2.1等式与不等式性质同步训练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 以基础巩固为核心，通过三级分层设计（基础-提升-综合）实现从单一性质到实际应用的递进，适配新授课知识内化需求，培养数学思维与符号表达能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|不等式表示、基本性质辨析|生活情境题（如第1题人体比例）强化概念理解| |提升层|充要条件判断、性质综合应用|逻辑推理题（如第3题）培养数学思维| |综合层|实际问题建模、多性质联用|跨情境应用题（如第6题参观人数）提升数学语言表达|

高一数学等式与不等式性质同步训练 一、单选题 1．一般的人，下半身长与全身长的比值小于且不小于，用不等式表示为（   ） A． B． C． D． 2．已知，则下列结论成立的是（    ） A． B． C． D． 3．已知a是实数，则“”是“”的（    ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．下列运用等式或不等式的性质变形中，正确的是（    ） A．如果那么 B．如果那么 C．如果那么 D．如果，那么 5．已知，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 6．学校组织高一、高二学生参观甲、乙两地博物馆，每位学生可自主选择一处前往．已知高一学生总人数多于高二学生总人数，前往甲地的全体学生总数多于前往乙地的全体学生总数，则（     ） A．去甲地的高一学生人数多于去乙地的高一学生人数 B．去甲地的高一学生人数多于去乙地的高二学生人数 C．去甲地的高一学生人数不多于去乙地的高二学生人数 D．去乙地的高二学生人数不少于去甲地的高二学生人数 7．设，则“”是“”的（   ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．下列命题中，正确的是（    ） A．若，则 B．，则 C．若，则 D．若，则 9．下列命题为真命题的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，，则， 二、填空题 10．已知，则与的大小是__________． 11．若，则、、、中最小的是__________. 12．命题“”是命题“”的___________条件． 13．已知，，，则与的大小关系为_________. 14．下列的一段推理过程中，推理错误的步骤是_______ ∵ 即……① 即……② 即……③ ∵    可证得……④ 三、解答题 15．已知， (1)求的取值范围； (2)比较两个代数式的大小：与． 16．（1）若，，，试证：； （2）设、均为正实数，试比较和的大小； （3）实数，满足，，求的取值范围； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《高一数学等式与不等式性质作业》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 答案 D C A B C B A C C 1．D 【详解】小于且不小于，. 2．C 【详解】对于ABD，不妨设，满足， A选项，，故，A错误； B选项，，故，B错误； D选项，，故，D错误； 对于C，，则，，C正确. 3．A 【分析】判断“”和“”之间的逻辑推理关系，即得答案. 【详解】当时，， 故，即成立，则成立； 当时，，但推不出成立， 故“”是“”的充分不必要条件， 故选：A 4．B 【详解】对于A，若，则等式变形不成立；A错误； 对于B，若，则，， 所以，B正确； 对于C，时，满足，但，C错误； 对于D，， 因为，所以，但的符号不确定， 当时，，当时，，当时，，D错误. 5．C 【详解】对于A、B，当时，，所以，故A、B均不正确； 对于C、D，因为，所以，又，所以，所以，即，C正确，D错误； 6．B 【分析】设出高一、高二去甲、乙地的人数，根据题目条件建立不等关系，即可得出结论. 【详解】由题意，设高一学生去甲地的人数为，去乙地的人数为， 高二学生去甲地的人数为，去乙地的人数为， ∴高一总人数：，高二总人数，前往甲地的学生人数：，前往乙地的学生人数：， ∵高一总人数多于高二总人数，前往甲地的全体学生总数多于前往乙地的全体学生总数， ∴，由不等式的性质，两侧分别相加并化简得， ∴高一学生去甲地的人数多于高二学生去乙地的人数，故B正确，A，C，D均错误. 7．A 【分析】结合重要不等式和赋值法，根据充分条件和必要条件的定义直接判断即可. 【详解】若，则， 所以，故必要性成立. 取，，则， 但，充分性不成立. 因此“”是“”的必要不充分条件. 8．C 【分析】由不等式性质结合特例判断各选项. 【详解】对于A：当，，A错误； 对于B：因为，所以，又， 所以，B错误； 对于C：因为，，又，所以，C正确； 对于D：当时，满足， 但，D错误； 故选：C. 9．C 【分析】利用基本不等式的基本性质，逐一分析各选项的真假：ABD可通过举反例否定，C可以利用作差法证明. 【详解】对于A：当 时，，则 ， 此时 成立，但 不成立（因为 不成立）. 因此，该命题不是真命题，故A错误； 对于B：取反例：设 ，，满足 计算：，， 则 不成立（实际 ). 因此，该命题不是真命题，故B错误； 对于C：由条件 ，得 ，，. 比较差：. 分子 （因为 ，)，分母 （因为 ，). 故，即 .因此，该命题是真命题，故C正确； 对于D：取反例：设 ，，满足 （因为 ). 且 ，，满足 （因为 ). 但结论要求 且 ，而此处 ，不满足，所以该命题不是真命题，故D错误. 故选：C 10． 【分析】利用作差法求解即可 【详解】， ，， ， 故答案为： 11． 【分析】利用作商法以及不等式的性质求解即可. 【详解】因为，所以，， 因为，，所以， 即 故答案为： 12．必要不充分 【分析】分别判断充分性和必要性是否成立即可. 【详解】当时，，所以命题“”是命题“”的不充分条件； 若，则，两边同时乘以得， 所以命题“”是命题“”的必要条件； 综上，命题“”是命题“”的必要不充分条件； 故答案为：必要不充分 13． 【分析】根据已知条件，利用不等式的性质进行比较大小即可. 【详解】由，， 则， 则， 又， 则. 故答案为： 14．③ 【分析】由于，所以即. 【详解】由于，， 所以即，所以第③步推理错误. 【点睛】本题考查不等式8条基本性质，其中出问题的是不等式两边同时乘以一个负数，不等号要改变方向. 15．(1) (2) 【详解】（1） ，， ， ； （2） ， ． 16．（1）证明见解析；（2）答案见解析；（3）. 【分析】（1）根据不等式性质判断即可得证； （2）根据作差法进行比较，先对代数式作差得出；再分类讨论即可得出结果. （3）求出，再利用不等式的性质得解. 【详解】（1）因为，， 所以，即，所以， 因为，所以； （2）． 因为，均为正实数，所以． 当，即时，，此时； 当，即时，，此时； 当，即时，，此时． 综上可得：当时，； 当时，； 当时，； （3）设， 所以 ， 所以. 由 ， 由 ， 所以，即． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $