条件， ∴该方程有两个相等的实数根， ∴， 解得． ∴该抛物线的函数表达式为或． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $