27.2 反比例函数的图象和性质 一课一练 2026-2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 聚焦反比例函数图象与性质，通过基础巩固、中档综合、提高探究三层设计，实现从概念理解到实际应用的递进，培养抽象能力与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|反比例函数增减性、象限分布、k值意义|单选题1-6直接考查性质判断，填空题11-14强化概念辨析，夯实基础认知| |中档层|k的几何意义、与几何图形综合|单选题7-10结合矩形面积、平行四边形判定，填空题15融入概率，提升推理能力| |提高层|实际应用与函数探究|解答题17以小孔成像为情境建立模型，20题探究函数图象性质，发展应用意识与创新思维|

27.2 反比例函数的图象和性质 一课一练2026-2027学年 人教版九年级数学上册 一、单选题 1．反比例函数的图象如图所示，随着值的增大，值（   ）． A．减小 B．增大 C．不变 D．先增大后减小 2．如图，在平面直角坐标系中，的顶点A的坐标为，边经过原点O，轴，若反比例函数的图象经过点A和边的中点P，则的长为（    ） A．12 B．9 C．8 D．2 3．设A，B，C，D是反比例函数图象上的任意四点，现有以下结论：①存在无数个四边形ABCD是平行四边形；②存在无数个四边形ABCD是菱形；③存在无数个四边形ABCD是矩形；④至少存在一个四边形ABCD是正方形．其中正确结论的个数是（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 4．在同一直角坐标系中，函数与 的图象大致是（     ） A．   B．   C．   D．   5．若函数 的图象位于第一、三象限， 则直线一定不经过（      ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 6．反比例函数的图象经过点，则该反比例函数的图象在（   ） A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、四象限 D．第三、四象限 7．如图，点A在反比例函数的图象上，过点A作轴于点B，作轴于点C，连接，则的面积为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 8．已知反比例函数，下列结论正确的是（　　） A．y值随着x值的增大而减小 B．图象关于原点中心对称 C．当时， D．图象可能与坐标轴相交 9．反比例函数的图象在每个象限内都是自左向右下降，则的范围为（    ） A． B． C． D． 10．函数和在同一直角坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 11．已知点，都在反比例函数的图象上，比较与的大小：__________． 12．如图，点是反比例函数的图象上一点，过点作轴、轴的平行线，若，则此反比例函数的解析式为______ ．    13．如图，两个等宽的矩形叠合得到四边形，若四边形的面积为8，连接、，设．则与之间的函数关系是_____． 14．已知正比例函数的图象与反比例函数的图象的一个交点坐标为，则另一个交点的坐标为_______． 15．在－1、3、－2这三个数中，任选两个数的积作为k的值，使反比例函数的图象在第二、四象限的概率是_____． 三、解答题 16．已知A（m+3，2）和B（3，）是同一个反比例函数图象上的两个点． (1)求出m的值； (2)写出反比例函数的表达式，并画出图象． 17．大约在两千四五百年前，如图1，墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成像的实验，并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”．如图2，根据小孔成像的科学原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰高度）不变时，火焰的像高（单位：cm）是物距（小孔到蜡烛的距离）（单位：）的反比例函数．当时，． (1)求关于的函数表达式． (2)若物距（小孔到蜡烛的距离）为，求火焰的像高． 18．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，平行四边形的顶点A在反比例函数上，顶点B在反比例函数上，点C在x轴的正半轴上，求平行四边形的面积． 19．已知二次函数（是常数，且） (1)证明：不论取何值时，该二次函数图象总与轴有两个交点； (2)若，是该二次函数图象上的两个不同点，当时，求二次函数表达式； (3)若二次函数图象与轴两个交点的横坐标分别为，（其中），是关于的函数．且，当时，求的取值范围． 20．有这样一个问题：探究函数 的图象与性质，小东根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究．下面是小东的探究过程，请补充完整： (1)函数 的自变量x的取值范围是____； (2)下表是y与x的几组对应值． … 1 2 3 … … m … 则 (3)如图，在平面直角坐标系中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点．根据描出的点，画出该函数的图象； (4)进一步探究发现，该函数图象在第一象限内的最低点的坐标是，结合函数的图象，写出该函数的其它性质（一条即可）______． 试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C B C B B B B A C 1．【答案】A 【知识点】判断反比例函数的增减性 【分析】本题考查了反比例函数的性质．对于反比例函数，当时，在每一个象限内，函数值随着自变量的增大而减小；当时，在每一个象限内，函数值随着自变量的增大而增大． 根据反比例函数的性质：当时，在每一个象限内，函数值随着自变量的增大而减小即可解答． 【详解】解：由图可知，图象在第三象限， ∴， ∴函数值随着自变量的增大而减小． 故选：A． 2．【答案】C 【知识点】反比例函数与几何综合 【分析】本题主要考查了反比例函数与几何综合，根据反比例函数的对称性可得，则由中点坐标计算公式得到，再求出C的坐标即可得到答案． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点A和边的中点P，且边经过原点O， ∴由反比例函数的对称性可知， ∴， ∵轴且， ∴， ∴， 故选：C． 3．【答案】B 【知识点】反比例函数与几何综合 【分析】如图，过点任意作两条直线分别交反比例函数的图象于，，，，得到四边形．证明四边形是平行四边形即可解决问题． 【详解】解：如图，过点任意作两条直线分别交反比例函数的图象于，，，，得到四边形， 由对称性可知，，， ∴存在无数个四边形是平行四边形， 当直线和直线关于直线对称时， 此时， 即存在无数个四边形是矩形． ∵反比例函数的图象在一，三象限， ∴直线与直线不可能垂直， ∴四边形不可能是菱形或正方形， ∴①③正确， 故答案为：B． 【点睛】本题考查反比例函数的性质，平行四边形的判定，矩形的判定，菱形的判定，正方形的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 4．【答案】C 【知识点】判断（画）反比例函数图象、根据一次函数解析式判断其经过的象限 【分析】本题考查了反比例函数的图象和一次函数的图象，根据一次函数的图象性质得到经过第一、二、三象限；根据反比例函数的图象性质得到分布在第一、三象限，然后对各选项进行判断． 【详解】解：函数经过第一、二、三象限，函数分布在第一、三象限． 故选：C． 5．【答案】B 【知识点】已知双曲线分布的象限，求参数范围、根据一次函数解析式判断其经过的象限 【分析】本题考查的是反比例函数的性质和一次函数的性质，注意：反比例函数中，当，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，再由一次函数的性质即可得出结论． 【详解】解：∵反比例函数的图象在第一、三象限内， ∴，， ∴一次函数的图象经过一、三、四象限，不经过第二象限． 故选：B． 6．【答案】B 【知识点】判断反比例函数图象所在象限 【分析】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，将点代入求出的值，再判断函数图象所在象限．所有在反比例函数上的点的横纵坐标的积应等于比例系数． 【详解】解：将点代入得，， 可知函数图象位于一、三象限． 故选：B． 7．【答案】B 【知识点】根据矩形的性质与判定求面积、已知比例系数求特殊图形的面积 【分析】本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值．先判断四边形是矩形，得出，再根据反比例函数的比例系数k的几何意义求解即可． 【详解】解∶∵轴， 轴，轴轴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵点A在反比例函数的图象上， ∴， ∴， 故选∶B． 8．【答案】B 【知识点】判断反比例函数图象所在象限、判断反比例函数的增减性 【分析】本题了考查了反比例函数的性质，属于基础题型，熟练掌握反比例函数的图象和性质是关键． 根据反比例函数的性质和反比例函数图象上点的坐标特征逐项判断即可． 【详解】解：A、因为反比例函数的图象在二、四象限内，所以在每个象限内，y随x的增大而增大，故本选项错误； B、反比例函数的图象是双曲线，是中心对称图形，故本选项正确； C、当 时，，故本选项错误； D、因为x、y都不等于0，所以图象不可能与坐标轴相交，故本选项错误． 故选：B． 9．【答案】A 【知识点】已知反比例函数的增减性求参数 【分析】本题考查了反比例函数的性质：反比例函数（为常数，）的图象为双曲线，当>，图象分布在一、三象限，在每一象限内，随的增大而减小；当，图象分布在二、四象限，在每一象限内，随的增大而增大，熟练掌握反比例函数的性质解题关键．根据反比例函数的性质得到，然后解不等式即可． 【详解】反比例函数的图象在每个象限内都是自左向右下降， ， ， 故选：A． 10．【答案】C 【知识点】反比例函数、二次函数图象综合判断 【分析】本题考查了二次函数的图象及反比例函数图象的综合判断，根据二次函数图象和性质得到的取值范围，再判断反比例函数的图象，即可得到答案． 【详解】解：A. 由的图象可知，，，则，得到，的图象应该分别在二、四象限，故选项错误，不符合题意； B.由可知，图象必过原点，选项中的二次数图象不经过原点，故选项错误，不合题意； C. 由的图象可知，，，则，得到，的图象分别在一、三象限，故选项正确，符合题意； D. 由的图象可知，，，则，得到，则的图象应该分别在一、三象限，但选项中的反比例函数图象分别位于二、四象限，故选项错误，不符合题意； 故选：C． 11．【答案】 【知识点】判断反比例函数的增减性、判断反比例函数图象所在象限、比较反比例函数值或自变量的大小 【分析】根据反比例函数的比例系数判断函数图象经过的象限，以及在每个象限内的函数增减性，结合两点的横坐标比较纵坐标的大小即可． 【详解】解：∵在反比例函数 中，， ∴反比例函数的图象分布在第一、三象限，且在每个象限内随的增大而减小， ∵点，的横坐标都为正， ∴这两点都在第一象限， 又∵ ， ∴． 12．【答案】 【知识点】根据图形面积求比例系数（解析式） 【分析】根据反比例函数的几何意义可得，再根据图象在二、四象限可确定，进而得到解析式． 【详解】解：， ， 图象在二、四象限， ， ， 反比例函数解析式为． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了反比例函数的几何意义，关键是掌握图象中任取一点，过这一个点向轴和轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值． 13．【答案】 【知识点】求反比例函数解析式、根据菱形的性质与判定求面积 【分析】本题主要考查了菱形的判定与性质，熟练掌握菱形的面积公式（对角线乘积的一半 ）以及利用矩形性质判定菱形是解题的关键．要找出与的函数关系，先判断四边形的形状，再利用其面积公式结合已知条件推导． ∵是两个等宽矩形叠合，可证四边形是菱形，再根据菱形面积公式建立与的联系． 【详解】解：∵两个矩形等宽， ∴四边形的对边平行， ∴四边形是平行四边形． 过A作，于M、N， 又∵矩形等宽， ∴平行四边形的高相等即， ∵平行四边形面积公式底高， ∴， ∴平行四边形是菱形． ∵四边形面积，，， ∴． ∴ ． 故答案为： 14．【答案】 【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】本题主要考查了反比例函数图象的中心对称性，反比例函数的图象是中心对称图形，则经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称．由此可解答． 【详解】解：∵另一个交点的坐标与点关于原点对称， ∴另一交点的坐标为． 故答案为：． 15．【答案】 【知识点】判断反比例函数图象所在象限、根据概率公式计算概率、列表法或树状图法求概率 【分析】根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与任选两个数的积作为k的值使反比例函数的图象在第二、四象限的情况，再利用概率公式即可求得答案． 【详解】画树状图得： ∵共有6种等可能的结果，任选两个数的积作为k的值，使反比例函数的图象在第二、四象限的有4种情况，即（-1，3），（3，-1），（3，-2），（-2，3）， ∴任选两个数的积作为k的值，使反比例函数的图象在第二、四象限的概率为：， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率，熟知概率等于所求情况数与总情况数之比是解题的关键． 16．【答案】(1)-6 (2)y＝﹣，图见解析 【知识点】求反比例函数解析式、判断（画）反比例函数图象 【分析】（1）由反比例函数图象上点的特征可得到2（m+3）＝m，可求得m的值； （2）由A、B两点的坐标，利用待定系数法可求得反比例函数的解析式，列表、连线可画出图象． 【详解】（1）解：∵A（m+3，2）和B（3，）是同一个反比例函数图象上的两个点， ∴2（m+3）=m， 解得m=﹣6； ∴m的值为-6； （2）解：由（1）知：m=﹣6， ∴B（3，-2）， 设反比例函数的表达式为：， 把B（3，-2）代入得：k=﹣6， ∴反比例函数的表达式为：， 列表： x -6 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 6 y 1 1.5 2 3 6 -6 -3 -2 -1.5 -1 描点，连线，反比例函数的图象如图所示． 【点睛】本题考查了用待定系数法求函数解析式，函数图形的作图，关键在于掌握各项基本知识． 17．【答案】(1) (2) 【知识点】实际问题与反比例函数、求反比例函数解析式 【分析】本题考查了反比例函数的应用，理解题意，正确求解函数表达式是解答的关键． （1）利用待定系数法进行计算，即可解答； （2）把代入解析式中进行计算，即可解答； 【详解】（1）解：设与的函数表达式为：， 把，代入中得：， 解得：， ∴关于的函数表达式为：； （2）解：把代入中得：， ∴火焰的像高为． 18．【答案】 【知识点】已知比例系数求特殊图形的面积、利用平行四边形的性质求解 【分析】本题考查反比例函数中系数k的几何意义以及平行四边形的性质，解题的关键是通过作辅助线，利用平行四边形的性质得到相关线段的关系，再结合系数k的几何意义来求解平行四边形的面积．作轴于D，延长交y轴于E，利用平行四边形对边平行且相等的性质，得出线段平行关系，进而证明，得到与两个反比例函数系数相关的图形面积关系，从而计算出平行四边形的面积． 【详解】解：如图作轴于D，延长交y轴于E， ∵四边形是平行四边形， ∴，； ∴轴， ∴， ∴， 根据系数k的几何意义，，， ∴四边形的面积． 19．【答案】(1) 证明：在二次函数中， ∵， ∴不论取何值时，该二次函数图象总与轴有两个交点； (2) (3)或 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、抛物线与x轴的交点问题、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】本题主要考查二次函数与轴的交点的判定，二次函数图象的性质，反比例函数与一次函数的交点求不等式的解集，理解二次函数与轴交点的判定方法“，有两个不同的交点”，二次函数图象的对称性，反比例函数与一次函数图象的性质，掌握二次函数图象的性质，反比例函数与一次函数交点求不等式的解集的方法是解题的关键． （1）根据二次函数与轴交点的判定方法进行判定即可； （2）当时，点是二次函数上关于对称轴对称的两个点，由此可得对称轴直线，解出的值，代入即可求解； （3）分别用含的式子表示出，再代入，得到是关于的函数是反比例函数，根据题意作图，数形结合分析即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵，是该二次函数图象上的两个不同点， ∴当时，点是二次函数上关于对称轴对称的两个点， ∴二次函数对称轴为， ∴， 解得，， ∴二次函数解析式为：； （3）解：令，则， ∵， ∴， ∵， 解得，，， ∵， ∴， 如图所示， 当时，， 解得，， ∴当时，或． 20．【答案】(1) (2) (3)函数图像见解析 (4)该函数没有最大值 【知识点】求自变量的取值范围、用描点法画函数图象、y=ax²+bx+c的图象与性质、已知双曲线分布的象限，求参数范围 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，反比例函数的图象和性质，根据图表画出函数的图象是解题的关键． （1）由图表可知； （2）根据图表可知当时的函数值为，把代入解析式即可求得； （3）根据坐标系中的点，用平滑的曲线连接即可； （4）观察图象即可得出该函数的其他性质． 【详解】（1）解：由图表可知：， 故答案为：； （2）令， ； ； （3）如图 （4）该函数的其它性质： ①该函数没有最大值； ②该函数在处断开； ③该函数没有最小值； ④该函数图象没有经过第四象限． 故答案为：该函数没有最大值． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $