1.1.1空间向量及其线性运算 同步练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 聚焦空间向量线性运算，分层设计从概念辨析到综合证明，梯度合理，强化数学抽象与空间观念，适配新授课知识巩固需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|核心概念辨析（共线/共面向量）、简单运算|选择1-6考概念判断，填空9-10练向量相等/相反，夯实抽象能力| |中档|向量关系应用、综合运算|选择7-8涉四面体向量表示，填空11-12结合几何图形，提升推理能力| |提升|空间向量证明、实际应用|解答14-15证线面平行与四点共面，深化空间观念与逻辑推理|

课时作业1 空间向量及其线性运算 一、选择题 1．下列命题中正确的是(　　) A．若a与b共线，b与c共线，则a与c共线 B．向量a，b，c共面，即它们所在的直线共面 C．若两个非零空间向量与满足＋＝0，则∥．若a∥b，则存在唯一的实数λ，使a＝λb 2．满足下列条件，能说明空间不重合的A，B，C三点共线的是(　　) A．＋＝ B．－＝ C．＝ D．||＝|| 3．设有四边形ABCD，O为空间任意一点，且＋＝＋，则四边形ABCD是(　　) A．平行四边形　　　　　 B．空间四边形 C．等腰梯形 D．矩形 4.(多选题)如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，下列各式中运算的结果为向量的是(　　) A．(－)－ B．(＋)－ C．(－)＋ D．(－)－ 5．已知正方体ABCD­A1B1C1D1中，＝，若＝x＋y(＋)，则(　　) A．x＝1，y＝ B．x＝，y＝1 C．x＝1，y＝ D．x＝1，y＝ 6.下列命题中，假命题是（ ） A．同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小 B．两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同 C．只有零向量的模等于0 D．共线的单位向量都相等 7.在四面体中，点在上，且，为中点，则等于（ ） A． B． C． D． 8.在下列条件中，使与A,B,C一定共面的是（ ） A． B． C． D． 二、填空题 9．如图所示，在三棱柱ABC­A′B′C′中，与是________向量，与是________向量．(用相等、相反填空) 10．设e1，e2是空间两个不共线的向量，已知＝2e1＋ke2，＝e1＋3e2，＝2e1－e2，且A，B，D三点共线，则k＝________. 11．在空间四边形ABCD中，连接AC，BD.若△BCD是正三角形，且E为其中心，则＋－－的化简结果为________． 12.如图，空间四边形中，，且，，则 （用a,b,c,表示） 三、解答题 13．如图所示，在三棱柱ABC­A1B1C1中，M是BB1 的中点，化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量： (1)＋； (2)＋＋； (3)－－. 14.如图，在四面体A­BCD中，M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且AQ＝3QC.证明：PQ∥平面BCD. 15.已知平行四边形ABCD从平面AC外一点O引向量． ，． 求证：四点E，F，G，H共面 课时作业1 空间向量及其线性运算 （答案） 一、选择题 1．下列命题中正确的是(　　) A．若a与b共线，b与c共线，则a与c共线 B．向量a，b，c共面，即它们所在的直线共面 C．若两个非零空间向量与满足＋＝0，则∥ D．若a∥b，则存在唯一的实数λ，使a＝λb 解析：选C　A中，若b＝0，则a与c不一定共线；B中，共面向量的定义是平行于同一平面的向量，表示这些向量的有向线段所在的直线不一定共面；C中，∵＋＝0，∴＝－，∴与共线，故∥正确；D中，若b＝0，a≠0，则不存在λ，使a＝λb. 2．满足下列条件，能说明空间不重合的A，B，C三点共线的是(　　) A．＋＝ B．－＝ C．＝ D．||＝|| 解析：选C　对于空间中的任意向量，都有＋＝，选项A错误；若－＝，则＋＝，而＋＝，据此可知＝，即B，C两点重合，选项B错误；＝，则A，B，C三点共线，选项C正确；||＝||，则线段AB的长度与线段BC的长度相等，不一定有A，B，C三点共线，选项D错误． 3．设有四边形ABCD，O为空间任意一点，且＋＝＋，则四边形ABCD是(　　) A．平行四边形　　　　　 B．空间四边形 C．等腰梯形 D．矩形 解析：选A　∵＋＝＋，∴＝. ∴∥且||＝||. ∴四边形ABCD为平行四边形． 4.(多选题)如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，下列各式中运算的结果为向量的是(　　) A．(－)－ B．(＋)－ C．(－)＋ D．(－)－ 解析：选ABC　对于选项A，(－)－＝－＝；对于选项B，(＋)－＝＋＝；对于选项C，(－)＋＝＋＝；对于选项D，(－)－＝(－)－＝＋＝，故选A、B、C. 5．已知正方体ABCD­A1B1C1D1中，＝，若＝x＋y(＋)，则(　　) A．x＝1，y＝ B．x＝，y＝1 C．x＝1，y＝ D．x＝1，y＝ 解析：选D　因为＝＋＝＋＝＋(＋)，所以x＝1，y＝. 6.下列命题中，假命题是（ ） A．同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小 B．两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同 C．只有零向量的模等于0 D．共线的单位向量都相等 解析：A.向量是有向线段，不能比较大小.真命题. B.两向量相等：方向相同，模长相等.起点相同，则终点也相同.真命题. C.零向量：模长为0的向量.真命题. D.共线的单位向量是相等向量或相反向量. 假命题.故选：D. 7.在四面体中，点在上，且，为中点，则等于（ ） A． B． C． D． 解析：在四面体中，点在上，且，为中点，所以 ，即. 故选：B. 8.在下列条件中，使与A,B,C一定共面的是（ ） A． B． C． D． 解析：对于A选项，由于，所以不能得出M,A,B.C共面. 对于B选项，由于，所以不能得出M,A,B.C共面. 对于C选项，由于，则为共面向量，所以M,A,B.C共面. 对于D选项，由得，而，所以不能得出M,A,B.C共面.故选：C 二、填空题 9．如图所示，在三棱柱ABC­A′B′C′中，与是________向量，与是________向量．(用相等、相反填空) 解析：由相等向量与相反向量的定义知：与是相等向量，与是相反向量． 答案：相等　相反 10．设e1，e2是空间两个不共线的向量，已知＝2e1＋ke2，＝e1＋3e2，＝2e1－e2，且A，B，D三点共线，则k＝________. 解析：由已知得＝－＝(2e1－e2)－(e1＋3e2)＝e1－4e2，∵A，B，D三点共线，∴与共线，即存在λ∈R，使得＝λ.∴2e1＋ke2＝λ(e1－4e2)＝λe1－4λe2.∵e1，e2不共线，∴解得k＝－8. 答案：－8 11．在空间四边形ABCD中，连接AC，BD.若△BCD是正三角形，且E为其中心，则＋－－的化简结果为________． 解析：如图，取BC的中点F，连接DF，则＝.∴＋－－＝＋－＋＝＋＋＝0. 答案：0 12.如图，空间四边形中，，且，，则 （用a,b,c,表示） 解析：因为，又因为， 所以. 答案： 三、解答题 13．如图所示，在三棱柱ABC­A1B1C1中，M是BB1 的中点，化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量： (1)＋； (2)＋＋； (3)－－. 解：(1)＋＝. (2)因为M是BB1的中点， 所以＝. 又＝，所以＋＋＝＋＝. (3)－－＝－＝. 向量，，如图所示． 14.如图，在四面体A­BCD中，M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且AQ＝3QC.证明：PQ∥平面BCD. 证明：法一：过P，Q分别作PS∥AD交BD于点S，QT∥AD交CD于点T，连接ST(图略)， 则＝，＝. 因为＝，所以＝， 所以四边形PQTS是平行四边形，则＝. 又PQ⊄平面BCD，ST⊂平面BCD，所以PQ∥平面BCD. 法二：由图形易得＝＋＋ ＝＋＋ ＝(＋)＋＋＋ ＝(＋＋)＋＋＋ ＝(＋)＋ ＝＋. 根据空间向量共面的定义，，，共面， 又因为PQ⊄平面BCD，所以PQ∥平面BCD. 15.已知平行四边形ABCD从平面AC外一点O引向量． ，． 求证：四点E，F，G，H共面 解析: ∵；∴； EF//AB，且EF＝|k|AB； 同理HG//DC，且HG＝|k|DC，AB＝DC； ∴EF//HG，且EF＝HG； ∴四边形EFGH为平行四边形； ∴四点E，F，G，H共面. 学科网（北京）股份有限公司 $