26.4 实际问题与二次函数 一课一练2026-2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 初中数学九年级上册“实际问题与二次函数”同步练，以“基础巩固-情境应用-综合探究”分层设计，通过生活情境问题链培养数学建模与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|二次函数解析式、最值求法|单选1-6题（矩形面积、销售利润等），填空11-13题，聚焦单一情境直接应用| |中档应用|综合情境与性质综合|单选7-10题（动态图形、实验数据），填空14-15题，结合图表数据深化理解| |综合提升|复杂问题与动态探究|解答18-20题（动点面积、利润最大化），需建模分析与多步推理，发展创新意识|

26.4 实际问题与二次函数 一课一练2026-2027学年人教版 九年级数学上册 一、单选题 1．如图，一边靠墙（墙足够长），其它三边用长的篱笆围成一个矩形花圃，这个花圃的最大面积是（    ） A． B． C． D． 2．如图所示的公路隧道其截面为抛物线型，线段表示水平的路面，以O为坐标原点，所在直线为x轴，以过点O垂直于x轴的直线为y轴，建立平面直角坐标系．若，抛物线的顶点P到的距离为，则抛物线对应的函数表达式为（    ） A． B． C． D． 3．金华佛手是金华的名产，某特产店销售一批优质佛手，若每斤盈利15元，每天可售出30斤，经市场调查发现，若每斤售价降低1元，每天可多售出5斤，设每斤降价元，每天盈利为y元，则y与x的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 4．如图，一名男生推铅球，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系是，则他将铅球推出的距离为（　　） A． B． C． D． 5．为了使居住环境更加美观，某小区建造了一个小型喷泉，水流从地面上的点O喷出，在各个方向上沿形状相同的抛物线落到地面，某方向上抛物线的形状如图所示，落点A到点O的距离为4，水流喷出的高度与水平距离之间近似满足函数关系式，则水流喷出的最大高度为（　　）    A． B． C． D． 6．为方便市民进行垃圾分类投放，某环保公司第一个月投放a个垃圾桶，计划第三个月投放垃圾桶y个，设该公司第二、三两个月投放垃圾桶数量的月平均增长率为x，那么y与x的函数关系是（   ） A． B． C． D． 7．飞机着陆后滑行的距离（单位：米）与滑行的时间（单位：秒）的函数解析式是，那么飞机着陆后滑行（    ）秒才能停下来． A．10 B．15 C．20 D．25 8．小明以二次函数的图象为模型设计了一款杯子，如图为杯子的设计稿，若，，则杯子的高CE为（    ） A．21 B．22 C．23 D．24 9．如图（单位：cm），等腰直角以2cm/s的速度沿直线l向正方形移动，直到与重合，当运动时间为xs时，与正方形重叠部分的面积为ycm2，下列图象中能反映y与x的函数关系的是（　　）    A．   B．   C．   D．   10．老师带领学生进行“校园农业项目式学习”，实施无土栽培．通过观察，同学们发现：洒水少了，发芽率低，洒水多了要烂根，也会影响发芽率．通过实验与分析，同学们进一步发现：在温度一定的条件下，发芽率与洒水量（单位：）近似地满足二次函数关系（为常数），如图记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据，可以得知最佳的洒水量为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 11．“十一”黄金周，某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销售量m（件）与每件的销售价x（元），满足关系：m =140－x．写出商场卖这种商品每天的销售利润 y与每件的售价x之间的函数关系式是_________． 12．用长12m的铝合金条制成矩形窗框（如图所示），那么这个窗户的最大透光面积是___________（中间横框所占的面积忽略不计） 13．从地面竖直向上抛出一小球，小球距离地面的高度与小球的运动时间之间的关系式是．当小球到达最高点时，距离地面的高度是______． 14．一台机器原价为万元，如果每年价格的下降率为，两年后这台机器的价格为万元，则关于的函数关系式为__________． 15．如图是搭建一座蔬菜大棚的横截面，其形状可以用抛物线表示，施工队计划在大棚正中搭建一个矩形脚手架，点在抛物线上，若，则脚手架的高度为_________米． 三、解答题 16．如图，隧道的截面由抛物线和矩形构成，矩形的长为6m，宽为4m，以所在的直线为x轴，线段的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系．y轴是抛物线的对称轴，最高点E到地面距离为5米．求出抛物线的解析式． 17．体育课上，小华发现足球训练中，自己踢球射向球门的路线呈抛物线型，它的高度与时间的关系可以用公式表示． (1)在什么范围内，足球的高度逐渐增大？在什么范围内，足球的高度逐渐减小？ (2)经过多少时间，足球到达它的最高点？最高点的高度是多少？ 18．某广场有一个小型喷泉，水流从垂直于地面的水管喷出，长为米．水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落到地面上，某方向上抛物线路径的形状如图所示．建立平面直角坐标系，水流喷出的高度y（米）与水平距离x（米）之间近似满足函数关系． 下面是水流高度y和水平距离x之间的几组数据： x/米 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 y/米 1.5 1.875 2 1.875 1.5 0.875 0 (1)根据上述数据，直接写出水流喷出的最大高度，并求出满足的函数关系式； (2)由于调整了水压，水流喷出高度y与水平距离x之间近似满足函数关系，调整后水流落点为，则_________．（填“”，“”或“”） 19．如图，在四边形中，，于点，，，．动点从点出发，沿方向以每秒2个单位长度的速度运动，同时动点从点出发，沿折线 方向以每秒1个单位长度的速度运动．当点到达点时，、两点都停止运动．设动点运动的时间为秒，的面积为． (1)请直接写出关于的函数关系式并注明自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出当函数时的值．（结果保留一位小数，误差不超过） 20．近几年城市建设快速发展，对花木的需求逐年提高，某园林专业户计划投资万元种植花卉和树木．根据市场调查与预测，种植树木的利润 (万元)与投资量 (万元)成正比例关系：；种植花卉的利润 (万元)与投资量 (万元)的函数关系如图所示(其中是抛物线的一部分，为抛物线的顶点，轴)． (1)写出种植花卉的利润关于投资量的函数关系式； (2)求此专业户种植花卉和树木获取的总利润 (万元)关于投入种植花卉的资金 (万元)之间的函数关系式； (3)此专业户投入种植花卉的资金为多少万元时，才能使获取的总利润最大，最大利润是多少万元？ 试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A D B C A A C A C B 1．【答案】A 【知识点】图形问题(实际问题与二次函数)、y=ax²+bx+c的最值 【分析】本题考查二次函数的应用，关键在于找出等量关系列出函数解析式．设矩形的宽为，根据矩形的面积公式即可求出函数关系式，再利用配方法求出函数最值． 【详解】解：设矩形的宽为，面积为， 根据题意得：， ∴时，菜园面积最大，最大面积是． 故选：A． 2．【答案】D 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、拱桥问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题主要考查了求抛物线的表达式，根据题意得出，，设抛物线的表达式为，把代入得，再把代入求出a的值，即可得出抛物线表达式．解题的关键是掌握用待定系数法求函数表达式的方法和步骤，以及二次函数的顶点式． 【详解】解：∵，抛物线的顶点P到的距离为， ∴，， 设抛物线的表达式为， 把代入得：， 把代入得：， 解得：， ∴抛物线表达式为． 故选：D． 3．【答案】B 【知识点】销售问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题需根据每斤盈利的变化量、销量的变化量，结合“总盈利=每斤盈利×销量”的基本关系推导函数关系式． 【详解】解：∵每斤降价元， ∴每斤盈利为元， ∵每斤降1元多售5斤，降x元， ∴每天销量为斤， ∵总盈利=每斤盈利×每天销量， ∴， 故选：B． 4．【答案】C 【知识点】投球问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题主要考查二次函数的实际应用，把函数问题转化为方程问题来解，渗透了函数与方程相结合的解题思想方法． 根据题意可得推出的距离就是当高度时，x的值，所以解方程可求解． 【详解】解：依题意，令，则， 整理得 解得： （舍去）， ∴他将铅球推出的距离为 故选：C 5．【答案】A 【知识点】喷水问题(实际问题与二次函数) 【分析】根据点A到点O的距离为4，得到,代入求得，再将解析式化为顶点式即可得解； 【详解】点A到点O的距离为4， , 把代入得 ， ， ， 水流喷出的最大高度为， 故选择：Ａ 【点睛】本题考查了二次函数的应用，二次函数的性质，正确的求出函数解析式是解题的关键． 6．【答案】A 【知识点】函数解析式、增长率问题(实际问题与二次函数) 【分析】主要考查增长率问题，列函数关系式，正确理解题意是关键；一般用增长后的量=增长前的量增长率，如果设该公司第二、三两个月投放垃圾桶数量的月平均增长率为x，然后根据已知条件可得答案． 【详解】解：设该公司投放垃圾桶数量的月平均增长率为x， 依题意得第三个月投放垃圾桶个， 则 故选：A. 7．【答案】C 【知识点】其他问题(实际问题与二次函数) 【分析】飞机从滑行到停止的路程就是滑行的最大路程，即求函数取得最大值时的t的值． 【详解】解：， ，开口向下， 当，函数有最大值， 即飞机着陆后滑行20秒能停下来． 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的实际问题，运用二次函数求最值是解决本题的关键． 8．【答案】A 【知识点】图形问题(实际问题与二次函数) 【分析】首先由求出点的坐标为，然后根据，可知点的横坐标为，代入，得到，所以，又，所以可知杯子高度．本题主要考查了二次函数的应用，求出顶点和点的坐标是解决问题的关键． 【详解】解：， 抛物线顶点的坐标为， ， 点的横坐标为， 把代入，得到， ， ． 故选：A 9．【答案】C 【知识点】图形运动问题(实际问题与二次函数) 【分析】分别求出时与时的函数解析式，然后根据相应的函数图象找出符合条件的选项即可 【详解】解：如图，当时，    重叠部分为三角形，面积， 如图，当时，    重叠部分为梯形，面积， ∴图象为两段二次函数图象，第一段开口向上，第二段开口向下，函数的最大值为50， 纵观各选项，只有C选项符合． 故选：C． 【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，判断出重叠部分的形状并求出相应的函数关系式是解题的关键． 10．【答案】B 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质、其他问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查了二次函数的应用，将，，代入得，进而求出解析式，结合二次函数的性质即可求解，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：根据题意可得，把，，代入得， ，解得：， ∴， ∵, ∴ 当时，P有最大值为， ∴最佳的洒水量， 故选：． 11．【答案】 【知识点】销售问题(实际问题与二次函数) 【分析】根据题意，销售一件商品的利润为：元，销售量为m件，依据销售利润与单件商品利润和数量的关系，即可列出函数关系式． 【详解】解：根据题意，销售一件商品的利润为：元，销售量为m件， ∴， 故答案为：． 【点睛】题目主要考查二次函数的应用，理解题意，熟练运用等量关系是解题关键． 12．【答案】 【知识点】图形问题(实际问题与二次函数) 【分析】设窗户竖着的边长长为米，面积为，进而得出横着的边长为米，再运用矩形的面积公式可得，再运用二次函数的性质即可求解． 【详解】解：设窗户竖着的边长长为米，横着的边长为米， 当时，取得最大值，为6 故答案为： 【点睛】本题考查了二次函数的运用，列出函数关系式是解题的关键． 13．【答案】20 【知识点】投球问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查二次函数的应用，已知高度h与时间t的关系式为，抛物线开口向下，最大值出现在顶点处．需要先求出顶点的横坐标t，再代入原式求出对应的最大高度h． 【详解】解：∵， ∴顶点的横坐标为， 把代入得， ∴当小球到达最高点时，距离地面的高度是， 故答案为：20． 14．【答案】 【知识点】增长率问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题主要考查了列二次函数关系式，解题的关键是理解题意，掌握两年后价格原价． 根据题意列出函数解析式即可． 【详解】解：由题意得：两年后的价格为：， 故y与x的函数关系式是：． 故答案为：． 15．【答案】6 【知识点】拱桥问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查了二次函数的应用问题，设出点D的坐标并代入解析式是解题的关键．设，然后用m表示D点的坐标，将D点坐标代入抛物线解析式求出m，从而可得到的值． 【详解】解： ，矩形脚手架在大棚正中， 设，，则， D点坐标为， 将代入， 得， 解得或（舍）， ， 故答案为：6． 16．【答案】 【知识点】拱桥问题(实际问题与二次函数) 【分析】设抛物线的解析式为，利用待定系数法求解即可． 【详解】解：根据题意得：，，， 设抛物线的解析式为， 把，代入， 得：， 解得， ∴抛物线的解析式为，即． ∴抛物线的解析式为． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键． 17．【答案】(1)当时，足球的高度逐渐增大，当时，足球的高度逐渐减小 (2)经过，足球到达它的最高点，最高点的高度是． 【知识点】投球问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题主要考查了二次函数的性质： （1）求出抛物线的对称轴，再根据二次函数的性质解答即可； （2）根据二次函数的性质解答即可． 【详解】（1）解： 中，，， ． 抛物线的对称轴为直线． ∵， 当时，足球的高度逐渐增大，当时，足球的高度逐渐减小． （2）解： 中，，， ． 经过，足球到达它的最高点，最高点的高度是． 18．【答案】(1)2米 (2) 【知识点】喷水问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查了二次函数的解析式的求法，顶点坐标的应用． （1）利用待定系数法解答，即可求解； （2）分别求出点，，即可求解． 【详解】（1）解：水流喷出的最大高度为2米． 由题意可得，抛物线经过点和， 将上述两个点坐标代入中，得 ， 解得 ， ∴函数关系式为； （2）解：对于， 当时，， 解得：， ∴点，即， 对于， 当时，， 解得：， ∴点，即， ∵， 即． 故答案为： 19．【答案】(1) (2)图见解析；性质：函数值的最大值为8（答案不唯一）； (3)或． 【知识点】一次函数与几何综合、图形运动问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查了二次函数的应用，一次函数的应用，画函数图象，利用数形结合的思想解决问题是关键． （1）分两种情况求解，①当，点在上，点在上，②当，点在上，由速度与时间的关系表示出各线段，根据三角形面积公式即可得出答案； （2）根据函数解析式列表描点连线画图，再写出一条性质即可； （3）根据（2）中的函数图象直接作答即可 【详解】（1）解：，， ， ①当，点在上，点在上， 此时，， ； ②当，点在上，点在上， 此时， ， 综上可知，关于的函数关系式为； （2）解：列表如下： 0 1 2 4 0 3 4 0 4 5 6 0 4 8 描点连线如下： 性质：函数值的最大值为8； （3）解：由函数图象可知，当函数时或． 20．【答案】(1) (2) (3)当时，取得最大值为万． 【知识点】最大利润问题(一次函数的实际应用)、销售问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查了二次函数的应用； (1)从 (万元)与投资量 (万元)的函数关系图可知，当时与的关系式为二次函数图像的一部分，当时，，故应分两种情况； (2)由题意可知 及共投资万元，列出关于、的函数关系式； (3)由(2)中、的关系式求出的最大值即可． 【详解】（1）解：由函数图像可知，当 时，与的关系式图像为 抛物线的一部分， 设此抛物线的解析式为： 把代入解析式为： 解得． 则 当时， ； 所以 （2）因为投入种植花卉万元，则投入种植树木万元． 当 时， ， 则 ； 当时， 则． 所以、的函数关系式为：； （3） 根据二次函数的性质， 当 万元时，W取得最大值， 万． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $