第21章 二次函数与反比例函数 单元检测卷 2026-2027学年沪科版九年级上册数学

**基本信息** 本卷为沪科版九上第21章二次函数与反比例函数单元检测卷，通过生活情境（如商品销售、实心球投掷）与分层设计，考查核心概念与综合应用，适配单元复习。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10题/30分|二次函数图像性质、平移、反比例函数图像|结合图像辨析系数符号，考查几何直观| |填空题|8题/24分|函数表达式、对称轴、与坐标轴交点|通过表格数据分析函数对称性，体现抽象能力| |解答题|5题/46分|函数建模（商品销售）、运动轨迹（实心球）、几何综合（菱形存在性）|以体育训练、经济问题为情境，考查模型意识与推理能力|

2026-2027学年九上数学沪科版第21章二次函数与反比例函数单元检测卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．已知二次函数的图象如图所示，则下列结论：①；②；③当时，y随x的增大而增大；④，其中正确的个数有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 2．关于抛物线，下列说法正确的是（     ） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．顶点坐标是 D．时，随增大而增大 3．在平面直角坐标系中，将抛物线先向左平移2个单位，再向上平移6个单位后所得到的抛物线的顶点坐标是（     ） A． B． C． D． 4．下列抛物线中，能满足经过原点，且对称轴为直线的是（　　） A． B． C． D． 5．如图是抛物线的示意图，则的值可以是（     ） A．0 B．2 C． D． 6．老师出示了小黑板上的题后（如图），小华说：过点；小彬说：过点；小明说：；小颖说：抛物线被轴截得的线段长为．你认为四人的说法中，正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．一台印刷机每年可印刷的书本数量y(万册)与它的使用时间x(年)成反比例关系，当x＝2时，y＝20，则y与x的函数图象大致是(    ) A．   B．   C．   D．   8．已知抛物线（）的部分图象如图所示，则下列结论中正确的是（     ） A． B． C． D．当或时， 9．如图，平面直角坐标系中，边长为的正方形的顶点、分别在轴、轴上，点在反比例函数的图象上，过的中点作矩形，使顶点落在反比例函数的图象上，再过的中点作矩形，使顶点落在反比例函数的图象上，…，依此规律，作出矩形时，落在反比例函数图象上的顶点的坐标为（ ）    A． B． C． D． 10．在平面直角坐标系xOy中，四条抛物线如图所示，其解析式中的二次项系数一定小于1的是（　　） A．y1 B．y2 C．y3 D．y4 二、填空题 11．已知反比例函数的图像经过点和点，则______． 12．把变成一般式，它的常数项为_____． 13．抛物线的对称轴是_____． 14．关于x的二次函数（m是常数）的图象与x轴只有一个公共点，则m的值为________． 15．某游乐场的圆形喷水池中心有一雕塑，从点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，以水平方向为轴，点为原点建立平面直角坐标系，点在轴上，轴上的点为水柱的落水点，水柱所在抛物线第一象限部分的函数表达式为，则的长为___________． 16．如图，抛物线与直线交于，两点，则不等式的解集是______． 17．如图，已知轴，垂足为，，分别交反比例函数的图象于点，．若，则的面积为______． 18．二次函数（a，b，c为常数，）中，x与y的部分对应值如表： x … 0 3 … y … n 2 n … 若，且点，在该二次函数的图象上，则_______．（填“>”“<”或“=”） 三、解答题 19．已知反比例函数的图象经过点． (1)求这个反比例函数的表达式． (2)判断点是否在这个反比例函数的图象上． 20．已知二次函数． (1)将二次函数化成的形式； (2)在平面直角坐标系中画出的大致图象，并根据图象直接写出时，的取值范围． 21．某种商品上市之初采用了大量的广告宣传，其日销售量y与上市的天数x之间成正比例函数关系，当广告停止后，日销售量y与上市的天数x之间成反比例函数关系（如图所示），现已知上市20天时，当日销售量为200件．    (1)写出该商品上市以后日销售量y（件）与上市的天数x（天）之间的表达式． (2)当上市的天数为多少时，日销售量为100件？ 22．体育课期间，黄老师和黎老师交流中考实心球项目，他们发现实心球从出手到落地的过程中，球的竖直高度与水平距离一直在相应的发生变化，黄老师利用鹰眼系统记录了邓同学训练时实心球在空中运动时的水平距离与竖直高度的数据如下表．随后，黎老师根据表中的数据建立如下图所示的平面直角坐标系．根据图中点的分布情况，他发现其图象是二次函数的一部分，请根据所给信息回答下列问题： 水平距离 0 2 4 5 6 8 9 竖直高度 2 2 (1)在投掷过程中，邓同学出手时实心球的竖直高度是 m，实心球在空中的最大高度是 m； (2)求图中抛物线的解析式； (3)根据深圳中考体育考试评分标准（男生版），在投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于或等于米时，即可得满分，邓同学在此次训练中是否得到满分，请说明理由； (4)已知图中抛物线经过，两点，且，分别位于对称轴两侧，若在该两点之间的部分函数图象中，函数的最大值与最小值的差为，则的值为_______． 23．如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，顶点为点D，且． (1)判断的形状，并说明理由； (2)设点是抛物线在第四象限部分上的点，设四边形的面积为，求关于的函数关系式，并求使S最大时点的坐标； (3)在（2）的条件下，点是坐标平面内一点，抛物线的对称轴上是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形是菱形，若存在，直接写出点的坐标． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2026-2027学年九上数学沪科版第21章二次函数与反比例函数单元检测卷》 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C B C B B C D A A 1．C 【分析】首先根据开口方向，对称轴和与y轴的交点位置判断出a，b，c的正负，然后结合图象逐项判断即可． 【详解】解：①∵二次函数图象开口向下 ∴ ∵二次函数的对称轴在y轴左边 ∴ ∴ ∵二次函数图象与y轴交于正半轴 ∴ ∴，故①错误； ②由图象可得，当时，，故②错误； ③由图象可得，当时，y随x的增大而增大，故③正确； 由二次函数图象的对称性可得，当时，，故④正确； 综上所述：正确的有2个． 2．C 【分析】根据顶点式的性质，判断开口方向、对称轴、顶点坐标和增减性即可得到答案． 【详解】解：， ∴顶点坐标为，对称轴为直线，故B错误，C正确； ∵， ∴抛物线开口向下，故A错误， ∴当时，随的增大而减小，故D错误． 3．B 【分析】本题利用二次函数图像平移的“左加右减，上加下减”法则，先得到平移后的抛物线解析式，再求出顶点坐标即可． 【详解】解：∵原抛物线解析式为 ，根据平移法则，向左平移2个单位，再向上平移6个单位， ∴新抛物线解析式为， 整理得 ， ∴平移后抛物线的顶点坐标为． 4．C 【分析】本题考查二次函数的对称轴，掌握抛物线的对称轴为是解题的关键． 逐项验证时的坐标和对称轴即可． 【详解】解：选项A：经过，对称轴为直线，不符合题意； 选项B：经过，对称轴为直线，不符合题意； 选项C：经过，对称轴为直线，符合题意； 选项D：经过，对称轴为直线，不符合题意； 故选C． 5．B 【详解】解：∵抛物线开口向上， ∴ ∴的值可以是2． 6．B 【分析】本题主要考查了二次函数的性质（对称轴、与坐标轴的交点），熟练掌握二次函数解析式的求解及点与函数的关系是解题的关键．先利用抛物线过点和对称轴，列方程求出、，得到抛物线解析式，再逐一验证四人的说法． 【详解】解：∵抛物线过，且对称轴为， ∴， ，， ∴抛物线解析式为． 验证说法： 小华：代入得，故小华的说法成立； 小彬：代入得，故小彬的说法不成立； 小明：，故小明的说法不成立； 小颖：令得， 解得或， ∴交点为、，线段长，过小颖的说法成立． 正确的是小华、小颖，共2个． 故选：B． 7．C 【详解】设y=（k≠0），根据当x=2时，y=20，求出k，即可得出y与x的函数图象． 解：设y=（k≠0）， ∵当x=2时，y=20， ∴k=40， ∴y=， 则y与x的函数图象大致是C， 故选C． 8．D 【分析】根据二次函数的图象及性质：抛物线的开口方向，抛物线与坐标轴的交点，抛物线的对称轴及对称性的特点对选项逐一判断即可． 【详解】解：抛物线的开口向上， ， 抛物线与y轴的交点在x轴的下方， ， 抛物线的对称轴， ， ，选项A错误； ，选项B错误； 抛物线关于对称轴对称， 关于的对称点为， 将代入抛物线，得， ， ，即，选项C错误； 由图象可知，当或时，，选项D正确． 9．A 【分析】先根据题意得出P1点的坐标，进而可得出反比例函数的解析式，再依次求出点P2，P3的坐标，找出规律即可得出结论． 【详解】解：∵正方形OAP1B的边长为1，点P1在反比例函数y=（x＞0）的图象上， ∴P1（1，1）， ∴k=1， ∴在反比例函数的解析式为：y=， ∵B1是P1A的中点， ∴P2A1=AB1=， ∴OA1=2， ∴P2（2，）， 同理，P3（22，）， … ∴Pn（2n-1，）． 当时，则有 的坐标为：（，） 故选：A． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，矩形的性质，找出规律是解题的关键． 10．A 【分析】由图象的点的坐标，根据待定系数法求得解析式即可判定． 【详解】由图象可知： 抛物线y1的顶点为（-2，-2），与y轴的交点为（0，1），根据待定系数法求得y1=（x+2）2-2； 抛物线y2的顶点为（0，-1），与x轴的一个交点为（1，0），根据待定系数法求得y2=x2-1； 抛物线y3的顶点为（1，1），与y轴的交点为（0，2），根据待定系数法求得y3=（x-1）2+1； 抛物线y4的顶点为（1，-3），与y轴的交点为（0，-1），根据待定系数法求得y4=2（x-1）2-3； 综上，解析式中的二次项系数一定小于1的是y1 故选A． 【点睛】本题考查了二次函数的图象，二次函数的性质以及待定系数法求二次函数的解析式，根据点的坐标求得解析式是解题的关键． 11．6 【分析】先将点代入反比例函数解析式求出的值，再将点代入解析式即可求出． 【详解】解：反比例函数的图象经过点， ∴， 解得， ∴反比例函数的解析式为， 点在反比例函数图象上， ∴． 12．18 【分析】本题重点考查二次函数的一般形式及多项式乘法法则，将二次函数表达式展开为一般形式，常数项即为． 【详解】解：， 故常数项为． 故答案为：18． 13．直线 【分析】将抛物线的表达式化为顶点式，即可得出答案． 【详解】解：抛物线， ∴抛物线的对称轴为直线． 14．4 【分析】根据题意令，则，得到，求出，即可得到答案． 【详解】解：∵关于x的二次函数（m是常数）的图象与x轴只有一个公共点， 令，则， ， 解得：． 15．18 【分析】本题考查了二次函数与轴的交点，熟练掌握该知识点并准确计算是解题的关键．将代入，求得点的坐标，然后根据对称性，得到的长度，最后求得的长度即可． 【详解】解：将代入，得到， 解得，或（舍） ， ， 从点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同， ， ， 故答案为：18． 16． 【分析】本题考查二次函数与不等式，根据题意和函数图象中的数据，可以得到不等式的解集，本题得以解决． 【详解】解：∵抛物线与直线交于，两点， ∴不等式的解集是． 故答案为：． 17．6 【分析】过点A作轴于点E，则，，故可得出，再由得出，根据相似三角形的性质可得出的面积，由即可得出结论． 【详解】解：过点A作轴于点E， ∵轴，垂足为，，分别交反比例函数的图象于点A，B， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 18． 【分析】先根据表格中与的函数值相等求出二次函数的对称轴，再结合判断开口方向，通过比较两点到对称轴的距离大小，即可判断与的大小关系． 【详解】解：由表格可知，当和时，y值相等， 因此二次函数的对称轴直线为． 因为， 所以抛物线开口向下，抛物线上的点到对称轴的距离越大，对应的函数值越小． 点到对称轴直线的距离为，点到对称轴直线的距离为． 因为， 所以． 当时，，则，即． 当时，，则，即． 因此点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离，可得． 19．(1) (2)点不在这个反比例函数的图象上 【分析】（1）将点代入即可求出反比例函数表达式； （2）将点的横坐标代入解析式，解出纵坐标看是否与点一致即可． 【详解】（1）将点代入，解得： ， ， 所以反比例函数解析式是：． （2）将点的横坐标代入，解得： ， ， 所以点不在这个反比例函数的图象上． 20．(1) (2) 画出图像如图所示： 【分析】本题主要考查了画二次函数图像，求二次函数的顶点式，根据图像求二次函数的自变量取值范围，对于（1），配方得出顶点式即可； 对于（2），先求出图像的顶点坐标，与x轴交点坐标，并画出图像，再根据图象在x轴下方时函数值小于0得出答案． 【详解】（1）； （2）由（1）得顶点坐标是； 当时，，， 可知抛物线与x轴的交点是，． 当时，． 21．(1)当时，；当时，； (2)10天或40天 【分析】（1）将已知点的坐标分别代入到正比例函数和反比例函数中，利用待定系数法确定其解析式即可； （2）直接利用函数解析式分别得出答案． 【详解】（1）当时，设，把代入得：， ∴； 当时，设，把代入得：， ∴， ∴当时，；当时，； （2）当时，， 解得：， 当时，， 解得：， 故当上市的天数为10天或40天时，日销售量为100件． 【点睛】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是从实际问题中整理出反比例函数模型． 22．(1)2， (2) (3)邓同学在此次训练中能得到满分，理由如下： 把代入， 得， 解得或（不符合题意，舍去）， ∵， ∴邓同学在此次训练中能得到满分； (4)m的值为或 【分析】本题考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数的图象性质是解题的关键． （1）根据题意得到出手时实心球的竖直高度即为时y的值，再通过观察表格数据，利用二次函数的对称性确定对称轴和顶点坐标； （2）由（1）知顶点坐标，再利用待定系数法求解即可； （3）令得到一元二次方程，解方程与米比较即可； （4）根据，分别位于对称轴两侧求出的取值范围，再分情况讨论：求出当M为最低点，或N为最低点时的值即可． 【详解】（1）解：由题意可知，出手时实心球的竖直高度即为时y的值， 通过图表可得：当时，， 则在邓同学投掷过程中，出手时实心球的竖直高度是2米， 由当时，；当时，可得： 对称轴为直线， 则当时，实心球在空中取得最大高度， 通过图表可得：当时，， 则实心球在空中的最大高度是米； （2）解：由（1）得抛物线的顶点坐标为， 则， 抛物线的解析式为， 将代入得： ， 解得：， 抛物线的解析式为； （3）略； （4）解：由（1）知，抛物线对称轴为直线， ，分别位于对称轴两侧， 解得： ①如图，当时，， 即， 解得：或； 与相矛盾，故舍去， ； ②如右图，当时，， 即， 解得：或， 与相矛盾，故舍去， ， 综上所述，m的值为或． 23．(1)为直角三角形． (2)，当时，四边形的面积为最大， ． (3)或或或或． 【分析】（1）先求解抛物线为：，可得，，结合，证明，即可得到结论． （2）由题意可得：，如图，连接，结合，再进一步求解即可． （3）设，分情况讨论：当时，如图， 当时，如图，当时，再结合菱形性质建立方程可得答案． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于、两点， ． ∴， 解得：， ∴抛物线为：， 当时，， ∴， 当时，则， 解得：，， ∴， 而， ∴， ∴， ∴为直角三角形． （2）解：点是抛物线在第四象限部分上的点， ∴， 如图，连接， ∴ ， 其中：， ∴当时，四边形的面积为最大，最大面积为， 此时． （3）解：∵抛物线的对称轴为直线， 设， ∵以、、、为顶点的四边形是菱形，分情况讨论如下： 当时，如图， ∴， 解得：， ∴， 当时，如图， ∴， 解得：， ∴或， 如图，当时， ∴， 解得：， ∴或， 综上：或或或或． 【点睛】本题考查的是求解二次函数的解析式，二次函数的图象与性质，列函数关系式，菱形的性质的应用，一元二次方程的解法，清晰的分类讨论是解本题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $