1.1.1 空间向量及其线性运算 同步练习-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 分层清晰，从空间向量概念到综合应用，适配新授课知识巩固与能力进阶，培养数学抽象、几何直观与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |夯基础|空间向量概念、线性运算、几何体中向量表示|基础选择填空为主，结合阶段检测真题，巩固概念理解与符号意识| |提能力|向量线性运算综合应用、基底表示|多选与解答题结合，涉及中点、重心等几何关系，培养推理能力| |迎挑战|实际情境向量应用、复杂几何体向量运算|结合光岳楼文化情境与综合解答题，发展空间观念与创新意识|

人教A版选择性必修第一册同步练习 156个知识点 · 624道经典例题 ·215个题型集训 第一章　空间向量与立体几何 §1.1.1 空间向量及其线性运算 同步分层作业 夯基础 固根基 · 强素养 1．（25-26高二上·天津·阶段检测）下列关于空间向量的命题中，正确的是（   ） A．空间中所有的单位向量都相等 B．长度相等且方向相反的两个向量是相反向量 C．若满足，且同向，则 D．两个向量相等，则它们的起点与终点相同 2．（25-26高二上·安徽·期中）若A，B，C，D为空间中不同的四点，则下列各式不一定等于零向量的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·四川成都·期中）（多选）在正方体中，下列各式运算结果为向量的是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高二·全国·课后作业）如图，在四棱柱的上底面ABCD中，，则下列向量相等的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 5．（25-26高一下·江西九江·期末）如图，在平行四边形中，，分别是边上的两个三等分点，则下列说法错误的是（ ） A． B． C． D． 6．（24-25高二上·山东·开学考试）已知在四边形ABCD中，则四边形ABCD一定是（　　） A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形 7．（25-26高二下·福建宁德·期末）如图，在三棱锥中，（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高二上·福建三明·阶段检测）如图，在直三棱柱中，若，，，则（   ） A． B． C． D． 9．（24-25高二上·山西·期末）如图，在三棱柱中，分别是棱的中点，则（   ） A． B． C． D． 10．（24-25高二上·上海宝山·期中）如图，已知正方体中，点为上底面的中心，若，则（   ） A． B． C． D． 11．（25-26高二·全国·课后作业）如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=3,AD=2,AA1=1,以长方体的八个顶点中的两点为起点和终点的向量中. (1)单位向量共有多少个? (2)试写出模为的所有向量. (3)试写出与相等的所有向量. (4)试写出的相反向量. 提能力 综合用 · 善迁移 12．（25-26高二上·全国·课后作业）（多选）如图所示，M是四面体OABC的棱BC的中点，点N在线段OM上，点P在线段AN上，且，，设，，，则下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 13．（24-25高二上·山东·阶段检测）在正方体中，已知，，，为底面的的中心，为的重心，则______.（用，，表示） 14．（25-25高二·全国·课后作业）如图所示，在三棱柱中，是的中点，化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量. (1)； (2)； (3). 迎挑战 拓思维 · 求突破 15．（24-25高二上·全国·课后作业）光岳楼，又称“余木楼”“鼓楼”“东昌楼”，位于山东省聊城市，始建于公元1374年，在《中国名楼》站台票纪念册中，光岳楼与鹳雀楼、黄鹤楼、岳阳楼、太白楼、滕王阁、蓬莱阁、镇江楼、甲秀楼、大观楼共同组成中国十大名楼.其墩台为砖石切成的正四棱台，直观图如图所示，其上缘边长与底边边长之比约为，则=___________. 16．（25-26高二·甘肃·阶段检测）如图所示，已知ABCD-A1B1C1D1是平行六面体. (1)化简 ++,并在图中标出其结果； (2)设M是底面ABCD的中心，N是侧面BCC1B1对角线BC1上的分点，设=α,试求α，β，γ的值. 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 $人教A版选择性必修第一册同步练习 156个知识点 · 624道经典例题 ·215个题型集训 第一章　空间向量与立体几何 §1.1.1 空间向量及其线性运算 同步分层作业 夯基础 固根基 · 强素养 1．（25-26高二上·天津·阶段检测）下列关于空间向量的命题中，正确的是（   ） A．空间中所有的单位向量都相等 B．长度相等且方向相反的两个向量是相反向量 C．若满足，且同向，则 D．两个向量相等，则它们的起点与终点相同 【答案】B 【分析】根据题意，利用向量的定义、相等向量和相反向量的定义，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于A，向量是既有大小又有方向的量，所有单位向量的模相等，方向不一定相同， 所以空间中所有的单位向量不一定相等，所以A错误； 对于B，由相反向量的定义知，长度相等且方向相反的两个向量是相反向量，所以B正确； 对于C，由向量的定义知，向量不能比较大小，所以C错误； 对于D，根据相等向量的定义知，长度相等且方向相同的两个向量是相等向量，但相等向量的起点和终点不一定相同，所以D错误. 故选：B. 2．（25-26高二上·安徽·期中）若A，B，C，D为空间中不同的四点，则下列各式不一定等于零向量的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据空间向量的线性运算逐一分析各个选项即可得出答案. 【详解】对于A，，故A不符合题意； 对于B，，故B不符合题意； 对于C，，结果不一定为零向量，故C符合题意； 对于D，，故D不符合题意. 故选：C. 3．（25-26高二上·四川成都·期中）（多选）在正方体中，下列各式运算结果为向量的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】根据向量的加法和减法运算逐一化简即可. 【详解】，A正确； ，B正确； ，C错误； ，D错误；    故选：AB 4．（25-26高二·全国·课后作业）如图，在四棱柱的上底面ABCD中，，则下列向量相等的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【分析】由可知四边形是平行四边形，根据相等向量的定义即可判断. 【详解】因为，则四边形是平行四边形，结合题图， ，A错误； ，B错误； 与方向不相同，C错误； ，D正确. 故选：D 5．（25-26高一下·江西九江·期末）如图，在平行四边形中，，分别是边上的两个三等分点，则下列说法错误的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为在平行四边形中，，分别是边上的两个三等分点， 对于选项A：，故A正确； 对于选项B：，故B正确； 对于选项C：，故C错误； 对于选项D：因为，，所以，故D正确. 6．（24-25高二上·山东·开学考试）已知在四边形ABCD中，则四边形ABCD一定是（　　） A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形 【答案】A 【分析】根据平面向量减法法则判断即可. 【详解】由，可得， 所以四边形一定是平行四边形. 故选：A 7．（25-26高二下·福建宁德·期末）如图，在三棱锥中，（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 8．（24-25高二上·福建三明·阶段检测）如图，在直三棱柱中，若，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由空间向量线性运算即可求解. 【详解】由题意可得 . 故选：B 9．（24-25高二上·山西·期末）如图，在三棱柱中，分别是棱的中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由空间向量的加减法运算的几何表示和数乘关系即可得到答案. 【详解】. 故选：C. 10．（24-25高二上·上海宝山·期中）如图，已知正方体中，点为上底面的中心，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据和可求关于的线性表示，由此可求结果. 【详解】因为， 所以， 所以， 故选：B. 11．（25-26高二·全国·课后作业）如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=3,AD=2,AA1=1,以长方体的八个顶点中的两点为起点和终点的向量中. (1)单位向量共有多少个? (2)试写出模为的所有向量. (3)试写出与相等的所有向量. (4)试写出的相反向量. 【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析；（3）答案见解析；（4）答案见解析． 【分析】（1）根据定义模为1的向量即为单位向量（2）在长方体中求出对角线长为，即可写出所求向量（3）根据大小相等，方向相同即为相等向量可写出（4）大小相等，方向相反的向量即为相反向量. 【详解】(1)模为1的向量有,共8个单位向量. (2)由于这个长方体的左右两侧的对角线长均为,因此模为的向量为 . (3)与向量相等的向量(除它自身之外)为. (4)向量的相反向量为. 提能力 综合用 · 善迁移 12．（25-26高二上·全国·课后作业）（多选）如图所示，M是四面体OABC的棱BC的中点，点N在线段OM上，点P在线段AN上，且，，设，，，则下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】利用空间向量基本定理可得答案. 【详解】由向量的平行四边形法则，得，故A错误； 由向量的平行四边形法则和三角形法则， 得 ，故B正确； 因为点P在线段AN上，且，所以， 所以，故C错误； ，故D正确. 故选：BD. 13．（24-25高二上·山东·阶段检测）在正方体中，已知，，，为底面的的中心，为的重心，则______.（用，，表示） 【答案】 【分析】根据向量的三角形法则和平行四边形法则化简计算即可． 【详解】解：在正方体中， ，为底面的中心，为△的重心， ． 故答案为：． 14．（25-25高二·全国·课后作业）如图所示，在三棱柱中，是的中点，化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量. (1)； (2)； (3). 【答案】(1)，图中表示见解析 (2)，图中表示见解析 (3)，图中表示见解析 【分析】（1）（2）（3）利用空间向量的加减法的运算法则和几何意义化简． 【详解】（1）解：. （2）解：因为是的中点，所以，又， 所以. （3）解： 迎挑战 拓思维 · 求突破 15．（24-25高二上·全国·课后作业）光岳楼，又称“余木楼”“鼓楼”“东昌楼”，位于山东省聊城市，始建于公元1374年，在《中国名楼》站台票纪念册中，光岳楼与鹳雀楼、黄鹤楼、岳阳楼、太白楼、滕王阁、蓬莱阁、镇江楼、甲秀楼、大观楼共同组成中国十大名楼.其墩台为砖石切成的正四棱台，直观图如图所示，其上缘边长与底边边长之比约为，则=___________. 【答案】 【分析】延长相交于一点，根据题设比例关系及空间向量数乘的几何意义有，，再由空间向量加法的几何意义，结合几何体即可求得目标式所表示的空间向量. 【详解】延长相交于一点，则且， 故答案为： 16．（25-26高二·甘肃·阶段检测）如图所示，已知ABCD-A1B1C1D1是平行六面体. (1)化简 ++,并在图中标出其结果； (2)设M是底面ABCD的中心，N是侧面BCC1B1对角线BC1上的分点，设=α,试求α，β，γ的值. 【答案】（1）答案见解析；（2）α=,β=,γ=. 【分析】(1)取DD1的中点G，过G作DC的平行线GH，使GH=DC，连接AH，由向量的运算法则可得++=; (2)由题意可得=.则α=,β=,γ=. 【详解】(1)取DD1的中点G，过G作DC的平行线GH，使GH=DC，连接AH， 则++= ; 其结果如图所示. (2)====. ∴α=,β=,γ=. 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 $