专题03 不等式求解（不含参）4种常见考法归类（题型专练）高一数学人教A版必修第一册

**基本信息** 聚焦不等式求解4类核心题型，以“核心逻辑+解题步骤+易错提醒”构建方法体系，通过典例变式实现从基础到综合的知识迁移。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |一元二次不等式|典例2+变式6|“标准化-求根-写解集”三步法，结合图像与口诀|基于二次函数图像性质，构建“方程根-函数图像-不等式解集”逻辑链| |分式不等式|典例2+变式6|“移项通分-等价转化-去瑕点”，强调分母非零|转化为整式不等式，体现化归思想，衔接一元二次解法| |高次不等式|典例2+变式4|“标准化-找零点-奇穿偶回”数轴穿根法|通过因式分解降维，延伸符号法则应用，培养运算能力| |绝对值不等式|典例2+变式7|单重公式法/多重分段讨论，注重区间端点|基于绝对值几何意义，发展分类讨论与推理意识|

专题03 不等式求解（不含参）4种常见考法归类 （题型突破·举一反三） 题型 01 一元二次不等式的解法 题型 02 分式不等式的解法 题型 03 高次不等式的解法 题型 04 绝对值不等式的解法 ▌题型01 一元二次不等式的解法 1. 核心逻辑 形如 ()，结合二次函数图像、判别式、开口方向求解； 口诀：大于取两边，小于取中间（开口向上）。 2. 解题步骤 (1)标准化：把不等式整理成 （若 ，两边同乘 要变号）； (2)求根：求对应一元二次方程 的根（求根公式/因式分解）； (3)写解集：根据不等号写解集：① ：取两根外侧；② ：取两根之间；若 ，开口向上恒大于0，无实根则解集为全体实数/空集； (4)形式化：写成区间或集合形式。 3. 易错提醒 二次项系数为负时忘记变不等号；分不清判别式小于0时解集；漏写等号边界。 【典例1-1】（2026高一·广东深圳·期末）不等式的解集是___________． 【答案】 【详解】，，解得或， 即不等式的解集为． 【典例1-2】（2026高一·广东河源·期末）设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】解不等式后由充分必要条件的概念即可求解. 【详解】解得， 可以推出，但不能推出， 所以“”是“”的充分不必要条件. 【变式1-1】（2026高二·天津静海·阶段检测）已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】先求解一元二次不等式得到对应解集，通过判断两个解集的集合包含关系，结合充分必要条件的定义得出结论. 【详解】不等式解集为， 所以，“”是“”的必要不充分条件. 【变式1-2】（2026高一·贵州六盘水·期末）不等式的解集为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【详解】的解为或5， 故不等式的解集为或 【变式1-3】（2026高二·云南昭通·期末）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意得， 或， 所以. 【变式1-4】（2026高二·贵州黔南·期末）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，得，解得， 所以，又，所以. 【变式1-5】【多选】（2026高二·福建福州·期末）下列不等式解集为的有（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】选项 A：二次项系数，判别式， 故 解集为，A 正确； 选项 B：二次项系数，判别式， 不等式等价于 ，不等式的解集为， B 错误； 选项 C：二次项系数，判别式， 解集为，C 正确； 选项 D：二次项系数，判别式， 恒大于 0，不等式无解，D 错误. 【变式1-6】【多选】（2026高二·山西长治·阶段检测）下列不等式的解集为空集的是（    ） A．B． C． D． 【答案】CD 【详解】对于A，由，得，解得，A不满足题意； 对于B，由，得，该不等式的解集为，B不满足题意； 对于C，，即，又，所以的解集为空集，C满足题意； 对于D，因为，所以的解集为空集，D满足题意． ▌题型02 分式不等式的解法 1. 核心逻辑 分母永远不能等于0。 2. 解题步骤 (1)移项通分：统一写成单一分式 或 ； (2)等价转化：转化为整式不等式，带等号必须附加分母 ； (3)求解：因式分解后用穿针引线法求解； (4)去瑕点：去掉使分母为0的点，写出最终解集。 3. 易错提醒 不等号带等号时分母不排除零点；直接两边乘分母不讨论正负导致出错。 【典例2-1】（2026高一·内蒙古赤峰·期末）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，得，得或， 因为，所以. 【典例2-2】（2026高三·全国·专题练习）不等式的解集是________． 【答案】或 【详解】由得，即，即， 解得或，故不等式的解集是或. 【变式2-1】（2026高二·天津南开·期末）已知，“”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【分析】求解出不等式的解集，结合充分条件、必要条件判断即可. 【详解】解不等式，化简可得，即， 所以或， 所以或； 解不等式，得或， 而集合或真包含于集合或， 所以“”是“”的充分不必要条件． 【变式2-2】（26-27高三·全国·一轮复习）不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由可得， 即，解得， 【变式2-3】（2026高一·辽宁大连·期中）不等式的解集是（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】将分式不等式等价转化为整式不等式组，结合二次不等式的解法求解即可. 【详解】分式不等式等价于：，即. 解得或. 故不等式的解集为或. 【变式2-4】（2026高二·辽宁大连·期末）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于分式不等式，等价于不等式组， 解不等式，可得， 由，可得， 所以，即． 已知，即， 则． 【变式2-5】（2026高二·湖南·期末）已知集合，，则下列结论错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意求出集合和集合，然后利用交并补的概念依次判断即可. 【详解】已知集合，解不等式，可得， 所以， 又因为集合，解不等式，可得， 所以，所以， 对于A，由于，所以，故A正确； 对于B，由于，所以，故B正确； 对于C，由于，，所以，故C正确； 对于D，由于，， 所以，故D错误. 【变式2-6】（2026高二·湖北武汉·期末）已知集合，． (1)求； (2)若，且，求实数，应满足的关系式． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）解不等式结合交集的概念计算即可； （2）利用子集的概念及判别式计算即可. 【详解】（1）对于等价于，则， 对于，则，． （2）由题意知，方程无实根， 即. ▌题型03 高次不等式的解法 1. 核心逻辑 因式分解为一次因式乘积，利用函数图像符号变化解题；规则：奇穿偶回，从右上开始穿。 2. 解题步骤 (1)标准化：最高次项系数化为正数； (2)找零点：全部因式分解，求出所有零点，从小到大排序； (3)画线：在数轴标出零点，从数轴右上方开始画线； ①因式次数为奇数：穿过数轴； ②因式次数为偶数：触碰数轴折返； (4)定区间： 取数轴上方区间， 取下方区间；零点根据等号取舍。 3. 易错提醒 最高次系数没化成正，起点画反；偶次因式零点直接去掉；忽略零点是否可取。 【典例3-1】（2026高三·全国·一轮复习）解 【答案】或或 【分析】运用“穿针引线法”画出函数的大致图象，结合图象即可得解. 【详解】运用“穿针引线法”画出函数的大致图象如下： 由函数图象可知，的解集为或或． 【典例3-2】（2026高三·全国·一轮复习）解不等式. 【答案】或或 【详解】因为次数为2，根为2， 的次数为奇数，根分别为. 如图所示，“奇穿偶不穿”，解集为或或． 【变式3-1】（2026高一·天津和平·阶段检测）不等式的解集为______ 【答案】 【分析】运用“穿针引线法”画出函数的大致图象，结合图象即可得解. 【详解】由“穿针引线法，奇穿偶不穿”作出函数的大致图象如下： 由函数图象可知，当或或时，， 故答案为：. 【变式3-2】（2026高一·重庆·阶段检测）不等式的解集为___________. 【答案】 【分析】变形给定的不等式，再利用一元二次不等式求解. 【详解】不等式， 则，解得或，且， 所以原不等式的解集为. 故答案为： 【变式3-3】（2026高三·上海徐汇·期中）分式不等式的解集为______ 【答案】或或 【分析】将分式不等式转为整式不等式（组），高阶不等式遵循：“奇次穿针引线，偶次穿而不过”的整体原则，得到不等式解集. 【详解】∵，∴， ∴或或. 故答案为：或或. 【变式3-4】（2026高一·陕西渭南·阶段检测）求解下列不等式，并写出解集. (1)； (2)； (3) 【答案】(1) (2)； (3). 【分析】（1）利用十字相乘法求解一元二次不等式即可. （2）先将分式不等式合理转化，再求解一元二次不等式即可. （3）利用穿针引线法求解高次不等式即可. 【详解】（1）对于，可化为， 解得，可得所求不等式解集为 （2）由题意得原不等式等价于， 解得或，则不等式的解集为； （3）令， 解得或或，则作出图象如下，    结合穿针引线法原不等式解集为. ▌题型04 绝对值不等式的解法 1. 核心逻辑 基础公式（）：① ；② 或 ；多绝对值用分段去绝对值，找零点分段讨论。 2. 解题步骤 情况1：单重绝对值(1) 直接套用基础公式去绝对值，解普通不等式； 情况2：多个绝对值(1) 令绝对值内式子为0，求出分段零点；(2) 按零点划分区间，每一段去掉绝对值符号；(3) 分别解不等式，再合并各段有效解集。 3. 易错提醒 容易写成 ；分段讨论时漏掉区间端点；合并解集出错。 【典例4-1】（2026高三·重庆·阶段检测）已知集合，，则( ) A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由得，所以， ， 所以 . 【典例4-2】（2026高二·江苏徐州·期末）设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【分析】分别求解两个不等式对应的实数解集，再结合充分必要性定义判断题设条件间的关系即可. 【详解】可化为，可化为， 因为集合是集合的真子集， 所以“”是“”的充分不必要条件. 【变式4-1】（2026高二·辽宁本溪·期末）已知集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，得，解得 所以. 由，得或，解得或， 所以或， 所以， 所以. 【变式4-2】（2026高三·全国·专题练习）“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】先求解不等式得出的取值范围，再根据充分性和必要性的定义判断两个条件之间的关系. 【详解】不等式可化为，即. 若成立，一定满足，因此充分性成立； 若满足，不一定满足，因此，必要性不成立. 故“”是“”的充分不必要条件. 【变式4-3】（2026高一·上海奉贤·期末）设全集为R，集合，集合． (1)求集合A； (2)若，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据分式不等式的解法，求得不等式的解集，即可求解； （2）由（1）知，分和，两种情况讨论，结合，列出关系式，即可求解. 【详解】（1）解：由不等式，可得，所以. （2）解：由（1）知：集合，且， 当时，不等式的解集为空集，满足，符合题意； 当时，不等式，可得，即， 因为，则满足，解得， 综上可得，实数满足，即实数的取值范围为. 【变式4-4】（2026高二·辽宁葫芦岛·期末）设：，：，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据充分条件、必要条件的定义，结合集合的包含关系、绝对值不等式及一元二次不等式的解法求解即可. 【详解】由，得. 由，得. 若是的必要不充分条件，则，解得. 【变式4-5】（2026·上海浦东新·模拟预测）不等式的解集为______________． 【答案】 【详解】不等式等价于， 化简可得，即， 所以不等式的解集为. 【变式4-6】（2026高三·全国·专题练习）不等式的解集为________. 【答案】 【分析】分类讨论去绝对值并分别求解，将各区间的解集取并集得出最终结果. 【详解】当时，原不等式化为，解得； 当时，原不等式化为，解得； 当时，原不等式化为3，无解. 综上，不等式的解集为. 【变式4-7】（2026高一·全国·专题练习）不等式的解集为________． 【答案】 【详解】令， 当时，； 当时，，得，所以； 当时，不成立． 故原不等式的解集为. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 不等式求解（不含参）4种常见考法归类 （题型突破·举一反三） 题型 01 一元二次不等式的解法 题型 02 分式不等式的解法 题型 03 高次不等式的解法 题型 04 绝对值不等式的解法 ▌题型01 一元二次不等式的解法 1. 核心逻辑 形如 ()，结合二次函数图像、判别式、开口方向求解； 口诀：大于取两边，小于取中间（开口向上）。 2. 解题步骤 (1)标准化：把不等式整理成 （若 ，两边同乘 要变号）； (2)求根：求对应一元二次方程 的根（求根公式/因式分解）； (3)写解集：根据不等号写解集：① ：取两根外侧；② ：取两根之间；若 ，开口向上恒大于0，无实根则解集为全体实数/空集； (4)形式化：写成区间或集合形式。 3. 易错提醒 二次项系数为负时忘记变不等号；分不清判别式小于0时解集；漏写等号边界。 【典例1-1】（2026高一·广东深圳·期末）不等式的解集是___________． 【典例1-2】（2026高一·广东河源·期末）设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式1-1】（2026高二·天津静海·阶段检测）已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件 【变式1-2】（2026高一·贵州六盘水·期末）不等式的解集为（   ） A． B． C．或 D．或 【变式1-3】（2026高二·云南昭通·期末）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【变式1-4】（2026高二·贵州黔南·期末）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-5】【多选】（2026高二·福建福州·期末）下列不等式解集为的有（    ） A． B． C． D． 【变式1-6】【多选】（2026高二·山西长治·阶段检测）下列不等式的解集为空集的是（    ） A．B． C． D． ▌题型02 分式不等式的解法 1. 核心逻辑 分母永远不能等于0。 2. 解题步骤 (1)移项通分：统一写成单一分式 或 ； (2)等价转化：转化为整式不等式，带等号必须附加分母 ； (3)求解：因式分解后用穿针引线法求解； (4)去瑕点：去掉使分母为0的点，写出最终解集。 3. 易错提醒 不等号带等号时分母不排除零点；直接两边乘分母不讨论正负导致出错。 【典例2-1】（2026高一·内蒙古赤峰·期末）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【典例2-2】（2026高三·全国·专题练习）不等式的解集是________． 【变式2-1】（2026高二·天津南开·期末）已知，“”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【变式2-2】（26-27高三·全国·一轮复习）不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 【变式2-3】（2026高一·辽宁大连·期中）不等式的解集是（    ） A． B．或 C． D．或 【变式2-4】（2026高二·辽宁大连·期末）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-5】（2026高二·湖南·期末）已知集合，，则下列结论错误的是（     ） A． B． C． D． 【变式2-6】（2026高二·湖北武汉·期末）已知集合，． (1)求； (2)若，且，求实数，应满足的关系式． ▌题型03 高次不等式的解法 1. 核心逻辑 因式分解为一次因式乘积，利用函数图像符号变化解题；规则：奇穿偶回，从右上开始穿。 2. 解题步骤 (1)标准化：最高次项系数化为正数； (2)找零点：全部因式分解，求出所有零点，从小到大排序； (3)画线：在数轴标出零点，从数轴右上方开始画线； ①因式次数为奇数：穿过数轴； ②因式次数为偶数：触碰数轴折返； (4)定区间： 取数轴上方区间， 取下方区间；零点根据等号取舍。 3. 易错提醒 最高次系数没化成正，起点画反；偶次因式零点直接去掉；忽略零点是否可取。 【典例3-1】（2026高三·全国·一轮复习）解 【典例3-2】（2026高三·全国·一轮复习）解不等式. 【变式3-1】（2026高一·天津和平·阶段检测）不等式的解集为______ 【变式3-2】（2026高一·重庆·阶段检测）不等式的解集为___________. 【变式3-3】（2026高三·上海徐汇·期中）分式不等式的解集为______ 【变式3-4】（2026高一·陕西渭南·阶段检测）求解下列不等式，并写出解集. (1)； (2)； (3) ▌题型04 绝对值不等式的解法 1. 核心逻辑 基础公式（）：① ；② 或 ；多绝对值用分段去绝对值，找零点分段讨论。 2. 解题步骤 情况1：单重绝对值(1) 直接套用基础公式去绝对值，解普通不等式； 情况2：多个绝对值(1) 令绝对值内式子为0，求出分段零点；(2) 按零点划分区间，每一段去掉绝对值符号；(3) 分别解不等式，再合并各段有效解集。 3. 易错提醒 容易写成 ；分段讨论时漏掉区间端点；合并解集出错。 【典例4-1】（2026高三·重庆·阶段检测）已知集合，，则( ) A． B． C． D． 【典例4-2】（2026高二·江苏徐州·期末）设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【变式4-1】（2026高二·辽宁本溪·期末）已知集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（2026高三·全国·专题练习）“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式4-3】（2026高一·上海奉贤·期末）设全集为R，集合，集合． (1)求集合A； (2)若，求实数a的取值范围． 【变式4-4】（2026高二·辽宁葫芦岛·期末）设：，：，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式4-5】（2026·上海浦东新·模拟预测）不等式的解集为______________． 【变式4-6】（2026高三·全国·专题练习）不等式的解集为________. 【变式4-7】（2026高一·全国·专题练习）不等式的解集为________． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 不等式求解（不含参）4种常见考法归类 ▌题型01 一元二次不等式的解法 【典例1-1】【答案】 【典例1-2】【答案】A 【变式1-1】【答案】B 【变式1-2】【答案】C 【变式1-3】【答案】B 【变式1-4】【答案】D 【变式1-5】【答案】AC 【变式1-6】【答案】CD ▌题型02 分式不等式的解法 【典例2-1】【答案】C 【典例2-2】【答案】或 【变式2-1】【答案】A 【变式2-2】【答案】C 【变式2-3】【答案】D 【变式2-4】【答案】B 【变式2-5】【答案】D 【变式2-6】【答案】(1) (2) 【分析】（1）解不等式结合交集的概念计算即可； （2）利用子集的概念及判别式计算即可. 【详解】（1）对于等价于，则， 对于，则，． （2）由题意知，方程无实根， 即. ▌题型03 高次不等式的解法 【典例3-1】【答案】或或 【分析】运用“穿针引线法”画出函数的大致图象，结合图象即可得解. 【详解】运用“穿针引线法”画出函数的大致图象如下： 由函数图象可知，的解集为或或． 【典例3-2】【答案】或或 【详解】因为次数为2，根为2， 的次数为奇数，根分别为. 如图所示，“奇穿偶不穿”，解集为或或． 【变式3-1】【答案】 【变式3-2】【答案】 【变式3-3】【答案】或或 【变式3-4】【答案】(1) (2)； (3). 【分析】（1）利用十字相乘法求解一元二次不等式即可. （2）先将分式不等式合理转化，再求解一元二次不等式即可. （3）利用穿针引线法求解高次不等式即可. 【详解】（1）对于，可化为， 解得，可得所求不等式解集为 （2）由题意得原不等式等价于， 解得或，则不等式的解集为； （3）令， 解得或或，则作出图象如下，    结合穿针引线法原不等式解集为. ▌题型04 绝对值不等式的解法 【典例4-1】【答案】C 【典例4-2】【答案】A 【变式4-1】【答案】B 【变式4-2】【答案】A 【变式4-3】【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据分式不等式的解法，求得不等式的解集，即可求解； （2）由（1）知，分和，两种情况讨论，结合，列出关系式，即可求解. 【详解】（1）解：由不等式，可得，所以. （2）解：由（1）知：集合，且， 当时，不等式的解集为空集，满足，符合题意； 当时，不等式，可得，即， 因为，则满足，解得， 综上可得，实数满足，即实数的取值范围为. 【变式4-4】【答案】C 【变式4-5】【答案】 【变式4-6】【答案】 【变式4-7】【答案】 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $