26.2 二次函数的图象和性质 一课一练2026-2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 聚焦二次函数图象与性质，分层设计基础巩固、综合应用、拓展探究三阶练习，通过概念理解到综合应用的递进路径，培养抽象能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|顶点坐标、对称轴、开口方向等单一知识点|单选1-6直接考查性质，填空11-13应用定义求参数，夯实概念理解| |中档|平移、函数值比较、解析式转化等综合应用|单选7-10结合图像分析系数符号，填空14探究取值范围，提升推理能力| |提升|二次函数与几何综合、动态问题等拓展探究|解答题15线段最值、20图表信息题，融合几何直观与运算能力，发展创新意识|

26.2 二次函数的图象和性质 一课一练2026-2027学年 人教版九年级数学上册 一、单选题 1．已知二次函数的图像经过点，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．抛物线的对称轴是直线（   ） A． B． C． D． 3．点，，都在函数的图象上，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 4．已知拋物线，下列结论正确的是（   ）． A．顶点是最低点 B．与轴交于点 C．顶点在轴下方 D．对称轴在轴右侧 5．将抛物线向上平移1个单位长度，再向左平移3个单位长度后，得到的抛物线的解析式为（     ） A． B． C． D． 6．二次函数，用配方法化为的形式是（   ） A． B． C． D． 7．如图是抛物线的示意图，则的值可以是（     ） A．0 B．2 C． D． 8．如图，抛物线（m为常数）与x轴交于点，与y轴负半轴交于点C，若当时，，那么关于x的一次函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 9．已知抛物线上的部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表： … … … … 若点，，都在抛物线上，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 10．如图，抛物线的部分图像，对称轴为直线，则的值（    ） A．－3 B．－2 C．－1 D．0 二、填空题 11．已知抛物线与的形状相同，开口方向相反，则a的值是________． 12．抛物线 的最小值为__________． 13．顶点坐标为的拋物线还经过原点，则该抛物线的解析式为______． 14．已知函数，当时，y的取值范围____________． 15．如图，一次函数图象与坐标轴分别交于点，．若为二次函数图象上的一个动点，过点作直线的垂线，垂足为点．则线段的最小值为______． 三、解答题 16．已知抛物线的顶点坐标是，且过点． (1)求此抛物线对应的函数解析式，并指出此抛物线的开口方向及对称轴． (2)此抛物线对应的函数y有最大值还是最小值？其值是多少？ (3)若是抛物线上的两点，且，则与的大小关系如何？ 17．在同一坐标系中．用描点法画出下列函数的图象． ①； ②． 18．把抛物线y＝ax2+bx+c向左平移2个单位，同时向下平移1个单位后，恰好与抛物线y＝2x2+4x+1重合，请求出a、b、c的值． 19．如图，抛物线与轴交于两点，其中点的坐标为，与轴交于点，点在抛物线上． (1)求抛物线的表达式； (2)求抛物线的对称轴和顶点坐标． 20．已知：二次函数，y与x的一些对应值如表： x … 0 1 2 4 … … m 3 n 3 … (1)根据表格中的数据，确定二次函数解析式为 ； (2)表格中空白处的值 ， ； (3)用五点作图法，在给定坐标系里画出二次函数的图象，并回答：顶点坐标为 ，对称轴方程为 ； (4)当时，，则t的取值范围为 ． 试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A D C C A A B C C D 1．【答案】A 【知识点】y=ax²的图象和性质 【分析】本题考查了二次函数的性质． 将代入解析式即可求出a的值． 【详解】解：∵二次函数的图像经过点， ∴， 即， ∴． 故选：A． 2．【答案】D 【知识点】y=a（x-h）²的图象和性质 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的性质求解即可，掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：抛物线的对称轴是直线． 故选：D． 3．【答案】C 【知识点】y=ax²+k的图象和性质 【分析】本题考查函数的性质．根据二次函数的对称性和增减性判断即可． 【详解】解：抛物线的对称轴为y轴，开口向上 当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大 点关于抛物线的对称轴的对称点为 ∵ ∴． 故选：C． 4．【答案】C 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据二次函数的顶点式，确定顶点坐标、对称轴和开口方向，逐一判断各选项． 【详解】解：∵ 抛物线为， ∴ 顶点为，对称轴为 直线，且，开口向下． 对于A：∵ 开口向下，∴ 顶点是最高点，不是最低点，故A错误． 对于B：当， ∴ 与y轴交点为，不是 ，故B错误． 对于C：∵ 顶点纵坐标，∴ 顶点在x轴下方，故C正确． 对于D：∵ 对称轴，∴ 对称轴在y轴左侧，不在右侧，故D错误． 综上，正确的是C． 故选：C． 5．【答案】A 【知识点】二次函数图象的平移 【分析】抛物线的平移以及抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减． 【详解】解：将抛物线向上平移1个单位长度，再向左平移3个单位长度后，得到的抛物线的解析式为． 6．【答案】A 【知识点】把y=ax²+bx+c化成顶点式 【分析】本题主要考查了二次函数的关系式， 利用配方法将二次函数一般式化为顶点式，再匹配对应选项即可． 【详解】解：∵， ∴正确选项为A． 故选：A． 7．【答案】B 【知识点】二次函数图象与各项系数符号 【详解】解：∵抛物线开口向上， ∴ ∴的值可以是2． 8．【答案】C 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、一次函数、二次函数图象综合判断 【分析】本题主要考查一次函数与二次函数综合，掌握一次函数和二次函数的图象及性质是解题的关键． 根据题意分析出的正负，然后根据当时，，求出的正负，即可得出答案． 【详解】解：由二次函数图像可知，对称轴， ∴， ∵抛物线（m为常数）与x轴交于点， ∴点B的横坐标大于-1，小于0； ∵点关于对称， ∴点A的横坐标大于-2，小于-1． ∵当时，， ∴． 即． ∴一次函数图像经过一、二、四象限． ∴C符合题意．． 故选C． 9．【答案】C 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、已知抛物线上对称的两点求对称轴 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，比较二次函数的函数值，通过表格确定函数的对称轴和增减性，进行判断即可． 【详解】解：∵由表格可知，抛物线经过点，， ∴对称轴为直线， ∴由表格可知，顶点坐标为， ∵， ∴抛物线的开口向下， ∴函数图象上的点离对称轴越远，函数值越小， ∵，，，， ∴ 故选：C． 10．【答案】D 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、根据二次函数的对称性求函数值 【分析】本题考查二次函数的图像和性质，解题关键是掌握二次函数的性质． 根据二次函数关于对称轴对称，可以求出与轴另一个交点坐标，再将坐标代入解析式中即可求解． 【详解】解：设抛物线与轴交点的横坐标为，， 由图像得，， 对称轴为直线， ，． 抛物线经过点． ． 故选：D． 11．【答案】 【知识点】根据二次函数的定义求参数、y=ax²的图象和性质 【分析】本题考查抛物线的性质，掌握抛物线形状由二次项系数绝对值决定，开口方向由二次项系数正负决定是解题的关键． 二次函数的形状由二次项系数的绝对值决定，开口方向由二次项系数的正负决定，形状相同则绝对值相等，开口方向相反则符号相反． 【详解】解：抛物线与的形状相同， 因此，即， 开口方向相反，因此与符号相反， 故答案为：． 12．【答案】 【知识点】y=ax²+bx+c的最值 【分析】本题考查了二次函数的最值问题． 将二次函数化为顶点式，二次函数开口向上，最小值在顶点处取得，进而作答即可． 【详解】解：， ∵， ∴二次函数开口向上，最小值为． 故答案为：． 13．【答案】 【知识点】待定系数法求二次函数解析式 【分析】本题主要考查待定系数法求二次函数解析式，掌握待定系数法的计算是关键． 由顶点坐标设出抛物线的顶点式，再代入原点坐标求出参数值，即可得解析式． 【详解】解：设抛物线的解析式为， 将原点代入得：，即， 解得， 故解析式为，展开得 ， 故答案为：． 14．【答案】 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】首先得到该二次函数图象的开口向下，当时，函数有最大值2，然后分别将和代入求解判断即可． 【详解】解：∵中，， ∴该二次函数图象的开口向下， 当时，函数有最大值2， 当时，， 当时，， ∴当时，的取值范围是． 15．【答案】 【知识点】等腰三角形的性质和判定、线段周长问题(二次函数综合)、用勾股定理解三角形 【分析】过作轴交直线于，由等腰三角形的判定及性质、勾股定理得，设，则，则有，利用二次函数的性质即可求解． 【详解】解：过作轴交直线于， 轴， ， 对于， 当时，， 当时，， ，， ， ， ， ， ， ， ， 设，则， 当时，， ． 故答案为． 【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，勾股定理，等腰三角形的判定及性质；能将求的最小值转化为求的最小值是解题的关键． 16．【答案】(1)解析式为，抛物线开口向上，对称轴为y轴； (2)抛物线对应的函数y有最小值，为； (3)． 【知识点】y=ax²+k的图象和性质、待定系数法求二次函数解析式 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，抛物线图形的性质等知识点，解决此题的关键是熟练掌握抛物线图像的性质； （1）根据待定系数法求解析式，根据抛物线图像的性质得到答案即可； （2）由（1）中求出的解析式，根据抛物线图像的性质得到得到即可； （3）根据抛物线图像的增减性得到答案即可； 【详解】（1）解：由题可知： ， 解得：， ∴此抛物线对应的函数解析式为， ∵， ∴开口向上， 对称轴：直线，即y轴； （2）解：此二次函数的解析式为 ∵， ∴开口向上， ∴y有最小值，； （3）解：此二次函数的解析式为， ∵对称轴为直线， ∴当时，y随x增大而减小； ∵， ∴． 17．【答案】 图象如下： 【知识点】用描点法画函数图象、画y=ax²+bx+c的图象 【分析】本题考查描点法画二次函数图像．采用列表、描点、连线的步骤逐个进行作图即可． 【详解】解：由题意得，列表如下： 18．【答案】a＝2，b＝﹣4，c＝2 【知识点】二次函数图象的平移 【分析】此题可以逆推：将函数y＝2x2+4x+1的图象，先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到抛物线y＝ax2+bx+c，进而可得a、b、c的值． 【详解】解：∵y＝2x2+4x+1＝2（x+1）2﹣1， 当y＝2x2+4x+1向右平移2个单位，再向上平移1个单位后，可得抛物线y＝ax2+bx+c的图象， ∴y＝2（x+1﹣2）2﹣1+1＝2x2﹣4x+2， ∴a＝2，b＝﹣4，c＝2． 【点睛】此题主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式． 19．【答案】(1) (2)顶点为，对称轴为直线 【知识点】把y=ax²+bx+c化成顶点式、待定系数法求二次函数解析式、y=a（x-h）²的图象和性质 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，解题的关键是正确求出函数解析式． （1）由待定系数法，将、代入抛物线表达式解方程组即可得到答案； （2）先将一般式化为顶点式，即可求解对称轴和顶点坐标． 【详解】（1）解：抛物线过、， ， 解得， ∴抛物线的表达式为； （2）解：， ∴顶点为，对称轴为直线． 20．【答案】(1) (2)8；0 (3)图象如图所示： ； (4) 【知识点】把y=ax²+bx+c化成顶点式、画y=ax²+bx+c的图象、待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】（1）运用待定系数法求解二次函数的解析式，即可作答． （2）理解题意，把，分别代入，求出的值； （3）用五点作图法即可，再化为顶点式，即可作答． （4）运用数形结合思想进行分析，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，把分别代入， 得， 解得， ∴． （2）解：依题意，把代入， 得，即； 把代入， 得，即； （3）解：图略， ∴顶点坐标为，对称轴方程为． （4）解：观察（3）的函数图象： 当时，则 ∵当时，， ∴结合函数图象，得 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $