二进制的秘密（5个考点）（讲义）苏教版六年级数学上册（新教材）

该小学数学讲义通过知识框架图系统梳理了“二进制的秘密”单元知识体系，涵盖十进制回顾与二进制基础、计数单位与转换、十进制转二进制、五八进制拓展及不同进制对比五大考点，用对比表格呈现十进制与二进制的进位规则、计数单位等内在联系，突出“满二进一”“除2取余”等重难点。 讲义亮点在于分层练习设计与方法迁移指导，如“判断二进制数”题型培养抽象能力，“二进制转十进制”例题通过计数单位累加训练运算能力，拓展考点引导用推理意识迁移理解五八进制。基础题巩固概念，综合题提升转换技能，助力不同学生掌握，为教师实施精准复习提供清晰教学路径。

苏教版六年级数学上册（讲义） 二进制的秘密（5个考点）（讲义） 考点 1：十进制计数法回顾与二进制的基本认识 【核心知识】 1.十进制基础：日常生活通用十进制，遵循满十进一规则，计数单位有个、十、百、千…… 相邻进率是 10，数字由 0~9 组成。一个数可以拆成 “各数位数字 × 对应计数单位” 的和，例如。 2.二进制的定义：计算机信息处理使用的计数方法，遵循满二进一的进位规则。 3.二进制的特征：只由数字 0 和 1 组成，不存在 2 及以上的单个数字；为区分十进制，二进制数右下角标注下标 2，如。 4.二进制读写：二进制数按数位逐位读数字，不读十进制数位名称。例如读作 “一零”，不能读作 “十”。 5.对应关系：十进制的 0、1 和二进制写法相同；十进制的 2 对应二进制—— 个位满 2 向十位进 1，个位写 0。 【方法点拨】 1.判断一个数是不是二进制，只需要看数字里有没有大于 1 的数，有则不是二进制。 2.理解 “满二进一”：某一位数到 2 就向前一位进 1，本位归零，和十进制 “满十进一” 逻辑一致，只是进率不同。 3.读写二进制数时，时刻注意下标标识，避免和十进制混淆。 【典型例题】 例：下面各数中，哪些是二进制数？并正确读出是二进制的数。 101 210 1100 121 【分析】 判断一个数是否为二进制数，关键看它是否只由数字0和1组成，且不能出现2及以上的数字。读数时，要按数位逐位读数字。 【详解】 101：只由0和1组成，是二进制数。读作“一零一”。 210：出现了数字2，不是二进制数。 1100：只由0和1组成，是二进制数。读作“一一零零”。 121：出现了数字2，不是二进制数。 【答案】 二进制数有：101，1100。 101读作：一零一；1100读作：一一零零。 【对应练习】 1.二进制遵循（ ）的进位规则，只用到数字（ ）和（ ）。 【分析】 本题考察二进制最基本的定义和特征。 【详解】 二进制是“逢二进一”的计数制，其数字系统中只有两个基本数字。 【答案】 满二进一；0；1 2.十进制的 3 对应二进制（ ），十进制的 0 对应二进制（ ）。 【分析】 根据“满二进一”的规则进行推导。十进制的0和1与二进制相同，十进制的2对应(10)₂，那么十进制的3就是(10)₂再加1。 【详解】 十进制的3，在二进制中表示为11，即(11)₂。十进制的0，在任何进制中都表示为0。 【答案】 (11)₂；0 3.十进制中 “满十进一”，二进制中（ ）。 【分析】 本题考察二进制与十进制进位规则的类比。 【详解】 十进制是“满十进一”，二进制则是“满二进一”。 【答案】 满二进一 4.写出两个不同的两位数二进制数。 【分析】 “两位二进制数”是指用两个数字组成的二进制数，其最高位（左边第一位）不能为 0。二进制数每一位只能取 0 或 1，因此两位数的组合只有两种可能： · 第一位（高位）必须是 1（否则就是一位数）； · 第二位（低位）可以是 0 或 1。 所以，所有不同的两位二进制数只有 (10)₂ 和 (11)₂ 这两个。 【详解】 · 若写 (01)₂，通常不写成两位数形式，它等价于 (1)₂，是一位数，不符合要求。 · 因此，满足条件的两个不同数分别为：(10)₂（代表十进制的 2）和 (11)₂（代表十进制的 3）。 【答案】 (10)₂ 和 (11)₂ 5.下列属于二进制数的是（ ）。 A. 102 B. 1101 C. 201 【分析】 二进制数只能由0和1组成。 【详解】 A选项102中含有数字2，不是二进制数；B选项1101只由0和1组成，是二进制数；C选项201中含有数字2，不是二进制数。 【答案】 B 考点 2：二进制的计数单位与二进制转十进制 【核心知识】 1.二进制计数单位：从右往左依次是、、、、、…… 相邻两个计数单位的进率是 2，和 “满二进一” 规则对应。 2.从右数第 n 位的计数单位是。 3.二进制转十进制的方法： 把二进制数按数位展开，每个数位的数字乘它对应的计数单位，再把所有乘积相加，结果就是对应的十进制数。 公式示例： 4.简便技巧：数字为 0 的数位乘积是 0，可以直接跳过，只累加数字是 1 的数位对应的计数单位。 【方法点拨】 1.先熟记前 6 个二进制计数单位：1、2、4、8、16、32，是快速转换的基础。 2.转换时从最右边开始对应计数单位 1，往左依次翻倍，不要把数位左右搞反。 3.计算完成后可以反向验证，保证结果正确。 【典型例题】 例：把二进制数转换成十进制数。 【分析】 将二进制数按位展开，每一位数字乘以其对应的计数单位（从右往左依次为1,2,4,8,16...），然后求和。 【详解】 (1101)₂ 的计数单位从右往左依次是1, 2, 4, 8。 所以，(1101)₂ = 1×8 + 1×4 + 0×2 + 1×1 = 8 + 4 + 0 + 1 = 13。 【答案】 13 【对应练习】 1.二进制从右往左第 3 位的计数单位是（ ），第 4 位是（ ）。 【分析】 二进制计数单位从右往左依次是1 (2⁰), 2 (2¹), 4 (2²), 8 (2³) ... 第n位对应2^(n-1)。 【详解】 从右往左第1位是1，第2位是2，第3位是4，第4位是8。 【答案】 4；8 2.转换成十进制是（ ）。 【分析】 按位展开计算。 【详解】 (101)₂ = 1×4 + 0×2 + 1×1 = 4 + 0 + 1 = 5。 【答案】 5 3.转换成十进制是（ ）。 【分析】 按位展开计算。 【详解】 (111)₂ = 1×4 + 1×2 + 1×1 = 4 + 2 + 1 = 7。 【答案】 7 4.把转换成十进制数（ ）。 【分析】 按位展开，注意高位是8和4。 【详解】 (1100)₂ = 1×8 + 1×4 + 0×2 + 0×1 = 8 + 4 = 12。 【答案】 12 5.把转换成十进制数（ ）。 【分析】 按位展开，从右往左计数单位依次为1,2,4,8,16。 【详解】 (10110)₂ = 1×16 + 0×8 + 1×4 + 1×2 + 0×1 = 16 + 0 + 4 + 2 + 0 = 22。 【答案】 22 6.二进制数和，对应的十进制数更大的是（ ）。 【分析】 分别将两个二进制数转换成十进制数，再比较大小。 【详解】 (10001)₂ = 1×16 + 0×8 + 0×4 + 0×2 + 1×1 = 16 + 1 = 17。 (1110)₂ = 1×8 + 1×4 + 1×2 + 0×1 = 8 + 4 + 2 = 14。 因为17 > 14，所以(10001)₂对应的十进制数更大。 【答案】 (10001)₂ 7.二进制相邻两个计数单位的进率是（ ）。 【分析】 二进制是“满二进一”，所以相邻计数单位的进率是2。 【详解】 二进制中，从右往左，后一个计数单位是前一个的2倍，即进率为2。 【答案】 2 考点 3：十进制数转换为二进制数 【核心知识】 1.转换方法：除 2 取余，逆序排列（倒取余法） 2.详细步骤： ① 用十进制数除以 2，记录余数（只能是 0 或 1）； ② 用得到的商继续除以 2，再次记录余数； ③ 重复操作，直到商变成 0 为止； ④ 把所有余数从最后一个到第一个倒着排列，就是对应的二进制数。 3.原理：每次除以 2 得到的余数，就是二进制从低位到高位的数字，最后倒序就得到从高位到低位的完整二进制数。 【方法点拨】 1.计算时把每一步的余数按顺序写清楚，不要漏写。 2.易错点：必须倒序写余数 —— 最后得到的余数是二进制的最高位，第一个余数是最低位，顺序不能写反。 3.转换完成后，把二进制转回十进制验算，确保结果正确。 【典型例题】 例：把十进制数 13 转换成二进制数。 【分析】 使用“除2取余，逆序排列”法。 【详解】 13 ÷ 2 = 6 余 1 6 ÷ 2 = 3 余 0 3 ÷ 2 = 1 余 1 1 ÷ 2 = 0 余 1 将余数从下往上（逆序）排列，得到 1101。 【答案】 (1101)₂ 【对应练习】 1.十进制数 5 转换成二进制数是（ ）。 【分析】 除2取余法。 【详解】 5 ÷ 2 = 2 余 1 2 ÷ 2 = 1 余 0 1 ÷ 2 = 0 余 1 余数逆序排列：101。 【答案】 (101)₂ 2.十进制数 8 转换成二进制数是（ ）。 【分析】 除2取余法。 【详解】 8 ÷ 2 = 4 余 0 4 ÷ 2 = 2 余 0 2 ÷ 2 = 1 余 0 1 ÷ 2 = 0 余 1 余数逆序排列：1000。 【答案】 (1000)₂ 3.十进制数 7 转换成二进制数是（ ）。 【分析】 除2取余法。 【详解】 7 ÷ 2 = 3 余 1 3 ÷ 2 = 1 余 1 1 ÷ 2 = 0 余 1 余数逆序排列：111。 【答案】 (111)₂ 4.把十进制数 15 转换成二进制数是（ ）。 【分析】 除2取余法。 【详解】 15 ÷ 2 = 7 余 1 7 ÷ 2 = 3 余 1 3 ÷ 2 = 1 余 1 1 ÷ 2 = 0 余 1 余数逆序排列：1111。 【答案】 (1111)₂ 5.把十进制数 20 转换成二进制数是（ ）。 【分析】 除2取余法。 【详解】 20 ÷ 2 = 10 余 0 10 ÷ 2 = 5 余 0 5 ÷ 2 = 2 余 1 2 ÷ 2 = 1 余 0 1 ÷ 2 = 0 余 1 余数逆序排列：10100。 【答案】 (10100)₂ 6.十进制数 9 和 12，转换成二进制后位数更多的是（ ）。 【分析】 分别将9和12转换成二进制，再比较位数。 【详解】 9 ÷ 2 = 4 余 1 4 ÷ 2 = 2 余 0 2 ÷ 2 = 1 余 0 1 ÷ 2 = 0 余 1 所以9的二进制为(1001)₂，位数是4。 12 ÷ 2 = 6 余 0 6 ÷ 2 = 3 余 0 3 ÷ 2 = 1 余 1 1 ÷ 2 = 0 余 1 所以12的二进制为(1100)₂，位数也是4。 两者位数相同。 【答案】 位数相同，都是4位。 7.把十进制数 25 转换成二进制数是（ ）。 【分析】 除2取余法。 【详解】 25 ÷ 2 = 12 余 1 12 ÷ 2 = 6 余 0 6 ÷ 2 = 3 余 0 3 ÷ 2 = 1 余 1 1 ÷ 2 = 0 余 1 余数逆序排列：11001。 【答案】 (11001)₂ 考点 4：五进制与八进制的拓展认识 【核心知识】 1.五进制：遵循满五进一规则，使用数字 0~4，相邻计数单位进率是 5。计数单位从小到大：、、、…… 标注方式如。 2.八进制：遵循满八进一规则，使用数字 0~7，相邻计数单位进率是 8。计数单位从小到大：、、…… 标注方式如。 3.通用规律：n 进制（n≥2）遵循 “满 n 进一”，使用数字 0~n-1，相邻计数单位进率是 n。 4.转换方法：五进制、八进制转十进制，和二进制方法完全一致 —— 按数位展开，数字乘对应计数单位再求和。 【方法点拨】 1.判断数字是否符合进制规则：n 进制里最大的单个数字是 n-1，比如五进制不能出现 5，八进制不能出现 8。 2.转换时先确定每一位的计数单位，再按位相乘相加，逻辑和二进制转十进制完全通用。 3.所有进制的进位逻辑本质相同，只是进率不同，可以对比理解。 【典型例题】 例：把五进制数转换成十进制数。 【分析】 五进制数位上的数字乘以对应的计数单位（从右往左依次为1, 5, 25, 125...），然后求和。 【详解】 (21)₅ = 2×5 + 1×1 = 10 + 1 = 11。 【答案】 11 【对应练习】 1.五进制使用数字 0~（ ），相邻计数单位进率是（ ）。 【分析】 n进制使用0到n-1的数字，进率为n。 【详解】 五进制使用0~4，进率是5。 【答案】 4；5 2.八进制中最大的单个数字是（ ），进率是（ ）。 【分析】 八进制使用0~7，进率是8。 【详解】 最大的单个数字是7，进率是8。 【答案】 7；8 3.把八进制数转换成十进制数。 【分析】 八进制数位上的数字乘以对应的计数单位（从右往左依次为1, 8, 64...），求和。 【详解】 (14)₈ = 1×8 + 4×1 = 8 + 4 = 12。 【答案】 12 4.把五进制数转换成十进制数。 【分析】 五进制数位上的数字乘以对应的计数单位（1, 5, 25...）。 【详解】 (32)₅ = 3×5 + 2×1 = 15 + 2 = 17。 【答案】 17 5.五进制的前三个计数单位从小到大是（ ）、（ ）、（ ）。 【分析】 五进制计数单位从右往左依次是5⁰=1, 5¹=5, 5²=25。 【详解】 从小到大排列是1, 5, 25。 【答案】 1；5；25 6.十进制数 9 转换成五进制是（ ）。 【分析】 使用“除5取余，逆序排列”法。 【详解】 9 ÷ 5 = 1 余 4 1 ÷ 5 = 0 余 1 余数逆序排列：14。 【答案】 (14)₅ 考点 5：不同进制的对比与本质规律 【核心知识】 1.数值的多进制表示：同一个数值可以用不同的进制表示，只是计数方式不同，数值本身大小不变。 2.所有进制的共同本质：都有对应的计数单位，数都是 “计数单位 × 计数单位的个数” 的组合；都遵循 “满几进一” 的进位规则。 3.位数规律：数值大小相同时，进制越小，数的位数越多；进制越大，数的位数越少。 4.应用场景：日常生活用十进制最方便；计算机电路只有通、断两种状态，对应 0 和 1，因此使用二进制。 【方法点拨】 1.对比不同进制时，可以把同一个数转换成不同进制，观察位数和数字特点。 2.理解核心：进制的差异只是计数单位的进率不同，数的组成逻辑完全一致。 3.不同进制可以互相转换，转换的核心是统一到相同的计数标准。 【典型例题】 例：把十进制数 10 分别转换成二进制和五进制，对比它们的位数，你能发现什么？ 【分析】 先将10分别转换成二进制和五进制，然后观察位数。 【详解】 10转换成二进制： 10 ÷ 2 = 5 余 0 5 ÷ 2 = 2 余 1 2 ÷ 2 = 1 余 0 1 ÷ 2 = 0 余 1 所以 (10)₁₀ = (1010)₂，位数为4。 10转换成五进制： 10 ÷ 5 = 2 余 0 2 ÷ 5 = 0 余 2 所以 (10)₁₀ = (20)₅，位数为2。 对比发现：表示同一个数值时，二进制（进制小）的位数比五进制（进制大）的位数多。 【答案】 (10)₁₀ = (1010)₂，位数为4；(10)₁₀ = (20)₅，位数为2。发现：进制越小，表示同一个数所需的位数越多；进制越大，位数越少。 【对应练习】 1.判断：同一个数值只能用十进制表示。（ ） 【分析】 同一个数值可以用任何进制表示，只是表示形式不同。 【详解】 例如数值7，可以用十进制7表示，也可以用二进制111表示，还可以用五进制12表示。所以说法错误。 【答案】 × 2.数值相同的情况下，二进制和八进制相比，（ ）的位数更多。 【分析】 根据位数规律，进制越小，位数越多。 【详解】 二进制比八进制小，所以二进制位数更多。 【答案】 二进制 3.所有进制记数的共同特点：都有计数单位，都遵循（ ）的进位规则。 【分析】 所有进制的核心规则都是“满几进一”。 【详解】 无论是十进制、二进制、五进制还是八进制，都遵循“满几进一”的规则。 【答案】 满几进一 4.十进制数 7，用二进制表示是（ ），用五进制表示是（ ）。 【分析】 分别将7转换成二进制和五进制。 【详解】 7转换成二进制：7÷2=3余1, 3÷2=1余1, 1÷2=0余1，逆序得111，即(111)₂。 7转换成五进制：7÷5=1余2, 1÷5=0余1，逆序得12，即(12)₅。 【答案】 (111)₂；(12)₅ 5.十进制数 8 转换成二进制是（ ），转换成八进制是（ ）。 【分析】 分别将8转换成二进制和八进制。 【详解】 8转换成二进制：8÷2=4余0, 4÷2=2余0, 2÷2=1余0, 1÷2=0余1，逆序得1000，即(1000)₂。 8转换成八进制：8÷8=1余0, 1÷8=0余1，逆序得10，即(10)₈。 【答案】 (1000)₂；(10)₈ 6.简单说明计算机为什么使用二进制。 【分析】 从计算机的物理特性和二进制特点出发说明。 【详解】 计算机内部由电子元件组成，电路只有两种稳定状态：通电（高电平）和断电（低电平），正好对应数字1和0。二进制只有0和1两个数字，规则简单，易于用电子电路实现，且抗干扰能力强，所以计算机采用二进制。 【答案】 因为计算机电路只有“通”和“断”两种状态，正好用1和0表示，二进制规则简单，易于电子实现，所以计算机使用二进制。 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 $苏教版六年级数学上册（讲义） 二进制的秘密（5个考点）（讲义） 考点 1：十进制计数法回顾与二进制的基本认识 【核心知识】 1.十进制基础：日常生活通用十进制，遵循满十进一规则，计数单位有个、十、百、千…… 相邻进率是 10，数字由 0~9 组成。一个数可以拆成 “各数位数字 × 对应计数单位” 的和，例如。 2.二进制的定义：计算机信息处理使用的计数方法，遵循满二进一的进位规则。 3.二进制的特征：只由数字 0 和 1 组成，不存在 2 及以上的单个数字；为区分十进制，二进制数右下角标注下标 2，如。 4.二进制读写：二进制数按数位逐位读数字，不读十进制数位名称。例如读作 “一零”，不能读作 “十”。 5.对应关系：十进制的 0、1 和二进制写法相同；十进制的 2 对应二进制—— 个位满 2 向十位进 1，个位写 0。 【方法点拨】 1.判断一个数是不是二进制，只需要看数字里有没有大于 1 的数，有则不是二进制。 2.理解 “满二进一”：某一位数到 2 就向前一位进 1，本位归零，和十进制 “满十进一” 逻辑一致，只是进率不同。 3.读写二进制数时，时刻注意下标标识，避免和十进制混淆。 【典型例题】 例：下面各数中，哪些是二进制数？并正确读出是二进制的数。 101 210 1100 121 【对应练习】 1.二进制遵循（ ）的进位规则，只用到数字（ ）和（ ）。 2.十进制的 3 对应二进制（ ），十进制的 0 对应二进制（ ）。 3.十进制中 “满十进一”，二进制中（ ）。 4.写出两个不同的两位数二进制数。 5.下列属于二进制数的是（ ）。 A. 102 B. 1101 C. 201 考点 2：二进制的计数单位与二进制转十进制 【核心知识】 1.二进制计数单位：从右往左依次是、、、、、…… 相邻两个计数单位的进率是 2，和 “满二进一” 规则对应。 2.从右数第 n 位的计数单位是。 3.二进制转十进制的方法： 把二进制数按数位展开，每个数位的数字乘它对应的计数单位，再把所有乘积相加，结果就是对应的十进制数。 公式示例： 4.简便技巧：数字为 0 的数位乘积是 0，可以直接跳过，只累加数字是 1 的数位对应的计数单位。 【方法点拨】 1.先熟记前 6 个二进制计数单位：1、2、4、8、16、32，是快速转换的基础。 2.转换时从最右边开始对应计数单位 1，往左依次翻倍，不要把数位左右搞反。 3.计算完成后可以反向验证，保证结果正确。 【典型例题】 例：把二进制数转换成十进制数。 【对应练习】 1.二进制从右往左第 3 位的计数单位是（ ），第 4 位是（ ）。 2.转换成十进制是（ ）。 3.转换成十进制是（ ）。 4.把转换成十进制数（ ）。 5.把转换成十进制数（ ）。 6.二进制数和，对应的十进制数更大的是（ ）。 7.二进制相邻两个计数单位的进率是（ ）。 考点 3：十进制数转换为二进制数 【核心知识】 1.转换方法：除 2 取余，逆序排列（倒取余法） 2.详细步骤： ① 用十进制数除以 2，记录余数（只能是 0 或 1）； ② 用得到的商继续除以 2，再次记录余数； ③ 重复操作，直到商变成 0 为止； ④ 把所有余数从最后一个到第一个倒着排列，就是对应的二进制数。 3.原理：每次除以 2 得到的余数，就是二进制从低位到高位的数字，最后倒序就得到从高位到低位的完整二进制数。 【方法点拨】 1.计算时把每一步的余数按顺序写清楚，不要漏写。 2.易错点：必须倒序写余数 —— 最后得到的余数是二进制的最高位，第一个余数是最低位，顺序不能写反。 3.转换完成后，把二进制转回十进制验算，确保结果正确。 【典型例题】 例：把十进制数 13 转换成二进制数。 【对应练习】 1.十进制数 5 转换成二进制数是（ ）。 2.十进制数 8 转换成二进制数是（ ）。 3.十进制数 7 转换成二进制数是（ ）。 4.把十进制数 15 转换成二进制数是（ ）。 5.把十进制数 20 转换成二进制数是（ ）。 6.十进制数 9 和 12，转换成二进制后位数更多的是（ ）。 7.把十进制数 25 转换成二进制数是（ ）。 考点 4：五进制与八进制的拓展认识 【核心知识】 1.五进制：遵循满五进一规则，使用数字 0~4，相邻计数单位进率是 5。计数单位从小到大：、、、…… 标注方式如。 2.八进制：遵循满八进一规则，使用数字 0~7，相邻计数单位进率是 8。计数单位从小到大：、、…… 标注方式如。 3.通用规律：n 进制（n≥2）遵循 “满 n 进一”，使用数字 0~n-1，相邻计数单位进率是 n。 4.转换方法：五进制、八进制转十进制，和二进制方法完全一致 —— 按数位展开，数字乘对应计数单位再求和。 【方法点拨】 1.判断数字是否符合进制规则：n 进制里最大的单个数字是 n-1，比如五进制不能出现 5，八进制不能出现 8。 2.转换时先确定每一位的计数单位，再按位相乘相加，逻辑和二进制转十进制完全通用。 3.所有进制的进位逻辑本质相同，只是进率不同，可以对比理解。 【典型例题】 例：把五进制数转换成十进制数。 【对应练习】 1.五进制使用数字 0~（ ），相邻计数单位进率是（ ）。 2.八进制中最大的单个数字是（ ），进率是（ ）。 3.把八进制数转换成十进制数。 4.把五进制数转换成十进制数。 5.五进制的前三个计数单位从小到大是（ ）、（ ）、（ ）。 6.十进制数 9 转换成五进制是（ ）。 考点 5：不同进制的对比与本质规律 【核心知识】 1.数值的多进制表示：同一个数值可以用不同的进制表示，只是计数方式不同，数值本身大小不变。 2.所有进制的共同本质：都有对应的计数单位，数都是 “计数单位 × 计数单位的个数” 的组合；都遵循 “满几进一” 的进位规则。 3.位数规律：数值大小相同时，进制越小，数的位数越多；进制越大，数的位数越少。 4.应用场景：日常生活用十进制最方便；计算机电路只有通、断两种状态，对应 0 和 1，因此使用二进制。 【方法点拨】 1.对比不同进制时，可以把同一个数转换成不同进制，观察位数和数字特点。 2.理解核心：进制的差异只是计数单位的进率不同，数的组成逻辑完全一致。 3.不同进制可以互相转换，转换的核心是统一到相同的计数标准。 【典型例题】 例：把十进制数 10 分别转换成二进制和五进制，对比它们的位数，你能发现什么？ 【对应练习】 1.判断：同一个数值只能用十进制表示。（ ） 2.数值相同的情况下，二进制和八进制相比，（ ）的位数更多。 3.所有进制记数的共同特点：都有计数单位，都遵循（ ）的进位规则。 4.十进制数 7，用二进制表示是（ ），用五进制表示是（ ）。 5.十进制数 8 转换成二进制是（ ），转换成八进制是（ ）。 6.简单说明计算机为什么使用二进制。 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 $苏教版六年级数学上册（讲义） 二进制的秘密(5个考点) (讲义) 考点1：十进制计数法回顾与二进制的基本认识 【核心知识】 1.十进制基础：日常生活通用十进制，遵循满十进一规则，计数单位有个、十、 百、千…相邻进率是10，数字由0-9组成。一个数可以拆成“各数位数字 ×对应计数单位”的和，例如25=2×10+5×1。 2二进制的定义：计算机信息处理使用的计数方法，遵循满二进一的进位规则。 3.二进制的特征：只由数字0和1组成，不存在2及以上的单个数字；为区分十 进制，二进数右下角标注下标2，如(10)2。 4.二进制读写：二进制数按数位逐位读数字，不读十进制数位名称。例如(10)2 读作“一零”，不能读作“十”。 5.对应关系：十进制的0、1和二进制写法相同；十进制的2对应二进制(10)2 个位满2向十位进1，个位写0。 【方法点拨】 1判断一个数是不是二进制，只需要看数字里有没有大于1的数，有则不是二进 制。 2理解“满二进一”：某一位数到2就向前一位进1，本位归零，和十进制 “满十进一”逻辑一致，只是进率不同。 3读写二进制数时，时刻注意下标标识，避免和十进制混淆。 【典型例题】 例：下面各数中，哪些是二进制数？并正确读出是二进制的数。 101 210 1100 121 第1页共6页 苏教版六年级数学上册（讲义） 【对应练习】 1.二进制遵循（)的进位规则，只用到数字（)和()。 2.十进制的3对应二进制（)，十进制的0对应二进制（)。 3.十进制中“满十进一”，二进制中（)。 4.写出两个不同的两位数二进制数。 5.下列属于二进制数的是()。 A.102 B.1101 C.201 考点2：二进制的计数单位与二进制转十进制 【核心知识】 1.二进制计数单位：从右往左依次是1(20)、2(21)、4(22)、8(23)、16(24)、 32(25)…相邻两个计数单位的进率是2，和“满二进一”规则对应。 2.从右数第n位的计数单位是2n-1。 3.二进制转十进制的方法： 把二进制数按数位展开，每个数位的数字乘它对应的计数单位，再把所有乘积 相加，结果就是对应的十进制数。 公式示例：(10101)2=1×16+0×8+1×4+0×2+1×1=21 4简便技巧：数字为0的数位乘积是0，可以直接跳过，只累加数字是1的数位 对应的计数单位。 【方法点拨】 1.先熟记前6个二进制计数单位：1、2、4、8、16、32，是快速转换的基础。 2转换时从最右边开始对应计数单位1，往左依次翻倍，不要把数位左右搞反。 3计算完成后可以反向验证，保证结果正确。 第2页共6页 苏教版六年级数学上册（讲义） 【典型例题】 例：把二进制数(1101)2转换成十进制数。 【对应练习】 1.二进制从右往左第3位的计数单位是（)，第4位是()。 2.(101)2转换成十进制是（)。 3.(111)2转换成十进制是（)。 4.把(1100)2转换成十进制数()。 5把(10110)2转换成十进制数()。 6.二进制数(10001)2和(1110)2，对应的十进制数更大的是（)。 7.二进制相邻两个计数单位的进率是（)。 考点3：十进制数转换为二进制数 【核心知识】 1转换方法：除2取余，逆序排列（倒取余法) 2.详细步骤： ①用十进制数除以2，记录余数（只能是0或1）； ②用得到的商继续除以2，再次记录余数； ③重复操作，直到商变成0为止； ④把所有余数从最后一个到第一个倒着排列，就是对应的二进制数。 3原理：每次除以2得到的余数，就是二进制从低位到高位的数字，最后倒序就 得到从高位到低位的完整二进制数。 【方法点拨】 1.计算时把每一步的余数按顺序写清楚，不要漏写。 2易错点：必须倒序写余数一 最后得到的余数是二进制的最高位，第一个余 第3页共6页 苏教版六年级数学上册（讲义） 数是最低位，顺序不能写反。 3转换完成后，把二进制转回十进制验算，确保结果正确。 【典型例题】 例：把十进制数13转换成二进制数。 【对应练习】 1.十进制数5转换成二进制数是()。 2.十进制数8转换成二进制数是（)。 3.十进制数7转换成二进制数是()。 4.把十进制数15转换成二进制数是（)。 5.把十进制数20转换成二进制数是（)。 6.十进制数9和12，转换成二进制后位数更多的是（)。 7把十进制数25转换成二进制数是()。 考点4：五进制与八进制的拓展认识 【核心知识】 1.五进制：遵循满五进一规则，使用数字0~4，相邻计数单位进率是5。计数单 位从小到大：1(5)、5(51)、25(52)、125(53)…标注方式如(12)5。 2.八进制：遵循满八进一规则，使用数字0~7，相邻计数单位进率是8。计数单 位从小到大：1(8)、8(81)、64(82)…标注方式如(13)8。 3.通用规律：n进制(n≥2)遵循“满n进一”，使用数字0n-l,相邻计数单 位进率是n。 4转换方法：五进制、八进制转十进制，和二进制方法完全一致一按数位展 开，数字乘对应计数单位再求和。 第4页共6页 苏教版六年级数学上册（讲义） 【方法点拨】 1判断数字是否符合进制规则：n进制里最大的单个数字是n-1,比如五进制不 能出现5，八进制不能出现8。 2.转换时先确定每一位的计数单位，再按位相乘相加，逻辑和二进制转十进制完 全通用。 3.所有进制的进位逻辑本质相同，只是进率不同，可以对比理解。 【典型例题】 例：把五进制数(21)5转换成十进制数。 【对应练习】 1.五进制使用数字0-（)，相邻计数单位进率是（)。 2.八进制中最大的单个数字是()，进率是()。 3.把八进制数(14)8转换成十进制数。 4.把五进制数(32)5转换成十进制数。 5.五进制的前三个计数单位从小到大是（)、（)、 6.十进制数9转换成五进制是（)。 考点5：不同进制的对比与本质规律 【核心知识】 1数值的多进制表示：同一个数值可以用不同的进制表示，只是计数方式不同， 数值本身大小不变。 2所有进制的共同本质：都有对应的计数单位，数都是“计数单位×计数单位 的个数”的组合；都遵循“满几进一”的进位规则。 3位数规律：数值大小相同时，进制越小，数的位数越多；进制越大，数的位数 第5页共6页 苏教版六年级数学上册（讲义） 越少。 4应用场景：日常生活用十进制最方便；计算机电路只有通、断两种状态，对应 0和1，因此使用二进制。 【方法点拨】 1.对比不同进制时，可以把同一个数转换成不同进制，观察位数和数字特点。 2理解核心：进制的差异只是计数单位的进率不同，数的组成逻辑完全一致。 3.不同进制可以互相转换，转换的核心是统一到相同的计数标准。 【典型例题】 例：把十进制数10分别转换成二进制和五进制，对比它们的位数，你能发现什 么？ 【对应练习】 1.判断：同一个数值只能用十进制表示。（) 2数值相同的情况下，二进制和八进制相比，（)的位数更多。 3.所有进制记数的共同特点：都有计数单位，都遵循()的进位规则。 4.十进制数7，用二进制表示是（)，用五进制表示是（)。 5.十进制数8转换成二进制是（)，转换成八进制是（)。 6简单说明计算机为什么使用二进制。 第6页共6页苏教版六年级数学上册（讲义） 二进制的秘密(5个考点) (讲义) 考点1：十进制计数法回顾与二进制的基本认识 【核心知识】 1.十进制基础：日常生活通用十进制，遵循满十进一规则，计数单位有个、十、 百、千…相邻进率是10，数字由0-9组成。一个数可以拆成“各数位数字 ×对应计数单位”的和，例如25=2×10+5×1。 2二进制的定义：计算机信息处理使用的计数方法，遵循满二进一的进位规则。 3.二进制的特征：只由数字0和1组成，不存在2及以上的单个数字；为区分十 进制，二进数右下角标注下标2，如(10)2。 4.二进制读写：二进制数按数位逐位读数字，不读十进制数位名称。例如(10)2 读作“一零”，不能读作“十”。 5.对应关系：十进制的0、1和二进制写法相同；十进制的2对应二进制(10)2 个位满2向十位进1，个位写0。 【方法点拨】 1判断一个数是不是二进制，只需要看数字里有没有大于1的数，有则不是二进 制。 2理解“满二进一”：某一位数到2就向前一位进1，本位归零，和十进制 “满十进一”逻辑一致，只是进率不同。 3读写二进制数时，时刻注意下标标识，避免和十进制混淆。 【典型例题】 例：下面各数中，哪些是二进制数？并正确读出是二进制的数。 101 210 1100 121 【分析】 判断一个数是否为二进制数，关键看它是否只由数字0和1组成，且不能出现 2及以上的数字。读数时，要按数位逐位读数字。 第1页共17页 苏教版六年级数学上册（讲义） 【详解】 101:只由0和1组成，是二进制数。读作“一零一”。 210:出现了数字2，不是二进制数。 1100:只由0和1组成，是二进制数。读作“一一零零” 121:出现了数字2，不是二进制数。 【答案】 二进制数有：101,1100。 101读作：一零一；1100读作：一一零零。 【对应练习】 1.二进制遵循（)的进位规则，只用到数字（)和()。 【分析】 本题考察二进制最基本的定义和特征。 【详解】 二进制是“逢二进一”的计数制，其数字系统中只有两个基本数字。 【答案】 满二进一；0；1 2.十进制的3对应二进制()，十进制的0对应二进制（)。 【分析】 根据“满二进一”的规则进行推导。十进制的0和1与二进制相同，十进制的 2对应(10)2，那么十进制的3就是(102再加1。 【详解】 十进制的3，在二进制中表示为11，即(11)2。十进制的0，在任何进制中都表 示为0。 【答案】 (11)2;0 第2页共17页 苏教版六年级数学上册（讲义） 3.十进制中“满十进一”，二进制中()。 【分析】 本题考察二进制与十进制进位规则的类比。 【详解】 十进制是“满十进一”，二进制则是“满二进一”。 【答案】 满二进一 4.写出两个不同的两位数二进制数。 【分析】 “两位二进制数”是指用两个数字组成的二进制数，其最高位（左边第一位）不 能为0。二进制数每一位只能取0或1，因此两位数的组合只有两种可能： 第一位（高位）必须是1（否则就是一位数）； ● 第二位（低位）可以是0或1。 所以，所有不同的两位二进制数只有(102和(112这两个。 【详解】 若写(01)2，通常不写成两位数形式，它等价于(12，是一位数，不符合要 求。 因此，满足条件的两个不同数分别为：(10)2（代表十进制的2）和(11)2 (代表十进制的3)。 【答案】 (102和(112 5.下列属于二进制数的是（)。 A.102 B.1101 C.201 【分析】 二进制数只能由0和1组成。 【详解】 第3页共17页 苏教版六年级数学上册（讲义） A选项102中含有数字2，不是二进制数；B选项1101只由0和1组成，是二 进制数；C选项201中含有数字2，不是二进制数。 【答案】 B 考点2：二进制的计数单位与二进制转十进制 【核心知识】 1.二进制计数单位：从右往左依次是1(20)、2(2)、4(22)、8(23)、16(24)、 32(25)…相邻两个计数单位的进率是2，和“满二进一”规则对应。 2.从右数第n位的计数单位是2n-1。 3.二进制转十进制的方法： 把二进制数按数位展开，每个数位的数字乘它对应的计数单位，再把所有乘积 相加，结果就是对应的十进制数。 公式示例：(10101)2=1×16+0×8+1×4+0×2+1×1=21 4简便技巧：数字为0的数位乘积是0，可以直接跳过，只累加数字是1的数位 对应的计数单位。 【方法点拨】 1.先熟记前6个二进制计数单位：1、2、4、8、16、32，是快速转换的基础。 2.转换时从最右边开始对应计数单位1，往左依次翻倍，不要把数位左右搞反。 3计算完成后可以反向验证，保证结果正确。 【典型例题】 例：把二进制数(1101)2转换成十进制数。 【分析】 将二进制数按位展开，每一位数字乘以其对应的计数单位（从右往左依次为1,2， 4,8,16..),然后求和。 【详解】 第4页共17页 苏教版六年级数学上册（讲义） (1101)2的计数单位从右往左依次是1,2,4,8。 所以，(1101)2=1×8+1×4+0×2+1×1=8+4+0+1=13。 【答案】 13 【对应练习】 1.二进制从右往左第3位的计数单位是（)，第4位是（)。 【分析】 二进制计数单位从右往左依次是1(2)，2(2)，4(22)，8(2)…第n位对应2(n 1)。 【详解】 从右往左第1位是1，第2位是2，第3位是4，第4位是8。 【答案】 4;8 2.(101)2转换成十进制是（)。 【分析】 按位展开计算。 【详解】 (101)2=1×4+0×2+1×1=4+0+1=5。 【答案】 5 3.(111)2转换成十进制是（）。 【分析】 按位展开计算。 【详解】 (111)2=1×4+1×2+1×1=4+2+1=7。 【答案】 第5页共17页 苏教版六年级数学上册（讲义） 7 4.把(1100)2转换成十进制数（)。 【分析】 按位展开，注意高位是8和4。 【详解】 (1100)2=1×8+1×4+0×2+0×1=8+4=12。 【答案】 12 5.把(10110)2转换成十进制数（)。 【分析】 按位展开，从右往左计数单位依次为1,2,4,8,16。 【详解】 (10110)2=1×16+0×8+1×4+1×2+0×1=16+0+4+2+0=22。 【答案】 22 6.二进制数(10001)2和(1110)2，对应的十进制数更大的是()。 【分析】 分别将两个二进制数转换成十进制数，再比较大小。 【详解】 (10001)2=1×16+0×8+0×4+0×2+1×1=16+1=17。 (1110)2=1×8+1×4+1×2+0×1=8+4+2=14。 因为17>14，所以(10001)2对应的十进制数更大。 【答案】 (10001)2 7.二进制相邻两个计数单位的进率是（)。 【分析】 第6页共17页 苏教版六年级数学上册（讲义） 二进制是“满二进一”，所以相邻计数单位的进率是2。 【详解】 二进制中，从右往左，后一个计数单位是前一个的2倍，即进率为2。 【答案】 2 考点3：十进制数转换为二进制数 【核心知识】 1转换方法：除2取余，逆序排列（倒取余法） 2.详细步骤： ①用十进制数除以2，记录余数（只能是0或1）； ②用得到的商继续除以2，再次记录余数； ③重复操作，直到商变成0为止； ④把所有余数从最后一个到第一个倒着排列，就是对应的二进制数。 3原理：每次除以2得到的余数，就是二进制从低位到高位的数字，最后倒序就 得到从高位到低位的完整二进制数。 【方法点拨】 1计算时把每一步的余数按顺序写清楚，不要漏写。 2易错点：必须倒序写余数一最后得到的余数是二进制的最高位，第一个余 数是最低位，顺序不能写反。 3转换完成后，把二进制转回十进制验算，确保结果正确。 【典型例题】 例：把十进制数13转换成二进制数。 【分析】 使用“除2取余，逆序排列”法。 【详解】 第7页共17页 苏教版六年级数学上册（讲义） 13÷2=6余1 6÷2=3余0 3÷2=1余1 1÷2=0余1 将余数从下往上（逆序）排列，得到1101。 【答案】 (1101)2 【对应练习】 1.十进制数5转换成二进制数是（)。 【分析】 除2取余法。 【详解】 5÷2=2余1 2÷2=1余0 1÷2=0余1 余数逆序排列：101。 【答案】 (101)2 2.十进制数8转换成二进制数是（)。 【分析】 除2取余法。 【详解】 8÷2=4余0 4÷2=2余0 2÷2=1余0 1÷2=0余1 第8页共17页 苏教版六年级数学上册（讲义） 余数逆序排列：1000。 【答案】 (10002 3.十进制数7转换成二进制数是()。 【分析】 除2取余法。 【详解】 7÷2=3余1 3÷2=1余1 1÷2=0余1 余数逆序排列：111。 【答案】 (111)2 4.把十进制数15转换成二进制数是（)。 【分析】 除2取余法。 【详解】 15÷2=7余1 7÷2=3余1 3÷2=1余1 1÷2=0余1 余数逆序排列：1111。 【答案】 (1111)2 5.把十进制数20转换成二进制数是（)。 【分析】 第9页共17页 苏教版六年级数学上册（讲义） 除2取余法。 【详解】 20÷2=10余0 10÷2=5余0 5÷2=2余1 2÷2=1余0 1÷2=0余1 余数逆序排列：10100。 【答案】 (101002 6.十进制数9和12，转换成二进制后位数更多的是（)。 【分析】 分别将9和12转换成二进制，再比较位数。 【详解】 9÷2=4余1 4÷2=2余0 2÷2=1余0 1÷2=0余1 所以9的二进制为(1001)2，位数是4。 12÷2=6余0 6÷2=3余0 3÷2=1余1 1÷2=0余1 所以12的二进制为(1100)2，位数也是4。 两者位数相同。 【答案】 第10页共17页 苏教版六年级数学上册（讲义） 位数相同，都是4位。 7.把十进制数25转换成二进制数是（)。 【分析】 除2取余法。 【详解】 25÷2=12余1 12÷2=6余0 6÷2=3余0 3÷2=1余1 1÷2=0余1 余数逆序排列：11001。 【答案】 (11001)2 考点4：五进制与八进制的拓展认识 【核心知识】 1.五进制：遵循满五进一规则，使用数字04，相邻计数单位进率是5。计数单 位从小到大：1(5)、5(51)、25(52)、125(53)…标注方式如(12)5 2.八进制：遵循满八进一规则，使用数字0-7，相邻计数单位进率是8。计数单 位从小到大：1(8)、8(81)、64(82)…标注方式如(13)8。 3.通用规律：n进制(n≥2)遵循“满n进一”，使用数字0-n-l,相邻计数单 位进率是n。 4转换方法：五进制、八进制转十进制，和二进制方法完全一致一 按数位展 开，数字乘对应计数单位再求和。 【方法点拨】 1.判断数字是否符合进制规则：n进制里最大的单个数字是n-1,比如五进制不 第11页共17页 苏教版六年级数学上册（讲义） 能出现5，八进制不能出现8。 2转换时先确定每一位的计数单位，再按位相乘相加，逻辑和二进制转十进制完 全通用。 3所有进制的进位逻辑本质相同，只是进率不同，可以对比理解。 【典型例题】 例：把五进制数(21)5转换成十进制数。 【分析】 五进制数位上的数字乘以对应的计数单位（从右往左依次为1,5,25,125.）， 然后求和。 【详解】 21)5=2×5+1×1=10+1=11。 【答案】 11 【对应练习】 1.五进制使用数字0（)，相邻计数单位进率是（)。 【分析】 n进制使用0到n-1的数字，进率为n。 【详解】 五进制使用0~4，进率是5。 【答案】 4；5 2.八进制中最大的单个数字是()，进率是（)。 【分析】 八进制使用0~7，进率是8。 【详解】 最大的单个数字是7，进率是8。 第12页共17页 苏教版六年级数学上册（讲义） 【答案】 7;8 3.把八进制数(14)8转换成十进制数。 【分析】 八进制数位上的数字乘以对应的计数单位（从右往左依次为1,8,64.），求 和。 【详解】 (14)8=1×8+4×1=8+4=12。 【答案】 12 4.把五进制数(32)5转换成十进制数。 【分析】 五进制数位上的数字乘以对应的计数单位(1,5,25..)。 【详解】 (32)5=3×5+2×1=15+2=17。 【答案】 17 5.五进制的前三个计数单位从小到大是（)、()、（)。 【分析】 五进制计数单位从右往左依次是50=1,51=5,52=25。 【详解】 从小到大排列是1,5,25。 【答案】 1；5;25 6.十进制数9转换成五进制是（)。 【分析】 第13页共17页 苏教版六年级数学上册（讲义） 使用“除5取余，逆序排列”法。 【详解】 9÷5=1余4 1÷5=0余1 余数逆序排列：14。 【答案】 (14)5 考点5：不同进制的对比与本质规律 【核心知识】 1数值的多进制表示：同一个数值可以用不同的进制表示，只是计数方式不同， 数值本身大小不变。 2所有进制的共同本质：都有对应的计数单位，数都是“计数单位×计数单位 的个数”的组合；都遵循“满几进一”的进位规则。 3位数规律：数值大小相同时，进制越小，数的位数越多；进制越大，数的位数 越少。 4应用场景：日常生活用十进制最方便；计算机电路只有通、断两种状态，对应 0和1，因此使用二进制。 【方法点拨】 1.对比不同进制时，可以把同一个数转换成不同进制，观察位数和数字特点。 2理解核心：进制的差异只是计数单位的进率不同，数的组成逻辑完全一致。 3.不同进制可以互相转换，转换的核心是统一到相同的计数标准。 【典型例题】 例：把十进制数10分别转换成二进制和五进制，对比它们的位数，你能发现什 么？ 第14页共17页 苏教版六年级数学上册（讲义） 【分析】 先将10分别转换成二进制和五进制，然后观察位数。 【详解】 10转换成二进制： 10÷2=5余0 5÷2=2余1 2÷2=1余0 1÷2=0余1 所以(10)10=(10102，位数为4。 10转换成五进制： 10÷5=2余0 2÷5=0余2 所以(10)10=(20列，位数为2。 对比发现：表示同一个数值时，二进制（进制小）的位数比五进制（进制大） 的位数多。 【答案】 (10)10=(1010)2,位数为4；(10)：0=(20)，位数为2。发现：进制越小， 表示同一个数所需的位数越多；进制越大，位数越少。 【对应练习】 1.判断：同一个数值只能用十进制表示。（) 【分析】 同一个数值可以用任何进制表示，只是表示形式不同。 【详解】 例如数值7，可以用十进制7表示，也可以用二进制111表示，还可以用五进 制12表示。所以说法错误。 第15页共17页 苏教版六年级数学上册（讲义） 【答案】 2.数值相同的情况下，二进制和八进制相比，（)的位数更多。 【分析】 根据位数规律，进制越小，位数越多。 【详解】 二进制比八进制小，所以二进制位数更多。 【答案】 二进制 3.所有进制记数的共同特点：都有计数单位，都遵循（)的进位规则。 【分析】 所有进制的核心规则都是“满几进一”。 【详解】 无论是十进制、二进制、五进制还是八进制，都遵循“满几进一”的规则。 【答案】 满几进 4.十进制数7，用二进制表示是（)，用五进制表示是（)。 【分析】 分别将7转换成二进制和五进制。 【详解】 7转换成二进制：7÷2=3余1,3÷2=1余1,1÷2=0余1，逆序得111，即(111) 20 7转换成五进制：7÷5=1余2,1÷5=0余1，逆序得12，即(12)5。 【答案】 (111)2;(12)5 5.十进制数8转换成二进制是（)，转换成八进制是()。 第16页共17页 苏教版六年级数学上册（讲义） 【分析】 分别将8转换成二进制和八进制。 【详解】 8转换成二进制：8÷2=4余0,4÷2=2余0,2÷2=1余0,1÷2=0余1，逆序得 1000,即(1000)2。 8转换成八进制：8÷8=1余0,1÷8=0余1，逆序得10，即(10)。 【答案】 (1000)2;(10)8 6简单说明计算机为什么使用二进制。 【分析】 从计算机的物理特性和二进制特点出发说明。 【详解】 计算机内部由电子元件组成，电路只有两种稳定状态：通电（高电平）和断电 (低电平)，正好对应数字1和0。二进制只有0和1两个数字，规则简单，易 于用电子电路实现，且抗干扰能力强，所以计算机采用二进制。 【答案】 因为计算机电路只有“通”和“断”两种状态，正好用1和0表示，二进制规 则简单，易于电子实现，所以计算机使用二进制。 第17页共17页