第二十一章 二次函数与反比例函数 单元测试卷 2026-2027学年沪科版九年级数学上册

**基本信息** 本单元卷系统考查二次函数与反比例函数知识，通过基础辨析、情境应用及综合探究的梯度设计，适配单元复习，培养抽象能力、模型意识与应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10/30|二次函数定义、图像性质、实际函数关系|结合“一盔一带”社会热点，考查用数学眼光发现数量关系| |填空题|6/18|函数解析式、最值、反比例函数几何意义|设置矩形面积优化问题，体现数学思维的推理能力| |解答题|8/72|图像平移、利润模型、消防水流抛物线|综合跨学科情境（如消防演练），强化用数学语言表达现实问题的应用意识|

第二十一章二次函数与反比例函数单元测试卷 一、单选题（每题3分，共30分) 1.若函数=(m-2列+x是关了x的二次函数，则m为《) A.2 B.±2 C.-2 D.0 2.下面问题中，y与x满足的函数关系是二次函数的是() ①面积为10cm的矩形中，矩形的长(om与宽(cm）的关系 ②底面圆的半径为5cm的圆柱中，侧面积(cm)与圆柱的高(cm）的关系， ③某商品每件进价为80元，在某段时间内以每件x元出售，可卖出 200-x) 件.利润y (元)与每件售价x(元)的关系. A.① B.② C.③ D.①③ 3.公安部门提醒市民，骑车出门必须严格遵守“一盔一带”的规定.经销商统计某品牌头 盔，7月份售出1500个，若每月的销售量比上一月份增加相同的百分率x,请问9月份的 销售量'关于每月增加的百分率x的函数解析式是() A.y=1500(0+x)2 B.y=1500+(1-x) C.y=(1+x)2+1500 D.y=x2+1500 4.若点4）和点B6,)都在抛物线=上，则”和的大小关系是() A片>⅓ B,片=片 C片<5 D.无法确定 1 5.抛物线y=4只y=-4x2+4y=4x-2具有相同的() 4 A.形状大小 B.开口方向 C.对称轴 D.顶点坐标 6.将抛物线=r+2x 向左平移2个单位，向上平移1个单位，所得抛物线的表达式是 () A.y=x2+1 B.y=(x-1)2 C.y=(x+3)月 D.y=(x+2)?+1 试卷第1页，共3页 y=ax2+bx+c(a≠0) 7.已知抛物线 过点42，)、B3,D和C4,2),郑么a+b+C的值是 () A.2 B.3 C.4 D.5 8。在平面直角坐标中，抛物线=a+c+3与*轴交于点4和点B(3,0）,与'轴交于点 (2,3 C,点 在抛物线上，则AB的长为() B A.3 B.6 C.5 D.4 9.坐标平面上，若移动二次函数y=-(-2023x-2025)+5 的图像，使其与x轴交 于两点，且此两点的距离为2个单位，则移动方式可为() A.向上平移5个单位 B.向右平移5个单位 C.向下平移5个单位 D.向下平移2个单位 10.已知直线'=-x与抛物线'=ar+br+c(a>0 在第二象限有两个公共点，则函数 y=ax2+(b+1)x+c 的图象可能是() 试卷第2页，共3页 D 二、填空题（每题3分，共18分） 1,点4，），8，)在二次函数y=-4+ 的图象上，若1K<2.3<x<4 则”与”的大小关系是” .(填“>”、“<”或“=”) 12,己知二次函数的图象经过点4(0，-3)，B(2-3).C(-10 ,则此二次函数的解析式是 13.二次函数 y=3x2+6x+2 的最小值为 14.如图所示，是一个长16m、宽9m的矩形花园，根据需要将它的长缩短m、宽增加 m，要想使修改后的花园面积达到最大，则x= m. 15、如图，在平面直角坐标系中，点4、C关于坐标原点对称，且均在反比例商数y= 图象上，ABLy轴于点B,CD1y轴于点D,连结AD、BC,则四边形ABCD的面积为 16.如图，一桥拱呈抛物线状，桥的最大高度CM是4米，跨度AB是8米，在线段AB上 试卷第3页，共3页 离中心M处1米的地方，桥的高度是米 三、解答题（每题9分，共72分） 17.已知二次函数'=r+2x-3 ()将"=r+2x-3 y=a(x-h)2+k(a≠0) 化成 的形式，并写出其图象的顶点坐标； (2)求此函数图象与坐标轴交点的坐标： y=ax2+bx+c 118.已知，二次函数 (a,b,c是常数，a≠0) )的y与x的部分对应值如 表： -1 3 … 3 (1)求二次函数的解析式。 (2)当-1<x<2时，y的取值范围是；当y≥0时，x的取值范围是. 19.如图，抛物 y=-x2+4 与x轴交于A、B两点，直线I与抛物线交于A、C两点，其 中C的横坐标为1. (1)求直线1的表达式： (2)点P是线段AC上的一个动点（点P与点A、C不重合），过点P作y轴的平行线交抛物 线于点E,求PE的最大值 20.某厂商投产一种新型科技产品，每件制造成本为18元，试销过程中发现，每月销售量 试卷第4页，共3页 y(万件)与销售单价x(元)之间的关系可以近似地看作一次函数y=-2x+100 (1)写出每月的利润工（万元）与销售单价x(元)之间的函数关系式： (2)当销售单价为多少元时，厂商每月能获得最大利润？最大利润是多少？ 21.某市消防中队引进一种新型用于高层消防的举高喷射消防车，为了熟练掌握其性能， 在某广场进行了一次消防演练.如图所示，打开云梯后，消防车喷水口A离地面的高度为 OA,水流落地点为点B,喷出的水流呈抛物线型.以OB所在直线为x轴，OA所在直线 为y轴，建立平面直角坐标系.（喷水装置和水流粗细忽略不计）已知OA=2lm, 08=7m,从4处喷出的水流高度(m)与水平距离(m)之间的关系为'=-3r+hr+℃ BC (I)求b,C的值； (2)在水压和喷口方向不变的情况下，此时水流高度能达到的最大高度是多少米？ (3)点C在点B正前方1米处，在水压和喷口方向不变的情况下，要求在C处的水流高度达 到36米，则消防车从O点沿OB方向应至少前进多少米？ 22.正方形01BC在平面直角坐标系中如图所示，已知8(4,4)，反比例函数y=(x>0) 的图象经过BC中点E,交AB于点F. y (1)求反比例函数的解析式： (2)连接OE,OF,EF,求△OEF的周长， 试卷第5页，共3页 k 23.如图，函数y=x+b(b为常数)和y=x(k>0,x>0)的图象交于点A(,3), A v=x+b (I)求k和b的值： @当x之0所，关于x的不等式x4b的解果为 24.在平面直角坐标系中，二次函数)=(x-m+”的顶点P(mm)在另一条抛物线 y=x2-x+2 1 上运动.该二次函数图像与轴交于点A,过点P PB上y轴于点B. B y=x2-x+2 (I)当m=1时，求点A和点B的坐标，并求△PAB的面积； 2当m≥1时，求点A的纵坐标“的最小值. 试卷第6页，共3页 第二十一章二次函数与反比例函数单元测试卷 一、单选题（每题3分，共30分） 1．若函数是关于的二次函数，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数的定义求解，二次函数要求的最高次数为，且二次项系数不为，据此列出关系式即可求出的值． 【详解】解：函数是关于的二次函数， ，且， 解方程，即， 解得或， 又∵， ， ． 2．下面问题中，y与满足的函数关系是二次函数的是（    ） ①面积为的矩形中，矩形的长与宽的关系； ②底面圆的半径为的圆柱中，侧面积与圆柱的高的关系； ③某商品每件进价为80元，在某段时间内以每件x元出售，可卖出件．利润y（元）与每件售价（元）的关系． A．① B．② C．③ D．①③ 【答案】C 【分析】根据各问题中的数量关系列出y与x的函数解析式，再判断函数类型即可． 【详解】解：① 由矩形面积公式可得，即，y是x的反比例函数，不符合二次函数定义，故此选项不符合题意； ② 由圆柱侧面积公式可得，y是x的正比例函数，不符合二次函数定义，故此选项不符合题意； ③∵利润（售价进价）销售量， ∴， 符合二次函数定义，y是x的二次函数，故此选项符合题意； 综上，y与满足的函数关系是二次函数的是③． 3．公安部门提醒市民，骑车出门必须严格遵守“一盔一带”的规定．经销商统计某品牌头盔，7月份售出1500个，若每月的销售量比上一月份增加相同的百分率，请问9月份的销售量关于每月增加的百分率的函数解析式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查根据题意列函数关系式． 根据每月的增长百分率，依次推导8月、9月的销售量，从而得到9月销售量关于x的函数解析式． 【详解】解：∵7月份销售量为1500个，每月销售量的增长百分率为x， ∴8月份的销售量为个， ∴9月份的销售量． 故选：A． 4．若点和点都在抛物线上，则和的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【详解】解：∵抛物线的二次项系数为， ∴抛物线开口向下，对称轴为轴， ∴当时，随的增大而减小， ∵， ∴． 5．抛物线具有相同的（    ） A．形状大小 B．开口方向 C．对称轴 D．顶点坐标 【答案】C 【分析】该题主要考查了二次函数的性质．通过分析三个抛物线解析式，比较其开口方向、形状大小、对称轴和顶点坐标的异同点，即可得出答案． 【详解】解：因为抛物线、、均无一次项（即）， 所以对称轴均为（y轴），它们具有相同的对称轴； 而值分别为4、4、，所以形状大小不同； a 的符号分别为正、负、正，所以开口方向不同； 顶点坐标分别为，所以顶点坐标也不同． 故选：C． 6．将抛物线向左平移2个单位，向上平移1个单位，所得抛物线的表达式是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先将原抛物线配方为顶点式，再按二次函数平移规律“上加下减常数项，左加右减自变量”，可得到结果． 【详解】解：∵ ∴向左平移2个单位，自变量加2，得 ， 再向上平移1个单位，常数项加1，得 ， ∴所得抛物线的表达式为 ． 7．已知抛物线过点、和，那么的值是（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】点和纵坐标相同，可得抛物线的对称轴，用顶点式设抛物线方程，代入点和求出参数，再展开为一般式计算． 【详解】解：抛物线过点、，两点纵坐标相等， 对称轴为：， 设抛物线的顶点式为：． 将点，代入，得方程组： ， 化简：， 两式相减，得：，， 将代入，得： ，， 将顶点式展开：， ，，， ． 8．在平面直角坐标中，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，点在抛物线上，则的长为（   ） A．3 B．6 C．5 D．4 【答案】D 【分析】本题考查了求抛物线解析式和抛物线图象的性质，因为点和点在抛物线上，所以将这两个点的坐标代入抛物线解析式，得到关于a、b的方程组，可求出a、b的值，确定抛物线的具体解析式，然后令抛物线解析式中的，解一元二次方程得到x的两个解，得出点A的横坐标．因为A、B都在x轴上，即可计算的长． 【详解】解：把已知点、代入， 得方程组： ，解得， 因此抛物线解析式为． 令，解方程， 因式分解得，得根和， 因此． ∵A、B都在x轴上， ∴． 故选： D． 9．坐标平面上，若移动二次函数 的图像，使其与 轴交于两点，且此两点的距离为个单位，则移动方式可为（    ） A．向上平移 个单位 B．向右平移个单位 C．向下平移 个单位 D．向下平移 个单位 【答案】C 【分析】本题考查二次函数平移与交点距离的关系，通过顶点式简化计算，垂直平移改变交点距离．原函数可化为顶点式 ，其与轴交点距离为 ，通过垂直平移改变函数，使平移后与轴交点距离为，设垂直平移个单位，新函数为，令 得交点距离 ，解得，即向下平移 个单位． 【详解】解： 原函数 ， 可化为， 当时， 可得：， 解得：，， 抛物线与轴两交点距离为， 设垂直平移个单位，新函数为， 令 ，则 ， 解得：， 交点距离为 ， 令 ， 解得：，即， ∴ ， 故向下平移 个单位，与轴交点距离为 ． 故选： C ． 10．已知直线与抛物线在第二象限有两个公共点，则函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．根据直线与抛物线在第二象限有两个公共点，可以得到方程有两个不同的负实数根，从而可以判断哪个选项符合题意． 【详解】解：∵直线与抛物线在第二象限有两个公共点，即公共点横坐标都是负数， ∴方程有两个不同的负实数根， 整理得方程有两个不同的负实数根， ∴与轴交点有两个，且交点横坐标都是负数， 各个选项中只有C选项符合要求， 故选：C． 二、填空题（每题3分，共18分） 11．点，在二次函数的图象上，若，．则与的大小关系是______．（填“＞”、“＜”或“＝”） 【答案】 < 【分析】先求出二次函数的开口方向与对称轴，根据开口向上的二次函数的性质，点到对称轴的距离越大，对应的函数值越大，通过比较两点到对称轴的距离大小，即可得到与的大小关系． 【详解】解：， ∴对称轴为直线，抛物线开口向上， ∴抛物线上的点到对称轴的距离越大，对应的函数值越大， ，， 点到对称轴的距离更大， ． 12．已知二次函数的图象经过点，，，则此二次函数的解析式是_____________． 【答案】 【分析】利用待定系数法求解即可． 【详解】解：设此二次函数的解析式为， ∵二次函数的图象经过点，，， ∴，解得， ∴此二次函数的解析式为． 13．二次函数的最小值为__________． 【答案】 【分析】考查二次函数的性质（顶点式求最值）．解题关键是利用二次函数顶点横坐标公式确定最值点，代入函数求最值；易错点是记错顶点横坐标公式，或代入计算时符号出错． 首先对于二次函数（时函数有最小值），先通过公式计算顶点横坐标；其次将、代入公式，得；最后把代入原函数，计算得y的值，即为函数的最小值． 【详解】二次函数的顶点横坐标为，代入函数得 ，故最小值为． 故答案为：． 14．如图所示，是一个长、宽的矩形花园，根据需要将它的长缩短、宽增加，要想使修改后的花园面积达到最大，则__________． 【答案】 【分析】先根据矩形的面积公式列出函数关系式，再根据二次函数的性质即可求得结果． 【详解】解：由题意得修改后的花园面积， ∵， ∴当时，修改后的花园面积达到最大． 15．如图，在平面直角坐标系中，点A、C关于坐标原点对称，且均在反比例函数 图象上，轴于点B，轴于点 D，连结、，则四边形的面积为_______． 【答案】 【分析】设，由关于原点对称得由轴得，由轴得，则，高，再由四边形是平行四边形，则面积． 【详解】解：由题意，可设， 关于原点对称， ∴， 轴， ， 轴， ， ， ∴，且， 四边形是平行四边形，且， 四边形的面积为． 16．如图，一桥拱呈抛物线状，桥的最大高度是4米，跨度是8米，在线段上离中心M处1米的地方，桥的高度是____米． 【答案】 【分析】建立适当的平面直角坐标系，求出抛物线解析式即可求解． 【详解】解：如图，以为原点，所在直线为轴，垂直于方向为轴建立直角坐标系， 由题意得点，点， 设抛物线解析式为， 把代入得， 解得， ∴抛物线解析式为， 由题意得线段上离中心M处1米的地方， 将代入得， ∴在线段上离中心M处1米的地方，桥的高度是米． 三、解答题（每题9分，共72分） 17．已知二次函数． (1)将化成的形式，并写出其图象的顶点坐标； (2)求此函数图象与坐标轴交点的坐标； 【答案】(1)y， (2)此函数图象与坐标轴交点的坐标为，， 【分析】本题考查二次函数的基本性质，能够把一般式化成顶点式是解题关键． （1）用配方法把二次函数化为顶点式，从而可得出答案； （2）分别代入，求出与之对应的y，x的值，进而可得出二次函数图象与坐标轴的交点坐标．． 【详解】（1）解： ． 顶点坐标为． （2）解：令，得 ． 解得，． 令，得 ． ∴此函数图象与坐标轴交点的坐标为，，． 118．已知，二次函数（a，b，c是常数，）的y与x的部分对应值如表： x … 2 3 … y … 3 0 3 … (1)求二次函数的解析式． (2)当时，y的取值范围是 ；当时，x的取值范围是 ． 【答案】(1) (2)；或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先将解析式化成顶点式，再结合二次函数的性质解答即可． 【详解】（1）解：由题意，结合表格数据可得， ． ∴． ∴二次函数的解析式为； （2）解：由题意，∵， ∴当时，y取最小值为． 又∵当时，；当时，， ∴当时，． 令，则或， 又∵抛物线的开口向上， ∴当时，或． 19．如图，抛物线与x轴交于A、B两点，直线l与抛物线交于A、C两点，其中C的横坐标为1． (1)求直线l的表达式； (2)点P是线段上的一个动点（点P与点A、C不重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点E，求的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分别求出，，设：，将，代入求解即可； （2）设，，求出的函数解析式，根据二次函数的性质作答即可． 【详解】（1）解：令，， 解得，， ， 将代入得， ， 设：， 将，代入， 解得， ：； （2）解：设，， ， ∴当时，有最大值． 20．某厂商投产一种新型科技产品，每件制造成本为18元，试销过程中发现，每月销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的关系可以近似地看作一次函数． (1)写出每月的利润L（万元）与销售单价x（元）之间的函数关系式； (2)当销售单价为多少元时，厂商每月能获得最大利润?最大利润是多少? 【答案】(1) (2)当销售单价为34元时.厂商每月能获得最大利润，最大利润是512万元． 【分析】（1）单件利润为元，销售量为万件，总利润单件利润销售量，代入整理即可得到二次函数关系式． （2）是开口向下的二次函数（二次项系数），顶点处取得最大值；用顶点公式求单价，再代入求最大利润． 【详解】（1）解：由题意，单件利润：元，销售量， ， 结合实际意义，销售量， 即，； 单价高于成本，自变量取值范围：． 函数关系式：． （2）解：对于二次函数，，，， 对称轴：， 在取值范围内，将代入利润函数： ， 当销售单价为元时，每月获得最大利润，最大利润为万元． 21．某市消防中队引进一种新型用于高层消防的举高喷射消防车，为了熟练掌握其性能，在某广场进行了一次消防演练．如图所示，打开云梯后，消防车喷水口离地面的高度为，水流落地点为点，喷出的水流呈抛物线型．以所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系．（喷水装置和水流粗细忽略不计）已知，，从处喷出的水流高度与水平距离之间的关系为． (1)求，的值； (2)在水压和喷口方向不变的情况下，此时水流高度能达到的最大高度是多少米？ (3)点在点正前方米处，在水压和喷口方向不变的情况下，要求在处的水流高度达到米，则消防车从点沿方向应至少前进多少米？ 【答案】(1)， (2)水流高度能达到的最大高度是米 (3)消防车从点沿方向应至少前进米 【分析】（1）根据已知数据确定点、，再利用待定系数法求解即可； （2）将抛物线表达式转化为顶点式，即可得到答案； （3）先求出当时，，，再由平移即可得出结论． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， 将和代入中，得， 解得； （2）解：由（1）知抛物线的表达式为：， 将表达式转化为顶点式为：， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴水流高度能达到的最大高度是米； （3）解：令，即，整理得：， 解得：，， ∵点在点正前方米处， ∴， ∴至少需前进（米）， ∴消防车从点沿方向应至少前进米. 22．正方形在平面直角坐标系中如图所示，已知，反比例函数的图象经过中点E，交于点F． (1)求反比例函数的解析式； (2)连接，求的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正方形的性质和点B的坐标求出点C的坐标，进而根据中点坐标公式求出点E的坐标，再利用待定系数法求解即可； （2）根据（1）所求求出点F的坐标，再利用两点间的距离公式求出的三边长即可得到答案． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点E为的中点， ∴点E的坐标为，即， ∵反比例函数的图象经过点E， ∴， ∴， ∴反比例函数的解析式为； （2）解：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴点F的横坐标为4， 在中，当时，， ∴， ∴， 由（1）得点E的坐标为， ∴，， ∴， ∴的周长为． 23．如图，函数（为常数）和（，）的图象交于点． (1)求和的值； (2)当时，关于的不等式的解集为________． 【答案】(1)的值为，的值为 (2) 【分析】（1）将交点坐标分别代入两个函数解析式，列方程求出参数、； （2）根据图象，在范围内，反比例函数图象在一次函数图象上方对应的取值即为不等式解集． 【详解】（1）解：将代入， 解得． 将代入， 解得． （2）解：不等式，即， 表示时反比例函数图象在一次函数图象上方的部分，两函数交点横坐标为， 结合图象得解集． 24．在平面直角坐标系中，二次函数的顶点在另一条抛物线上运动．该二次函数图像与轴交于点A．过点P作轴于点B． (1)当时，求点A和点B的坐标，并求的面积； (2)当时，求点A的纵坐标的最小值． 【答案】(1)，，的面积为 (2)3 【分析】（1）当，得到点的横坐标，根据点在抛物线上，求出点的坐标，进一步得到点的坐标；根据点在抛物线上且在轴上，即，即可求出点的坐标；进而可求出的面积； （2）根据点在抛物线上且在轴上，即，则；根据点抛物线上，则，等量代换，得到，求出最值，即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵点在抛物线上， ∴ ∴， ∵过点作轴于点 ∴； ∵在抛物线； ∴； ∵二次函数图像与轴交于点， ∴， ∴； ∴，， ∴的面积为． （2）解：∵点在抛物线上且在轴上， ∴； ∵点在抛物线上， ∴， ∴， 得到关于的二次函数，其中开口向上，对称轴为：， 当时，随的增大而增大， ∴当时，有最小值，最小值为：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $