26.1 二次函数的概念 一课一练2026-2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 人教版九年级数学上册“二次函数的概念”同步练，新授课适用。以“概念识别-关系构建-综合应用”为路径，分层设计基础巩固与思维提升题，适配课堂即时反馈与知识内化，培养抽象能力、模型意识及推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|二次函数定义、系数识别|单选题1-3题直接考查概念辨析，填空题8题区分一次与二次函数，强化抽象能力| |中档|参数求解、简单实际问题|填空题10-11题结合球队比赛场次等情境列关系式，解答题12-13题巩固定义应用，体现模型意识| |综合|动点与坐标几何综合|解答题14-15题通过直角梯形动点、垂直平分线与抛物线关系探究，培养推理能力与几何直观|

26.1 二次函数的概念 一课一练2026-2027学年人教版 九年级数学上册 一、单选题 1．下列函数中，是二次函数的是（    ） A． B． C． D． 2．已知二次函数 的常数项为零，则 的值为（   ） A． B． C． D． 3．二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（   ） A．2，0， B．2，，0 C．2，3，0 D．2，0，3 4．如果I表示汽车经撞击之后的损坏程度，经多次实验研究后知道，I与撞击时的速度v的平方之比是常数2，则I与v的函数关系为（    ） A．正比例函数关系 B．反比例函数关系 C．一次函数关系 D．二次函数关系 5．某商店购进某种商品的价格是7.5元/件，在一段时间里，单价是13.5元，销售量是500件，而单价每降低1元就可多售出200件，当销售价为元/件（）时，获取利润元，则与的函数关系为（　　） A． B． C． D．以上答案都不对 6．用12米长的围栏围成一边靠墙（墙足够长）的矩形菜园，设垂直于墙面的边长为x米，矩形的面积为y平方米，根据题意，可列式为（ ） A． B． C． D． 7．下列事件中，属于不可能事件的是（   ） A．抛掷一枚硬币5次，有4次都是正面朝上 B．随意翻到教材的某页，这页的页码是偶数 C．把一粒种子种在花盆中，种子会发芽 D．二次函数的图象是双曲线 二、填空题 8．粉末床熔融工艺是目前金属增材制造领域发展最快的技术，现准备用该方式打印一圆柱形工件，记工件的底面圆半径为，高为，工件体积为． (1)当是常量时，是的______函数． (2)当是常量时，是的______函数． 9．如图，在平面直角坐标系中，、、三点的坐标分别为，，点为线段上的一个动点，连接，过点作交y轴于点B，当点从运动到时，点随之运动，点经过的路径长是______． 10．已知有n个球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛，比赛的场次数为m，则m关于n的函数解析式为________． 11．已知． （1）当的值为______时，它是关于的一次函数． （2）当的值为______时，它是关于的二次函数． 三、解答题 12．下列函数哪些是二次函数？并写出它们的二次项、一次项、常数项． ①； ②； ③； ④． 13．已知直角三角形两条直角边的长的和为． (1)当它的一条直角边的长为时，求这个直角三角形的面积； (2)设这个直角三角形的一条直角边的长为，面积为，求与之间的函数关系式． 14．如图所示，在直角梯形中，，．动点从点出发，沿射线的方向以每秒2个单位长度的速度运动，动点同时从点出发，在线段上以每秒1个单位长度的速度向点运动，当点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为（秒）． (1)设的面积为，求与之间的关系式； (2)当为何值时，以点为顶点的四边形是平行四边形？ (3)分别求出当为何值时，①；②． 15．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是，在x轴上任取一点M．连接，作线段的垂直平分线，过点M作x轴的垂线，记，的交点为P． (1)线段与有什么数量关系？ ． ①当点M坐标时，点P的坐标是 ； ②当点M坐标时，点P的坐标是 ． (2)在x轴上改变点M的位置，可得到不同的点P，试着把得到的点P用平滑的曲线连接起来．观察画出的曲线L，猜想它是我们学过的哪种曲线． ． (3)验证（2）的猜想：对于曲线L上任意一点P，设点P的坐标是，请根据与的关系求出x，y满足的关系式．你得出的结论与先前你的猜想一样吗？ 试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 B B B D D C D 1．【答案】B 【知识点】二次函数的识别 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，一般地，形如（其中a、b、c是常数，）的函数叫做二次函数，据此逐一判断即可． 【详解】解：， 由二次函数的定义可知，四个函数中，只有是二次函数， 故选：B． 2．【答案】B 【知识点】根据二次函数的定义求参数 【分析】本题主要考查了二次函数的关系式， 根据常数项为零的条件列出方程，并结合二次函数的定义（二次项系数不为零）求解． 【详解】解：∵二次函数的常数项为零， ∴， 即， ∴或． 又∵函数为二次函数， ∴二次项系数， ∴， ∴． 故选：B． 3．【答案】B 【知识点】二次函数的识别 【分析】本题主要考查二次函数系数的识别，注意常数项为0时不要遗漏．根据二次函数的一般形式，直接读取二次项系数、一次项系数和常数项即可． 【详解】解：∵二次函数可化为， ∴二次项系数，一次项系数，常数项． 故选：B． 4．【答案】D 【知识点】列二次函数关系式、二次函数的识别 【分析】根据题意，列出I与v的函数关系式，即可进行解答． 【详解】解：根据题意可得：， 整理得：， ∴I与v的函数关系为二次函数关系； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了二次函数的定义，解题的关键是正确理解题意，根据题意列出正确的函数函数关系式． 5．【答案】D 【知识点】列二次函数关系式 【分析】当销售价为元件时，每件利润为元，销售量为，根据利润每件利润销售量列出函数关系式即可． 【详解】解：由题意得， 故选：D． 【点睛】题考查了根据实际问题列二次函数关系式，用含的代数式分别表示出每件利润及销售量是解题的关键． 6．【答案】C 【知识点】列二次函数关系式 【分析】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，由围栏的全长及垂直于墙面的边长，可得出平行于墙面的边长为米，再利用矩形的面积公式，即可找出y关于x的函数关系式，此题得解，根据各数量之间的关系，找出y关于x的函数关系式是解题的关键． 【详解】解：围栏的全长为12米，且设垂直于墙面的边长为x米， 平行于墙面的边长为米． 根据题意得：， 故选：C． 7．【答案】D 【知识点】二次函数的识别、事件的分类 【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据事件发生的可能性大小判断即可． 【详解】解：A、抛掷一枚硬币5次，有4次都是正面朝上，是随机事件，该选项不符合题意； B、随意翻到教材的某页，这页的页码是偶数，是随机事件，该选项不符合题意； C、把一粒种子种在花盆中，种子会发芽，是随机事件，该选项不符合题意； D、二次函数的图象是双曲线，是不可能事件，该选项符合题意； 故选：D． 8．【答案】(1) 一次 (2) 二次 【知识点】识别一次函数、二次函数的识别 【分析】本题主要考查了一次函数和二次函数的概念、常量与变量，熟练掌握这些知识是解题的关键． （1）由一次函数的定义可得，当是常量时，是的一次函数． （2）由二次函数的定义可得，当是常量时，是的二次函数． 【详解】（1）解：由题意得：， 当是常量时，是的一次函数． 故答案为：一次． （2）由题意得：， 当是常量时，是的二次函数． 故答案为：二次． 9．【答案】/4.5/ 【知识点】列二次函数关系式、坐标与图形、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，二次函数的性质，得出y与x之间的函数解析式是解题的关键． 延长交y轴于P点，则 轴．作，交的延长线与Q．证明，得出 ，设，则，设，代入整理得到，根据二次函数的性质以及，求出 y的最大与最小值，可得结论． 【详解】解：如图，延长交y轴于P点，则 轴．作，交的延长线与Q． 在和中， ， ， 设，则，设， ， ， 时，y有最大值4，此时 ． , y有最小值0，此时点B与点P重合， 综上所述，点B的运动路径的长为． 故答案为：． 10．【答案】 【知识点】列二次函数关系式 【分析】根据n个球队都要与除自己之外的球队个打一场，因此要打场，然而有重复一半的场次，即可求出函数关系式． 【详解】解：根据题意，得， 故答案为： ． 【点睛】本题考查了函数关系式，理解题意是解题的关键． 11．【答案】 或或或或或 【知识点】根据二次函数的定义求参数、根据一次函数的定义求参数 【分析】（1）根据一次函数的定义，分析各项的次数和系数的条件来求解的值； （2）根据二次函数的定义，分析各项的次数和系数的条件来求解的值． 【详解】解：（1）要使该函数为关于的一次函数，则化简后含的最高次项的次数为，原式中存在项，因此必须使二次项系数之和为，且不存在更高次项， 故需满足，解得， 当时，原函数为，是一次函数， 故答案为：． （2）可分以下四种情况讨论： ①当时，解得； ②当时，解得； ③当时，解得； ④当时，解得． 综上所述，当的值为4或或或或0或1时，它是关于的二次函数． 故答案为：或或或或或． 【点睛】本题考查了一次函数和二次函数的定义，解题关键是根据函数定义，分情况讨论各项的次数和系数的取值条件，确保函数符合一次或二次函数的形式． 12．【答案】 ①：化简得：，是二次函数，二次项是，一次项是，常数项是； ②：化简得：，是二次函数，二次项是，一次项是，常数项是2； ③：整理得：，是二次函数，二次项是，一次项是0，常数项是3； ④：化简得：，不是二次函数． 【知识点】二次函数的识别 【分析】本题考查了二次函数的定义，解题的关键是掌握二次函数的定义． 根据形如是二次函数，可得答案． 【详解】略 13．【答案】(1)(或)． (2) 【知识点】列二次函数关系式 【分析】（1）一直角边的长为，则另一直角边长为即可求出面积； （2）一直角边的长为，则另一直角边长为，即可表示出面积． 【详解】（1）解：已知一直角边的长为， 则另一直角边长为， 所以这个直角三角形的面积 （2）解：由题意，得另一条直角边的长为， 则． 14．【答案】(1) (2)当或时，以点为顶点的四边形是平行四边形 (3)①当或时，；②当时， 【知识点】列二次函数关系式、利用平行四边形的性质求解、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了平行四边形的性质，列函数关系式，勾股定理； （1）根据题意设，得出，过点作于，根据三角形的面积公式列出函数关系式，即可求解； （2）分两种情况讨论，①当四边形是平行四边形时；②当四边形为平行四边形时，根据平行四边形的性质列出方程，解方程即可求解； （3）①分当点与点重合时与不重合时两种情况讨论，根据题意列出一元一次方程，即可求解． ②根据勾股定理表示出，根据题意列出方程，解方程即可求解． 【详解】（1）在直角梯形中，， 设，则， 过点作于， 则四边形是矩形，， ∴ 故答案为：． （2）I：当四边形是平行四边形时，， ∴解得：， ∴当时，四边形是平行四边形． II：当四边形为平行四边形时，． ∴， ∴ 综上所述，当或时，以点为顶点的四边形是平行四边形． （3）∵， ①I：当点与点重合时，，此时，． II：当点与点不重合时， 当时，， ∵， ∴，即， 解得：， ∴当或时，． ②当时， ∴解得： ∴当时， 15．【答案】(1)；①② (2)见解析，抛物线 (3)x，y满足的关系式为：，我得出的结论与先前我的猜想一样，理由见解析 【知识点】线段垂直平分线的性质、列二次函数关系式、二次函数的识别、写出直角坐标系中点的坐标 【分析】本题主要考查了坐标与图形，线段垂直平分线的性质，勾股定理，二次函数的定义等等，灵活运用所学知识是解题的关键． （1）根据线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等即可得到答案； ①根据题意画出对应的图形即可得到答案； ②根据题意画出对应的图形即可得到答案； （2）根据题意画出对应的曲线L即可得到答案； （3）先求出点M的坐标，再利用勾股定理得到进而推出，由此可得结论． 【详解】（1）解：由题意得，点P在线段的垂直平分线上， ∴， 故答案为：； ①如图1所示，当点M坐标时，点P的坐标是； 故答案为：； ②如图2所示，当点M坐标时，设点P的坐标是， ∴， ∴， 即点P的坐标是， 故答案为：； （2）解：观察画出的曲线L，可知曲线L是抛物线，如图3， 故答案为：抛物线； （3）解：我得出的结论与先前我的猜想一样，理由如下： ∵点P的坐标是，轴， ∴， ∵，，， ∴， ∵， ∴得出的结论与猜想一致． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $