第四单元 第1课时 比（预习讲义）-2026-2027学年六年级上册数学苏教版（新教材）

本小学数学讲义聚焦“比”的核心知识点，系统梳理比的意义、读写及各部分名称，比值的含义与求法，比的基本性质及整数、小数、分数比的化简方法，比与除法、分数的联系区别，以及高频易错点，构建从概念理解到实际应用的完整学习支架。 该资料特色在于结合生活情境设计例题（如工程效率比、马拉松人数分配）和跟踪训练，培养用数学眼光观察现实世界的意识，通过对比辨析（比与比值、体育比分与数学比）发展数学思维，培优练习分层设置兼顾基础巩固与能力提升。课中辅助教师突破重难点，课后帮助学生查漏补缺，强化知识应用。

第四单元 第1课时 比 【核心知识点+例题讲解+跟踪训练+培优练习】 （一）学习目标 1. 理解比的意义，掌握比的读写方法、各部分名称，明确比、分数、除法三者之间的联系与区别。 2. 掌握比值的概念，学会正确求整数比、小数比、分数比的比值，区分比和比值的不同。 3. 理解并掌握比的基本性质，能运用性质正确化简各类比，得到最简整数比。 4. 能结合生活情境理解比的实际含义，会用比表示两个数量之间的关系，解决简单的实际问题。 5. 建立比的数学思维，区分比与除法、分数的应用场景，规避基础概念易错点。 （二）学习重难点 重点：理解比的意义和比的基本性质，会正确求比值、化简最简整数比。 难点：区分比和比值，理清比、除法、分数三者的联系与区别，熟练化简小数、分数复杂比。 核心知识点 知识点1：比的意义与各部分名称 1. 定义：两个数相除又可以叫作两个数的比，比用来表示两个数量之间的倍数关系。 2. 写法与读法：a比b，写作 a∶b，读作a比b；“∶”是比号，读作“比”。 3. 各部分名称：在 a∶b 中，a是比的前项，∶是比号，b是比的后项（比的后项不能为0）。 4. 适用场景：比表示两个数量的关系，不带单位，可用于同类量比较。 知识点2：比值的含义与求法 1. 比值定义：比的前项除以后项所得的商，叫做比值。 2. 求比值公式：比值 = 前项 ÷ 后项 3. 比值形式：比值可以是整数、小数、分数，是一个具体的数。 4. 核心区分：比是一个式子（表示关系），比值是一个数值（表示结果）。例如 4∶2 是比，比值是2。 知识点3：比的基本性质（化简比核心依据） 1. 基本性质：比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变。 2. 性质作用：是化简比、改写比的唯一依据，和商不变规律、分数的基本性质本质相通。 3. 最简整数比标准：前项和后项都是整数，且只有公因数1（互质）。 知识点4：三类比的化简方法 1. 整数比化简：前项和后项同时除以它们的最大公因数。例：12∶8 = 3∶2 2. 小数比化简：先把前项、后项同时乘10、100……转化为整数比，再化简。例：0.6∶0.2 = 6∶2 = 3∶1 3. 分数比化简：前项除以后项，算出比值再写成比的形式；或前后项同时乘分母最小公倍数化成整数比。例： 知识点5：比、除法、分数三者关系 1. 对应关系：比的前项对应被除数、分子；比号对应除号、分数线；后项对应除数、分母；比值对应商、分数值。 2. 区别：比表示数量关系，除法是运算，分数是一种数。 3. 通用限制：比的后项、除数、分母均不能为0。 知识点6：高频易错点总结 1. 概念混淆：化简比最终必须是比的形式，求比值最终是一个数，题型要求看错极易丢分。 2. 后项为0误区：体育比赛中的3∶0是计分形式，不是数学中的比，不受后项不为0规则限制。 3. 化简不彻底：整数比未除到互质，小数、分数比化简后仍存在小数或分数。 4. 单位未统一：两个带单位的量比大小，未先统一单位直接计算，导致结果错误。 例题讲解+跟踪训练 【例题讲解】 先化简下面各比，再求出比值。 2.1∶3.5                 32∶40 【答案】3∶5；；13∶27；；4∶5； 【分析】根据比的性质：比的前项和后项同时乘或除以同一个数（ 0 除外），比值不变，化简比；用最简的整数比的前项除以后项得比值。 【详解】2.1∶3.5 ＝（2.1×10）∶（3.5×10） ＝21∶35 ＝（21÷7）∶（35÷7） ＝3∶5 3∶5＝3÷5＝ ＝＝ 32∶40 ＝（32÷8）∶（40÷8） ＝4∶5 4∶5＝4÷5＝ 【跟踪训练】 把下面的比化成最简单的整数比。 0.75∶1               3时20分∶50分 【答案】3∶4；14∶9；4∶1 【分析】比的前项和后项同时乘或除以同一个不为的数，比值不变，最终将比化为前项和后项互质的整数比。 0.75∶1，前项和后项同时乘4化简；，前项和后项同时乘24化简；3时20分∶50分，1时＝60分，把时换算为分，再前项和后项同时除以50化简。 【详解】0.75∶1 ＝（0.75×4）∶（1×4） ＝3∶4 3时20分∶50分 ＝（3×60＋20）分∶50分 ＝（180＋20）分∶50分 ＝200∶50 ＝（200÷50）∶（50÷50） ＝4∶1 【例题讲解】 一项工程，师傅单独做4天完成，徒弟单独做5天完成，求徒弟与师傅工作效率最简单的整数比。 【答案】4∶5 【分析】把这项工程看作单位“1”，根据工作效率＝工作总量÷工作时间，用1÷4，求出师傅的工作效率；用1÷5，求出徒弟的工作效率；再根据比的意义，用徒弟的工作效率∶师傅的工作效率，化简即可解答。 【详解】（1÷5）∶（1÷4） ＝∶ ＝（×20）∶（×20） ＝4∶5 答：徒弟与师傅工作效率最简单的整数比4∶5。 【跟踪训练】 科技节的机器人比赛，1号机器人完成任务用了15分钟，2号机器人完成同样任务用了18分钟，1号和2号机器人的工作效率比是多少？ 【答案】 6∶5 【分析】把这份相同的任务总量看作单位“1”，根据“工作效率＝工作总量÷工作时间”分别计算两个机器人的工作效率，然后计算效率比并化简即可。 【详解】 ＝6∶5 答：1号和2号机器人的工作效率比是6∶5。 【例题讲解】 2024年海门马拉松活力开跑，共有10000名选手参赛。本次赛事设置了全程马拉松、半程马拉松、健康跑三个项目，据统计，三个项目的参赛人数比为3∶4∶3，全程马拉松比半程马拉松少多少名选手？ 【答案】1000名 【分析】将参加全程马拉松的人数看作3份，参加半程马拉松的人数看作4份，参加健康跑的人数看作3份，相加求出总份数，每一份的人数＝总人数÷总份数；将参加全程和半程马拉松的人数份数求差计算出份数差；全程马拉松比半程马拉松少的人数＝每一份的人数×份数差。 【详解】10000÷（3＋4＋3）×（4－3） ＝10000÷10×1 ＝1000×1 ＝1000（名） 答：全程马拉松比半程马拉松少1000名选手。 【跟踪训练】 从2022年秋学期开始，我国正式把劳动课确定为义务教育课程。其中日常生活劳动包括清洁与卫生、整理与收纳、烹饪与营养、家用电器使用与维护四个任务群。美美跟着妈妈学做面包，这种面包所用的材料的份数比如下：奶油∶白糖∶面粉＝2∶1∶5。（其他材料忽略不计） （1）要做160克这样的面包，需要面粉多少克？ （2）如果这三种材料各有50克，那么当奶油用完时，白糖还剩多少克？面粉已经增加了多少克？ 【答案】（1）100克 （2）25克；75克 【分析】（1）奶油∶白糖∶面粉＝2∶1∶5，则面粉占总材料的。根据“求一个数的几分之几是多少，用乘法计算”用160乘即可； （2）把奶油看作2份，白糖看作1份，面粉看作5份，先用50除以2计算出每一份的质量；再用每一份的质量分别乘白糖和面粉的份数计算出实际需要的白糖和面粉的质量；最后用50减去白糖实际使用的质量计算出剩余的白糖，用实际使用的面粉质量减去50计算出已经增加的面粉。 【详解】（1） ＝ ＝（克） 答：需要面粉100克。 （2）50÷2＝25（克） 50－25×1 ＝50－25 ＝25（克） 25×5－50 ＝125－50 ＝75（克） 答：白糖还剩25克，面粉已经增加了75克。 培优练习 一、填空题 1．如图，平行四边形被分成甲、乙、丙三个三角形。若甲与丙的面积之比是1∶3，丙的面积比甲多30平方厘米，则乙与丙的面积之比是( )，这个平行四边形的面积是( )平方厘米。 【答案】 4∶3 120 【分析】甲与丙的面积之比是1∶3，即甲比丙少（3－1）份，已知丙的面积比甲多30平方厘米，用30平方厘米除以（3－1）就是甲的面积；用甲的面积乘3就是丙的面积；甲、丙的底之和等于平行四边形的底、与平行四边形等高，因此，甲的面积＋丙的面积＝乙的面积。根据比的意义即可写出乙与丙的面积之比，再化成最简整数比；甲的面积＋乙的面积＋丙的面积＝平行四边形的面积。 【详解】30÷（3－1） ＝30÷2 ＝15（平方厘米） 15×3＝45（平方厘米） 15＋45＝60（平方厘米） 60∶45 ＝（60÷15）∶（45÷15） ＝4∶3 15＋45＋60 ＝60＋60 ＝120（平方厘米） 2．5∶4的后项如果加20，要使比值不变，前项应( )。 【答案】 加25/乘6 【分析】先明确原来比的后项，计算后项加20之后的新后项数值，算出比的后项乘了几。根据比的基本性质，要想比值不变，比的前项也要乘相同的数，从而算出比的前项的变化情况。 【详解】 由上，比的前项应加25或乘6。 3．从乌海到银川，客车需要4小时，私家车需要3小时，客车与私家车的速度比是( )。 【答案】3∶4 【分析】把乌海到银川的总路程看作单位“1”，因为速度＝路程÷时间，所以可以分别表示出客车和私家车的速度。 写出客车速度与私家车速度的比，再根据比的基本性质化简比，得到最简整数比。 【详解】根据题意，客车每小时走全程的，私家车每小时走全程的。 客车与私家车的速度比是。 4．端午节，妈妈和玲玲在家比赛包粽子，妈妈平均每分钟包1个，玲玲平均每3分钟包2个。她们同时开始包，比赛结束时一共包了45个粽子，其中玲玲包了( )个粽子，比赛一共用了( )分钟。 【答案】 18 27 【分析】先根据两人包粽子的速度求出数量之比，接着求出总份数，用粽子总数除以总份数求出每份的数量，再用每份数量乘玲玲对应的份数，求出玲玲包的粽子个数，最后结合玲玲的包粽速度，求出比赛所用的时间。 【详解】每分钟包：2÷3＝（个） 两人包粽子的数量比：1∶ ＝（1×3）∶（×3） ＝3∶2 总份数：3＋2＝5（份） 每份：45÷5＝9（个） 玲玲包了：9×2＝18（个） 一共用时： 18÷2×3 ＝9×3 ＝27（分钟） 5．千米∶50米，化成最简整数比是( )，比值是( )。 【答案】 【分析】根据1千米＝1000米，先统一单位。再根据比的性质（比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变）化成最简整数比；用最简比的前项除以后项求比值。 【详解】×1000＝600（米） 千米∶50米 ＝600米∶50米 ＝600∶50 ＝（600÷50）∶（50÷50） ＝12∶1 12∶1＝12÷1＝12 6．小芳和小明比赛爬楼梯，两人同时从1楼出发向上爬，当小芳爬到3楼时，小明恰好爬到了4楼。如果两人的速度都保持不变，那么当小明到16楼的时候，小芳到了( )楼。 【答案】 11 【分析】根据楼层数与实际爬的层数（间隔数）之间的关系：从1楼出发爬到第n楼，实际爬的层数是��－1；可得小芳爬楼的速度是小明的：（3－1）÷（4－1）＝，因为速度不变，用小明的楼数－1＝层数，再乘得到小芳的层数，最后加1即可。 【详解】（3－1）÷（4－1）＝2÷3＝ （16－1）×＋1 ＝15×＋1 ＝10＋1 ＝11（楼） 所以，当小明到16楼的时候，小芳到了11楼。 二、判断题 7．1∶0.8的比值是；如果前项乘5，要使比值不变，后项应该乘5。( ) 【答案】 √ 【分析】先计算比值，再结合比的基本性质判断说法是否正确。 【详解】计算的比值：，比值计算正确。根据比的基本性质，比的前项和后项同时乘相同的数（0除外），比值不变，前项乘5，要使比值不变，后项也应乘5，该说法正确。 故答案为：√ 8．把25g药溶于100g水中，药和药水的比是1∶5。( )。 【答案】√ 【分析】先用药的质量加上水的质量求出药水的总质量，再写出药与药水的质量比，最后化简比并与题干数据进行对比即可判断。 【详解】 计算结果与题干一致，所以题干说法正确。 故答案为：√ 9．从车站走到商场，甲用8分钟，乙用7分钟，甲与乙的速度比是7∶8。( ) 【答案】 √ 【分析】把从车站到商场的路程看作单位“1”，利用速度＝路程÷时间，计算出俩人速度求比。 【详解】甲的速度： 乙的速度： 甲与乙的速度比： 故答案为：√ 10．把4∶5的前项乘5，要使比值不变，比的后项应加上25。( ) 【答案】× 【分析】比的基本性质：比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变。依据比的基本性质判断，前项乘5，要使比值不变，后项也应乘5，计算后项应增加的数值再判断对错。 【详解】后项乘5后的值： 后项应加上的数： 题目表述后项应加25，和计算结果不符，说法错误。 故答案为：× 11．一项工程，甲队单独完成需要10小时，乙队单独完成需要8小时，甲队和乙队的工作效率的最简单整数比是4∶5。( ) 【答案】√ 【分析】根据工作效率＝工作总量÷工作时间，把这项工程看作单位“1”，分别求出甲、乙两队的工作效率，再化简比判断即可。 【详解】甲队工作效率： 乙队工作效率： 和题干表述一致。 故答案为：√ 三、选择题 12．从甲城到乙城，货车要行9小时，客车要行12小时，货车与客车的速度比是（    ）。 A．3∶4 B．4∶3 C．9∶12 D．12∶9 【答案】B 【分析】把总路程看作单位“1”，根据速度＝路程÷时间，分别算出两车的速度，再求比并化简为最简整数比。 【详解】货车速度： 客车速度： 货车与客车的速度比： 货车与客车的速度比是4∶3。 13．甲从A地到B地用5小时，乙从B地到A地用8小时，甲乙的最简速度比是（    ）。 A．8∶5 B．5∶8 C． D． 【答案】A 【分析】路程相同时，速度与时间成反比例关系。 把全程看作单位“1”，速度＝路程÷时间，先分别表示甲、乙的速度，再写出速度比并化简。 【详解】把A、B两地路程看作单位1。 甲速度：1÷5＝，乙速度：1÷8＝ 甲乙速度比： 14．下列说法正确的是（    ） A．甲队以3∶0的比分赢得了比赛，说明在特殊情况下，比的后项可以是0 B．今年甜甜和妈妈的年龄之比是1∶3.5，若干年后，她们的年龄之比不变 C．既可以看作一个分数，也可以看作两个数的比 D．吃掉一袋大米的后，剩下的大米与吃掉的大米的质量之比是1∶4 【答案】C 【分析】A．体育比赛中的“比”并不是数学意义上的比，比赛结果要体现双方进球的多少，是数量关系；数学上的比要体现一个量是另一个量的几倍（或几分之几），是倍数关系，据此解答。 B．根据比的基本性质：比的前项和后项同时乘或除以同一个不为0的数，比值不变；若同时加上相同的数，比值通常会发生改变。据此解答。 C．根据分数与比的关系，分数的分子相当于比的前项，分母相当于比的后项，分数线相当于比号。据此解答。 D．把这袋大米的重量看作单位“1”，吃掉一袋大米的，还剩下（1－），求出剩下的分率，再根据比的意义，用剩下的分率∶吃了的分率，据此解答。 【详解】A．甲队以3∶0的比分赢得了比赛，不是数学意义上的比，比的后项不能为0，原说法错误。 B．假设今年甜甜10岁，妈妈35岁，则年龄之比是1∶3.5，5年后，则 （10＋5）∶（35＋5） ＝15∶40 ＝（15÷5）∶（40÷5） ＝3∶8 和原来的1∶3.5不相等。原说法错误。 C．＝4∶15 既可以看作一个分数，也可以看作两个数的比，原说法正确。 D．（1－）∶ ＝∶ ＝（×4）∶（×4） ＝1∶3 吃掉一袋大米的后，剩下的大米与吃掉的大米的质量之比是1∶3，原说法错误。 说法正确的是既可以看作一个分数，也可以看作两个数的比。 15．下面表示三角形中三个内角度数的比，其中表示锐角三角形的是（    ）。 A．1∶3∶6 B．3∶4∶5 C．4∶5∶9 D．3∶6∶10 【答案】B 【分析】利用三角形内角和是180°，按比例分配求出各选项最大内角的度数，最大角小于90°的就是锐角三角形。 【详解】A．，，为钝角三角形； B．，，为锐角三角形； C．，，为直角三角形； D．，，为钝角三角形。 16．甲、乙、丙三人分一箱苹果，若按3∶2∶5或1∶2∶3进行分配，两种分法分得一样多的是（    ）。 A．甲 B．乙 C．丙 D．无法确定 【答案】C 【分析】把一箱苹果的总量看作单位“1”。第一种分法按分配，总份数是。甲分得总数的；乙分得总数的；丙分得总数的。第二种分法按分配，总份数是。甲分得总数的；乙分得总数的；丙分得总数的。对比两种分法中每人分得占总数的分率即可得到结果。 【详解】 甲：；乙：；丙： 甲：；乙：；丙： 甲： 乙： 丙： 所以两种分法分得一样多的是丙。 17．白兔比黑兔多，则白兔与黑兔的只数比是（    ）。 A．3∶8 B．8∶3 C．8∶11 D．11∶8 【答案】D 【分析】把黑兔只数看作单位“1”，先求出白兔只数对应的分率，再计算白兔与黑兔的只数比并化简即可。 【详解】将黑兔只数看作单位1，白兔只数对应的分率： 白兔与黑兔的只数比： 四、计算题 18．先化简比，再求比值。             吨∶100千克        0.4∶0.75 【答案】7∶6；；6∶1；6；8∶15； 【分析】根据比的基本性质：比的前项和后项同时乘或除以一个不为0的数，比值不变；根据比值的求法：用比的前项÷比的后项，即可解答。 【详解】0.875∶ ＝∶ ＝（×8）∶（×8） ＝7∶6 7∶6 ＝7÷6 ＝ 吨∶100千克 ＝600千克∶100千克 ＝600∶100 ＝（600÷100）∶（100÷100） ＝6∶1 6∶1 ＝6÷1 ＝6 0.4∶0.75 ＝（0.4×100）∶（0.75×100） ＝40∶75 ＝（40÷5）∶（75÷5） ＝8∶15 8∶15 ＝8÷15 ＝ 五、解答题 19．大运河岁修，甲、乙两队单独完成同一段堤坝所需天数比为3∶2，且甲队单独完成的天数比乙队多10天。现因工期紧张，需在12天内完成全部工程，于是决定由甲、乙两队合作。请问：他们能否按时完成？请通过计算说明。 【答案】 （天） （天） （天） （天） 因为，所以能按时完成。 【分析】首先用10除以甲队单独完成的天数比乙队多的天数所对应的份数求出每份数，然后用每份数各乘两队份数求出两队单独完成的具体天数；接着将工作总量视为单位“1”，根据“工作效率＝工作总量÷工作时间”分别求出两队的工作效率；然后求出两队合作的工作效率之和，再用单位“1”除以两队合作的工作效率之和求出合作所需时间；最后将合作时间与工期12天进行比较得出结论。 【详解】略 20．奇思一家从甲地开车前往乙地旅游，2.5小时后已行驶路程与未行驶路程之比是。如果照这样的速度再行驶48km，已行驶路程占总路程的，甲、乙两地相距多少千米？ 【答案】千米 【分析】把甲、乙两地的总路程看作单位“1”。根据开始时“已行驶路程与未行驶路程之比是”，可求出开始时已行驶路程占总路程的。再行驶后，已行驶路程占总路程的。由此可知，对应的分率是与的差。根据分数除法的意义，用具体数量除以对应的分率，即可求出单位“1”，即甲、乙两地的总路程。 【详解】开始时已行驶路程占总路程的分率： 对应的分率： 甲、乙两地相距： （千米） 答：甲、乙两地相距480千米。 21．时光小区有540户住户，其中参加垃圾分类的户数与没参加垃圾分类户数的比是7∶2，参加垃圾分类的户数比没参加垃圾分类的多多少户？ 【答案】300户 【分析】已知总户数是540户，参加垃圾分类的户数与没参加垃圾分类户数的比是。可以将总户数看作总份数，即份。要求参加垃圾分类的户数比没参加垃圾分类的多多少户，可以先求出一份是多少户，再求出参加比没参加多的份数，最后求出多的户数，据此解答。 【详解】 （户） 答：参加垃圾分类的户数比没参加垃圾分类的多户。 22．为了改善环境，学校计划栽种一批玉兰树和桂花树。经征求师生建议，在总棵数不变的情况下，将其中的16棵玉兰树改为桂花树，玉兰树和桂花树的比从计划的6∶4变成11∶9。学校准备栽种两种树的总棵数是多少？ 【答案】320棵 【分析】总棵数不变，把总棵数看作单位“1”。 计划玉兰树：桂花树＝6∶4，总份数10份，玉兰树占总数 调整后玉兰树：桂花树＝11∶9，总份数20份，玉兰树占总数； 16棵玉兰树改成桂花树，玉兰树占比减少，减少的分率对应数量16棵，利用“对应量÷对应分率＝总量”求出总棵数。 【详解】原来玉兰树占总棵数： 6∶（6＋4）＝6∶10＝12∶20＝ 改动后玉兰树占总棵数： 11∶（11＋9）＝ 玉兰树占比减少：－＝ 总棵数：16÷＝320（棵） 答：学校准备栽种两种树的总棵数是320棵。 23．学校将300粒太空种子按5∶3∶2的比分配给六、五、四年级的同学种植，六年级比四年级多分到太空种子多少粒？ 【答案】90粒 【分析】把300粒太空种子按5∶3∶2的比分配，先计算总份数，用总粒数除以总份数求出1份的粒数，再算出六年级比四年级多的份数，用1份的粒数乘多的份数，即可得到多分到的种子数。 【详解】300÷（5＋3＋2） ＝300÷10 ＝30（粒） 30×（5－2） ＝30×3 ＝90（粒） 答：六年级比四年级多分到太空种子90粒。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四单元 第1课时 比 【核心知识点+例题讲解+跟踪训练+培优练习】 （一）学习目标 1. 理解比的意义，掌握比的读写方法、各部分名称，明确比、分数、除法三者之间的联系与区别。 2. 掌握比值的概念，学会正确求整数比、小数比、分数比的比值，区分比和比值的不同。 3. 理解并掌握比的基本性质，能运用性质正确化简各类比，得到最简整数比。 4. 能结合生活情境理解比的实际含义，会用比表示两个数量之间的关系，解决简单的实际问题。 5. 建立比的数学思维，区分比与除法、分数的应用场景，规避基础概念易错点。 （二）学习重难点 重点：理解比的意义和比的基本性质，会正确求比值、化简最简整数比。 难点：区分比和比值，理清比、除法、分数三者的联系与区别，熟练化简小数、分数复杂比。 核心知识点 知识点1：比的意义与各部分名称 1. 定义：两个数相除又可以叫作两个数的比，比用来表示两个数量之间的倍数关系。 2. 写法与读法：a比b，写作 a∶b，读作a比b；“∶”是比号，读作“比”。 3. 各部分名称：在 a∶b 中，a是比的前项，∶是比号，b是比的后项（比的后项不能为0）。 4. 适用场景：比表示两个数量的关系，不带单位，可用于同类量比较。 知识点2：比值的含义与求法 1. 比值定义：比的前项除以后项所得的商，叫做比值。 2. 求比值公式：比值 = 前项 ÷ 后项 3. 比值形式：比值可以是整数、小数、分数，是一个具体的数。 4. 核心区分：比是一个式子（表示关系），比值是一个数值（表示结果）。例如 4∶2 是比，比值是2。 知识点3：比的基本性质（化简比核心依据） 1. 基本性质：比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变。 2. 性质作用：是化简比、改写比的唯一依据，和商不变规律、分数的基本性质本质相通。 3. 最简整数比标准：前项和后项都是整数，且只有公因数1（互质）。 知识点4：三类比的化简方法 1. 整数比化简：前项和后项同时除以它们的最大公因数。例：12∶8 = 3∶2 2. 小数比化简：先把前项、后项同时乘10、100……转化为整数比，再化简。例：0.6∶0.2 = 6∶2 = 3∶1 3. 分数比化简：前项除以后项，算出比值再写成比的形式；或前后项同时乘分母最小公倍数化成整数比。例： 知识点5：比、除法、分数三者关系 1. 对应关系：比的前项对应被除数、分子；比号对应除号、分数线；后项对应除数、分母；比值对应商、分数值。 2. 区别：比表示数量关系，除法是运算，分数是一种数。 3. 通用限制：比的后项、除数、分母均不能为0。 知识点6：高频易错点总结 1. 概念混淆：化简比最终必须是比的形式，求比值最终是一个数，题型要求看错极易丢分。 2. 后项为0误区：体育比赛中的3∶0是计分形式，不是数学中的比，不受后项不为0规则限制。 3. 化简不彻底：整数比未除到互质，小数、分数比化简后仍存在小数或分数。 4. 单位未统一：两个带单位的量比大小，未先统一单位直接计算，导致结果错误。 例题讲解+跟踪训练 【例题讲解】 先化简下面各比，再求出比值。 2.1∶3.5                 32∶40 【跟踪训练】 把下面的比化成最简单的整数比。 0.75∶1               3时20分∶50分 【例题讲解】 一项工程，师傅单独做4天完成，徒弟单独做5天完成，求徒弟与师傅工作效率最简单的整数比。 【跟踪训练】 科技节的机器人比赛，1号机器人完成任务用了15分钟，2号机器人完成同样任务用了18分钟，1号和2号机器人的工作效率比是多少？ 【例题讲解】 2024年海门马拉松活力开跑，共有10000名选手参赛。本次赛事设置了全程马拉松、半程马拉松、健康跑三个项目，据统计，三个项目的参赛人数比为3∶4∶3，全程马拉松比半程马拉松少多少名选手？ 【跟踪训练】 从2022年秋学期开始，我国正式把劳动课确定为义务教育课程。其中日常生活劳动包括清洁与卫生、整理与收纳、烹饪与营养、家用电器使用与维护四个任务群。美美跟着妈妈学做面包，这种面包所用的材料的份数比如下：奶油∶白糖∶面粉＝2∶1∶5。（其他材料忽略不计） （1）要做160克这样的面包，需要面粉多少克？ （2）如果这三种材料各有50克，那么当奶油用完时，白糖还剩多少克？面粉已经增加了多少克？ 培优练习 一、填空题 1．如图，平行四边形被分成甲、乙、丙三个三角形。若甲与丙的面积之比是1∶3，丙的面积比甲多30平方厘米，则乙与丙的面积之比是( )，这个平行四边形的面积是( )平方厘米。 2．5∶4的后项如果加20，要使比值不变，前项应( )。 3．从乌海到银川，客车需要4小时，私家车需要3小时，客车与私家车的速度比是( )。 4．端午节，妈妈和玲玲在家比赛包粽子，妈妈平均每分钟包1个，玲玲平均每3分钟包2个。她们同时开始包，比赛结束时一共包了45个粽子，其中玲玲包了( )个粽子，比赛一共用了( )分钟。 5．千米∶50米，化成最简整数比是( )，比值是( )。 6．小芳和小明比赛爬楼梯，两人同时从1楼出发向上爬，当小芳爬到3楼时，小明恰好爬到了4楼。如果两人的速度都保持不变，那么当小明到16楼的时候，小芳到了( )楼。 二、判断题 7．1∶0.8的比值是；如果前项乘5，要使比值不变，后项应该乘5。( ) 8．把25g药溶于100g水中，药和药水的比是1∶5。( )。 9．从车站走到商场，甲用8分钟，乙用7分钟，甲与乙的速度比是7∶8。( ) 10．把4∶5的前项乘5，要使比值不变，比的后项应加上25。( ) 11．一项工程，甲队单独完成需要10小时，乙队单独完成需要8小时，甲队和乙队的工作效率的最简单整数比是4∶5。( ) 三、选择题 12．从甲城到乙城，货车要行9小时，客车要行12小时，货车与客车的速度比是（    ）。 A．3∶4 B．4∶3 C．9∶12 D．12∶9 13．甲从A地到B地用5小时，乙从B地到A地用8小时，甲乙的最简速度比是（    ）。 A．8∶5 B．5∶8 C． D． 14．下列说法正确的是（    ） A．甲队以3∶0的比分赢得了比赛，说明在特殊情况下，比的后项可以是0 B．今年甜甜和妈妈的年龄之比是1∶3.5，若干年后，她们的年龄之比不变 C．既可以看作一个分数，也可以看作两个数的比 D．吃掉一袋大米的后，剩下的大米与吃掉的大米的质量之比是1∶4 15．下面表示三角形中三个内角度数的比，其中表示锐角三角形的是（    ）。 A．1∶3∶6 B．3∶4∶5 C．4∶5∶9 D．3∶6∶10 16．甲、乙、丙三人分一箱苹果，若按3∶2∶5或1∶2∶3进行分配，两种分法分得一样多的是（    ）。 A．甲 B．乙 C．丙 D．无法确定 17．白兔比黑兔多，则白兔与黑兔的只数比是（    ）。 A．3∶8 B．8∶3 C．8∶11 D．11∶8 四、计算题 18．先化简比，再求比值。             吨∶100千克        0.4∶0.75 五、解答题 19．大运河岁修，甲、乙两队单独完成同一段堤坝所需天数比为3∶2，且甲队单独完成的天数比乙队多10天。现因工期紧张，需在12天内完成全部工程，于是决定由甲、乙两队合作。请问：他们能否按时完成？请通过计算说明。 20．奇思一家从甲地开车前往乙地旅游，2.5小时后已行驶路程与未行驶路程之比是。如果照这样的速度再行驶48km，已行驶路程占总路程的，甲、乙两地相距多少千米？ 21．时光小区有540户住户，其中参加垃圾分类的户数与没参加垃圾分类户数的比是7∶2，参加垃圾分类的户数比没参加垃圾分类的多多少户？ 22．为了改善环境，学校计划栽种一批玉兰树和桂花树。经征求师生建议，在总棵数不变的情况下，将其中的16棵玉兰树改为桂花树，玉兰树和桂花树的比从计划的6∶4变成11∶9。学校准备栽种两种树的总棵数是多少？ 23．学校将300粒太空种子按5∶3∶2的比分配给六、五、四年级的同学种植，六年级比四年级多分到太空种子多少粒？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $