26.3 二次函数与一元二次方程 一课一练2026-2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 聚焦二次函数与一元二次方程关联，分层覆盖基础概念到综合探究，适配新授课知识巩固与思维进阶 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|抛物线与坐标轴交点、方程近似根|直接应用概念，如求抛物线与y轴交点坐标，培养运算能力| |中档|函数值比较、图像与方程根关系|结合图像分析结论，如判断二次函数与一次函数交点的不等式解集，发展几何直观| |提升|平移规律、探究函数性质|通过分段抛物线平移及方程根的探究，强化模型意识与推理能力|

26.3 二次函数与一元二次方程 一课一练2026-2027学年 人教版九年级数学上册 一、单选题 1．抛物线与轴的交点坐标是（   ） A． B． C． D． 2．抛物线与x轴的两个交点分别为（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 3．如表给出了二次函数的自变量与函数值的部分对应值，那么方程的一个根的近似值可能是（   ） 1 1.1 1.2 1.3 1.4 0.04 0.59 1.16 A．1.09 B．1.19 C．1.29 D．1.39 4．若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 5．如图，二次函数（a，b，c为常数，）的图象交x轴于A，B两点，点A的坐标是，点B的坐标是，有下列结论：①；②；③关于x的方程的解是，；④，其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．已知抛物线如图所示，则关于x的方程的根的情况是（    ） A．有两个不相等的正实数根 B．有两个异号实数根 C．有两个相等的实数根 D．没有实数根 7．二次函数的图象与x轴交于A，B两点，则线段的长度为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 8．如图，已知二次函数与一次函数的图象相交于点和，则使不等式成立的的取值范围是（    ） A．或 B． C．或 D． 9．对于抛物线，下列结论正确的是(　　) A．顶点坐标是 B．开口向上 C．与y轴的交点坐标是 D．当时，y随x增大而增大 10．已知二次函数为实数，点是该函数图象与轴的一个交点，若，则的取值范围是（     ） A． B． C．或 D．或 二、填空题 11．已知二次函数的图象与轴的两个交点的横坐标分别为和，求当时，x的取值范围为___________. 12．已知的图象与轴的一个交点为，则另一个交点为______． 13．若抛物线与直线交于A，B两点，则点A与点B之间的距离__________ 14．如图，一段抛物线与x轴交于点O，；将向右平移得到第2段抛物线，交x轴于点，；再将向右平移得到第3段抛物线，交x轴于点，；又将向右平移得到第4段抛物线，交x轴于点，；若点在上，则m的值为______． 15．如图，抛物线（，，，为常数）的顶点坐标为，若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是____________． 三、解答题 16．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 与x轴交于A、B两点 （点A在点B左侧），与y轴交于点C． (1)求A、B、C三点的坐标； (2)直接写出抛物线的对称轴． 17．二次函数 的经过点、． (1)求该函数的表达式； (2)若点，也在函数的图象上，求、的值． 18．在平面直角坐标系中画出函数的图象；并在图象上描出以方程的两根为横坐标的点，标记为A，B． 19．在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴，轴的交点分别为和． (1)求此二次函数的表达式； (2)用配方法将其化为的形式； (3)直接写出当时，的取值范围． 20．某班“数学兴趣小组”对函数的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整． (1)自变量的取值范围是全体实数，与的几组对应值列表如下：其中，___________ … 0 1 2 3 … … 3 0 0 3 ．… (2)根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分． (3)观察函数图象，写出两条函数的性质． (4)进一步探究函数图象发现： ①关于的方程实数根为___________； ②关于的方程有4个实数根时，的取值范围是___________． 试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D A B D B D C B D C 1．【答案】D 【知识点】求抛物线与y轴的交点坐标 【分析】根据轴上的点横坐标为，代入抛物线解析式计算值即可得到交点坐标． 【详解】解：∵轴上所有点的横坐标都为， ∴在抛物线中，令， 得， ∴抛物线与轴的交点坐标是． 2．【答案】A 【知识点】求抛物线与x轴的交点坐标 【分析】本题主要考查了二次函数和一元二次方程的关系，理解掌握两者的实质关系是解本题的关键．求出一元二次方程的两个根，，即可得出抛物线与x轴的两个交点，． 【详解】解：令， 即， 解得一元二次方程的根为：，； 则抛物线与x轴的两个交点分别为和； 故答案选：A． 3．【答案】B 【知识点】图象法确定一元二次方程的近似根 【分析】本题主要考查了抛物线与x轴的交点问题，观察表中数据得到抛物线与x轴的一个交点在和点之间，然后根据抛物线与x轴的交点问题可得到方程一个根的近似值． 【详解】解：∵时，；时，； ∴抛物线与x轴的一个交点在和点之间， ∴方程有一个根在和点之间． 故选：B． 4．【答案】D 【知识点】已知二次函数的函数值求自变量的值 【分析】本题考查了比较二次函数值的大小．正确计算是解题的关键． 将点坐标代入，求解对应的函数值，然后比大小即可． 【详解】解：由题意知，，，， ∵， ∴， 故选：D． 5．【答案】B 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、抛物线与x轴的交点问题、二次函数图象与各项系数符号 【分析】本题考查二次函数的图象、韦达定理，熟练掌握二次函数图象是解题的关键． 根据二次函数的图象得到，结合一元二次方程根与系数的关系，进行逐项判断即可． 【详解】解： 根据图象可得，该二次函数图象开口向下，交轴于正半轴， 则、 由于对称轴在轴右侧， 则，即 因此①错误， 当时，，即， 则， 因此②说法错误； 根据题意得，二次函数的图象交x轴于A，B两点，点A的坐标是，点B的坐标是， 则令得，， 此时该一元二次方程的解，， 由韦达定理得，， 则 因此选项③④说法正确； 综上所述，正确的有个， 故选：B． 6．【答案】D 【知识点】根据二次函数图象确定相应方程根的情况 【分析】本题考查考查一元二次方程的根的情况与二次函数的图象与x轴交点的个数之间的关系．根据题意得到的最大值是8，进而求解即可． 【详解】解：∵的图象顶点纵坐标为8， ∴的最大值是8 ∴ ∴关于x的方程没有实数根． 故选：D． 7．【答案】C 【知识点】求x轴与抛物线的截线长 【分析】本题考查了二次函数与轴的交点问题，通过求解二次方程得到与轴的交点坐标，然后计算两点间的距离，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵二次函数的图象与x轴交于A，B两点， ∴令，则， 解得：，， ∴线段的长度为， 故选：C． 8．【答案】B 【知识点】根据交点确定不等式的解集 【分析】利用数形结合的数学思想即可解决问题．本题考查二次函数与不等式（组，巧用数形结合的数学思想是解题的关键． 【详解】解：由函数图象可知， 当时，二次函数的图象在一次函数图象的下方， 即， ∴不等式的解集为：． 故选：B． 9．【答案】D 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、求抛物线与y轴的交点坐标 【分析】根据二次函数的性质对A、B、D进行判断；通过计算自变量为0时的函数值可对C进行判断． 【详解】解：， ∵， ∴开口向下，顶点坐标是，当时，y随x增大而增大， 当时，，则与y轴的交点坐标是， 综上，选项A、B、C都不正确，不符合题意；D选项正确，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 10．【答案】C 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、利用不等式求自变量或函数值的范围 【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系、抛物线与轴的交点，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．依据题意，根据二次函数图象与x轴有交点，则求出或，由二次函数为实数，点是该函数图象与轴的一个交点，且，从而得到或或，最后计算即可得解． 【详解】解：二次函数为实数的图象与x轴有交点， ∴， ∴或， ∴或， ∵点是该函数图象与轴的一个交点，且，且二次函数的开口向下， ∴，解得； 或，解得； 或，解得； 综上，或． 故选：C． 11．【答案】或/或 【知识点】利用不等式求自变量或函数值的范围、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】根据抛物线开口向上，图象与轴的两个交点的横坐标分别为和，即可求解． 【详解】解：∵二次函数的图象与轴的两个交点的横坐标分别为和，抛物线开口向上， ∴当时，x的取值范围为或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了根据抛物线与坐标轴的交点确定不等式的解集，掌握二次函数的性质是解题的关键． 12．【答案】 【知识点】求抛物线与x轴的交点坐标、已知抛物线上对称的两点求对称轴 【分析】本题考查了二次函数和x轴交点的问题．求出二次函数图象的对称轴为直线，即可求解． 【详解】解：∵， ∴二次函数图象的对称轴为直线， ∵的图象与轴的一个交点为， ∴的图象与轴的另一个交点为． 故答案为： 13．【答案】 【知识点】求x轴与抛物线的截线长 【分析】联立方程组得，确定,，计算即可． 【详解】根据题意，得， 解得， ∴, ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了抛物线与直线交点间距离计算，熟练掌握解方程组是解题的关键． 14．【答案】3 【知识点】二次函数图象的平移、已知二次函数的函数值求自变量的值 【分析】根据平移得出、的坐标，由、的坐标，得出抛物线的关系式，把点P(15，m)代入抛物线关系式，得出m的值即可． 【详解】解：把代入y=−x(x−4)得：， 解得：，， 点的坐标为（4，0） ∴， ∴根据平移可知：， ， ∴、的坐标为：（12，0），（16，0）， 的函数关系式为：， 把代入得： ． 故答案为：3． 【点睛】本题主要考查了二次函数的平移问题，根据平移得出二次函数关系式，是解题的关键． 15．【答案】 【知识点】根据二次函数图象确定相应方程根的情况 【分析】本题考查了抛物线与直线的交点问题，解题的关键是将一元二次方程根的情况转化为抛物线与直线的交点问题． 将一元二次方程根的情况转化为抛物线与直线的交点问题，据此分析解答即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴抛物线与直线有交点， ∵抛物线的顶点坐标是， ∴． 故答案为：． 16．【答案】(1) (2)抛物线的对称轴为直线 【知识点】求抛物线与y轴的交点坐标、y=ax²+bx+c的图象与性质、求抛物线与x轴的交点坐标、把y=ax²+bx+c化成顶点式 【分析】本题主要考查了求抛物线与坐标轴的交点坐标，求抛物线的对称轴， （1）令求出解，即可得出点A，B的坐标，再令可得答案； （2）将抛物线的关系式配方得出顶点式，即可得出答案． 【详解】（1）解： 令，则， 解得． ∵点A在点B左侧， ∴； 令，则， ∴； （2）解：抛物线的对称轴为直线． ∵抛物线的关系式为， ∴抛物线的对称轴为直线． 17．【答案】(1) (2)， 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、已知二次函数的函数值求自变量的值 【分析】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，以及二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法是解本题的关键． （1）将A与B坐标代入二次函数解析式求出a与c的值，即可确定出二次函数解析式； （2）将C与D坐标代入二次函数解析式即可求出m与n的值． 【详解】（1）将点、代入得： ， 解得：， 则二次函数解析式为； （2）将，代入二次函数解析式得：， 将，代入二次函数解析式得：，即． 18．【答案】 图象如图所示： 【知识点】图象法确定一元二次方程的近似根、画y=ax²+bx+c的图象 【分析】本题主要考查了画二次函数图象，二次函数的性质，先列表，然后描点，再连线，画出函数图象，由 得 ，画出直线即可． 【详解】解: 抛物线 的顶点坐标是(1,-4), 对称轴是直线x = 1. 列表： x ··· 0 1 2 3 y 0 0 由 得 所以直线 与抛物线 的两个交点A，B即为所求，如图． 19．【答案】(1) (2) (3)或 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、根据交点确定不等式的解集、把y=ax²+bx+c化成顶点式 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）把二次函数化为顶点式即可； （3）利用图象法求解即可． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象与轴，轴的交点分别为和， ∴， ∴， ∴二次函数解析式为； （2）解：； （3）解： 当时，即， 解得或， ∵， ∴当时，或． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，把二次函数化为顶点式，根据交点求不等式的解集等等，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． 20．【答案】(1)0 (2) 如图所示，即为所求； (3) 观察函数图象，可得出：①函数图象关于轴对称， ②当时，随的增大而增大； (4)①；② 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、抛物线与x轴的交点问题、根据二次函数图象确定相应方程根的情况、画y=ax²+bx+c的图象 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点以及二次函数的性质，根据题意画出图形，利用数形结合解决问题是解题的关键． （1）将代入函数解析式中求出值，即可得出结论； （2）根据表格数据，描点补充完图形； （3）根据函数图象，寻找出对称轴以及函数的增减性，此题得解； （4）①观察函数图象即可得出答案；②根据函数的图象即可得到的取值范围． 【详解】（1）解：把代入函数，得， ∴； （2）略 （3）略 （4）解：①由函数图象可得：函数图象与x轴有3个交点， ∴对应的方程有3个实数根， 运用数形结合思想，得关于x的方程实数根为． ②由函数图象知： 关于的方程有4个实数根，即函数与直线有四个交点， 运用数形结合思想，得满足题意的的取值范围是． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $